2021年高三下学期周考一数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期第一次统一练习一模数学(理)试题 Word版含解析
2021年高三下学期第一次统一练习一模数学（理）试题 Word版含解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合，，则【答案】C【解析】试题分析：化简集合A得A={1，2}，故得；故选C.考点：集合的运算.2.在复平面内，复数对应的点位于第一象限第二象限第三象限第四象限【答案】B【解析】试题分析：由于=1+4i-4=-3+4i,故复数对应的点是(-3,4)在第二象限，故选：B．考点：复数的概念及运算.3.是“曲线关于轴对称”的充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由得函数其图象关于y 轴对称；反之，当曲线关于轴对称时，有)(022z k k x k x ∈=-+=⇒+=+ϕππππϕ成立，所以，故知不一定有，所以是“曲线关于轴对称”的充分而不必要条件. 故选A.考点：1.充要条件；2.三角函数的对称性. 4.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为【答案】D考点：程序框图. 5.若，则的取值范围是【答案】D【解析】试题分析：由于，所以得即故选D.考点：基本不等式.6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为【答案】C【解析】试题分析：由，所以所求双曲线的渐近线方程为：；故选：C．考点：双曲线的性质．7.若满足424kx yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且的最小值为，则的值为【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组424kx yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，所表示的平面区域如图：, 由的最小值为得：直线必过点C（8，0），故知直线必过点C；所以得，得；故选B.考点：线性规划.8.已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题①；②函数在定义域上是周期为2的函数；③直线与函数的图象有2个交点；④函数的值域为.其中正确的是①，②②，③①，④①，②，③，④【答案】C【解析】试题分析：由于当时，有，所以，从而当时，有，又即；再注意为定义在上的偶函数，所以可作出函数的图象如下：对于①)2015()010072()2015()2014(f f f f ++⨯=-+01log )1(0)110072()0(2=-=+=+⨯+=f f f ，故①正确；排除B ；对于②由图象可知函数不是周期函数，故②是错误的；排除A 、D 对于③由图象可知直线与函数的图象只有1个交点，故③错误； 对于④由图象可知函数的值域为，故④正确. 故选C.考点：函数的图象及性质.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置．） 9.已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为， 则 . 【答案】 【解析】试题分析：由圆的极坐标方程为两边同时乘以得： 化为直角坐标方程得：，即知圆心M 的坐标为； 又将点的极坐标为化为直角坐标得，即； 所以； 故答案为：.考点：极坐标与直角坐标的互化.10.设向量，若，则实数 . 【答案】 【解析】试题分析：由已知得，；由得所以有0)2()2()23()23(=+⨯-+-⨯+λλλλ 即，解得 故答案为：.考点：向量的数量积的坐标运算.11.已知无穷数列满足：.则数列的前项和的最小值为 . 【答案】-30 【解析】试题分析：由已知得数列是以-10为首项，2为公差的等差数列； 所以即 由知：当时；当时；当时；故知数列的前项和的最小值为或； 故答案为-30. 考点：等差数列.12.如图，在圆内接四边形中，//，过点作圆的切线与的延长线交于点.若，则 ； .【答案】4， 【解析】试题分析：由圆的弦切割定理可知：所以有036553622=-+⇒+=BE BE EB EB ，解得； 连结BD ，由AE 是圆的切线得：；又因为AB=AD ，所以，从而有： 所以BD//AE ，故；又因为AB//CD ，所以有，从而有 因此得到； 故得；BE BC AB DC BE BC AB DC 425455=⨯=⨯=⇒= 故答案为：4和.考点：平面几何证明选讲.13.如果在一周内（周一至周日）安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有__________种（用数字作答）. 【答案】360 【解析】试题分析： 第一步安排甲学校，由于甲学校连续参观两天，所以只能有6种不同的按排方法； 第二步按排余下的三所学校，由于这三所学校均只参观一天，所以有种不同的按排方法； 由分步计数原理得共有不同的安排方法有种. 故答案为：360. 考点：排列组合.14.已知函数又且的最小值等于.则的值为_________． 【答案】 【解析】试题分析：因为)cos 21sin 23(2cos sin 3)(x x x x x f ωωωω+=+= 又因为，所以的最小值为； 故有. 所以答案为：.考点：1.三角恒等变形公式；2.三角函数的图象和性质.三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（本小题满分13分）在中,角所对的边分别为,已知, . (I)求的值; (II)求的值.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可得，从而可求出的值，再由正弦定理可得，代入即得a 的值； （Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可求得、、、的值，再由三角形内角和定理可知()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦，利用余弦的和角公式即可求得的值．试题解析： (I)在中,因为,所以,即, ..............2分 所以sin sin sin cos 22A B B B ππ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.................4分 ..................5分由正弦定理,得. .........7分(II)因为,即,所以为钝角,为锐角. 由(I)可知,,所以. ...............9分又, ................10分所以()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦ .............11分 ................ 12分...........13分考点：1. 正弦定理；2. 三角恒等变换. 16.（本小题满分13分）某农民在一块耕地上种植一种作物，每年种植成本为元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（I）设表示该农民在这块地上种植1年此作物的利润，求的分布列；（II）若在这块地上连续3年种植此作物，求这3年中第二年的利润少于第一年的概率.【答案】（I）；（II）0.31.【解析】试题分析：（I）由已知先求出的所有可能取值：1000，2200和4200，然后再由相互独立事件的概率积公式和互斥互事件的概率和公式计算出的所有可能取值所对应的概率，即得到的分布列；（II）这3年中第二年的利润少于第一年的概率为：将（I）中结果代入即得．试题解析：（I）设表示事件“作物产量为300kg”，表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题意知 ................1分因为利润产量市场价格成本所以的所有可能的取值为................6分所以的分布列为........7分（II）这3年中第二年的利润少于第一年的概率为=0.31.................13分考点：1. 相互独立事件的概率积公式；2. 互斥互事件的概率和公式；3.分布列.17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，//，，平面底面，为的中点，是棱的中点，（I）求证：；（II）求直线与平面所成角的正弦值；（III）求二面角的余弦值.【答案】（I）证明祥见解析；（II）；（III）.【解析】试题分析：（I）在中，为中点.所以；又因为平面底面，且平面底面，由面面垂直的性质定理可得到底面，再由线面垂直的性质得；（II）由（I）及已知条件易得，和；故可以为坐标原点，建立空间直角坐标系从而由空间向量知识及可求得直线与平面所成角的正弦值；（III）在（II）中所建立的空间直角坐标系中，求出平面的法向量和平面的法向量，代入公式二面角的夹角公式即可求出二面角的余弦值.试题解析：（I）证明：在中，为中点.所以 .................1分因为平面底面，且平面底面所以底面 ............3分又平面所以. ..............4分（II）解：在直角梯形中，//为中点所以四边形为平行四边形因为所以 由（I ）可知平面所以，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.则(0,0,0),(1,0,0),3),(3,0),Q A P C - 所以(0,3,3),(0,3,0),(1,0,3)PB CD PD =-=-=-- ....................6分 设平面的法向量为则即亦即令，得所以 .........8分设直线与平面所成角为，则所以与平面所成角的正弦值为 ..............10分（III ）解：如（II ）中建立空间直角坐标系因为所以平面即为平面的法向量，且 ................11分因为是棱的中点所以点的坐标为又设平面的法向量为即令得所以 ......................................13分所以由题知，二面角为锐角所以二面角的余弦值为...............................14分考点：1.直线与平面、平面与平面的垂直关系；2. 直线与平面所成的角；3.二面角.18.（本小题满分13分）已知函数.（I ）当时，求函数的单调区间；（II ）设，且函数在点处的切线为，直线//，且在轴上的截距为1.求证：无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方.【答案】（I ）函数的单调递增区间为；单调递减区间位；（II ）祥见解析.【解析】试题分析：（I ）求出函数的导函数，在的条件下列出的单调性与符号的变化情况，即可写出函数的单调区间；（II ）首先利用导数的几何意义求出函数在点处的切线为的斜率，从而就可写出直线的方程为；构造函数()()[(1)1]ln 1(0)h x g x a x x x x =--+=-->则无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方，等价于，再利用导数证明即可.试题解析： （I ）解：................2分所以，时，与的变化情况如下：因此，函数的单调递增区间为；单调递减区间位......................6分（II ）证明：所以 所以的斜率为...................7分 因为//，且在轴上的截距为所以直线的方程为 .................8分令()()[(1)1]ln 1(0)h x g x a x x x x =--+=-->则无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方，等价于...............................9分而............................10分当时，，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减从而当时，取得最大值即在上，取得最大值 .....................12分所以因此，无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方.................13分考点：1. 利用导数研究函数的单调性；2. 导数的几何意义；3.利用导数证明不等式．19.（本小题满分14分）已知椭圆（I ）求椭圆的离心率；（II ）设椭圆上在第二象限的点的横坐标为，过点的直线与椭圆的另一交点分别为.且的斜率互为相反数，两点关于坐标原点 的对称点分别为 ,求四边形 的面积的最大值.【答案】（I ）；（II ）.【解析】试题分析：（I ）将椭圆方程化成标准形式得可得从而计算得即可求得离心率．（II ）由题意可知，点的坐标为设的方程为则的方程为分别联立直线方程与椭圆方程消元得到一个一元二次方程，由于知道是此方程的根，利用韦达定理也就可求出另一根，即是点A 或B 的横坐标，进而可求出直线AB 的斜率，从而就可用斜截式设出直线AB 的方程；从而就可求出原点到直线的距离d,然后联立直线AB 的方程与椭圆的方程，消元后得到一个关于直线AB 截距为参数的一元二次方程，由韦达定理及弦长公式可将弦AB 的长用直线AB 截距表示出来，从而就可用直线AB 截距将三角形OAB 的面积表示成为直线AB 截距的函数，求此函数的最大值即得到三角形OAB 的面积的最大值，再注意到四边形 为平行四边形,且四边形的面积为三角形OAB 的面积的四倍得到结果．试题解析：（I ）由题意，椭圆的标准方程为所以从而因此，故椭圆的离心率................................4分（II ）由题意可知，点的坐标为设的方程为则的方程为...............5分由 得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-=由于是此方程的一个解.所以此方程的另一解同理.......................7分 故直线的斜率为33(1)(1)22B A B A AB B A B Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- ..............................9分设直线的方程为由 得所以||AB ==又原点到直线的距离为所以的面积12OAB S ∆==当且仅当，即时.的面积达到最大.且最大值为 . ...................13分由题意可知，四边形 为平行四边形,所以，四边形的面积 ,故四边形面积的最大值为 . ......................14分考点：1. 椭圆的性质；2. 直线与椭圆的位置关系；3. 基本不等式.20. （本小题满分13分）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过坐标原点.数列的前项和为，点在二次函数的图象上. （I ）求数列的通项公式；（II ）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围；（III ）在数列中是否存在这样一些项：，这些项都能够构成以为首项，为公比的等比数列？若存在，写出关于的表达式；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）存在，【解析】试题分析：（I ）由已知可得数列的前项和为的公式，再利用求得数列的通项公式；（Ⅱ）分n 为奇数与偶数先求出，由使对恒成立，通过分离参数t 转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；（III ）由知，数列中每一项都不可能是偶数，假设存在，对q 的每一个取值：1，2，3，4逐一讨论即可获得结论．试题解析：（I ）由题意可知所以 ......................1分 当时，221121221[(1)(1)].33333n n n n a S S n n n n -+=-=+--+-= 当时适合上式所以，数列的通项公式为......................4分（II ）因为所以1122334451(1)n n n a a a a a a a a a a -+=-+-++-由（I ）可知，数列是以1为首项，公差为的等差数列.① 当时，21212233445221(1)m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-++-213435221212224222()()()44()33211(812)(26).99m m m m m a a a a a a a a a a a a a a m m m n n -+=-+-++-+=-+++=-⨯⨯=-+=-+ ② 当时，所以 ；....................7分要使对恒成立，只要使为正偶数）恒成立.即使对为正偶数恒成立，故实数的取值范围是.............9分（III ）由知，数列中每一项都不可能是偶数.① 如存在以为首项，公比为2或4的数列，此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列.② 当时，显然不存在这样的数列.当时，若存在以为首项，公比为3的数列，则所以存在满足条件的数列，且..........................13分考点：1. 数列的通项的求法；2. 数列的前n 项和的求法；3.等差数列与等比数列.brr23521 5BE1 寡 23159 5A77 婷27540 6B94 殔29410 72E2 狢 21373 537D 卽32367 7E6F 繯39149 98ED 飭40488 9E28 鸨[。
2021年高三下学期第一次双周考试数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期第一次双周考试数学（理）试题 含答案一、选择题1．已知全集，集合(){}{}22|log 2,|1A x y x x B y y x ==-+==+，那么（ ） A ． B ． C ． D ．2．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 4．已知函数()()2sin 3sin sin 02f x x x x πωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为，则在区间上的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．5．执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ） A ．2 B ． C ．－1 D ．16．在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，则n =（ ） A ．7 B ． 9 C ．6 D ．87．在△ABC 中，分别是所对边的边长，若，则的值是（ ） A ．1 B ． C ． D ．28．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位:）,则该几何体的体积为（ ）A ．120B ．80C ．100D ．609．已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．10．若直线与曲线相交于两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知定义在上的函数，为其导数，且恒成立，则（）A．B．C．D．12．设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题。
13．如果实数满足关系，则的最小值是．14．设，若，则的最小值为．15．若从区间内随机取两个数，则这两个数之积不小于．．．的概率为．16．已知表示两条不同直线，表示三个不同平面，给出下列命题：①若则；②若，垂直于内的任意一条直线，则；③若则；④若不垂直于平面，则不可能垂直于平面内的无数条直线；⑤若∥，则∥．上述五个命题中，正确命题是_____________。
2021-2022年高三下学期周考(4.24)数学(理)试题 含答案
