建立不允许缺货的生产销售存贮模型
数学建模试题(带答案)四
数学建模部分课后习题解答1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：模型假设（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。
这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。
因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。
模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。
然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。
于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。
经济数学建模作业及答案
2、如果连续复利时，以什么利率才能使本金在8年内变成3倍？1、在每半年复利一次的情况下，以8%的利率，需要经过多长时间才能使现值增到2.5倍？3、连续收益流量每年按80万元持续5年，若以年利率5%贴现，其现值应是多少？T=11.68年r=13.73%55%00S 80353.92t e dt -==⎰8003S S re =4、某汽车使用寿命为10年，若购买此车需35000元，若租用此车每年租金为7200元，若资金的年利率为14%，按连续复利计算，问买车与租车哪一种方式合算。
计算租车资金流量总值的现值，然后与购买费相比。
租车租金流量总值的现值为所以买车比租车合算。
002.5S S +=2T0.08（1）2101014141172003875635000i i i i i S e e -%-%==≈>=∑∑5、一商家销售某种商品的价格满足关系x p 2.07-=(万元/吨)，x 为销售量(单位：吨)；商品的成本函数是C =3x +1(万元)。
(1) 若每销售一吨商品，政府要征税t (万元)，求该商家获最大利润时商品的销售量；(2) t 为何值时，政府税收总额最大。
6、已知某企业生产的商品的需求弹性为1.2，如果该企业准备明年将价格降低15%，问这种商品的销量预期会增长多少？总收益会增长多少？2'5(2) 10 0 22T tx t t T t ==-=⇒=R18%,3%R Q Q∆∆==令2(70.2)31(4)0.21Px C Tx x x tx t x x --=----=---'''5()0,()0102L x L x x t=<⇒=-（1）利润L(x)=7、某消费者打算购买两种商品q 1和q 2，他的预算约束是240元，两种商品的单价分别是10元和2元,其效用函数为U=q 1q 2,消费者的最优商品组合是什么？一元钱的边际效用是多少？8、效用函数U (q 1,q 2) 应满足的条件是以下的A,B 之一：A. U (q 1,q 2) =c 所确定的函数q 2=q 2(q 1)单调减、下凸；0,0,0,0,0.B 21222221221>∂∂∂<∂∂<∂∂>∂∂>∂∂q q Uq U q U q U q U AB ⇒证明：对U (q ,q 2) =c 两端求q 1的一阶导和二阶导12102240q q +=1212MU MU P P =1212,60q q ==解建立方程组得解出一元钱边际效用为610、在确定性存贮模型中，在费用中增加购买货物本身的费用，确定不允许缺货的最优订货周期和订货批量。
(完整版)建立不允许缺货的生产销售存贮模型
2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数为常数k,x销售速率为常数r，k>r。
在每个生产周期T内，开始的一段时间（0<t<T0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0<t<T)只销售部生产，画出贮存量q(t)的图形。
设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。
讨论k》r和k≈r的情况。
解：一．模型假设：为了处理方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量。
根据问题性质作如下假设：（1）产品每天的需求量为常数r，生产率为k。
（2）每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2.（3）生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。
二．模型建立将贮存量表示为时间t的函数q(t)，t=0生产0件，贮存量q(0)=0.在T0前q(t)以生产率减去需求率k-r的速率增加。
T0时刻以后，q(t)以需求率r减小，直到q(t)=0。
如图：一个周期内的费用为221()()T TTc c q t dt c q t dt c=++⎰⎰，即()22221()22r T Tk r Tc c c c--=++。
每天的平均费用为()212c r k r T c c T K -=+ （1）（1）式是这个模型的目标函数。
三．模型求解求T 使（1）式的c 最小。
容易看出()()00k r T T T r -=-。
代入可得使c(T)达到最小值的周期()*122c k T c r k r =-四．讨论。
当k 》r 时，*122c T c r =，类似不考虑生产的情况。
当k ≈r 时，*T →+∞，由于产量与需求量相当，无法产生贮存量。
7.要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以下），宽b=0.5m,厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m,跑步最大速度vm=5m/s ，雨速u=4m/s ，降雨量w=2cm/h,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨量淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
经济数学建模作业及答案
2、如果连续复利时，以什么利率才能使本金在8年内变成3倍？1、在每半年复利一次的情况下，以8%的利率，需要经过多长时间才能使现值增到2.5倍？3、连续收益流量每年按80万元持续5年，若以年利率5%贴现，其现值应是多少？T=11.68年r=13.73%55%00S 80353.92t e dt -==⎰8003S S re =4、某汽车使用寿命为10年，若购买此车需35000元，若租用此车每年租金为7200元，若资金的年利率为14%，按连续复利计算，问买车与租车哪一种方式合算。
计算租车资金流量总值的现值，然后与购买费相比。
