实 验 二 梯形递推化方法(变步长方法)
计算方法-4.6-4.7龙贝格、高斯求积公式
4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 64 1 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
k 1, 2 ,
引入 T1 (k 1),令
S n S 2 k 1
即
Sn S2 k 1 T1 ( k 1)
S 2 n T1 ( k )
--------(6)
当然
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10
因此由复合Simpson公式的余项
I S2 n 1 ( S2 n Sn ) 15
Cn
可得 令 即
1次,3次和5次
复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为
2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?
2016/8/14
2
一、复合梯形公式的递推化
将定积分I f ( x)dx 的积分区间 [a , b]分割为n等份 a ba x a jh , j 0 , 1 , , n 各节点为 h j n 复合梯形(Trapz)公式为
n 1 ba Tn [ f ( a) 2 f ( x j ) f (b)] 2n j 1
b
--------(1)
如果将 [a, b]分割为2n等份，而h (b a) /n不变, 则
n 1 n 1 ba T2 n [ f ( a ) 2 f ( x j ) 2 f ( x 1 ) f (b)] j 4n j 1 j 0 2 --------(2)
外推 加速 公式
(完整版)数值分析每节课的教学重点、难点
计算方法教案新疆医科大学数学教研室张利萍一、课程基本信息1、课程英文名称：Numerical Analysis2、课程类别：专业基础课程3、课程学时：总学时544、学分：45、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》二、课程的目的与任务：计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。
其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。
通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
三、课程的基本要求：1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力4．了解科学计算的发展方向和应用前景四、教学内容、要求及学时分配：(一) 理论教学：引论（2学时）第一讲（1-2节）1．教学内容：计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。
数值计算中应注意的一些问题。
2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。
数值计算中应注意的一些问题。
3．教学目标：了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。
学会选用相对较好的数值计算方法。
A 算法B 误差第二讲典型例题第二章线性方程组的直接法（4学时）第三讲1．教学内容：线性方程组的消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的计算过程；三种消去法的程序设计。
2．重点难点：约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法3．教学目标：了解线性方程组的解法；掌握约当消去法、Gauss消去法、Gauss列主元素消去的基本思想；能利用这三种消去法对线性方程组进行求解，并编制相应的应用程序。
梯形法的递推化
2012-2013（1）专业课程实践论文梯形法的递推化于灏，0818180105，R数学08-1班董育兵，0818180224，R数学08-2班变步长求积法的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n 点中的部分项，故可以省略一些计算，符合了计算机计算存储的思想。
下面，我们在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律。
设将求积区间[a ，b]分成n 等份，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值n T ，需要提供n+1个函数值。
如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个。
将二分前后两个积分值联系起来加以考察，注意到每个子区间[k x ,1+k x ]经过二分只增加了一个分点()12121++=+k k kx x x ，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为))()(2)((4121++++k k k x f x f x f h。
注意，这里nab h -= 代表二分前的步长。