2021-2022年高三下学期周考（4.24）数学（理）试题 含答案数学试题 （理科） xx.4.24一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限2.已知集合{}2x 21|0,|x 560x x A x B x e -⎧⎫=<=--≥⎨⎬⎩⎭，则 A. B.C. D.3.已知等比数列满足，若2341544422,44a a a a a =-=-，则 A. B. C. D.4.已知命题是的充分不必要条件；命题：若函数为偶函数，则，在下面给出的命题中是真命题的是A. B. C. D.5.执行右面的程序框图，则输出的S 的值为A. B. C. 8 D. 206.由于高三学生学习任务重，导致锻炼的时间越来越少.某卫生部门组织了了解高三学生每天锻炼的时间（单位：分钟），从某高中随机抽取了名高三学生进行调查，将调查的结果按[)[)[)[)10,20,20,30,30,40,40,50分组，得到的频率分布直方图如图所示，其中锻炼的时间不低于20分钟的人数为90，则的值为A. 95B. 100C. 120D. 1807.已知五边形ABCDE满足===∠=∠=∠=，AB BC CD DE BAE AED BCD,90,120,若，则A. B. C. D.8.已知焦点为F的抛物线过曲线的最低点，点M在抛物线上，若，则的面积为A. B. C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则下列说法正确的是A. 该几何体为正三棱锥B. 该几何体的表面积为C. 该几何体的体积为该几何体外接球的表面积为D.10.已知数列的前项和满足，若，使得，则A. 0B. 1C. 2D. 311.已知双曲线C过点，且双曲线C的渐近线方程为12:0,:0l x l x==，双曲线C上的点P满足，且交于M,交于N，则A. B. C. D.12.已知偶函数的定义域为集合{}()|ln x5,550M x f=≤=，当且时，恒成立，则不等式的解集为A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2224题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知某品牌轿车紧急刹车的速度，则该品牌轿车刹车后行驶的距离约为m.14.已知实数满足23,10,1x yx yx-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥-⎩，则的取值范围是 .15.已知的展开式中常数项为1，则的展开式中含的项的系数为 .16.已知中，若则面积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数()223sin cos sin 2.222x x x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （1）求函数的单调增区间；（2）若，求的值.18.(本小题满分12分)为了调查欧洲某国家女性居民的身高情况，某研究机构在该国各地区随机抽取了30个不同的女性居民进行身高测量，现将数据展示如下：身高超过175cm 的女性（包括175cm ）定义为“较高人群”；身高在175cm 以下（不包括175cm ）的女性定义为“一般人群”.（1）若从上述数据中随机抽取2个，求至少有1个数据为“较高人群”数据的概率；（2）用样本估计总体，若从该国家所有女性居民中随机选取3人，用表示所选3人“较高人群”的人数，求的分布列以及数学期望.19.(本小题满分12分)已知四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面平面，且点为线段上靠近的三等分点，（1）探究直线与平面的关系，并说明理由；（2）求直线与平面的夹角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的左顶点为P，椭圆过点，且与椭圆的离心率相同，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于M,N两点.（1）求椭圆的方程以及离心率；（2）若的面积为,求直线的方程.21.(本小题满分12分)设（1）当时，求函数的图像在点处的切线方程；（2）记函数，若当时，函数有极大值，求的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD为圆内接四边形，延长BD到E，AD到F,恰有,CDF EDF AG BC∠=∠⊥且交BC于G.（1）求证：为等腰三角形；（2）若3tan AG423BAC∠==+.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知圆C的标准方程为，倾斜角为的直线过定点，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出圆C的极坐标方程以及直线的参数方程；（2）若直线与曲线相交于A,B两点，且，求直线的斜率.24.(本小题满分10分)不等式选讲已知正实数满足.（1）求的最小值（2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围.24832 6100 愀lJ•30190 75EE 痮35825 8BF1 诱638504 9668 陨20198 4EE6 仦26895 690F 椏30021 7545 畅37250 9182 醂A38866 97D2 韒,。
2021年高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题含解析
2021年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：复数的分母实数化，然后判断复数对应的点所在象限．【解析】：解：因为复数===﹣1+i，所以复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B．【点评】：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．（5分）集合A={x|y=x}，B={y|y=logx，x∈R}，则A∩B等于（）2A． R B．∅ C． [0，+∞） D．（0，+∞）【考点】：对数函数的值域与最值；交集及其运算．【专题】：函数的性质及应用；集合．【分析】：求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解析】：解：由A中y=x，得到x≥0，即A=[0，+∞），由B中y=log2x，得到y∈R，即B=R，则A∩B=[0，+∞），故选：C．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）已知命题p：x≠1或y≠2，命题q：x+y≠3，则命题p是q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解析】：解：根据逆否命题的等价性，只需要判断x+y=3与x=1且y=2的条件关系即可．若x=0，y=3时，满足x+y=3，但此时x=1且y=2，不成立，即充分性不成立．若x=1，y=2时，则x+y=3成立，即必要性成立．即x+y=3是x=1且y=2的必要不充分条件，即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，逆否命题的等价性判断x+y=3是x=1，y=2的充分不必要条件是解决本题的关键．4．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x= B．x= C．x= D．x﹣=【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解析】：解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=，故选：C．【点评】：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．（5分）函数y=的一段大致图象是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象；函数的单调性与导数的关系．【分析】：根据函数解析式，分析函数的性质，四个选项中与此性质不符的即可排除．【解析】：解：根据函数为奇函数，排除B、C两项；又，所以，函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，D不正确．故选：A．【点评】：本题考查识图能力，属中档题．一般采用排除法求解．6．（5分）某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A，B 两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）A．1860 B．1320 C．1140 D．1020【考点】：排列、组合及简单计数问题．【专题】：应用题；排列组合．【分析】：分两类：第一类，A，B只有一个选中，第二类：A，B同时选中，利用加法原理即可得出结论．【解析】：解：分两类：第一类，A，B只有一个选中，则不同演出顺序有种；第二类：A，B同时选中，则不同演出顺序有种．共有：+=1140（种）．故选：C．【点评】：本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．7．（5分）已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）A．x﹣y＞0 B．x+y＜0 C．x﹣y＜0 D．x+y＞0【考点】：函数单调性的性质．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：可对2x+3y＞2﹣y+3﹣x变形成2x﹣3﹣x＞2﹣y﹣3y，所以可想着设f（x）=2x﹣3﹣x，求导之后容易判断出f（x）在R上为增函数，所以便由f（x）＞f（﹣y）得到x+y＞0．【解析】：解：设f（x）=2x﹣3﹣x，f′（x）=2x ln2+3﹣x ln3＞0；∴f（x）在R上单调递增；又由2x+3y＞2﹣y+3﹣x得2x﹣3﹣x＞2﹣y﹣3y；∴f（x）＞f（﹣y）；∴x＞﹣y；∴x+y＞0．故选：D．【点评】：考查构造函数解决问题的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，单调性定义的运用，注意正确求导．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．【解析】：解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×=，故组合体的体积V=1﹣=，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．（5分）函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D． 2【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：根据函数f（x）和g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0，则利用导数求出函数f（x）到直线的距离的最小值即可．【解析】：解：∵f（x）=e x+x2+x+1，∴f′（x）=e x+2x+1，∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0对称，∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2，由f′（x）=e x+2x+1=2，即e x+2x﹣1=0，解得x=0，此时对于的切点坐标为（0，2），∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x﹣3，两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3=0的最小距离，此时d=，由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2．故选：D．【点评】：本题主要考查导数的应用以及两点间距离的求解，根据函数的对称性求出函数f （x）到直线的距离是解决本题的关键．10．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a=|MO|﹣|MT| B．b﹣a＞|MO|﹣|MT| C．b﹣a＜|MO|﹣|MT| D．b﹣a=|MO|+|MT|【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|=b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点得出|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案．【解析】：解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|=|PF2|，∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b=×（﹣2a）+b=b﹣a．故选A．【点评】：本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有3个．【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：本题考查条件结构，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x与2的大小选择相应的解析式，根据函数值求出自变量即可．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，当x≤2时，由y=x2﹣1=3可得x=2或﹣2；当x＞2时，由y=log2x=3可知x=8；即输出结果为3时，则输入的实数x的值是8，2或﹣2．故答案为：3．【点评】：本题考查条件结构，以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题，属于基础题．12．（5分）已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b的值为﹣13．【考点】：一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：由不等式|8x+9|＜7的解集为（﹣2，﹣）可得ax2+bx﹣2＞07的解集为（﹣2，﹣），从而求a，b．【解析】：解：不等式|8x+9|＜7的解集为（﹣2，﹣）；ax2+bx＞2可化为ax2+bx﹣2＞0，故﹣2﹣=﹣；﹣2•（﹣）=，解得a=﹣4，b=﹣9；故a+b=﹣13；故答案为：﹣13．【点评】：本题考查了绝对值不等式的求法及方程与不等式的关系，属于基础题．13．（5分）已知向量满足，，则的夹角为．【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量数量积运算及其性质即可得出．【解析】：解：向量满足，，∴==，化为=，∴=．故答案为：．【点评】：本题考查了向量数量积运算及其性质，属于基础题．14．（5分）在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是[7，8]（请用区间表示）．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过区域内边界上的某些点时，z最大值即可．【解析】：解：由⇒交点为A（2，0），B（4﹣m，2m﹣4），C（0，m），C'（0，4），当3≤m＜4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z≤8当4≤m≤5时可行域是△OAC'此时，z max=8故答案为：[7，8]．【点评】：本题主要考查了简单的线性规划．由于线性规划的介入，借助于平面区域，可以研究函数的最值或最优解；借助于平面区域特性，我们还可以优化数学解题，借助于规划思想，巧妙应用平面区域，为我们的数学解题增添了活力．15．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f （x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．【解析】：解：①f（x）=，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．【点评】：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．【考点】：余弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx）﹣1，由其图象两相邻对称轴间的距离为，可得最小正周期为T=π，即可解得ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin（2C﹣）=1，解得C=，由已知∥可得b﹣3a=0①，由余弦定理，又已知c=，即可解得7=a2+b2﹣ab②，联立方程可解得a，b的值．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣=sinωxcosωx﹣﹣=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣1∵其图象两相邻对称轴间的距离为．∴最小正周期为T=π，∴ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x）﹣1∴sin（2C﹣）=1∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=由已知∥可得sinB﹣3sinA=0，在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a=0①由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，又已知c=∴7=a2+b2﹣ab②由①②联立，可解得：a=1，b=3．【点评】：本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了余弦定理的应用，三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥AE；（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）由已知得BD=2，EA⊥ED，EA=ED=2，AD=2，由勾股定理得BD⊥AD，从而BD⊥平面AED，由此能证明BD⊥AE．（Ⅱ）取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，取AB的中点F，连结OF，则OF∥BD，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面CDE的法向量和平面CDE的一个法向量，由此能求出平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．【解析】：（Ⅰ）证明：∵BC⊥CD，BC=CD=2，∴BD=2，同理EA⊥ED，EA=ED=2，∴AD=2，又∵AB=4，∴由勾股定理得BD⊥AD，又∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AED，又∵AE⊂平面ADE，∴BD⊥AE．（Ⅱ）解：取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，∴OE⊥平面ABCD，取AB的中点F，连结OF，则OF∥BD，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则D（﹣，0，0），C（﹣2，，0），E（0，0，），=（﹣，，0），=（），设平面CDE的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得平面CDE的一个法向量为=（1，1，﹣1），又平面ADE的一个法向量为=（0，1，0），设平面ADE和平面CDE所成角（锐角）为θ，cosθ=|cos＜＞|==，∴平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值为．【点评】：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．18．（12分）为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．则P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.1，P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，P（B3）=0.2．设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3，可得P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）．（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A1）P（B1），P（ξ=2）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1），P（ξ=3）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1），P（ξ=4）=P（A2）P（B2），P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2），P（ξ=6）=P（A3）P（B3）．即可得出分布列及其数学期望．【解析】：解：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．则P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=1﹣0.4﹣0.5=0.1，P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，P （B3）=1﹣0.5﹣0.3=0.2．由题意可知：A i与B i相互独立，设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3，∴P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.37．