租车租金流量总值的现值为所以买车比租车合算。
002.5S S +=2T0.08（1）2101014141172003875635000i i i i i S e e -%-%==≈>=∑∑5、一商家销售某种商品的价格满足关系x p 2.07-=(万元/吨)，x 为销售量(单位：吨)；商品的成本函数是C =3x +1(万元)。
(1) 若每销售一吨商品，政府要征税t (万元)，求该商家获最大利润时商品的销售量；(2) t 为何值时，政府税收总额最大。
6、已知某企业生产的商品的需求弹性为1.2，如果该企业准备明年将价格降低15%，问这种商品的销量预期会增长多少？总收益会增长多少？2'5(2) 10 0 22T tx t t T t ==-=⇒=R18%,3%R Q Q∆∆==令2(70.2)31(4)0.21Px C Tx x x tx t x x --=----=---'''5()0,()0102L x L x x t=<⇒=-（1）利润L(x)=7、某消费者打算购买两种商品q 1和q 2，他的预算约束是240元，两种商品的单价分别是10元和2元,其效用函数为U=q 1q 2,消费者的最优商品组合是什么？一元钱的边际效用是多少？8、效用函数U (q 1,q 2) 应满足的条件是以下的A,B 之一：A. U (q 1,q 2) =c 所确定的函数q 2=q 2(q 1)单调减、下凸；0,0,0,0,0.B 21222221221>∂∂∂<∂∂<∂∂>∂∂>∂∂q q Uq U q U q U q U AB ⇒证明：对U (q ,q 2) =c 两端求q 1的一阶导和二阶导12102240q q +=1212MU MU P P =1212,60q q ==解建立方程组得解出一元钱边际效用为610、在确定性存贮模型中，在费用中增加购买货物本身的费用，确定不允许缺货的最优订货周期和订货批量。
数学建模习题答案
数学建模部分课后习题解答中国地质大学 能源学院 华文静1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：模型假设（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。
这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。
因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。
模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。
然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。
于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。
生产的销售与存贮的数学模型(0)
生产的销售与存贮的数学模型何敏洪1 ,官金兰2 ,陈润凤2摘要: 本文针对生产的销售与存贮问题建立了不允许缺货和允许缺货的数学模型, 把抽象的数学问题转化为平面几何问题. 建立模型后, 把动态的总费用问题转化为日平均费用这一静态的含有参数T Q ,的模型，把目标函数分别对T 、对Q 求偏微分, 求得稳定点，即可确定周期T 和各种费用.关键词：不允许缺货；允许缺货；稳定点1 问题的提出某公司的产品A 的生产销售是按周期变化的，在每一个生产周期T （单位：天）内，开始的一段时间()00T t ≤≤一边生产一边销售，后来的一段时间()T t T ≤≤0只销售不生产.若平均每天生产产品Aq 千克，每天销售r 千克（q>r ）,产品的生产成本分成两部分，每次生产开工费为1C （固定）和生产每千克的A 的开支2C ，生产的产品放在仓库里每天每千克A 的存贮费为3C .问题一 若不允许缺货，试确定生产周期T ，使总费用（成本费+存贮费）最少.问题二 如果允许缺货，此时因缺货造成利润减少，已知每千克产品A 的缺货费为4C ，试确定T 和每一周期内的总售货时间1T ，使总费用（成本费+存贮费+缺货费）最少.问题三 讨论参数,,q r 4321,,,C C C C 的变化对1,T T 总费用的影响.2 问题的分析在一个生产周期T 内的贮存量是t 的连续函数，用积分的方法确定贮存费用和缺货费用.公司产品不允许缺货生产销售贮存问题数学模型，该模型要以总费用为目标函数确定每个生产周期T.因为T 是变化的，故考虑到求日均费用的最值问题，用微积分方法求出日均费用的稳定点，即可确定决策变量T ；公司生产允许缺货生产销售贮存问题数学模型，该费用的最值问题，用微积分方法求出日均费用和稳定点T 和1T .3 模型的基本假设3.1生产的产品全部合格；3.2存贮费用只考虑每天卖出后余下的产品的数量； 3.3停止生产后的存货量与市场的需求量相等；3.4每个周期生产一次,当贮存量为零时立即进入下一周期的生产.4 符号的约定Q ：生产产品的总数量 1t ：边生产边销售的时间T ：产品的一个生产周期1T ：总售货时间q ：平均每天生产产品A 的数量 r ：每天销售产品A 的数量（q>r ）5 模型的建立与求解5.1 问题一的求解5.1.1 在一个生产周期内存货量的表达式 00T t ≤≤的存货量1111rt qt rt Q Q -=-=即1Q 为停止生产后的存货量，假设此时的存货量与市场的需求量相等，而市场的需求量即为产品A 的销售量，而销售量又恰为图(1)中三角形111T t Q 的面积，所以存货量为阴影部分A 的面积.又因为不允许缺货，所以1T 时刻即为产品A 的销售完的时刻.rrt Q T 11-=∴()()()()()r Q rt Q rt rt Q t r rt Q rt Q t T S Q 222121*********--=-⎪⎭⎫⎝⎛--=--==∴ 5.1.2 总费用（成本费+存贮费）的表达式()()rQ rt Q rt C QC C C 2211321--++=因为生产周期T 是变化的，故我们的目标是日均费用为最小，即()()()()rTC qt rt qt rt T C qt T C rT C Q rt Q rt T QC T C C 22223111121131121--++=--++=-5.1.3 对生产周期T 的求解令0=∂∂-T C ， 01=∂∂-t C得 ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+--+=∂∂=-----=∂∂--0220223113112123111122121T C q r qt rt T C qt rt q r T qC t C rT C qt rt qt rt T C qt T C T C解得：()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+--=-+-+-+-=q r r C rq r q C C C q qC T rq C r C q C r C C rq C C q C C C q qC t 2232432281243223122221323232313123122221因为不允许缺货，所以x 轴下方的空白小三角形B 的面积为零 即()0211=-r T T 因为0≠r ，所以01=-T T ，即1T T =()()时，所以当q r r C rqr q C C C q qC T T --+--==223243223122221生产的产品Q 恰好等于市场的需求量，此时没有缺货.5.2 问题二的求解如图(2)基于问题一，设产品A 在1T 就销售完，此时产品供不应求，即缺货，则缺货量即为阴影小三角形B 面积，此时销售量等于市场需求量.