将每个子区间上的积分值相加，得∑∑-=-=++++=110)(2)]()([421!2n k n k k k k n x f h x f x f h T ， 从而利用公式可导出下列递推公式：∑-=++=1)(221212n k k n n x f h T T 主要公式：∑++=)(*)2(2212k n n x f hT T ;开始输入a,b及误差的值令k=0，x=a+(k+0.5)*hT 2n =Tn/2+(h/2)*Σf(xk+0.5)k<=n-1 kk→+1输出Tn，T2nNoYes三、算法程序#include"math.h"#include"iostream.h"double f(double x)//预先输入的待积分函数{double s;s=log(x*x);return(s);}double ffts(double a,double b,double eps){int n,k;double fa,fb,h,t1,p,s,x,t;fa=f(a);fb=f(b);n=1;h=b-a;t1=h*(fa+fb)/2;p=eps+1;while(p>=eps){s=0;for(k=0;k<=n-1;k++){x=a+(k+0.5)*h;s=s+f(x);}t=t1/2+h*s/2;p=fabs(t1-t);cout<<"步长n为:"<<n<<"时的"<<"Tn="<<t1<<'\t'<<"T2n="<<t<<'\t'<<"误差变化:"<<p<<endl;t1=t;n=n*2;h=h/2;}return(t);}void main(){double result,a,b,eps;cout<<"需要求解的积分式为f(x)=log(x^2)"<<endl;cout<<"输入边界值a="<<'\t';cin>>a;cout<<"输入边界值b="<<'\t';cin>>b;cout<<"输入误差限"<<'\t';cin>>eps;result=ffts(a,b,eps);cout<<"经过变步长梯形求积法得方程结果为:"<<result<<endl; }四、算法实现例1． 利用梯形法的递推公式计算()dx x x ⎰21*log 的值。
复化梯形法 复化矩形法 变步长梯形 变步长辛普森
陕西科技大学机械教改班用C++的积分其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。
一．积分的基本思想1、思路：微分—>求和—>取极限。
2、Newton —Leibniz 公式 ⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( 其中，)(x F 被积函数)(x f的原函数。
3、用计算机积分的思路在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。
因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。
二．现有的理论1、一阶求积公式---梯形公式⎰=+-=b a T b f a f a b dx x f )]()([2)( 他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。
2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式 ⎰=+++-=ba Sb f a b f a f a b dx x f )]()2(4)([6)(他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。
三．四种实现方法1.复化矩形法将积分区间[a,b]等分成n 个子区间:],[],[],[],[],[112322110n n n n x x x x x x x x x x ---、、、 则h=(b-a)/n,区间端点值k x =a+kh)hf(x ))f(x x (x I 11121=-=)()()x (22232x hf x f x I =-=............................)()()(111n ---=-=n n n n x hf x f x x I∑==ni i x hf T 1n )(源程序：#include <iostream.h>#include<math.h>double f(double x) //计算被积函数{double y;y=log(1+x)/(1+x*x); //被积函数return y;}double Tn(double a,double b,int n) //求Tn{double t=0.0;double xk; //区间端点值double t1,t2; //用来判断精度do{double h=(b-a)/n;for(int k=1;k<=n-1;k++) //每一小段的矩形叠加 {t1=t;xk=a+k*h;t+=h*f(xk);t2=t;}n++; //如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求 }while(fabs(t1-t2)<=1e-7); //判断计算精度return t;}void main(){double a=0.0; //积分下线double b=2.0; //积分上限int n=1024; //把区间分为1024段cout<<Tn(a,b,n)<<endl; //输出积分结果}执行结果：2.复化梯形法方法和复化矩形法类似，只是把原来的矩形小面积变成了梯形小面积，但是精确度明显提高了，也就是说达到同样的精度需要的时间少了。
Romberg算法
上例说明{Tn}收敛慢，求T128 要计算64个新增的函 数值，而将T8与T4重新组合可构造S8。
1 4 1 T23 (T23 T2 2 ) T8 T4 S 4 3 3 3
K
T2k
S2k-1 0.9461459 0.9460869 0.9460833 …
m
C2k-2
R2k-3
因此计算梯形序列{T2m}可按：
T2m hm ( f (a) f (b) 2 f (a khm )) 2 k 1
2m1
注意到每个子区间 xk , xk 1 经过等分只增加了一个分点： 1 x 1 ( xk xk 1 ) 用复化梯形公式可求得 xk , xk 1 上的积分值为 k 2 2
1 ~ 4 如, 当n 1 时， T T2 T1 3 3 4ba ab 1ba [ f (a) 2 f ( ) f ( b )] [ f ( a ) f ( b )] 3 4 2 3 2 ba ab [ f (a) 4 f ( ) f ( b )]. 6 2 4 1 即 S1 T2 T1 . 3 3
3、加密一次区间 ( 再分半)h2
ba ba , xk a kh2 a k, k 0,1, 2, 3,4 4 4 3 3 ba 1 1 h2 T4 ( f ( a ) ( f ( a kh2 ) f ( b )) ( f ( a ) f ( b ) 2 f ( a kh2 ) k 1 k 1 4 2 2 2