（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A1）P（B1）=0.4×0.5=0.2，P（ξ=2）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，P（ξ=3）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）=0.4×0.2+0.1×0.5=0.13，P（ξ=4）=P（A2）P（B2）=0.5×0.3=0.15，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）=0.1×0.2=0.02．Eξ=0×0.2+2×0.37+3×0.13+4×0.15+5×0.13+6×0.02=2.5．【点评】：本题考查了古典概型的概率计算公式、互斥事件与相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）在数列{a n}中，a3=1，S n是其前n项和，且S n=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2S n，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n的值．【考点】：数列的求和；数列与不等式的综合．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）当n=1时，a1=a2，当n=2时，a1+a2=a3=1，从而，由，得2a n=a n+1，n≥2，从而数列{a n}从第二项起是首项为，公比为2的等比数列，由此能求出a n，S n．（Ⅱ）由S n=2n﹣2，得b n=log2S n=n﹣2，从而由c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，得到c n=+n•2n﹣2，由此利用分组求和法和裂项求和法求出T n=，由此能求出当n＞1时，使成立的最小正整数n的值为n=4．【解析】：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=a2，当n=2时，a1+a2=a3=1，∴，由，得a n=a n+1﹣a n，即2a n=a n+1，n≥2，=2，n≥2，∵，∴数列{a n}从第二项起是首项为，公比为2的等比数列，∴a n=，∴．（Ⅱ）由S n=2n﹣2，得b n=log2S n=n﹣2，∵c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn=1+n（n+1）（n+2）•2n﹣2，c n=+n•2n﹣2，∴T n=+1×2﹣1+2×20+3×2+…+n•2n﹣2，令A===，令B=1×2﹣1+2×2+3×21+4×22+…+（n﹣1）•2n﹣12B=1×20+2×21+3×22+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，﹣B=2﹣1+20+2+22+…+2n﹣2﹣n•2n﹣1，B=（n﹣1），∴T n=+=，当n＞1时，＜2n+，即＜，∴n2+n﹣12＞0，（n+4）（n﹣3）＞0，n＞3，∴当n＞1时，使成立的最小正整数n的值为n=4．【点评】：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查不等式的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法、裂项求和法、构造法的合理运用．20．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x﹣lnx（x＞0）．f′（x）=﹣2x+3﹣=．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函数f（x）的单调性，即可得出极值．（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）==，对a分类讨论：当a=2时，当1＜a＜2时，当a＞2时，即可得出单调性；（Ⅲ）假设存在a满足题意，不妨设0＜x1＜x2，由＜2+a恒成立，可得f（x2）﹣ax2﹣2x2＜f（x1）﹣ax1﹣2x1，令g（x）=f（x）﹣ax﹣2x，则g（x）=，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，利用导数研究其单调性即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x﹣lnx（x＞0）．f′（x）=﹣2x+3﹣=．当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴f（x）极大值=f（1）=2，f（x）极小值==．（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）==，当a=2时，f′（x）=≤0，函数f（x）在x＞0时单调递减；当1＜a＜2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或，此时函数f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得1＜x＜，此时函数f（x）单调递增．当a＞2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，此时函数f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数f（x）单调递增．综上可得：当1＜a＜2时，f（x）在x∈（0，1）或）单调递减；f（x）在上单调递增．当a=2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．当a＞2时，f（x）在或（1，+∞）上）单调递减；函数f（x）在上单调递增．（Ⅲ）假设存在a满足题意，不妨设0＜x1＜x2，由＜2+a恒成立，可得f（x2）﹣ax2﹣2x2＜f（x1）﹣ax1﹣2x1，令g（x）=f（x）﹣ax﹣2x，则g（x）=，由题意可知：g（x）在（0，+∞）上单调递减．∴g′（x）=（1﹣a）x﹣2﹣≤0，化为在（0，+∞）上恒成立，∴a≥1．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知F1，F2分别是椭圆+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P 异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：•为定值．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）由已知条件推导出2•=，b=1，由此能求出椭圆E的方程；（Ⅱ）讨论直线MN的斜率是否存在，设出直线MN的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求范围；（Ⅲ）设直线CD：y=k（x﹣），（k≠0），则P（0，﹣），联立+y2=1，得（1+2k2）x2﹣4k2x+4k2﹣2=0，由此利用韦达定理结合已知条件，能求出•为定值1．【解析】：解：（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭圆E：+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．∴2•=，b=1，a2﹣b2=c2，解得a=，∴椭圆E的方程为+y2=1．（Ⅱ）MN的斜率不存在时，MN：x=1，解得M（1，），N（1，﹣），•=﹣；MN的斜率存在时，设直线MN：y=k（x﹣1），代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（1+k2）[x1x2+1﹣（x1+x2）]=（1+k2）•（+1﹣）=﹣=﹣∈（﹣1，﹣）．综上可得•的取值范围是（﹣1，﹣]；（Ⅲ）证明：∵椭圆的右顶点C（，0），∴设直线CD：y=k（x﹣），（k≠0），则P（0，﹣k），联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+4k2﹣2=0，∴x C•x D=，∴x D==，设点Q（x′，y′），直线BC的方程为y=（x﹣），A、D、Q三点共线，则有，∴，∴y′+=，∴=，又∵yD=k（xD﹣），∴==k﹣，将x D=代入，得：=，∴y′=﹣，∴•=（0，﹣k）•（x'，﹣）=1．即•为定值1．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理、椭圆性质等知识点的灵活运用．25525 63B5 掵35794 8BD2 诒Y:O20252 4F1C 伜22399 577F 坿R25610 640A 搊E35433 8A69 詩}x7。
2021年高三下学期第一次模拟数学(理)试题
2021年高三下学期第一次模拟数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）·如果事件A，B相互独立，那么P（AB）＝P（A）P（B）·球的表面积公式S＝球的体积公式V＝其中R表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒（1）若复数(2＋a i)(3＋i) 的实部和虚部相等，则实数a 的值为（A）－1 （B）0（C）1 （D）2（2）不等式＞2 的解集是（A）{ x |＜x＜3 } （B）{ x | x＜或x＞3 }（C）{ x | x＞} （D）{ x | x＜}（3）下列命题中：①x∈R，x2－x＋≥0；②x∈R，x2＋2x＋2＜0；③函数y＝2－x是单调递增函数．真命题的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（4）等差数列{a n} 的前n项和为，已知，，则的值是（A）24 （B）36（C）48 （D）72（5）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（理）（A）12种（B）18种（C）30种（D）35种（5）若，则的值是（文）（A）（B）－（C）（D）－（6）已知函数f (x) (0≤x≤1) 的图象是一段圆弧（如图所示），若，则（A）＞（B）＝（C）＜（D）与的大小无法判断（7）已知平面，，，直线l，m，点A，在下面四个命题中正确的是（A）若l，m∩＝A，则l与m必为异面直线；（B）若l∥，l∥m，则m∥；（C）若l，m，l∥，m∥，则∥；（D）若⊥，∩＝m，∩＝l，l⊥m，则l⊥．（8）已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为（A）(，（B）(，)（C）(1，3) （D）(－1，＋1时速（km/h ） 001 0020030440 50 60 70 80 俯视图34数 学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2021年高三下学期联合考试数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期联合考试数学（理）试题含答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，在复平面内复数对应的点在第一象限（其中为虚数单位），则实数的取值可以为（）A.0B.1C.﹣1D.22.已知实数满足约束条件则的最大值为( )A. -2B. -1C. 1D. 23.“”是“命题‘，不等式成立’为真命题”的（）A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设，则的取值范围为（）A. B. C. D.5.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率的取值为Array（）A.3B.3.14D.3.36.已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.7.右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8.已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A． B． C． D．9.若为偶函数，则的解集为（）A. B. C. D.10.如图所示，函数离轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则＝（）A. B.C. D.11.如右下图所示为某几何体形状的纸盒的三视图，在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为（）A. B. C. D.12.已知函数,,则的取值范围为（）A. B. C. D.二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2021年高三下学期模拟检测数学理试题 Word版含答案
甲组乙组9y 2 01296 x952021年高三下学期模拟检测数学理试题 Word版含答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,复数为虚数单位）对应的点分别为A、B,若点C为线段AB的中点,则点C对应的复数为（）A. B.1 C. D. i2.以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的中位数为17,乙组数据的平均数为17.4,则x,y的值分别为（）A.7, 8B. 5, 7C.8, 5D. 8, 73下列命题中正确的是( )A. 命题“x∈R,≤ 0”的否定是“x∈R,≥ 0”;B. 命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件;C. 若“,则ab”的否命题为假命题;D. 已知图像连续不断的函数在区间(其中)上有唯一零点,若“二分法”求这个零点(精确度0.0001)的近似值,则将区间等分的次数至少是10次.4.一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是( )A.2B.C. D.5.设函数,则的定义域为( )A. B.C. D.6.如图右,正六边形P1P2P3P4P5P6中,下列向量的数量积中最大的是( )A. B.C. D.7.设x,y满足若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最小值为2,则ab的最大值为( )A.1B.C.D.8.数列{a n}的通项,其前n项和为S n,则S30为( )A. 470B. 490C. 495D. 5109.四面体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱的中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,不同的取法有( )A. 30种B. 33种C. 36种D. 39种10.已知函数,设,若函数y =有四个零点,则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分 ,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中选两题作答案,如果全做,则按前两题记分） 11.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数);在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,曲线 的方程为,则与交点个数为 . 12.若,且,则的最小值为 .13.如图,已知是外一点,为的切线,为 切点,割线经过圆心,若,则的度数为 . (二)必做题（14-16题）14.右图中是一个算法流程图,则输出的n = .15.已知双曲线左支上一点到右 焦点的距离为16,是线段的中点, 为坐标原点,则的值是 . 16. 定义一种新运算如下:221101221222)1(a a a a a a a t t t t t t t +⨯+⨯+=------ ,其中,给定,构造无穷数列,,……, (1)若,则 (2)若)(,12221222321++++∈+++=N m X m m m ,则满足的 的最小值为 （用的式子作答）三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步骤.. 17.(本小题满分12分）在△中,内角的对边分别为,, 且.(Ⅰ)求内角的大小;(Ⅱ)若,求面积的最大值.大师大版的概率;(Ⅱ)设使用北师大版的5名教师中有3名男教师,2名女教师,使用苏教版的10名教师中有6名男教师,4名女教师,若从这15名教师中随机选出3名教师发言,求选到用苏教版的女教师人数的分布列和期望.19. (本小题满分12分）如图,的外接圆⊙的半径为,CD所在的平面,BE//CD,CD=4,BC=2,且BE=1,.(Ⅱ)试问线段DE上是否存在点M,使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在,确定点M的位置,若不存在,请说明理由.20. (本小题满分13分）岳阳市临港新区自xx年6月8日开港来,吸引了一批投资过亿元的现代工业和物流储运企业落户.根据规划,2025年新港将全部建成13个泊位,从xx年（第一年）开始对其中某个子港口今后10年的发展规划,有如下两种方案:方案甲:按现状进行运营.据测算,每年可收入800万元,但由于港口淤积日益严重,从明年开始需投资进行清淤,第一年投资50万元,以后逐年递增20万元.方案乙:从xx年起开始投资4000万元进港口改造,以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力.港口改造需用时4年,在此期间边改造边运营.据测算,开始改造后港口第一年的收入为400万元,在以后的4年中,每年收入都比上一年增长50%,而后各年的收入都稳定在第5年的水平上. (Ⅰ)至少经过多少年,方案乙能收回投资(累计总收益为正数)？(Ⅱ)到哪一年,方案乙的累计总收益超过方案甲？(收益＝收入－投资)21. (本小题满分13分）设斜率为的直线与椭圆交于不同的A、B两点,直线与直线的交点为M,（,且）.(Ⅰ)若点M为弦AB的中点,求的值;(Ⅱ)把题设中的椭圆一般化为,其他条件不变(i)根据(Ⅰ)的运算结果,写出一个关于的一般性结论,并判断与证明它的逆命题是否为真命题; (ii)根据以上探究,在双曲线中写出类似结论22. (本小题满分13分）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若,且在上恒成立,求实数的取值范围.模拟检测试卷(二)数学参考答案及评分标准(理科)一、选择题1．A2．D 3. D4．D 5. B６. A７.D８. A９. B10. A二、填空题11.212.913．30度(二)必做题（14-16题）14．1115．3 16.（1）29（2）2m+4三、解答题17.解：（1）∵，且，∴，∴由正弦定理得.∵，∴，∴，.∵，，∴.（2）∵，∴由余弦定理得，即.∵，∴，∴.∵)1sin251244S bc A bc==≤=，∴当且仅当时，面积有最大值，最大值为.18．解：（1）法一：只考虑第一位发言的老师，则法二：（2 ）设选到用苏教版的女教师的人数为，则，，选到用苏教版的女教师的人数的分布列为：0 1 2 319. 解：（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB ……………………1分∴∵BE=1 ∴，从而…………………………………………………………2分∵⊙的半径为，∴AB是直径，∴AC⊥BC ……………………………………………………3分又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE………………………………………………6分（2）方法一：假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB于F，连结AF∵平面ADC平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角 (9)分设MN=x，计算易得，DN=，MF= ……………………………………………11分故AM===2sin7MNMANAM∠===解得：（舍去）， (11)故，从而满足条件的点存在，且 …………………………12分方法二：建立如图所示空间直角坐标系C —xyz ，则：A （4，0，0），B （0，2，0），D （0，0，4），E （0，2，1），O （0，0，0），则 …………………………………………………9分易知平面ABC 的法向量为，假设M 点存在，设，则， 再设，即，从而…… 10分 设直线BM 与平面ABD 所成的角为，则：22sin cos ,72164AM OB θλ===+……12分 解得， 其中应舍去，而故满足条件的点M 存在，且点M 的坐标为 ……………………………13分 20. 解：（1）设从xx 年开始经过n 年，方案乙的累计总收益为正数。
2021年高三数学(理)10月周考卷(一) 含答案