缺货费用为 ()4121C T T r R -= 存贮费为 31211C QT S oQT =∆ 总销售时间为 rQ T =1 生产开支为 2QC∴总费用 ()4131212121C T T r C QT QC C C -+++=因为T 是可变的，所以我们以日均费用为目标函数()rTQ rT C rT C Q T QC T C C 22243221-+++=-令0=∂∂-TC 0=∂∂-Q C图(2) 解得: ()()433312241433222C C C C C rC C C r C C C rC Q ++-+-=4331224122C rC C C rC C C T +-=此即为允许缺货时的周期T.()()4333122414332122C C r C C C rC C C r C C C rC r Q T ++-+-==如果不允许缺货,即∞→4C 此时, 312rC C T =312C rC Q = 5.3 问题三的求解5.3.1 讨论参数q ，r 的变化对T 的影响由问题一知，当不允许缺货时，产品A 的生产周期为()()q r r C rqr q C C C q qC T --+--=22324322312222可知当r q 2→时，()()02431→--r q r q C C∞=→οοT 根据经验，产品的生产周期T 不可能无限长，这会使厂家的成本增加，所以上式中r q > 但 r q 2≠.5.3.2 讨论参数r ，1C ，2C ，3C ，4C 的变化对T ，1T 的影响由问题二知：4331224122C rC C C rC C C T +-=(T 为允许缺货的生产周期)()()4333122434331122C C r C C C rC C C r C C C rC T ++-+-=3142rC C T C =∞→时，当 312C rC Q = 此时 T rC C rC rC rQ T ====3131122 ∴当销售量r 越大，存贮费3C 越小，生产周期T 就越大，当31,C C 都固定时，每天销售量r 就越大，生产周期就越大.6 模型的评价与讨论本文对给出生产量，销售量及相关费用的生产与存贮问题建立了量化的数学模型，本文的优点在于把抽象的生产周期与费用之间的关系用具体的平面几何图来表示，从而转化为求Q,的模三角形的面积，之后把动态的总费用问题转化为日平均费用这一静态的含有参数T型，采用求偏微分的方法，求得其稳定点，即为T，解决了问题.参考文献[1]昌志华等．经济数学模型．广州: 华南理工大学出版社．1997[2]姜启源．数学模型．北京: 高等教育出版社．1993The mathematics model of the reserve forthe sale of the production1JinfengCHEN-RunGUAN-2lanMinhongHE-21. Undergraduate course of Department of Mathematics ,2002 grade,Shaoguan College,Shaoguan 512005,Guangdong,China2. Undergraduate course of Department of Mathematics ,2001 gradeClass One,Shaoguan College,Shaoguan 512005,Guangdong,ChinaSummary: This text is based on the aim of the production's sale and reserve ,the problem to establish to disallow lack goods with allow the mathematics model of lack goods, abstract of mathematics problem the conversion is a plane geometry problem. Establish the model the empress, development of conversion of total expenses problem is average expenses of day, this is a static imply the refer the model that count, target function respectively to T, right beg the deflection differential calculus, and beg stability point, then certain period T with every kind of expenses. Key words: plane geometry problem; stability point; average expenses of day。
数学建模课后习题答案
第一章 课后习题6.利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。
解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为：)()0(mg M x =由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程M x x dtdx=-=)0(,λ （1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。