1 h n1 T2n Tn f ( xk 1 ) 2 2 2 k 0
此为复化梯形公式的递推公式
例2 利用变步长的梯形法求I dx 的近似值. x 1 T1 [ f (0) f (1)] 0.9207355 . 2 1 1 1 T2 T1 f ( ) 0.9397933 . 2 2 2 1 1 1 3 T4 T2 [ f ( ) f ( )] 0.9445135 . 2 4 4 4 1 1 1 3 5 7 T8 T4 [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( )] 0.956909 . 2 8 8 8 8 8
c.2数值积分中复化simpson公式和变步长梯形法内容
c.2数值积分中复化simpson公式和变步长梯形法内容1. 引言1.1 概述数值积分是数学领域中重要的计算方法之一，广泛应用于工程、物理、经济学等多个学科。
它通过近似求解定积分来解决无法进行解析求解的复杂函数问题。
在数值积分方法中，复化Simpson公式和变步长梯形法都是常见且有效的技术手段。
1.2 文章结构本文将围绕复化Simpson公式和变步长梯形法展开讨论，并对它们进行比较与选择。
文章主要分为引言、复化Simpson公式、变步长梯形法、两者比较与选择以及结论部分。
1.3 目的本文旨在介绍复化Simpson公式和变步长梯形法这两种数值积分方法，探讨它们的基本原理、方法步骤以及在实际应用中的优势和适用场景。
通过对比与选择这两种方法，可以为读者提供更好地理解和运用数值积分技术的指导，并为未来研究方向和改进空间提供一定参考。
2. 复化Simpson公式:2.1 基本原理:复化Simpson公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。
它基于简单的Simpson公式，并将区间等分为若干子区间，在每个子区间上应用Simpson公式来进行积分计算。
2.2 方法步骤:下面是复化Simpson公式的具体步骤：1. 将要积分的区间[a, b]等分为n个子区间，每个子区间宽度为h。
2. 根据Simpson公式，计算每个子区间的积分值。
3. 将所有子区间的积分值相加，得到整个区间[a, b]上的近似积分值。
具体而言，对于每个子区间[x(i-1), x(i)], i从1到n，使用Simpson公式进行积分近似。
即将该子区间均匀地划分为两部分，并以梯形面积和抛物线面积来逼近曲线下面积。
然后将所有n个子区间的近似积分值相加，得到最终的数值积分结果。
2.3 应用和优势:复化Simpson公式在数学和工程领域中广泛应用于需要进行定积分计算的问题。
它的优势包括：1. 相比于简单的Simpson公式，复化Simpson公式可以更准确地近似计算定积分的值。
复化求积分
)
实际计算中的递推公式为 b−a T1 = [ f (a ) + f (b )] 2 1 b − a n −1 b−a T2 n = Tn + ∑ f (a + (2 j + 1) 2n ), 2 2n j = 0
n = 1, 2, ⋯
直到 | T2n − Tn |≤ ε 为止，T2n作为积分的近似值。
假定f ''( x )在[a , b]上变化不大, 即有f ''(η1 ) ≈ f ''(η 2 )， 于是得
I − Tn ≈4 I − T2 n
1 1 ∴ I ≈ T2 n + (T2 n − Tn ) 或 I − T2 n ≈ (T2 n − Tn ) 3 3 1 I 当 T2 n − Tn ≤ ε 时 ， − T2 n ≤ ε ≤ ε 。 3 数值分析
数值分析
数值分析
同理可得变步长复化柯特斯公式
实际计算过程如下： 实际计算过程如下： T1 → T2 ↓ S1 → T4 ↓ S2 ↓
C1 →
→ →
T8 ↓ S4 ↓
C2 ↓ R1
→ →
T2 n =
1 1 Tn + H n 2 2
h2 h4
1 S n = ( 4T2 n − Tn ) 3
42 S 2n − S n Cn = 42 − 1 43 C 2n − C n Rn = 43 − 1
1 2 已 知 S n = Tn + H n 3 3 1 1 又 有 T2 n = Tn + H n 2 2 两式联立解得： 1 2 1 S n = Tn + （2T2 n − Tn） （4T2 n − Tn） = 3 3 3
梯形法的递推化
2012-2013（1）专业课程实践论文梯形法的递推化于灏，0818180105，R数学08-1班董育兵，0818180224，R数学08-2班变步长求积法的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n 点中的部分项，故可以省略一些计算，符合了计算机计算存储的思想。
下面，我们在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律。
设将求积区间[a ，b]分成n 等份，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值n T ，需要提供n+1个函数值。
如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个。
将二分前后两个积分值联系起来加以考察，注意到每个子区间[k x ,1+k x ]经过二分只增加了一个分点()12121++=+k k kx x x ，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为))()(2)((4121++++k k k x f x f x f h。
注意，这里nab h -= 代表二分前的步长。