绝密★启用前2021年高三数学（理）10月周考卷（一）含答案A． B．3 C． D．93．为研究两变量和的线性相关性，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线和，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）A．与重合B．与平行C．与交于点（，）D．无法判定与是否相交4．已知．若且，非同时假命题，则满足条件的的集合为（）A． B．C． D．5．已知双曲线的渐近线为，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C．D．6．设是虚数单位，复数是纯虚数，则实数A. B.2 C. D.7．如果直线与直线互相垂直，则的值等于（）A．2 B．－2 C．2，－2 D．2，0，－28．圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（）.A.外切B.内切C.外离D.内含9．把函数图象上所有点向右平移个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得图象的解析式是，则（）A． B．C． D．10．如图，在正三棱锥中，分别是的中点，，且，则正三棱锥的体积是（）A． B． C． D．x第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题（题型注释）11．_____ ___．12．设全集，集合，，则 ， ．13．定义在上的奇函数满足：当时，，则 ；使的的取值范围是 ． 14．已知函数()sin(),(0,0,||,)2f z A x Ax R πωϕωϕ=+>><∈的部分图象如图所示，则函数的最大值是 .15．已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 . 三、解答题（题型注释）16．．已知圆，直线过定点 A (1，0)． （1）若与圆C 相切，求的方程；（2）若的倾斜角为，与圆C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 标；（3）若与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 面积的最大值17．（14分）已知函数f(x)是 （x R ）的反函数，函数g (x )的图象与函数的图象关于直线x =－2成轴对称图形，设F(x )=f (x )+g (x ). （1）求函数F(x )的解析式及定义域；（2）试问在函数F(x )的图象上是否存在两个不同的点A,B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A,B坐标；若不存在，说明理由.18．用数学归纳法证明：19．设，函数（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值；（Ⅱ）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围．20．在中，所对的边分别是，不等式对一切实数恒成立．（1）求的取值范围；（2）当取最大值，且时，求面积的最大值并指出取最大值时的形状21．已知平面向量．（1）若，求；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围．22．如图，在直角坐标系中，射线OA: x－y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.（1）当AB中点为P时，求直线AB的斜率（2）当AB中点在直线上时，求直线AB的方程.23．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率（）A． B． C． D．参考答案1．C【解析】试题分析：表示集合是集合的子集，所以应该选C.考点：本小题主要考查韦恩图的识别和集合关系的应用.点评：韦恩图在集合的运算中应用很广，要灵活应用. 2．C 【解析】试题分析：由正弦定理得，由二倍角公式及两角和的正弦公式得，，所以，由余弦定理得即22222)(43)(3)(3c a c a ac c a ac c a +-+≥-+=-+=，解得.考点：1、正弦定理、余弦定理；2、基本不等式. 3．C 【解析】试题分析：根据回归直线方程知识可知，利用最小二乘法得到的回归直线方程必过样本中心点，所以直线与交于点。
2021年高三周练 数学理(11.3) 含答案
2021年高三周练 数学理（11.3） 含答案命题：张小波 尹震霞 审核：徐瑢班级 姓名 学号一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．若2{|13},{|log 1}A x R x B x R x =∈≤≤=∈>，则= ． 2．如果复数是实数，则实数 ． 3．已知则的值为 ． 4．在等差数列则公差 ．5．已知向量若，则＝ ．6．从内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为 ． 7．已知变量满足，则的最大值是 ． 8．在中，，，为斜边的中点，则的值为 ． 9．已知数列满足，则数列的前项的和是 ．10．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为 ． 11．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．12．设，若对于任意的，都有满足方程，这时所有取值构成的集合为 ．13．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 ． 14．已知等差数列的前n 项和为，若，，则下列四个命题中真命题的序号为 ． ①； ②； ③； ④ 二、解答题15．(本小题满分14分) 已知函数．（1）设，且，求的值；（2）在中，，，且的面积为，求的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，为上一点，且平面．（1）求证：；（2）如果点为线段的中点，求证：∥平面．17．（本小题满分14分）如图，在半径为的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为．（1）写出体积V关于的函数关系式；（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？18．（本小题满分16分）已知抛物线与椭圆有公共焦点F，且椭圆过点D.(1)求椭圆方程；(2)点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M的切线l，求直线l的方程；(3)过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由.19．（本小题满分 16分）设，已知函数的图象与轴交于两点． （1）求函数的单调区间；（2）设函数在点处的切线的斜率为，当时，恒成立，求的最大值；（3）有一条平行于轴的直线恰好．．与函数的图象有两个不同的交点，若四边形为菱形，求的值．20．（本小题满分 16分） 设函数，数列满足． （1）求数列的通项公式；（2）设()11223344511n n n n T a a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-，若对恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由．数学附加题部分班级 姓名 学号21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,A ．选修4—1：如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD ⊥CP ，垂足为D ．求证：∠DAP ＝∠BAP ．B ．选修4—2： 设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1．（1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．C ．选修4—4：在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－π6)＝a 截得的弦长为23，求实数a 的值．D ．选修4—5：已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab ≥4．【必做题】第22题、第23题22．如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点． （1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B －PC －D 的余弦值．ABD CPO· (第21A 题)PABC DE23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1， 2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X 为摸出的3个球上的数字和． （1）求概率P (X ≥7)；（2）求X 的概率分布列，并求其数学期望E (X )．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为CP 与圆O 相切，所以∠DPA ＝∠PBA ． 因为AB 为圆O 直径，所以∠APB ＝90°，所以∠BAP ＝90°－∠PBA ． 因为AD ⊥CP ，所以∠DAP ＝90°－∠DPA ，所以∠DAP ＝∠BAP ． B ．选修4—2：矩阵与变换 解（1）：设点P （x ，y ）为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为P ′（x ′，y ′）则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝by ．．因为点P ′（x ′，y ′）在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程．所以⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝3．，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝2，b ＝3．ABD CP O·(第21A 题)（2）由（1）得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 33． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为圆C 的直角坐标方程为(x －2) 2＋y 2＝4，直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2a ＝0．所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋2a |2 ＝|1＋a |． 因为圆C 被直线l 截得的弦长为23，所以r 2－d 2＝3．即4－(1＋a )2＝3．解得a ＝0，或a ＝－2．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4．证明：因为a ，b 是正数，所以a 2＋4b 2≥4ab ．所以a 2＋4b 2＋1—ab ≥4ab ＋1—ab ≥24ab ×1—ab ＝4．即a 2＋4b 2＋1—ab≥4．22．（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，3，0)，P (0，0，1)，E (12，0，12)，→AE ＝(12，0，12)，→BC ＝(0，1，0)，→BP ＝(－1，因为→AE ·→BC ＝0，→AE ·→BP ＝0，所以→AE ⊥→BC ，→AE ⊥→BP ．所以AE ⊥BC ，AE ⊥因为BC ，BP ⊂平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ， （2）设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·→CD ＝0，n ·→PD ＝0．因为→CD ＝(－1，2，0)，→PD ＝(0，3，－1)，所以－x ＋2y ＝0，3y －z ＝0． 令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．所以n ＝(2，1，3)是平面PCD 的一个法向量．因为AE ⊥平面PBC ，所以→AE 是平面PBC 的法向量．所以cos<→AE ，n >＝→AE ·n |→AE |·|n |＝5714．由此可知，→AE 与n 的夹角的余弦值为5714．根据图形可知，二面角B －PC －D 的余弦值为－5714． 23．解（1）P (X ＝7)＝C 23C 12 + C 22C 12C 37＝835，P (X ＝8)＝C 22C 13C 37＝335．所以P （X ≥7）＝1135. ………………………4分 （2）P (X ＝6)＝C 12C 13C 12 + C 33C 37＝1335，P (X ＝5)＝C 22C 12 + C 23C 12C 37＝835，P (X ＝4)＝C 22C 13C 37＝335． 所以随机变量X 的概率分布列为X 4 5 6 7 8 P3358351335835335所以E (X )＝4×335＋5×835＋6×1335＋7×835＋8×335＝6．高三数学周末练习（理科）（xx ．11．3）命题：张小波 尹震霞 审核：徐瑢班级 姓名 学号一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1． 若2{|13},{|log 1}A x R x B x R x =∈≤≤=∈>，则= ． 2．如果复数是实数，则实数 ． 3．已知则的值为 ． 4．在等差数列则公差 ． 5．已知向量若，则＝ ．6．从内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为 ． 7．已知变量满足，则的最大值是 9 ． 8．在中，，，为斜边的中点，则的值为 18 ． 9．已知数列满足，则数列的前项的和是 ．10．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为 ． 11．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．12．设，若对于任意的，都有满足方程，这时所有取值构成的集合为 ．13．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 ． 14．已知等差数列的前n 项和为，若，，则下列四个命题中真命题的序号为 ． ①； ②； ③； ④二、解答题15．(本小题满分14分)已知函数．（1）设，且，求的值；（2）在中，，，且的面积为，求的值．1）==，得，于是，因为，所以．（2）因为，由（1）知．因为△ABC的面积为，所以，于是. ①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.由余弦定理得，所以．②由①②可得或于是．由正弦定理得，所以．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，为上一点，且平面．（1）求证：；（2）如果点为线段的中点，求证：∥平面．17．（本小题满分14分）如图，在半径为的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为．（1）写出体积V关于的函数关系式；（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？解：（1）连结OB，∵，∴，设圆柱底面半径为，则，即，所以其中（2）由，得因此在（0，）上是增函数，在（，30）上是减函数。
2021年高三下学期综合测试(一)数学(理)试题
2021年高三下学期综合测试（一）数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A)B=( )1、已知集合A={x∈R|x<5-}，B={1，2，3，4)，则(CRA．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{4}2、已知函数①y=sinx+cosx，②y=sin xcosx，则下列结论正确的是( )A．两个函数的图象均关于点(-，0)成中心对称B．两个函数的图象均关于直线x=-成轴对称C．两个函数在区间(-)上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同3、设f(x)=,则的值为( )A． B． C． D．4、一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下(单位cm)，则该三棱柱的表面积为( )A．(24+8)cm2 B．24cm2 C．cm2 D．cm25、下列四个命题中，正确的是( )A．已知服从正态分布N(0，2)，且P(-2≤≤0)=0.4，则P（>2）=0.2B．设回归直线方程为y=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位C．已知命题p：x∈R，tanx=1；命题q：x∈R，x2-x+1>0．则命题“p﹁q”是假命题D．已知直线l1：ax+3y-1=0,l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是 =-36、给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是第一个数是1，第二个数比第一个数大1，第三个数比第二个数大2，第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )A．i≤30?；p=p+i-1 B．i≤29?；p=p+i+1C．i≤31?：p=p+i D．i≤30?；p=p+i7、已知k∈=(k,1),=(2,4)，若≤,则△ABC是直角三角形的概率是( )A． B． C． D．8、设函数f(x)的定义域为R，若存在常数M>0使对一切实数x均成立，则称函数f(x)为F函数．现给出下列函数①f(x）=x2，②f(x)=③f(x)=x(1-2x)，④f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1x2均有．其中是F函数的序号为( )A.①②③B.②④C. ②③D.③④二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按1题给分，共30分）（一）必做题（9～13题）9、i是虚数单位，的共轭．．复数的数是________10、若实数x，y满足，则s=y-x的最小值为________11、已知()n展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为________12、已知数列{a n}的前n项和S n=n2-7n，且满足16<a k+a k+1<22，则正整数k=_______13、已知函数f(x)=-alnx(a∈R)，若函数f(x)在[1,2]为增函数，且f/(x)在[1，2]上存在零点(f/(x)为f(x)的导函数)，则a的值为___________(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)14、(极坐标与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是(t为参数).设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，则MN的最大值为____________15、(几何证明选讲选做题)如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连结BC与圆0交于F，若∠CFE=()，则∠DEB___________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
2021年高三下学期第一次模拟考试 数学理 含答案
2021年高三下学期第一次模拟考试数学理含答案一、选择题（每小题5分，共50分）1. 设则“”是“复数为纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 设P和Q是两个集合，定义集合，如果，，那么等于（）A. B.C. D.3. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A. 4B.C. 2D.4. 展开式中的常数项为（）A. 1B. 4246C. 4245D. 465. 如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线上，则在下列命题中，错误．．的为（）A. O-ABC是正三棱B. 直线OB∥平面ACDC. 直线AD与OB所成的角是45°D. 二面角D-OB-A为45°6. 某同学在电脑上进行数学测试，共10道题，答完第n题（n＝1，2，3，…，10）电脑都会自动显示前n题的正确率，则下列关系不可能成立的是（）A.B. 且C.D.7. 已知，对以下不等式①②③④⑤，其中成立的是（）A. ①②⑤B. ②③④C. ②③⑤D. ③④⑤8. 已知函数（a、b为常数，）在处取得最小值，则函数是（）A. 奇函数且它的图象关于点对称B. 奇函数且它的图象关于点对称C. 偶函数且它的图象关于点对称D. 偶函数且它的图象关于点对称9. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.10. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。
沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。
类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。
向右为顺时针，向左为逆时针）。
设顶点p（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则关于f（x）的最小正周期T及y＝f（x）在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积S的正确结论是（）A. B.C. D.二、填空题（每小题5分，共25分）11. 方程的根，则k＝________。
2021-2022年高三下学期周考(4.17)数学(理)试题 含答案
2021-2022年高三下学期周考（4.17）数学（理）试题 含答案本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数（i 是虚数单位），则=A.-1+iB. -1-iC.1+iD. 1-i2.已知集合A=，B=，则=A.(-3，3)B.(-3，6)C.(-1，3)D.(-3，1)3.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数的最小值为A.1B.3C.D. -194.函数=（,）的部分图象如右上图所示，则的值为A. B. C. D.-15．程序框图如右图，当输入x为xx时，输出的y的值为A. B.1 C. 2 D. 46.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确的结论的编号为A.①③B. ①④C.②③D.②④7. 过点A（0,1）作直线，与双曲线有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为A. 0B.2C. 4D. 无数8如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（15,2）为A. B. C. D.9.已知函数的图像关于直线x=-2对称，且当x时，，若，b=，c=f（2），则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB. b>a>cC.c>a>bD.a> c>b10.某几何体的三视图如图所示图，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A.4B.C.D.1211.A,B,C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若=，则的取值范围是A.（0,1）B.（1，+）C.D. （-1,0）12.如图所示，一个圆柱兵乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球筒的上底面和下底面分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）。
2021年高三数学下学期一模考试试题 理
2021年高三数学下学期一模考试试题 理（满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（共60分）一.选择题：(5′×12=60′)1.已知A=｛x|x≥k｝，B=｛x|<1｝，若AB 则实数k 的取值范围为（ ） A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(2,+∞)D.[2,+∞)2.复数的共轭复数=（ ） A.2+ B.2- C.1+2 D.1-23.设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时恒有f(x+2)=f(x)，当x ∈[0,2]时， f(x)=ex1，则f(xx)+f(-xx)=（ ） A.1-e B.e-1 C.-1-e D.e+14.在锐角三角形ABC 中，BC=1， B=2A ，则的值为（ ） A.6 B.4 C.2 D.25.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为xx ， 则输出的值为（ ） A.3 B.5 C.6 D.96.a=b 是直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知向量与的夹角为120°，||=3，|+|=，则||=（ ） A.5 B.4 C.3 D.18.设Sn 为等差数列｛an ｝的前n 项和，给出四个结论： (1)a2+a8≠a10 (2)Sn=an2+bn(a≠0)(3)若m,n,p,q ∈N+，则am+an=ap+aq 的充要条件是m+n=p+q (4)若S6=S11，则a9=0其中正确命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.49.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，若直线y=2x 与双曲线的 一个交点的横坐标为c ，则双曲线的离心率为 A.+1 B.+1 C.+ D.10.若a>0,b>0，lga+lgb=lg(a+b)，则a+b 的最小值为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2 11.若二项式()6的展开式中的常数项为m ，则=（ ） A. B.- C. D.-12.定义在[0,+∞)的函数f(x)，对任意x≥0，恒有f(x)>f´(x)，a=，b=， 则a 与b 的大小关系为（ ）xa =1=i b a =1+=i i xb ≠ab -=11i1 3 356 57 11 11 79 18 22 18 9— — — — — — —A.a>bB.a<bC.a=bD.无法确定第Ⅱ卷（共90分） 二．填空题：(5′×4=20′)13.一个类似杨辉三角形的数阵： 则第九行的第二个数为14.某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中 至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为 15.已知满足条件的动点(x,y)所在的区域D 为一直角三角形区域， 则区域D 的面积为16.已知函数f(x)对一切实数a 、b 满足f(a+b)=f(a)·f(b)，f(1)=2，(且f(x)恒非零)，数列｛an ｝的通项an=(n ∈N+)，则数列{an}的前n 项和= 三.解答题: （12′×5+10′=70′）17.已知函数f(x)=sin(x+)cos(x+)+sin2(x+)(0<φ<)的图象经过点(,1) (1)求f(x).(2)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，a=，S △ABC=2，角C 为锐角且 f()=，求C 边长18.某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为，m ，n(m>n)，设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为，都未取得优秀成绩的概率为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
高三数学下学期一调考试试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学下学期一调考试试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分,以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕U =R ，集合{}2|2A y y x x R ==+∈，，集合(){}|lg 1B x y x ==-，那么阴影局部所示集合为〔〕 A.[]12，B.()12，C.(12]，D.[12)，【答案】B 【解析】 试题分析：由函数,得到,由函数,得到,即,；全集,那么.所以B 选项是正确的．考点：集合的运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2.复数3a iza i+=+-(其中a R ∈，i 为虚数单位)，假设复数z 的一共轭复数的虚部为12-，那么复数z 在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数z ，再求得其一共轭复数，令其虚部为12-，解得2a =，代入求解即可. 【详解】由题意得()()()()()331313331010a i i a i a ia z a a i i i ++++-=+=+=+--+， ∴()31311010a ia z +-=-，又复数z 的一共轭复数的虚部为12-， ∴31102a +=，解得2a =. ∴5122z i =+，∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.应选A.【点睛】此题考察了复数的乘法运算，考察了复数的根本概念及复数的几何意义，属于根底题. 3.假设2,,aa a ab ac a π-===，那么,,a b c 的大小关系为〔〕A.c b a >>B. b c a >>C.b a c >>D.a b c >>【答案】B 【解析】分析：首先确定a 的范围，然后结合指数函数的单调性整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()2210,1a ππ-==∈，即1a <函数()x f x a =单调递减，那么1a a a >，即a a a >，由于aa a >，结合函数的单调性可得：aa a a a <，即bc >，由于01a <<，故1aa <，结合函数的单调性可得：1aa a a >，即c a >，综上可得：,,a b c 的大小关系为b c a >>. 此题选择B 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或者指数不一样，不能直接利用函数的单调性进展比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进展指数幂的大小比较时，假设底数不同，那么首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进展判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4.函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是〔〕 A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、C ，再判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上函数值与0的大小，即可得出答案.【详解】解：因为21()1cos cos 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以()()111()cos cos cos 111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e --⎛⎫----=-===- ⎪+++⎝⎭，所以函数()f x 是奇函数，可排除A 、C ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，可排除D ； 应选：B.【点睛】此题考察函数表达式判断函数图像，属于中档题.5.吸烟有害安康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖〞，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，假设取到口香糖那么吃一支口香糖，不吸烟；假设取到香烟，那么吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性一样，那么“口香糖吃完时还剩2支香烟〞的概率为〔〕A.15 B.815 C.35D.320【答案】D 【解析】 【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟〞即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟〞说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为123,,A A A ，口香糖为123,,B B B ，进展四次取物，根本领件总数为：6543360⨯⨯⨯=种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟〞前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种 糖、烟、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种 糖、糖、烟、糖：323118⨯⨯⨯=种包含的根本领件个数为：54， 所以，其概率为54336020= 应选：D【点睛】此题考察古典概型，解题关键在于弄清根本领件总数，和某一事件包含的根本领件个数，其本质在于计数原理的应用.6.△ABC 外接圆的圆心为O ，假设AB=3，AC=5，那么AO BC ⋅的值是〔〕 A.2 B.4C.8D.16【答案】C 【解析】 【分析】可画出图形，并将O 和AC 中点D 相连，O 和AB 的中点E 相连，从而得到,OD AC OE AB ，根据数量积的计算公式及条件可得出259·,?22AO AC AO AB ==，而()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-，即可得出AO BC ⋅的值．【详解】如图，取AC 中点D,AB 中点E,并连接OD,OE, 那么,OD AC OE AB ；应选C.【点睛】解题的关键是要纯熟的运用数量积的公式cos a b a b θ⋅=以及三角形法那么．7. ①假设p q ∨p q ∧②0x ∀＞，有1xe ≥〞的否认为“00x ∃≤，有01x e ＜〞；③“平面向量a 与b 的夹角为钝角〞的充分不必要条件是“•0a b <〞；④在锐角三角形ABC 中，必有sin sin cos cos A B A B +>+；⑤{}n a 为等差数列，假设()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，那么m n p q +=+〕 A.1 B.2C.3D.4【答案】A 【解析】 【分析】 “•0a b<，夹角有可能为π判断③；由2A B π+>，利用正弦函数的单调性判断④；根据特例法判断⑤.【详解】对于①，假设p q ∨p 与q p q ∧对于②:0p x ∀＞，有1x e ≥〞,那么p ⌝为00x ∃>，有01x e ＜,故错误.对于③，假设•0a b<平面向量a ，b的夹角为可能为π，故错误.对于④，在锐角三角形ABC 中，必有02A B π<+<,即,22A B B A ππ>->-，所以sin cos sin cos A B B A ，>>，所以sin sin cos cos A B A B +>+，故正确；对于⑤，在等差数列{}n a 中，假设,n a t t =为常数，那么1234a a a a +=+满足，()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，但是1234+=+不成立，即m n p q +=+不成立，故错误，应选A. 【点睛】.. 8.定义在()0,∞+上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()()'2f x f x f x <<，那么()()1:2f f 的取值范围为〔〕A.(),2e eB.11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭C.()3,e eD.211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】令()()()()2,xxf x f xg xh x ee==，那么()()()2'2'0xf x f x h x e-=<，()()()''0xf x f xg x e -=>，()()()()12,12g g h h ∴，()()()()()()22421212111,,2f f f f f e e e e e f e∴∴<<，选D ．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联络条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中假设遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目的函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造适宜的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状〞变换不等式“形状〞；②假设是选择题，可根据选项的一共性归纳构造恰当的函数. 9.点(0,2)A ，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，那么:FM MN =〔〕A.2B.1:2C.1:D.1:3【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线C 的焦点F 的坐标，从而得到AF 的斜率k ＝-2．过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM |＝|PM |．Rt△MPN 中，根据tan∠NMP ＝﹣k ＝2，从而得到|PN |＝2|PM |，进而算出|MN |=PM |，由此即可得到|FM |：|MN |的值．【详解】∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 〔1，0〕，点A 坐标为〔0，2〕， ∴抛物线的准线方程为l ：x ＝﹣1，直线AF 的斜率为k ＝﹣2， 过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM |＝|PM |， ∵Rt△MPN 中，tan∠NMP ＝﹣k ＝2，∴PN PM=2，可得|PN |＝2|PM |，得|MN|==|PM |，因此可得|FM |：|MN |＝|PM |：|MN |＝1．应选C ．【点睛】此题给出抛物线方程和射线FA ，求线段的比值，着重考察了直线的斜率、抛物线的定义、HY 方程和简单几何性质等知识，属于中档题．10.定义12nn p p p +++为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数〞，假设正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数〞为121n +，又14n n a b +=，那么12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=〔〕 A.111 B.112C.1011D.1112【答案】C 【解析】 【分析】 由得()1221n n a a a n n S +++=+=，求出n S 后，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-即可求得通项n a ，最后利用裂项法即可求和.【详解】由得12121nna a n a =++++， ∴()1221n n a a a n n S +++=+=，当2n ≥时，141nn n a S S n -=-=-，验证知当1n =时也成立，14n n a b n +∴==，11111n n b b n n +∴=-⋅+，应选：C【点睛】此题是数列中的新定义，考察了n S 与n a 的关系、裂项求和，属于中档题. 11.对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，那么实数a 的取值范围是() A.24251(,]e e e- B.4253[,)e e C.425(0,]eD.24253[,)e e e- 【答案】B 【解析】 【分析】 原方程化为21ln y x y e a x -=+，令()[]ln ,1,xf x a x e x=+∈，令()[]21,1,5y g y y e y -=∈-，可得()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，利用导数研究函数()g y 的单调性，利用数形结合可得41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得到关于a 不等式组，解出即可.【详解】0x ≠，∴原式可化为21ln y xy e a x-=+， 令()[]ln ,1,xf x a x e x=+∈时()()1ln '0,xf x f x x-=≥递增，故()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，令()[]21,1,5y g y y e y -=∈-，故()()1211'22y y y g y y e y e y y e ---=⋅-=-，故()g y 在()1,0-上递减，在()0,2上递增，在()2,5上递减，而()()()()244251,00,2,5ge g g g e e-====， 要使总存在三个不同的实数[]1,5y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，即41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故42514a e a e e ⎧≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，故4253a e e ≤<，实数a 的取值范围是4253,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，应选B. 