由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程：0)0(,=-=y y x dtdyμλ （2） 方程（1）可转换为：tMe t x λ-=)(带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμλλ----=将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得：t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t针对孩子求解，得：严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解：严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987=课后习题7.对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μut e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---=1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dtdzt 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t用matlab 画图:图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。
3.1存贮模型
3.1 存贮模型工厂要定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之需；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
显然，这些情况下都有一个贮存量多大才合适的问题。
贮存量过大，贮存费用太高；贮存量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。
本节在需求量稳定的前提下讨论两个简单的存贮模型：不允许缺货模型和允许缺货模型。
前者适用于一旦出现缺货会造成重大损失的情况（如炼铁厂对原料的需求），后者适用于像商店购货之类的情形，缺货造成的损失可以允许和估计。
不允许缺货的存贮模型先考察这样的问题：配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同意不见的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
问题分析 让我们试算一下：若每天生产一次，每次100件，无贮存费，生产准备费5000元，故每天费用为5000元； 若十天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若五十天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元。
虽然从以上结果看，十天生产一次比每天和五十天生产一次的费用少，但是，要得到准确的结论，应该建立生产周期、产量与需求量、生产准备费，贮存费之间的关系，即数学建模。
从上面的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
所以必然存在一个最佳的周期，使总费用最小。
(不)允许缺货的存储模型
A
t 0 T 考察一个订货周期T 考察一个订货周期T 的总费用 C’ :
2T
T
t
其值恰为图中 阴影部分面积A 阴影部分面积A A=QT/2
C’=订货费用C1 + 订货费用C1
C 存储费? 存储费? 2 ∫0 q (t ) dt
1 1 1 C′ = C1 + C2 Q T = C1 + C2 rT T = C2 r T 2 + C1 ... … …(2) 2 2 2
T ′ → T , Q′ → Q
合理吗? 合理吗?
2010-9-22
新余高等专科学校 数学建模教练组
14
Mathematical Model
&
Mathematical Modeling
The End! Thank You!
新余高等专科学校 数学建模教练组
15
C 3 ∫T | q (t ) | dt
1
A
t
B
考察一个订货周期T 考察一个订货周期T 的总费用 C’ :
C’=订货费用C1 + 订货费用C1
C 存储费? 存储费? 2 ∫0 q (t ) dt
T
+ 缺货费
T
1 1 C ′ = C1 + C 2 Q T1 + C3 r (T T1 ) 2 2 2
符合常识! 符合常识!
新余高等专科学校 数学建模教练组
9
Mathematical Model
&
Mathematical Modeling
二. 允许缺货的存储模型
简化假设
考查一个商店经理制定最优订货周期和最优订货批量时碰到的问题. 考查一个商店经理制定最优订货周期和最优订货批量时碰到的问题.设 某市场对某种商品的需求量是确定和已知的,但是允许缺货 某市场对某种商品的需求量是确定和已知的,但是允许缺货.缺货时因失 允许缺货. 去销售机会而使利润减少,减少的利润可以视为因缺货而付出的费用, 去销售机会而使利润减少,减少的利润可以视为因缺货而付出的费用,称 缺货费.于是对”不允许缺货的存储模型”中的第3条假设做修改为: 缺货费.于是对”不允许缺货的存储模型”中的第3条假设做修改为:
存储模型
时补充存贮，补充量Q＝S-x（即将存贮补充到S）。
3.（t，s，S）混合策略每隔t时间检查存贮量x，当
x＞s时不补充；当x≤s时，补充存贮量使之达到S。
（四）费用
1.订货费它包括两部分，一部分是订购一次货物
所需的订购费用（如手续费、出差费等），它是仅
与订货次数有关的一种固定费用。另一部分是货物 的成本费 kx（x 为订货数量， k 为单价），成本费随 订货数量变化而变化。 2.保管费包括货物的库存费和货物的损坏变质等
假设每隔 T 时间补充一次，则订货量必须满足 T
时间内的需求 rT ，即订货量 Q rT ，每次订货费 为 c1 ，货物单价为 k ，则订货费为 c1 krT T 时间内的存贮 量（如图）为
T
1 2 (rT rt )dt rT 0 2
1 2 则T时间内的存贮费为 rT c2 2 1 2 故T时间内的总费用 c1 krT rT c2 2 为确定订货周期 T 及每次订货量 Q，考虑 T 时间内
例2
某厂每月需某产品100件，生产每件产品存贮费
为 0.4 元，求最优生产周期、生产时间和生产批 量。
解 已 知 c1 5，p＝500／30，r＝100／30， c2 ＝
0.4／30，则
即最优生产周期为17天，生产时间为3.4天，生产
批量为56件。
四、模型三
支出的费用。
3.缺货费由于供不应求造成缺货带来的损失费用， 如停工停产造成的损失和罚款等。
（五）目标函数
为了衡量存贮策略的好坏，必须建立一个衡
量指标，这个指标称为目标函数。通常把目标函
数取为该策略的平均费用或平均利润。
二、模型一
模型一——不允许缺货，生产时间很短 为了使模型简单，易于理解，便于计算，可作以
2021数学建模期末试卷A及答案
2021数学建模期末试卷A及答案2021《数学建模》期末试卷A考试形式：开卷考试时间：120分钟姓名：学号：成绩： ___ 1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。
2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数k，销售速率为常数r，r?k。