将每个子区间上的积分值相加，得∑∑-=-=++++=110)(2)]()([421!2n k n k k k k n x f h x f x f h T ， 从而利用公式可导出下列递推公式：∑-=++=1)(221212n k k n n x f h T T 主要公式：∑++=)(*)2(2212k n n x f hT T ;开始输入a,b及误差的值令k=0，x=a+(k+0.5)*hT 2n =Tn/2+(h/2)*Σf(xk+0.5)k<=n-1 kk→+1输出Tn，T2nNoYes三、算法程序#include"math.h"#include"iostream.h"double f(double x)//预先输入的待积分函数{double s;s=log(x*x);return(s);}double ffts(double a,double b,double eps){int n,k;double fa,fb,h,t1,p,s,x,t;fa=f(a);fb=f(b);n=1;h=b-a;t1=h*(fa+fb)/2;p=eps+1;while(p>=eps){s=0;for(k=0;k<=n-1;k++){x=a+(k+0.5)*h;s=s+f(x);}t=t1/2+h*s/2;p=fabs(t1-t);cout<<"步长n为:"<<n<<"时的"<<"Tn="<<t1<<'\t'<<"T2n="<<t<<'\t'<<"误差变化:"<<p<<endl;t1=t;n=n*2;h=h/2;}return(t);}void main(){double result,a,b,eps;cout<<"需要求解的积分式为f(x)=log(x^2)"<<endl;cout<<"输入边界值a="<<'\t';cin>>a;cout<<"输入边界值b="<<'\t';cin>>b;cout<<"输入误差限"<<'\t';cin>>eps;result=ffts(a,b,eps);cout<<"经过变步长梯形求积法得方程结果为:"<<result<<endl; }四、算法实现例1． 利用梯形法的递推公式计算()dx x x ⎰21*log 的值。
8.二阶递推
第七讲:二阶递推二阶递推数列特指数列{x n }:x 1=a,x 2=b,x n+2=px n+1+qx n .求数列{x n }:x 1=a,x 2=b,x n+2=px n+1+qx n 的通项公式的方法和程序:①求方程x 2=px+q 的实根α,β;②变形x n+2=px n+1+qx n 得:x n+2-βx n+1=α(x n+1-βx n )⇒x n+1-βx n =(b-a β)αn-1;③变形x n+1-βx n =(b-a β)αn-1得:11++n n x β-n n x β=12)(--n a b βαββ.(i)当α=β时,11++n n x β-n n x β=2ββa b -⇒n n x β=β1x +(1122ββx x -)+(2233ββxx -)+…+(11---n n n nx x ββ)=βa +2ββa b -(n-1)⇒x n =[a+ββa b -(n-1)]βn-1;(ii)当α≠β时,11++n n x β-n n x β=12)(--n a b βαββ⇒n n x β=β1x +(1122ββxx -) +(23ββx x -)+…+(11---n n nnx x ββ)=βa +2ββa b -[1+(βα)+(βα)2+…+(βα)n-2]=βa +2ββa b -βαβα---1)(11n =αβα--a b βn-1-αββ--a b αn-1.1.简单类型例1:(2009年陕西高考试题)己知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=21++n n a a ,n ∈N*. (Ⅰ)令b n =a n+1-a n ,证明:{b n }是等比数列; (Ⅱ)求{a n }的通项公式.解析:(Ⅰ)由b n =a n+1-a n ⇒⎩⎨⎧-==-=+++1211211n n n a a b a a b .因方程x 2=21x+⇒x=1,-21.由a n+2=21++n n a a ⇒a n+2-a n+1=-21(a n+1-a n )⇒ b n+1=-21b n ⇒{b n }是以b 1=1为首项,公比为-21的等比数列; (Ⅱ)由(Ⅰ)知b n =(-21)n-1⇒a n+1-a n =(-21)n-1⇒a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+1+(-21)+…+(-21)n-2=1+)2(1)21(11-----n =35-32(-21)n-1. [思想方法]:如果数列{x n }:x 1=a,x 2=b,x n+2=px n+1+qx n 的特征方程x 2=px+q 有一根为1,则q=1-p,即数列{x n }:x 1=a,x 2=b,x n+2=px n+1+(1-p)x n ⇒x n+2-x n =(p-1)(x n+1-x n )⇒x n+1-x n =(b-a)(p-1)n-1⇒x n =x 1+(x 2-x 1)+(x 3-x 2)+…+(x n -x n-1)=a+(b-a)[1+(p -1)+(p-1)2+…+(p-1)n-2]=a+(b-a)pp n ----2)1(11.类题:1.(2004年重庆高考试题)设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=35,a n+2=35a n+1-32a n ,(n=1,2,…). (Ⅰ)令b n =a n+1-a n ,(n=1,2,…),求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{na n }的前n 项和S n .2.(2008年天津高考试题)己知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且a n+1=(1+q)a n -qa n-1(n ≥2,q ≠0). (Ⅰ)设b n =a n+1-a n (n ∈N*),证明:{b n }是等比数列; (Ⅱ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅲ)若a 3是a 6与a 9的等差中项,求q 的值,并证明:对任意的n ∈N*,a n 是a n+3与a n+6的等差中项.2.一般类型例2:(2008年广东高考试题)设p,q 为实数,α,β是方程x 2-px+q=0的两个实根.数列{x n }满足:x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,…).