【点睛】41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 12.如图，在正方体1111ABCDA B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线1A H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为〔〕 A.①③ B.②④C.①②④D.①②③【答案】D 【解析】 【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．【详解】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1H ⊥平面AB 1D 1，垂足为H ， 连接A 1C ，可得A 1C ⊥AB 1，A 1C ⊥AD 1，即有A 1C ⊥平面AB 1D 1， 直线A 1H 与直线A 1C 重合，直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等，均为2，故①正确；直线A 1H 与该正方体各面所成角相等，均为arctan22，故②正确；过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形，故③正确； 垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，截该正方体， 所得截面为三角形或者六边形，不可能为五边形．故④错误． 应选D ．【点睛】此题考察线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考察数形结合思想和空间想象才能，属于中档题．二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点12,O O 分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，那么点P 到点12,O O 的间隔都大于1的概率为___． 【答案】13【解析】【详解】到点12,O O 间隔为1的点是半径为1的球面，所以所求概率为431=1-23=1V P V ππ=-球柱14.在数列{a n }中，假设函数f 〔x 〕＝sin 2x 22x 的最大值是a 1，且a n ＝〔an +1﹣a n ﹣2〕n ﹣2n 2，那么a n ＝_____．【答案】a n ＝2n 2+n【解析】 【分析】()sin 223sin(2)f x x x x ϕ=+=+，可得13a =．由条件推出121n na a n n+-=+，然后求解数列的通项公式．【详解】解：()sin 223sin(2)f x x x x ϕ=+=+， 当222x k πϕπ+=+，k Z ∈，()f x 获得最大值3，13a ∴=．21(2)2n n n a a a n n +=---，21(1)22n n na n a n n +∴=+++，121n na a n n+-=+， n a n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以131a =为首项，2为公差的等差数列，2[32(1)]2n a n n n n ∴=+-=+，故答案为：22n n +．【点睛】此题考察了数列递推关系、三角函数求值、法那么求积，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，方得积〞假设把以上这段文字写成公式就是S =，一共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边．假设sin 2sin cos C A B =，且2b ，2，2c 成等差数列，那么ABC 面积S 的最大值为____【解析】 【分析】运用正弦定理和余弦定理可得ab =，再由等差数列中项性质可得2224a bc ==-，代入三角形的面积公式，配方，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．【详解】sin 2sin cos C A B =，∴2cos c a B =，因此2222,2a c b c a a b ac+-=⨯=∵2b ，2，2c 成等差数列，∴224b c +=，因此S ===，当285c=，即c =时，S 获得最大值12=，即ABC 面积S . 【点睛】此题考察三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及等差数列中项性质，转化为求二次函数的最值是解题的关键，属于中档题．16.过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中1,C 3C 有一个一共同的焦点，假设10MF MN +=，那么曲线1C 的离心率为________．【答案】12【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为2F ，根据曲线1C 与3C 有一个一共同的焦点，得到抛物线方程，再根据O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，利用中位线定理，可得，2//OM NF ，22NF a =，21NF NF ⊥，12NF b =.设(),Nx y ，根据抛物线的定义可得2,2x c a x a c +=∴=-，过1F 点作x 轴的垂线，点(),N x y 到该垂线的间隔为2a ，然后在1ANF ∆中，利用勾股定理求解.【详解】如下列图：设双曲线的右焦点为2F ，那么2F 的坐标为(),0c ，因为曲线1C 与3C 有一个一共同的焦点， 所以24y cx =，因为O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点， 所以OM 为12NF F ∆的中位线， 所以2//OM NF ，因为OM a =，所以22NF a =又21NF NF ⊥，22,FF c =所以12NF b =.设(),N x y ，那么由抛物线的定义可得2,2x c a x a c +=∴=-， 过1F 点作x 轴的垂线，点(),Nx y 到该垂线的间隔为2NA a =，在1ANF ∆中，由勾股定理即得22244y a b +=，即()()2224244c a c a c a -+=-，即210e e --=，解得e =故答案为：12【点睛】此题主要考察双曲线和抛物线的几何性质，还考察了数形结合的思想和运算求解的才能，属于中档题.三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．〕 17.如图，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4c =，2b =，2cos c C b =，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．〔1〕求线段AD 的长；〔2〕求ADE ∆的面积．【答案】〔1〕AD =2【解析】试题分析：〔I 〕在△ABC 中，利用余弦定理计算BC ，再在△ACD 中利用余弦定理计算AD ；〔II 〕根据角平分线的性质得到2ABE ACE S AB S AC ∆∆==，又ABE ACE S BES EC∆∆=，所以2BEEC=，所以1433CE BC ==，42233DE =-=，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果.试题解析：〔1〕因为4c =，2b =，所以1cos 24b Cc ==． 由余弦定理得22224161cos 244a b c a C ab a +-+-===，所以4a=，即4BC =，在ACD ∆中，2CD =，2AC =，所以2222cos 6AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠=，所以AD =．〔2〕因为AE 是BAC ∠的平分线，所以1sin 221sin 2ABEACEAB AE BAES AB S AC AC AE CAE ∆∆⋅⋅∠===⋅⋅∠，又ABE ACE S BES EC∆∆=，所以2BEEC=， 所以1433CEBC ==，42233DE =-=， 又因为1cos 4C=，所以sin C ==，所以1sin 2ADESDE AC C ∆=⨯⨯⨯=18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．〔Ⅰ〕在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF平面PCE ，并说明理由；〔Ⅱ〕当二面角D FC B --的余弦值为4时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．【答案】〔1〕见解析〔2〕60︒ 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，得到故//AE FQ 且AE FQ =，进而得到//AF EQ ，利用线面平行的断定定理，即可证得//AF 平面PEC .〔Ⅱ〕以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，求得平面FBC 的法向量为m ，和平面DFC 的法向量n ，利用向量的夹角公式，求得a =PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，即可求解. 【详解】〔Ⅰ〕在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点．理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQCD =， //AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC .〔Ⅱ〕由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =， 所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，那么由题意知()0,0,0D，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)B ，()0,2,FC a =-，()3,1,0CB =-，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =，那么由00m FC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得200y az y -=⎧⎪-=，令1x =，那么y=z =所以取1,3,m⎛= ⎝⎭，显然可取平面DFC 的法向量()1,0,0n =，由题意：cos ,4m n ==，所以a=由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ，所以PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，易知在Rt PBD ∆中，tan PDPBD a BD∠===60PBD ∠=︒， 所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60︒.【点睛】此题考察了立体几何中的面面垂直的断定和直线与平面所成角的求解问题，意在考察学生的空间想象才能和逻辑推理才能；解答此题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的互相转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考察了分析问题和解答问题的才能.19.如图，A 为椭圆22142x y +=的左顶点，过A 的直线l 交抛物线()220y px p =>于B 、C 两点，C 是AB 的中点.〔1〕求证：点C 的横坐标是定值，并求出该定值；〔2〕假设直线m 过C 点，且倾斜角和直线l 的倾斜角互补，交椭圆于M 、N 两点，求p 的值，使得BMN∆的面积最大.【答案】(1)证明见解析，定值1.(2)928p =【解析】 【分析】〔1〕由题意可求()2,0A -，设()11,B x y 、()22,C x y ，l ：2x my =-，联立直线与抛物线，利用C是AB 的中点得122y y =，计算可得点C 的横坐标是定值；〔2〕由题意设直线m 的方程为213pm xm y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，联立方程，利用C 是AB 的中点，可得BMN AMN S S ∆∆=，根据三角形的面积公式以及根本不等式可求BMN ∆的面积最大值，由取等条件解得p 的值. 【详解】〔1〕()2,0A-，过A 的直线l 和抛物线交于两点，所以l 的斜率存在且不为0，设l ：2x my =-，其中m 是斜率的倒数，设()11,B x y 、()22,C x y ，满足222x my y px =-⎧⎨=⎩，即2240y pmy p -+=，>0∆且121224y y pm y y p+=⎧⎨=⎩，因为C 是AB 中点，所以122y y =，所以223pm y =，292m p =，所以222222133pm p x m m =⋅-=-=，即C 点的横坐标为定值1. 〔2〕直线m 的倾斜角和直线l 的倾斜角互补，所以m 的斜率和l 的斜率互为相反数.设直线m 为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即4x my =-+，联列方程224240x my x y =-+⎧⎨+-=⎩得()2228120m y my +-+=， ()()222848216960m m m ∆=-+=->，所以26m >；且12212282122m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=，设()2,0A -到MN的间隔d=12MNy =-，12132AMNS MN d y y ∆=⋅⋅=-=26t m =-，AMN S ∆==≤=8t =，214m =时取到，所以9142p =，928p =. 法二：因为B 点在抛物线()220y px p =>上，不妨设2,2t B t p ⎛⎫⎪⎝⎭，又C 是AB 中点，那么24,42t p t C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：224224t t pp p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：28tp =，∴8414C p px p-==为定值.〔2〕∵直线l 的斜率()02126t t k -==--，直线m 斜率'6t k =-， ∴直线m 的方程：()126t t y x -=--，即64x y t =-+，令6m t=代入椭圆方程整理得： ()2228120my my +-+=，设()11,B x y 、()22,C x y ，下同法一.【点睛】此题考察直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的间隔公式，考察三角形的面积的最值求法，化简整理的运算才能，属于中档题．20.某一共享单车经营企业欲向甲投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙进展单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A ，B 两个调查小组分赴全不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进展了数据统计，详细情况如下表：〔1〕先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否到达35岁〞抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄到达35岁〞的被抽个体数分配到“经常使用单车〞和“偶然使用单车〞中去.①求这60人中“年龄到达35岁且偶然使用单车〞的人数；②为听取对开展一共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄到达35岁且偶然使用单车〞的人员召开座谈会.会后一共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份〔其余人员仅赠送骑行优惠券〕.参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；〔2〕从统计数据可直观得出“是否经常使用一共享单车与年龄〔记作m岁〕有关〞的结论.在用HY性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较2K的观测值的大小加以说明.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】(1)①9人②见解析；(2)25m=【解析】【分析】〔1〕①根据分层抽样要求，先求从300人中抽取60人，其中“年龄到达35岁〞的人数60100300⋅，再求“年龄到达35岁〞中偶然使用单车的人数45 20100⋅；(2)对年龄m是否到达35,m是否到达25对数据重新整理〔2⨯2联表〕，根据公式计算相应的2K，比较大小确定.【详解】〔1〕①从300人中抽取60人，其中“年龄到达35岁〞的有6010020300⨯=人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车〞进展名额划分，其中“年龄到达35岁且偶然使用单车〞的人数为45209100⨯=. ②A 组这4人中得到礼品的人数X 的可能取值为0，1，2，3，相应概率为：()35395042C P X C ===，()12453910121C C P X C ===， ()2145395214C C P X C ===，()34391321C P X C ===.故其分布列为∴()0123422114213EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 〔2〕按“年龄是否到达35岁〞对数据进展整理，得到如以下联表：35m =时，由〔1〕中的列联表，可求得2K 的观测值 ()22130012545755530015002520010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯.25m =时，按“年龄是否到达25岁〞对数据进展整理，得到如以下联表：可求得2K 的观测值()22230067871133330021004920010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. ∴21k k >，欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m =.【点睛】此题考察分层抽样和HY 性检验，随机变量的分布列及数学期望，考察统计知识理解掌握程度、对数据的处理才能及分析推理解决实际问题的才能.2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.〔Ⅰ〕设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； 〔Ⅱ〕假设(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围【答案】〔Ⅰ〕当12a ≤时，()(0)1g x g b ≥=-；当122ea <≤时，()22ln(2)g x a a ab ≥--； 当2ea>时，()2g x e a b ≥--.〔Ⅱ〕a 的范围为(0,1). 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕易得()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--，再对分a 情况确定()g x 的单调区间，根据()g x 在[0,1]上的单调性即可得()g x 在[0,1]上的最小值.〔Ⅱ〕设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，注意到(0)0,(1)0f f ==.联络到函数的图象可知，导函数()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x ，即()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点.由〔Ⅰ〕可知，当12a ≤及2e a ≥时，()g x 在(0,1)122e a <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，且必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：1b e a =--，代入这两个不等式即可得a 的取值范围.