在每个生产周期T内，开始一段时间（0边生产边销售，后一段时间（T0?t?T?t?T0））只销售不生产，存贮量q(t)的变化如图所示。
设每次生产开工费为c1，每件产品单位时间的存贮费为c2，以总费用最小为准则确定最优周期T，并讨论r??k和r?k的情况。
3．（10分）设x(t)表示时刻t的人口，试解释阻滞增长（Logistic）模型x?dx?r(1?)x?xm?dt?x(0)?x0?中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。
4．（25分）已知8个城市v0，v1，…,v7之间有一个公路网（如图所示），每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．（1）设你处在城市v0，那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？（2）求出该图的一棵最小生成树。
5．（15分）求解如下非线性规划:Max z?x1?2x1?x2s.t. 0?x2?x1?2226．（20分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙.经试验与分析, 发现这两种金属成分所占的百分比之和x与合金的膨胀系数y之间有一定的相关关系.先测试了12次, 得数据如下表：表2 xi 37.0 37.5 38.0 38.5 39.0 39.5 40.0 yi xi yi 3.40 3.00 40.5 41.01.70 1.80 3.00 41.5 1.902.27 42.0 2.35 2.10 42.5 2.54 1.83 43.0 2.90 1.53试建立合金的膨胀系数y与两种金属成分所占的百分比之和x的模型。
7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。
Ch3 数学模型作业解答
《数学模型》作业解答第三章1（2009年3月17日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：kr rT c T c T C ++=2)(212221r c Tc dT dC+-= 令0=dTdC， 解得 r c c T 21*2= 由rT Q = ， 得212c rc rT Q ==**与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),(2223322221222TkQ rT Q c r c rT Q c T c T C--+--=∂∂Tk rT Q c c rT Qc Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q CTC， 得到驻点：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c krc c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：贮存费为 ∑⎰=→∆⋅-==∆i Ti i t TT r k c dt t g c t g c 1022022)()()(limξ又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =0 , ∴ 贮存费变为 kT T r k r c 2)(2⋅-= 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTr k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=k r k r c Tc dT dC 2)(221-+-=.0=dTdC令, 得)(221r k r c kc T -=*易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )(221r k r c kc T -=*rc c ，Tr k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，Tr k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2009年3月24日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的. 总费用函数()xc b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b k c b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=第三章3（2009年3月27日）5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t TTt <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,20,21又 t q t q β+=0)(.于是总利润为[][]⎰⎰--+--=22221121)()()()(),(TTT dt bp a t q p dt bp a t q p p p=22)(022)(20222011T Tt t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- )(2)822(12011bp a T T T q T p b p -+---=∂∂β )(2)8322(22022bp a TT t q T p b p -+---=∂∂β 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为⎰⎰+-=-+-=20221210)(2)()(T TT p p bTaT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(max 2022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=t s . 021)(2Q p p bTaT =+-利用拉格朗日乘数法，解得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=880201TbT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++=令0=dTdC， 解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小. 又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100k k T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k )(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.925002+-=TdT dC。