(Ⅰ)证明:α+β=p,αβ=q; (Ⅱ)求数列{x n }的通项公式; (Ⅲ)若p=1,q=41,求{x n }的前n 项和S n .解析:(Ⅰ)由α,β是方程x 2-px+q=0的两个实根⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅=+-)2(0)1(022q p q p ββαα,(1)-(2)得(α-β)(α+β)-p(α-β)=0⇒α+β=p,代入①得α2-(α+β)α+q=0⇒αβ=q;(Ⅱ)由x n =px n-1-qx n-2⇒x n =(α+β)x n-1-αβx n-2⇒x n -βx n-1=α(x n-1-βx n-2)⇒x n+1-βx n =(x 2-βx 1)αn-1⇒121211)(-++-=-n nnn n x x x x βαββββ. (i)当α=β时,nnx β=β1x +212ββx x -(n-1)⇒x n =[(x 2-βx 1)n-(x 2-2βx 1)]βn-2;(ii)当α≠β时,nnx β=β1x +212ββx x -)(2αβαβ-⋅[1-(βα)n-1]⇒x n =βαβααβ------112112)()(n n x x x x . (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当p=1,q=41时,α=β=21,x 1=1,x 2=43⇒x n =[(x 2-βx 1)n-(x 2-2βx 1)]βn-2=(41n+41)(21)n-2=(n+1)(21)n. S n =2(21)+3(21)2+…+(n+1)(21)n =3-(n+3)(21)n .[思想方法]:本题实质上给出了求数列{x n }:x 1=a,x 2=b,x n+2=px n+1+qx n 的通项公式的方法和程序:①求方程x 2=px+q 的实根α,β;②变形x n+2=px n+1+qx n 得:x n+2-βx n+1=α(x n+1-βx n )⇒x n+1-βx n =(b-a β)αn-1;③变形x n+1-βx n =(b-a β)αn-1得:11++n n x β-n n x β=1)(--n a b βαββ,分α=β和α≠β两种情况,求数列{n n x β}的通项,从而可求得数列{x n }的通项公式. 类题:1.(2010年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=6,4a n-1+a n+1=4a n (n ≥2). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{a n }的前n 项和S n .2.(2008年广东高考试题)设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=2,a n =31(a n-1+2a n-2)(n=3,4,5,…).数列{b n }满足:b 1=1,b n (n=2,3,4, …)是非零整数,且对任意的正整数m 和自然数k,都有:-1≤b m +b m+1+…+b m+k ≤1. (Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(Ⅱ)记c n =na n b n (n=1,2,3,…),求数列{c n }的前n 项和S n .3.基本理论例3:(2012年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知数列{a n }满足:a 1=41,a 2=43,a n+1=2a n -a n-1(n ≥2);数列{b n }满足:b 1≠41,3b n -b n-1=n(n ≥2),数列{b n }的前n 项和为S n . (Ⅰ)证明:数列{b n -a n }为等比数列; (Ⅱ)若b 1=1211,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析:(Ⅰ)由a n+1=2a n -a n-1的特征方程:x 2=2x-1有等根x=1⇒a n =(An+B)1n =An+B ⇒a n =41(2n-1);由3b n -b n-1=n ⇒b n =31b n +31n,令b n -(cn+d)=31[b n-1-(cn-c+d)]⇒b n =31b n +32cn+32d c +,令32c=31,32d c +=0⇒c=21,d=-41⇒b n -(21n-41)=31{b n -[21(n-1)-41]⇒b n -(21n-41)=(b 1-41)(31)n-1⇒b n -a n =(b 1-41)(31)n-1为等比数列; (Ⅱ)b n =(21n-41)+2(31)n ⇒S n =41n 2-(31)n+1. [思想方法]:数列{x n }:x 1=a,x 2=b,x n+2=px n+1+qx n 的特征方程为x 2=px+q,①若特征方程有相等实根x 0,则x n =(An+B)x 0n ;②若特征方程有两不等实根x 1、x 2,则x n =Ax 1n+Bx 2n;③若特征方程无实根,则数列{x n }是周期数列.1.(2012年全国高中数学联赛贵州初赛试题)设数列{a n }满足:a 1=3,a 2=8,a n+2=2a n+1+2a n ,n ∈N +,求数列{a n }的通项公式.2.①(2011年第22届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知数列{a n }对任意正整数n 都有a n+1=a n +a n+2,若a 2=-1,a 3=1,则a 2011=_________.②(1997年全国高中数学联赛试题)已知数列{x n }满足x n+1=x n -x n-1(n ≥2),x 1=a,x 2=b,记S n =x 1+x 2+ +x n ,则下列结论正确的是( )(A)x 100=-a,S 100=2b -a (B)x 100=-b,S 100=2b -a (C)x 100=-b,S 100=b -a (D)x 100=-a,S 100=b -a ③(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)已知数列{a n }(n ≥1)满足a n+2=a n+1-a n ,且a 2=1,若数列的前2005项之和为2006,则前2006项的和等于 .4.