试题解答：〔Ⅰ〕()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--①当0a ≤时，()20x g x e a -'=>，所以()(0)1g x g b ≥=-.②当0a >时，由()20x g x e a -'=>得2,ln(2)x e a x a >>.假设12a>，那么ln(2)0a >；假设2ea >，那么ln(2)1a >. 所以当102a <≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)1g x gb ≥=-.当122ea <≤时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2g x g a a a ab ≥=--.当2ea>时，()g x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2g x g e a b ≥=--. 〔Ⅱ〕设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，那么由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减.那么()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负. 故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x . 同理()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x . 所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由〔Ⅰ〕知，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 当2ea≥时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 所以122e a <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增， 因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：12a b e +=-<，有(0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->.解得21e a -<<.当21e a -<<时，()g x 在区间[0,1]内有最小值(ln(2))g a . 假设(ln(2))0g a ≥，那么()0([0,1])g x x ≥∈， 从而()f x 在区间[0,1]上单调递增，这与(0)(1)0f f ==矛盾，所以(ln(2))0g a <.又(0)20,(1)10g a e g a=-+>=->，故此时()g x 在(0,ln(2))a 和(ln(2),1)a 内各只有一个零点1x 和2x .由此可知()f x 在1[0,]x 上单调递增，在1(,x 2)x 上单调递减，在2[,1]x 上单调递增. 所以1()(0)0f x f >=，2()(1)0f x f <=，故()f x 在1(,x 2)x 内有零点. 综上可知，a 的取值范围是(2,1)e -. 【考点定位】导数的应用及函数的零点.〔二〕选考题，总分值是一共10分，请考生在22，23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分．答时需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫<⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.〔Ⅰ〕求曲线2C 的极坐标方程； 〔Ⅱ〕假设直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ)2sin ρθ=(Ⅱ)+324【解析】 【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=，设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ，所以00x y y x =⎧⎨=⎩又因为220020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈，设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ=()R ρ∈的对称点为()00,ρθ，所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+<当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆+34【点睛】此题考察轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是可以明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解. 23.函数()121f x ax x =++-〔1〕当1a =时，求不等式()3f x >的解集；〔2〕假设02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 【答案】〔1〕(,1)(1,)-∞-+∞；〔2〕1．【解析】 【分析】(1)当1a =时，求出分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，然后可以选择数形结合求解或者选择解不等式组；(2)当02a <<时，化简分段函数得可以得到函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，然后利用最值分析法，即可求出参数a 的最小值.【详解】〔1〕当1a =时，()121f x x x =++-，即()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，解法一：作函数()121f x x x =++-的图象，它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -，所以，()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．解法2：原不等式()3f x >等价于133x x <-⎧⎨->⎩或者11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩或者1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得：1x <-或者无解或者1x >， 所以，()3f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．〔2〕1102,,20,202a a a a <<∴-+-<． 那么()()()()12,,1112122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩所以函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以当12x =时，()f x 获得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．因为对x R ∀∈，()32f x a ≥恒成立， 所以()min3122a f x a =+≥． 又因为0a >，所以2230a a +-≥，解得1a ≥〔3a ≤-不合题意〕．所以a的最小值为1．【点睛】此题第一问考察通过利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进展求解的题目，求解的过程既可用数形结合，也可以用不等式组求解，属于简单题；第二问考察含参绝对值不等式求解参数的最值问题，因为此题的参数不容易别离，所以，选择最值分析法进展讨论求解，难度属于中等.。
2021年高三下学期第一次联考数学(理)试题 含答案
是否输入 输出 开始i nn2021年高三下学期第一次联考数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则.（ ） A ．B ．C ．D ．R2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（ ） A ． B ． C ． D ．3．式子的最小值为（ ） A.B. C.D.4．如图，在正方形内，阴影部分是由两曲线围成，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知中心在原点的双曲线的离心率等于,其中一条准线方程，则双曲线 的方程是（ ）A .B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图,若输入的值为5, 则输出s 的值为（ ） A ． 9 B ．10 C ．11 D ．127．已知等差数列的前项和为，满足， 且，则中最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐名同学（乘同一辆车的名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名同学中恰有名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ） A ．种 B ．种 C ．种 D ．种 9．展开式中常数项为（ ）A ．252B ．－252C ．160D ．－160 10．命题)40(sin 1tan tan 1sin :πθθθθθ<<-=-p 无实数解，命题18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点E是棱PC的中点，平面与棱交于点．（1）求证：AB∥EF；（2）若，且平面平面，求平面P AF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．19．某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．（1）恰有2人选修物理的概率；（2）选修科目个数的分布列及期望．20．已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．（1）求抛物线C的标准方程；（2）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．. A ED C B O 第22题21. 已知函数.（1）当时，证明：；（2）当，且时，不等式成立，求实数k 的值.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,延长BC 到D 使, 过C 作圆O 的切线交AD 于E .若,.（1）求证：; （2）求BC 的长. 23．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为(t 为参数),C 在点处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求l 的极坐标方程；（2）过点任作一直线交曲线C 于两点，求的最小值.24．选修4-5：不等式选讲： 设函数.（I ）证明：；（II ）若，求的取值范围.输入 开始n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B BCBBCBAADDD第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
2021年高三周五第一次考试数学(理)试题(带解析)
2021年高三周五第一次考试数学（理）试题（带解析）考试范围：三角函数、解三角形陳能玉满分：150分时间：120分钟第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
C1．在△ABC中，设命题命题q:△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】：q:△ABC是等边三角形A2．设函数为A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，最小正周期为D．非周期函数【答案】A【解析】：2sin3,sin30()sin3|sin3|0,sin30x xf x x xx≥⎧=+=⎨<⎩，周期不变B3．函数在内A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两一个零点D．有无穷个零点【答案】B【解析】：令，，则它们的图像如图故选BB4．若函数，，则的最大值为A．1 B．C．D．D5．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则A．B．C．D．【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐标化。
约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C （0,3）利用向量的夹角公式得 ，解得。
C6．若，，， ，则A ．B ．C ．D ．【答案】 C 【解析】：1333399=⨯+== 故选C D7．如图，在△中，是边上的点，且，则的值为A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】设,则由题意可得: ,在中,由余弦定理得：=，所以=，在△中，由正弦定理得，，所以，解得=，故选D.D8．在△OAB 中，O 为坐标原点，，则△OAB 的面积达到最大值时，A ．B ．C ．D ． D9．函数的值域为A ．B ．C ．D ． 解：的定义域为则，令，则sin sin 2sin()3πθθθθ==+因，则 . C10．如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数， ，的图像如下。
2021年高三下学期第一次周末综合测试(理科数学)
2021年高三下学期第一次周末综合测试（理科数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
请将唯一正确答案的序号填在答题卷的答案表中。
1．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )(A) (M ∩P) ∩s (B) (M ∩P)∪S(C) (M ∩P) ∩C I S (D) (M ∩P)∪C I S2．曲线关于( )(A)直线轴对称 (B)直线y=-x 轴对称(C)点中心对称 (D)点中心对称3．函数在区间[a,b]上是增函数，且f(x ）=-M ，f(b ）=M ，则函数在[a,b]上 ( )(A)是增函数 (B)是减函数(C)可以取得最大值M (D)可以取得最小值-M4．若f(x)sinx 是周期为的奇函数，则f(x)可以是 ( )(A) sinx (B) cosx (C) sin2x (D) cos2x5．若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水 倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 ( )(A) (B) 6cm (C) (D) 6.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则的值为( )(A) 1 (B)-1 (C) 0 (D) 27．直线截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为 ( )(A) (B) (C) (D)8．已知两点，给出下列曲线方程：①4x+2y-l=O ②x 2+y 2=3 ③ ④在曲线上存在点P 满足的所有曲线方程是 ( )(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)②③④二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分．9．离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为的椭圆的标准方程为10.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有11．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为12.数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．13.a、是两个不同的平面，m、n是平面a及之外的两条不同直线，给出四个论断：①mn ②a ③n ④ma以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确一个命题：.14.（坐标系与参数方程选讲选做题）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
2021年高三下学期第一次模拟考试数学理试题 含答案
2021年高三下学期第一次模拟考试数学理试题 含答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，，则满足的集合有（A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）8 个 （2）若复数是纯虚数，则实数等于（A ） （B ）2（C ） （D ）－2（3）已知为等差数列，其前n 项和为，若，，则公差d 等于（A ）1 （B ） （C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）定义在R 上的函数既是奇函数又是周期函数， 若的最小正周期是，且当时， ，则的值为（A ） （B ） （C ） （D ）（6）已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间 几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是（A ） （B ） （C ） （D ） （7）下列叙述中，正确的个数是①命题p ：“”的否定形式为：“”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若，则O 是△ABC 的垂心；③“M ＞N ”是“”的充分不必要条件；④命题“若，则”的逆否命题为“若，则”．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（8）有以下四种变换方式： ①向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平行移动个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平行移动个单位长度．22 2 正视图 侧视图 俯视图 （第6题）其中能将函数的图象变为函数的图象是（）（A）①和④（B）①和③（C）②和④（D）②和③（9）用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（A）144 （B）120 （C）108 （D）72（10）已知函数（k∈R），若函数有三个零点，则实数k的取值范围是（A）k≤2（B）－1＜k＜0 （C）－2≤k＜－1 （D）k≤－2（11）已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A 在抛物线上且，则△AFK的面积为（A）4 （B）8 （C）16 （D）32（12）已知，，且.现给出如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确结论的序号是( )（A）①③⑤（B）①④⑥（C）②③⑤（D）②④⑥第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2021-2022年高三下学期周练数学(理)试题