不允许缺货的生产销售存储模型.doc
不允许缺货的生产销售存储）摘要在不允许缺货的情况下，考虑生产销售存储模型，建立了不允许缺货生产销售存储模型，利用该模型确定了一个最优生产周期。
关键词：生产速率；销售速率；存储量；最优周期1.问题的提出：由于不能缺货，所以厂家应该提供足够的机械、人员来保证生产的平稳进行，在有了生产条件的保证下，就要求生产的产品能够满足销售的需要，假设在一定的时间内，生产的速率大于销售的速率，所以刚开始一边生产一边销售，一段时间后，由于有一定的产品积压，只销售不生产。
2.问题的分析：假设在快要销售的完的瞬间，马上开始生产，使之不缺货。
在这种假设下来讨论最优生产周期，即可以通过求出一个生产周期内平均每天的经费消耗与一个周期时间之间的关系，然后再确定使总经费最少的周期方案。
3.基本假设：设生产速率为k ，销售速率为r （k>r)在每个生产周期T 内。
开始的一段时间（0<t<T0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0<t<T ）只销售不生产。
画出贮存量Q 的图形。
4.定义符号说明:设每次生产准备费为C 1，单位时间每件产品贮存费为C 2，设生产函数为K （t ）销售函数为R （t ），储存函数为Q （t ）。
5.模型建立：()⎩⎨⎧≤<<≤=)(0)(00T t T ktT t kt t Krt t R =)(⎩⎨⎧≤<-<≤-=-=)()0()()()(000T t T rt kT T t rtkt t R t K t Q6.模型求解：由于不能缺货所以有00T rkT T ≤≤贮存量Q 的图形如下：由Q(t)=0,得到T kr T =0计算储存消耗的经费：22102)22()(T k r r C dt t Q C L T-==⎰一个周期内的总经费为C 1+L ，得到每天的经费为：T kr r C T C T L C P )22(2211-+=+=得到)(2221r kr C kC T -=时P 取到最小值，此时)(2210r k k C rC T -=。
数学建模 生产与存贮问题的探讨
生产与存贮问题的探讨摘 要在一定时期内,生产的成本费与库存费一直是厂家最关心的优化指标。
本文根据题中的条件针对如何在成本费与库存费之和最优的情况下，使总工时最小的问题，利用了多目标动态规划的方法，建立了生产与存储的优化模型。
我们知道增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。
故可以找到一个生产计划使得生产的生产费与存贮费之和达到一个最小值,并且使他们所花的工时也最少。
我们根据实际生活中生产的部件的性质可以将生产模式分成两种情况：允许有缺货的情况和不允许有缺货的情况。
在模型一中,我们假设这种部件是不允许缺货的，于是目标函数为：∑∑==+++=6161)(7.03.0min k k k k k k c h p akx g在模型二中,我们假设这种部件是可以缺货的，但是我们要求上个月所缺的部件必须要在本月补回来。
如果中间某个月或者是某几个月出现缺货的现象,就会因为有损失费,面对这样的情况时,如果损失费比生产费少的话,对于这种方案公司还是可以考虑,根据这种情况我们可以得到目标函数为：∑∑==++++=6161)(7.03.0min k k k k k k k q p h c akx g我们建立的模型一和模型二都是以动态规划为主要解题思路，在模型中我们将生产费与库存费之和赋予0.7的权重值，总耗费工时数赋予0.3的权重值，假设每件产品的单位工时费为10元，每件产品每月的存贮费为20元，每件产品每月的缺货损失费为5元，因为产品的生产量与成本费成反比，设反比系数为S ，若生产量为X ，则成本费为S/X 元，设反比系数S 为840。
我们利用Lingo 软件求解，在没有缺货存在的条件下得到的最小成本费为5158元，总耗费工时数最少为382小时，一到六月的逐月分配方案为：7 4 5 4 3 4；在有缺货存在的条件下得到的最小成本费为4960元，总耗费工时数最少为363小时，一到六月的逐月分配方案为：6 3 4 3 3 8，每月的缺货量为：0 2 1 0 4 0。
不允许缺货生产销售存储模型
不允许缺货的生产销售存储模型摘要在不允许缺货的情况下，考虑生产销售存储模型，建立了不允许缺货生产销售存储模型，利用该模型确定了一个最优生产周期.目标函数即是整个过程中的平均费用最少。
先算出一个周期内总费用，其中包括两大部分：生产准备费和总产品的存储费。
生产准备费是一个常数，产品总量与时间相关。
间接地，产品存储费与时间（周期）有关。
因此先建立一个图形存储量q(t)，存储量随时间变化为线性规划，并且递减速率为r。
画出储存量q(t)的图形。
设每次生产准备费是c1，单位时间每件产品储存费是c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。
对模型进行了合理的理论证明和推导，一个周期内的存储t,其中积分恰等于图中三角形的面积，c2（（k-r）*T0*T）/2,费是 c2* T0)(q dt结合公式○2,得到存储费为c2*r*（（k-r）*T＾2）/(2*k) ○3于是在不允许缺货的情况下，生产销售总费用（单位时间内）包括生产准备费c1和存储费两部分。
得出如下：目标函数：C（T）=c1/T+c2*r*(k-r)*T/(2*k) ○4然后借助于求微积分方程方法和Matlab软件，求出当dC/dT=0时，结果为T=（2*c1*k/（c2 *r*(k-r)）＾（1/2）。
○5关键词：生产速率；销售速率；存储量；最优周期，简单优化模型1 问题的提出建立不允许缺货的生产销售存储模型。
设生产速率是常数k，销售速率是常数r，k>r.在每个月生产周期T内，开始的一段时间（0<t<T0）一边生产一边销售，存储量随时间变化为线性规划，并且增长速率为（k-r）。
后来的一段时时间（T<t<T0）只销售不生产，存储量随时间变化为线性规划，并且递减速率为r。
画出储存量q(t)的图形。
设每次生产准备费是c1，单位时间每件产品储存费是c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。
讨论k>>r和k≈r的情况。
2 问题的分析从长时间看来，由于不能缺货，所以厂家应该保证生产速率大于销售速率。
《数学模型》试题及参考答案
A卷2009-2010学年第2学期《数学建模》试卷专业班级姓名分组号与学号开课系室数学与计算科学学院考试日期 2010 年7月题号一二三四五六七八总分得分阅卷人数学建模试卷(1007A)一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。