变式应用例4:(2012年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设递增数列{a n }满足:a 1=1,4a n+1=5a n +169+nn a (n ≥1,n ∈N +).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)证明:11a +21a +31a +…+na 1<2. 解析:(Ⅰ)由4a n+1=5a n +169+nn a ⇒a n+12-25a n a n+1+a n 2-1=0⇒a n-12-25a n a n-1+a n 2-1=0⇒a n+1、a n-1是x 2-25a n x+a n 2-1=0的两根⇒a n+1+a n-1=25a n ,其特征方程x 2+1=25x 的两根为2,21⇒a n =x ×2n +y(21)n ,由a 1=1⇒a 2=25⇒x=32,y=-32⇒a n =32[2n- (21)n]; (Ⅱ)由a n =32[2n -(21)n ]>32×2n-1⇒n a 1<23(21)n-1⇒11a +21a +31a +…+n a 1=1+52+214+23[(21)3+(21)4+…+(21)n-1]<1+52+214+123<2. [思想方法]:数列{x n }:x 1=a,x 2=b,x n+2=px n+1+qx n 是深入研究数列问题的基本数列,由此可解决其它数列问题. 类题:1.(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设正项数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n =12--n n a a ,n ≥3.求a n 的通项公式. 2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设数列{a n }定义为a 1=1,a n+1=2a n +132+na ,n ≥1. (Ⅰ)证明:当n>1时,a n+1+a n -1=4a n ; (Ⅱ)证明:11a +21a +…+n a 1<231+. 5.方法拓展例5:(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知数列{a n }(n ≥0)满足a 0=0,对于所有非负整数n,有a n+1=2)1(30+n n a a +11a n +5.求a n 的通项公式.解析:由a n+1=2)1(30+n n a a +11a n +5>a n ⇒a n+1-a n >0.将a n+1-11a n -5=2)1(30+n n a a 两端平方,并整理得:a n+12+a n 2-22a n+1a n -10a n+1-10a n +25=0⇒a n 2+a n-12-22a n a n-1-10a n -10a n-1+25=0,两式相减得:(a n+1-a n-1)(a n+1+a n-1-22a n -10)=0⇒a n+1+a n-1-22a n -10 =0⇒(a n+1+21)-22(a n +21)+(a n-1+21)=0⇒a n =-21+41(11+230)n +41(11-230)n. [思想方法]:对数列{x n }:x 1=a,x 2=b,x n+2=px n+1+qx n +r(或kn+t),我们可以使用待定系数法转化为对数列{x n }:x 1=a,x 2=b,x n+2=px n+1+qx n .1.(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)若数列{a n }满足:a 1=32,a n+1-a n =)(321n n a a ++,则a 2007= . 2.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知数列{a n }满足a 1=p,a 2=p+1,a n+2-2a n+1+a n =n-20,其中p 是给定的实数,n 是正整数,试求n 的值,使得a n 的值最小.6.数列变式例6:(2009年重庆高考试题)己知a 1=1,a 2=4,a n+2=4a n+1+a n ,b n =nn a a 1+,n ∈N*.(Ⅰ)求b 1、b 2、b 3的值;(Ⅱ)设c n =b n b n+1,S n 为数列{c n }的前n 项和,求证:S n ≥17n; (Ⅲ)求证:|b 2n -b n |<2171641-⋅n . 解析:(Ⅰ)由a 1=1,a 2=4,a n+2=4a n+1+a n ⇒a 3=4a 2+a 1=17,a 4=4a 3+a 2=72⇒b 1=4,b 2=417,b 3=1772; (Ⅱ)由a n+2=4a n+1+a n ⇒12++n n a a =4+1+n n a a⇒b n+1=4+n b 1⇒b n ≥4,且当n ≥2时,b n >4.又由b n+1=4+n b 1⇒b n b n+1=4b n +1⇒c n =b n b n+1= 4b n +1>17⇒数列{c n }的前n 项和S n ≥17n; (Ⅲ)因|b 2-b 1|=41<6417,当n ≥2时,|b n-2-b n+1|=|(4+11+n b )-(4+n b 1)|=11||++-n n n n b b b b <171|b n+1-b n |⇒|b n+1-b n |<171|b n -b n-1|<2171|b n-1-b n-2|<…<1171-n |b 2-b 1|=411171-n ⇒|b 2n -b n |=|(b 2n -b 2n-1)+(b 2n-1-b 2n-2)+…+(b n+1-b n )|≤|b 2n -b 2n-1|+|b 2n-1-b 2n-2|+…+|b n+1-b n |<41[(171)2n-2+(171)2n-1+…+(171)n-1]=41(171)n-1[1+(171)+…+(171)n-1]=41(171)n-11711)171(1--n<2171641-⋅n . [思想方法]:令b n =nn a a 1+,则数列{a n }:a 1=a,a 2=b,a n+2=pa n+1+qa n ⇔数列{b n }:b 1=ab ,b n+1=p+nb q.