2021-2022年高三下学期周练数学（理）试题班级 姓名 成绩 考生注意： 1．考试时间120分钟．答题写在规定的区域． 2．本试卷共有23道试题，满分150分．一、填空题：本大题有14小题，每小题4分，共56分．请将答案填写在题中的横线上．1．设集合，，则 .2. 已知复数满足，且，则实数的值是 .3. 不等式()()21122log 215log 13x x x -->+的解集为 .4．由组成没有重复数字且与不相邻的五位数的个数是 . 5. 如果执行右面的程序框图，那么输出的 ． 6. 若的二项展开式中，所有项的系数之和为，则展开式中的常数项是 . 7. 过点的直线的参数方程为（为参数），直线的 极坐标方程为，若，则等于 .8.已知函数2()(2f x x b x a b =++-是偶函数，则函数图像与轴 交点的纵坐标的最大值是 .9. 在棱锥中，侧棱两两垂直，为底面上一点，若到三个侧面的距离分别为，则以线段为直径的球的表面积为 . 10. 若对任意的实数，2sin 2cos 20x k x k +--<恒成立，则实数的取值范围是 .11. 在正项等比数列中，，则的最小值为 . 12. 对任意，函数满足1(1)2f x +=，设，数列的前项的和为，则 ．13. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.现有平面内曲线上的每一点绕原点沿沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线， 则曲线的方程是 .14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：① 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ② 到两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线；③ 到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线； ④ 到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形．其中正确的命题是____________（写出所有正确命题的序号）①③④二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．15． 设，那么“”是“”的 （ ）B （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 16.已知且，函数，，在同一坐标系中的图象可能是（ ）CA ．B ．C ．D ．17．已知函数则函数的零点个数是 （ ）CA ．B ．C ．D ．无穷多个 18. 点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离． 已知点，曲线：，那么平面内到曲线的距离与到点的距离之差的 绝对值为的点的轨迹是 （ ）AA ．一条直线，一条射线，一条线段B ．二条射线C ．一条直线，一条线段D ．一条直线，一条射线三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分） 已知函数2()cos 3sin cos f x x x x ωωω=+ 的最小正周期为. （1）若，求的值；（2）求函数的单调区间及其图象的对称轴方程. 解：（1） 13()(1cos 2)sin 22f x x x =++ωω, 因为最小正周期为,所以，解得, 由题意得，sin 21,22662k πππθθπ⎛⎫+=-+=- ⎪⎝⎭， 所以. （2）分别由222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Z ππππ+≤≤+∈………………8分所以,函数的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈；的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈ OO O O x xxxyyyy1 11 11111由得.所以，图象的对称轴方程为. 20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）高山先生家住小区，工作在中学，他从家开车到中学上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走路线，求遇到红灯次数的分布律和数学期望. 解：（1）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=． 所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为．（2）依题意，的可能取值为0，1，2．331(=0)=(1)(1)4510P ξ-⨯-=，33339(=1)=(1)(1)454520P ξ⨯-+-⨯=， ．01210202020E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21．（本题满分14分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面；（3）求点到平面的距离． 解：（1）；（2）取中点，连结．为正三角形，． 正三棱柱中，平面平面， 平面．连结，在正方形中， 分别为的中点， ，．在正方形中，，又11,,A B BD B A B BD =⊂≠平面，平面．（3）中，111A BD BD A D A B S ==∴=△． 在正三棱柱中，到平面的距离为． 设点到平面的距离为． 由得， ．点到平面的距离为． 22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）1C 1B1已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点为坐标原点，直线与轴交于点，且与一条渐近线交于点，又，过点的直线与双曲线右支交于点，点为点关于轴的对称点. （1）求双曲线的方程；（2）判断三点是否共线，并说明理由； （3）求三角形面积的最小值. 解：（1）双曲线的方程为；（2）由（1）可知，由题意直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，代入整理得()223124360t y ty -++=， 设，则.由韦达定理知1212222436,3131t y y y y t t +=-=--， 所以()()11221,,1,BP x y BN x y =--=-.因为()()()122112211211x y x y x y x y y y ----=+--()1212223624232303131t ty y y y tt t ⎛⎫=++=+-= ⎪--⎝⎭向量共线，所以三点共线.（3）因为直线与双曲线右支交于点， 所以()()1212440x x ty ty =++>，得.1212BMNS BF y y ∆=-=⋅⋅⋅=， 令，BMNS u ∆===又，所以，即时，三角形面积的最小值18.23．已知是函数21,122()11,2xx x f x x ⎧≠⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩的图象上的任意两点，点在直线上，且.（1）求+的值及+的值； （2）已知，当时，1231n n S f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设，为数列的前项和，若存在正整数，使得不等式成立，求和的值.（3）在（2）的条件下，设，求所有可能的乘积的和． 解：（1）∵点在直线上，设. 又，即，，∴. ①当时，=， 1212()()112y y f x f x +=+=--=-； ②当时，， +=1221122(12)2(12)(12)(12)x x x x x x -+---==；综合①②得，+. （2）由（1）知，当时, .∴，，∴时，+++ ，① 1231()()()()n n n f f f f n n n n---++++ ，②①＋②得，,则.又时，满足上式， ∴. （3），=. .，14132422222m m m m mT T +-=--+=-， ∴，为正整数，∴，当时，32121212mm⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，∴，∴.（4），.将所得的积排成如下矩阵：1112131222323333333333333n n n n n A ++++++++++⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎪⎪=⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭，设矩阵的各项和为.在矩阵的左下方补上相应的数可得1112131212223231323331233333333333333333n n n n n n n n B ++++++++++++++++⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭矩阵中第一行的各数和()231211333392nn S ++=++⋅⋅⋅+=-， 矩阵中第二行的各数和()342223333392nn S ++=++⋅⋅⋅+=-， ………矩阵中第行的各数和()11223333392n n n n nn n S -++++=++⋅⋅⋅+=-，从而矩阵中的所有数之和为()2129314nn S S S ++⋅⋅⋅+=-.所以()()22242199336327313332416n n n n S ⨯-⨯+⎡⎤=--++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦.在这个自然数中，任取个数．（1）求这个数中至少个是奇数的概率；（2）若取出的个数中一定有数字，设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有一组相邻的数，此时的值是）．求的概率. 22. 已知不等式：的解集为.（1）求解集；（2）若，解关于的不等式：；（3）求实数的取值范围，使关于的不等式的解集满足. 解：（1）（2）等价于，即1）当时，等价于，即，所以：①当时，；②当时，；③当时，；2）当时，3）当时，综上：（略）（3）若，则：①当时，,不可能成立；②当时，，成立；③当时，，成立；2）当时，，成立；3）当时，，须有，则。
2021-2022年高三下学期第一次诊断考试数学(理)试题含答案
2021年高三下学期第一次诊断考试数学（理）试题含答案一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若(a、b都是实数,i为虚数单位）,则a+b=A．1 B．-1 C．7 D．-72．已知命题p:,且a>0,有,命题q:,,则下列判断正确的是A．p是假命题 B．q是真命题C．是真命题 D．是真命题3. 如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是A． B． C． D．4．设M是边BC上任意一点,N为AM的中点,若,则λ+μ的值为A． B． C. D．15. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为A. B. C. D.6.八个一样的小球排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，3个涂白色.若涂红色的小球恰好有三个连续，则不同涂法共有A．36种B．30种C．24种D．20种7．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是A. B.C. D.8．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形4 3 9．若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于A．10 cm3B．30 cm35 C．20 cm3D．40 cm310.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且3，则△的面积为A ．4B ．8C ．16D ．3211. ，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为 A ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．12．设函数在(0，+)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数，取函数，恒有，则 A ．K 的最大值为 B ．K 的最小值为C ．K 的最大值为2D ．K 的最小值为2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则其常数项是 ； 14．设x ，y 满足约束条件112210x y x x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≥≤，向量，且a ∥b ，则m 的最小值为 ；15.如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为 ； 16. 已知f(n)＝1+(n ∈N*)，经计算得 f(4)＞2,f(8)＞,f(16)＞3, f(32)＞,……，观察上述结果，则可归纳出一般结论为 。
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2021年高三下学期周考一数学（理）试题含答案
一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的)．
1．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四
象限”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不
充分也不必要条
2．设集合，，则= （）
. . . .
3．某校高考数学成绩近似地服从正态分布，且，的值为（）
A．0．49 B．0．52 C．0．51 D．0．48
4. 已知点，在第二象限，则的一个变化区间是（）
A. B. C. D.
5.设，若，则（）
A．-1 B．0 C．1 D．256
6.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的是( )
7.实数满足，若恒成立，则的取值范围是（）
8．已知函数对定义域R内的任意x都有，且当时，其导数满足，若，则（）A． B．
C． D．
9.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足，，
, 则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的
表面积为（）
11.已知分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐
近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为
直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )
12．函数的定义域为，数列是公差为的等差数列，且
，记
1232015
()()()()
m f a f a f a f a
=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅
，
关于实
2
2
2
2 2
1
1
正视图侧视图
A
B C D O E
F
数，下列说法正确的是（ ） A ．恒为负数 B ．恒为正数
C ．当时，恒为正数；当时，恒为负数
D ．当时，恒为负数；当时，恒为正数
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
2个人进行
位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是 . 16.如图所示，在⊙O 中，与是夹角为的两条直径，
分别是⊙O 与直径上的动点，若， 则的取值范围是________．
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演
算步骤．)
17. （本小题满分12分）已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项. (1) 求数列的通项公式；(2) 若，，求使成立的正整数的最小值.
18.（本小题满分12分）某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究.他们分别记录了3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽数,并得到如下资料
(1)请根据3月1日至3月5日的数据,求出y 关于x 的线性回归方程.据气象预报3月6日的
昼夜温差为11℃,请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数.(结果保留整数)
(2)从3月1日至3月5日中任选两天,记种子发芽数超过15颗的天数为X,求X 的概率分布列,并求其数学期望和方差. 19．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，,,如图（1）．把沿翻折，使得平面. (1)
求证：；
（2）若点为线段中点，求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在点N ，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20.（本小题满分12分）已知点是圆心为的圆上的动点，点，若线段的中垂线交于点. (1)求动点的轨迹方程； （2）若直线是圆的切线且与点轨迹交于不同的两点、，为坐标原点，若,且，求△面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知函数． （Ⅰ）若无极值点，求的取值范围；
（Ⅱ）设，当取（Ⅰ）中的最大值时，求的最小值； （Ⅲ）证明不等式：．
请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分 22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲.
如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，的平分线AC 交⊙O 于点C ，连结CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点，
(1)求证:;
（2）若AQ =6，AC =5.求弦AB 的长. （第22题图） 23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (t 为参数). 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为.
(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
(2)若点P 坐标，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |的值．
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若的解集为，，求证：．
O P A
Q
B
C
xx 学年度第二学期高三周考一数学（理科）试卷参考答案
一、选择题: AADB BCDC BBDA
二、填空题: 13. 14. 15. 16.
16、解：设圆的半径为，以为原点，为轴建立直角坐标系，则 设，
2
2
2
(2)(3)2123λ≤μ-+μ=μ-μ+≤
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 17. 解：(1)设等比数列的首项为，公比为
依题意，有，代入，可得，， 解之得 或又数列单调递增，
，， 数列的通项公式为
……6分 (2) ，，
2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯+
+-⋅+⋅，
两式相减，得23
11122222222.n n n n n S n n +++=+++
+-⋅=--⋅
即，即
从而 故正整数的最小值为5.
使成立的正整数的最小值为5. …………………12分 18. 解（1）b=0.7, a=7.3 …………………3分
所以所求的线性回归方程为: …………………4分
当x=11时,y=15,即3月6日浸泡的30颗种子的发芽数约为15颗. …………………6分 (2)X X 0 1 2 p
19、解： （Ⅰ）由已知条件可得． ∵平面，．
∴．又∵，∴．
（Ⅱ）以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得． ∴．
设平面的法向量为， 则∴
令，得平面的一个法向量为，∴点M 到平面的距离． （Ⅲ）假设在线段上存在点N ，使得与平面所成角为． 设，则，∴，
又∵平面的法向量且直线与平面所成角为， ∴， 可得，∴（舍去）．
综上，在线段上存在点N ，使与平面所成角为，此时． 20、
21.
22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲1
证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴
∵∴∴AC=BC=5
由切割线定理得：
∴ ------------5分
（2）由AC=BC=5，AQ=6 及（1），知 QC=9
由知∽
∴∴ . ----------10分
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
解：(1)由得直线l的普通方程为--------2分
又由得圆C的直角坐标方程为
即. ---------5分
(2) 把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得，即
由于，故可设是上述方程的两实数根，
所以又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为
所以. ------10分
24. 解：（1）当a=2时，不等式为，
不等式的解集为；……………5分（2）即，解得，而解集是，
，解得a=1,所以
所以. ……………10分
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