二（10分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。
(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。
第一页三（10分）、（1）简述合理分配席位的Q-值方法,包括方法的具体实施过程，简述分配席位的理想化原则。
（2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。
四(15分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r,k r．在每个生产周期T内，开始的一段时间（0 t T0）一边生产一边销售，后来的一段时间(T0t T）只销售不生产．设每次生产开工费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，（a)求出存储量q(t) 的表示式并画出示意图。
（2）以总费用最小为准则确定最优周期T，讨论kr的情况．第二页五（15分）、（1）建立传染病传播的SIS模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建立SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。
六（15分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。
（2）在假设x0y0,b 9a条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，确定战争结局和结束时间。
第三页七（15分）设渔场鱼量的自然增长服从模型x rxln N，又单位时间捕捞量为xh Ex．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度E m 和渔场鱼量水平x0．八（10分）假设商品价格y k和供应量x k满足差分方程y k1 y0(xk1x k x0), 02xk1 x0(y k y0) 0求差分方程的平衡点，推导稳定条件第四页A卷2009-2010学年第2学期《数学模型》试题参考答案与评分标准专业班级开课系室数学与计算科学学院考试日期2010年7月数学建模试卷(1007A)参考答案与评分标准一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
存贮模型
解 根据（4－28）～（4－31）可得 2 2040 (170 500) t 0.176 170 1040 500
2 500 2040 1040 S 137 170 (170 500)
Q 1040 0.176 183 2 170 500 2040 1040 C (t , S ) 23202 170 500 那么，每年订货次数应为 1 1 5.68
C (t , S ) 23235
同样可得
1 1040 t ,Q Q 5 5
500 1040 S 155 170 500 5
C (t , S ) 23394
所以每年应订货6次，每次订货批量为 1040/6吨，每的的总存贮费用为23 235元。 二、随机性存贮模型 前面我们讨论的模型 其数据都是确定的，这类 存贮模型 叫确定性存贮模型。以下我们讨论含 有随机数据存贮模型 。为此，我们先通过一个 例题介绍一直建立这种模型的基本思想。
2040 1 C (t ) 170 1040 0.152 22858 0.152 2 于是每年的订货次数应为
1 1 6.58 t 0.152
由于订货的次数应为正整数，故可以比较订货 次数分别为6次和7次的费用。若订货次数为 1 6，可得每的总费用为 C ( ) 22973 。若订货 6 次数为7，可得每 年的总费用为 C ( 1 ) 22908 。
t
0.176
同样，由于订货次数应为正整数，故可分别比 较订货次数为5次和6次的费用。若每年订货6 次，则订货周期批量分别为
1 1040 t ,Q 6 6
相应的
C2 500 1040 S Q 129 ，从而 C1 C2 170 500 6
不许缺货的生产批量模型
提高客户满意度
合理安排生产批量可以更 好地满足市场需求，提高 客户满意度和忠诚度。
生产批量模型的分类
基于需求的生产批量模型
01
根据市场需求预测来确定生产批量，以实现供需平衡。
基于成本的生产批量模型
02
根据生产成本和库存成本等因素来确定生产批量，以实现总成
本最低。
不许缺货的生产批量模型
03
在某些特定情况下，如关键零部件的生产，不允许出现缺货现
象，需要采取特殊的批量规划策略。
03
不许缺货的生产批量模型
不许缺货的生产批量模型的原理
批量生产
在不允许缺货的情况下，企业通常会选择批量生产来降低生产成 本和库存成本。
库存控制
为了确保产品供应不断，企业需要控制库存水平，避免库存过多 或过少。
需求预测
企业需要预测市场需求，以便合理安排生产和库存。
不许缺货的生产批量模型的计算方法
不许缺货的生产批量模型
目录
• 引言 • 生产批量模型的基本概念 • 不许缺货的生产批量模型 • 不许缺货的生产批量模型的优化策略 • 实例分析 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
01
库存管理是生产运营中的重要环 节，而生产批量模型是库存管理 中的关键因素之一。
02
在不允许缺货的情况下，如何确 定最优的生产批量，以最小化库 存成本和缺货成本，是库存管理 中的重要问题。
优化生产计划，降低库存成本
详细描述
某制造企业采用不许缺货的生产批量模型，通过精确预测市场需求，合理安排 生产计划，避免了库存积压和浪费，降低了库存成本，提高了整体运营效率。
实例二：某零售企业的库存管理策略优化
总结词
实现库存实时监控，提高库存周转率
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2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数为常数k,x 销售速率为常数r，k>r。
在每个生产周期T内，开始的一段时间（0<t<T0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0<t<T)只销售部生产，画出贮存量q(t)的图形。
设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。
讨论k》r和k≈r的情况。
解：
一．模型假设：为了处理方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量。
根据问题性质作如下假设：
（1）产品每天的需求量为常数r，生产率为k。
（2）每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2.