由此,一方面我们可以利用数列{a n }的性质,去构造数列{b n }的问题;另一方面我们也可以利用数列{a n }的通项,去解决数列{b n }的问题.类题:1.(2005年福建高考试题)己知数列{a n }满足a 1=a,a n+1=1+na 1.我们知道当a 取不同的值时,得到不同的数列.如当a=1 时,得到无穷数列:1,2,23,25,…;当a=-21时,得到有穷数列:-21,-1,0. (Ⅰ)求当a 为何值时,a 4=0; (Ⅱ)设数列{b n }满足b 1=-1,b n+1=11-n b (n ∈N*),求证:a 取数列{b n }中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{a n }; (Ⅲ)若23<a n <2(n ≥4),求a 的取值范围. 2.(2004年湖北高考试题)己知a>0,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a+na 1,n=1,2,…. (Ⅰ)设b n =a n -A,n=1,2,…,证明:b n+1=-)(A b A b n n+;(Ⅱ)若|b n |≤21对n=1,2,…都成立,求a 的取值范围.。
数值分析(18)复化求积法
1 2
h2
b
4
a
,
直到 T2n Tn 为止,将T2n作为积分的近似值。
数值分析
数值分析
下面推导由n到2n的复化梯形公式
给出误差限，将[a,b]n等分，步长hn
b
a n
,
用复化梯形公式：
在[xk , xk1 ]上，T1k
hn 2
(
f
( xk )
f ( xk1 ))
在[a, b]上，
T (hn ) Tn
在每个小区间 xk , xk1 ,（k 0,1,L , n 1）
上用梯形公式:
Tk
h( 2
f ( xk )
f
( xk1 ))
复化梯形公式为
k 0,1,L , n 1
Tn
n1
Tk
k0
h( 2
f (a)
n1
f (b)) h
k 1
f ( xk )
数值分析
数值分析
截断误差分析：
在区间
1(h) C1h p1 C2h p2 Ck h pk O(h p1 ) 其 中pk pk1 p1 0
数值分析
数值分析
将展开式
1(h) C1hp1 C2hp2 Ckhpk O(hp1 )
中 的h用rh代 替 ，r满 足1 r p1 0,则 1(rh) C1(rh) p1 C2 (rh) p2 Ck (rh) pk 用r p1乘原式两端再与此式相减得到： （1 r p1） (1(rh) r p11(h)) C2 (r p2 r p1 )h p2 Ck (r pk r p1 )h pk 整理后得到：
类 似 地 ， 若 定 义 m1(h)
m (rh) r 1 r
第三章 第四节 变步长积分法
一、引言
变步长积分法
二、以梯形公式为例来介绍这一算法
一、引言
利用复化梯形公式和复化Simpson公式来进行定积 分的近似计算既简便， 又可以达到满意的计算精度。
但是为了确定把积分区间 a, b 分成多少个子区间，即 n
取多大， 则需依据误差表达式作事先估计， 就要Байду номын сангаас析
被积函数的高阶导数，而这是很困难的。
S2n Sn
(4.4)
来控制计算过程。
2n
k 0
f k f x dx
b a
则得到
I Tn 4 I T2 n
I T2 n
1 T2 n Tn 3
(4.3)
这说明，若用不等式(4.1)来控制计算过程。则 T2n 与积 分精确值之差大约是允许误差的三分之一，因此计算可 以至此为止。误差的这种估计法称为后天估计（或事后 估计）。 对于 Simpson 公式， 也可以同样进行区间逐次分 半，并可由不等式
T n
1 ba T E2 n f I T2 n 12 2n
3 2 n 1 k 0
f
k
将两式相除并注意当 n 充分大时
b a n 1
n
f
k 0 k
b
a
f x dx
b a 2 n 1
T2n Tn
（取绝对误差）
(4.1)
T2 n Tn T2 n
（取相对误差）
(4.2)
是否满足，如果满足，则取 T2n 为所求定积分之近似 值，否则区间继续分半，重复上述过程直至条件满足。
现在我们来分析为什么可以通过（4.1）式来控制 计算过程。由（3.2）式可知
数控技术期末整理试题及答案
数控技术期末整理试题及答案一、知识点1、数控及数控机床的定义;数控机床的组成；数控机床的主要技术参数;数控机床的分类？答:数控，即是数字控制(NC)；数控机床就是采用了数控技术的机床；数控机床主要由程序介质、数控装置、伺服系统、机床主体四部分组成；数控机床的主要技术参数：1、主要规格尺寸；2、主轴系统；3、进给系统;4、刀具系统;数控机床的分类：1、按机械运动轨迹分类（1。
点位控制数控机床；2.直线控制数控机床；3.轮廓控制数控机床。
）；2、按伺服系统的类型分类（1.开环伺服系统数控机床；2。
闭环伺服系统数控机床；3。
半闭环伺服系统数控机床.）；3、按功能水平分类（高、中、低档）；4、按加工方式分类(1。
金属切削类数控机床；2金属成型类数控机床;3.数控特种加工机床。
）2、什么是脉冲当量（分辨率）；什么是定位精度和重复定位精度？答：脉冲当量是指两个相邻分散细节之间可以分辨的最小间隔，是重要的精度指标。
定位精度是指数控机床工作台等移动部件在确定的终点所达到的实际位置的精度.重复定位精度是指在同一台机床上，应用相同程序相同代码加工一批零件，所得到的连续结果的一致程度。
3、开环伺服系统数控机床、闭环伺服系统数控机床、半闭环伺服系统数控机床各自有什么特点？答：(1)开环：这类机床没有来自位置传感器的反馈信号。
数控系统将零件程序处理后，输出数字指令后给伺服系统，驱动机床运动;其结构简单、较为经济、维护方便，但是速度及精度低，适于精度要求不高的中小型机床，多用于对旧机床的数控化改造。
（2）闭环：这类机床上装有位置检测装置，直接对工件的位移量进行测量；其精度高,但系统设计和调整困难、结构复杂、成本高，主要用于一些精度要求很高的镗铣床、超精密车床、超精密铣床、加工中心等。
（3）半闭环：这类数控机床采用安装在进给丝杠或电动机端头上的转角测量元件测量丝杠旋转角度,来间接获得位置反馈信息；可获得较为满意的精度和速度，大多数数控机床采用它，如数控车床、数控铣床和加工中心等。
44Romberg积分法
一、Richadson外推加速法 二、Romberg公式 三、梯形法的递推化
一、李查逊(Richardson)外推加速法
复化梯形法的误差公式当h → 0时为：
I
Tn
ba 12
h2
f
( )
即积分值Tn的截断误差大致为O(h2)，事实上 有
定理 设 f ( x) C [a,b] ，T (h) Tn 则成立
，在每个小区间[xk，xk+1]上
用梯形公式计算为
Ik
h 2
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(
xk
)
f ( xk1 )
如果再二分一次，则步长减半，即h/2，分点
增至2n+1个，记区间[xk，xk+1]上
经过二分后新增分点为
xk
1 2
1 2
(
xk
xk 1)
用复化梯形公式求得该区间上的积分值为
h/ 2
2
f
(
xk
)
2
f
(
xk
1 2
C
2n
1 63
C
n
综合上面的加工过程，有
对梯形公式加工： 对辛甫生公式加工： 对柯特斯公式加工：
Sn
4 3 T2n
1 3 Tn
16
1
Cn 15 S2n 15 Sn
Rn
64 63 C2n
1 63 Cn
实质：将粗糙的梯形公式值逐步加工成精度较 高的公式。
结论：
来源于：李查逊（Richardson） 外推加速法
定义：利用李查逊（Richardson）外推加速法将低 阶求积公式通过加密节点，再加工成高阶的求积公 式，统称为龙贝格（Romberg）公式。
不考数值分析4-4
Sn
T
4 3
T2n
1 3
Tn
再考察复化辛甫生公式 复化辛甫生公式的误差公式：
I
Sn
ba 180
h 2
4
f
(4) ( ) ,
[a,b]
即积分值Sn的截断误差大致与h4成正比，因 此当步长二分后，截断误差将减至原有误差
的1/16，有
I S2n 1 I Sn 16
一、梯形法的递推化
前面介绍的复化求积公式对提高精度 是行之有效的，但使用前必须给出合适的 步长h，如何给出？
h太小则计算量增加
h太大则精度不满足
采用变步长 的计算方案
1.定义：变步长求积法 变步长求积法就是在步长逐次分半（即
步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式 进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求 为止。
李查逊外推加速法的处理过程：
由 T (h) I a1h2 a2h4 a3h6 ... ak 2
I
a1 4
h2
a2 16
h4
6a这 均43 h里与6 h的无...关1,
2 ,... ×4
则得
4T (h) T (h)
T1(h)
h 2
1 15 T1 (h)
则又可以进一步消去展开式中的 h4 项，而有
T2 (h) I 1h6 2h8 ...
这样构造出的 {T2(h)} ，其实就是柯特斯公式 序列，它与积分值I的逼近阶为六阶。
如此继续下去，每加速一次，误差的量级便 提高2阶，这就是李查逊外推加速法。
可以验证这样的 组合就是柯特斯 公式
变步长梯形积分算法求函数定积分
h h, 2
T2n Tn
转 ①再计算，直到满足所要求的精度为止，最终取
二分后的积分值T2n 作为所求的结果
变 步 长 梯 形 公 式 的 流 程 图
开始 输入 a,b,ε
b-ah,
h 2
f(a)+f(b)T1
0S, a+h/2x
S+f(x)S, x+hx
x<b?
y
n
(T1+h*S)/2 T2
函数f(x)的实现，需要继承F类，并且实现其中的虚函 数，即对“()”的重载
class Fun: public F //函数log(1+x)/(1+x^2) { public: double operator()(double x) const
//虚函数的实现,而且是常成员函数（不能更新对象的数 据成员） { return log(1.0 + x)/(1.0 + x*x); } };
}
1 sin x
1. 用变步长梯形求积法计算定积分 I 0 x 2x 3 与函数 y 3 所围成图象的面积
题目1做在作业本上，题目二下周二上机完成后上 传到FTP
按以上原理，每次积分将步长降为1/3h
变步长梯形积分是龙贝格（Romberg）求积法的引理， 查找相关资料完成龙贝格求积法
T2- T1≥ε ？ n y
输出 T2
结束
T2 T1 h/2h
为了保证算法对任意函数f(x)都可以使用，则需要定义一 个抽象类F，通过对他的派生，具体实现不同的函数
通过对“()”运算符的重载完成函数的实现
class F
/*抽象类F的声明,这是一个被积分函数类，需要用不同的函 数来覆盖实现不同函数的积分*/ { public: virtual double operator()(double x) const = 0;
变步长的最小二乘递推算法
变步长的最小二乘递推算法
变步长的最小二乘递推算法
黄海峰;张荣标;汪永志
【期刊名称】《农机化研究》
【年(卷),期】2004(000)002
【摘要】针对固定步长的最小二乘递推算法在信号辨识中采集数据量大、辨识速度较慢的缺点,提出了变步长的最小二乘递推算法,在保证同等辨识精度的条件下, 采集的数据明显减少,大大提高了辨识速度.
【总页数】3页(89-91)
【关键词】自动控制技术;变步长;理论研究;模糊控制;最小二乘法【作者】黄海峰;张荣标;汪永志
【作者单位】江苏大学,电气学院,江苏,镇江,212013;江苏大学,电气学院,江苏,镇江,212013;江苏大学,电气学院,江苏,镇江,212013 【正文语种】中文
【中图分类】TN911
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3.最小二乘递推算法和Kalman滤波算法 [J], 刘轩黄
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