（3）生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。
二．模型建立
将贮存量表示为时间t的函数q(t)，t=0生产0件，贮存量q(0)=0.在T0前q(t)以生产率减去需求率k-r的速率增加。
T0时刻以后，q(t)以需求率r减小，直到q(t)=0。
如图：
一个周期内的费用为
002210()()T T T c c q t dt c q t dt c =++⎰⎰，即()2200221()22r T T k r T c c c c --=++。
每天的平均费用为
()212c r k r T c c T K -=+ （1） （1）式是这个模型的目标函数。
三．模型求解
求T 使（1）式的c 最小。
容易看出()()00k r T T T r -=-。
代入可得使c(T)
达到最小值的周期
*T =
四．讨论。
当k
》r 时，*T =类似不考虑生产的情况。
当k ≈r 时，*T →+∞，由于产量与需求量相当，无法产生贮存量。
7.要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以下），宽b=0.5m,厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m,跑步最大速度vm=5m/s ，雨速u=4m/s ，降雨量w=2cm/h,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论：
（1）不考虑雨的方向，设降雨量淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a.b.c.d.u.w.θ.之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。
计算θ=0，θ=30时的总淋雨量。
（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α,如图2，建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、c、d、u、w、α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算α=30时的总淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图(考虑α的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？解：
一．模型假设：将人体简化成一个长方体，高a=1.5m,宽b=0.5m.厚c=0.2m；设跑步的距离为1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h
二．模型建立：
模型一：（1）不考虑雨的方向，假设降雨淋遍全身，雨速也是均匀下落，由人体为长方体可知，该人淋到雨的表面积s=2ab+2ac+bc，跑步距离为d=1000m，则该人在雨中的淋雨时间为t=d/vm，且降雨量w=2cm/h=(0.0001/18)m/s
所以，总淋雨量为Q=s*t*w
模型二：（2）当雨迎面吹来时该人只有头顶和迎面淋雨，设头顶部淋雨量为Q1，淋雨面积s1=bc,淋雨的时间即t1=d/v，可知淋雨量总量为Q1=s1*t1*w*cosθ。
雨速在水平方向上的水平分量为u*sinθ。
则在水平方向上的合成速度为u*sinθ+v,淋雨面积s2=ab,淋雨的时间t2=d/v,淋雨量为w*sinθ+w*v/u(本身的淋雨量加上人相对雨速的淋雨量)，所以迎面淋雨量为Q2=s2*t2*w*(usinθ+v)/u由此可得该人在单位时间和单位面积内的总淋雨量Q=Q1+Q2=(0.01cosθ)/(18*v)+[0.075*(4sinθ+v)]/(18*v)
模型三：(3)雨从背面吹来时，雨相对人的速度为|u*sinα-v|，（一）当u*sinα-v>0时，即雨速在水平上的分量大于人的速度，此时在水平方向上的合成速度是v-u*sinα，此时的人的淋雨总量可分头顶部分Q3和背面部分Q4。
头顶部淋雨量为Q3，淋雨面积s1=bc,淋雨的时间为t3=d/v，淋雨量为w*cosα,由此可知该人在单位时间和单位面积内的淋雨总量Q3= s1*t1*w*cosα
雨速在水平方向上的水平分量为-u*sinα，雨相对人的速度为
v-u*sinα,淋雨面积为s2=ab,淋雨的时间为t2=d/v,降雨量w=w*（v/u）-wsinα，所以该人在单位时间和面积内的总的淋雨量Q4=
s2*t2*w*(v-u*sinα)/u=abdw(v-u*sinα)/uv=0.0010461(1-sinα/v) 所以降雨总量为Q=Q3+Q4=（0.01cosα）/(18*v)+0.0010461(1-sinα/v)
（二）当u*sinα-v>0时，即雨速在水平上的分量大于人的速度，此时的人的淋雨总量可分为头顶部分Q5和背面部分Q6。
头顶部淋雨量为Q5，淋雨面积s1=bc,淋雨的时间为t3=d/v，淋雨量为w*cosα,由此可知淋雨总量Q5= s1*t1*w*cosα
雨速在水平方向上的水平分量为u*sinα-v，此时在水平方向上雨与人的合成速度为u*sinα-v,淋雨面积s2=ab,淋雨的时间为t2=d/v,，降雨量为w=wsinα-w*v/u,此时该人的淋雨总量Q6= s2*t2*w*(usinα+v)/u所以降雨总量为Q=Q5+Q6=0.0027778*[（0.2cosα-1.5sinα）/v+1.5]
三．模型求解
（1）代入数值即可求解Q=2.44L
（2）同样代入数值可得Q=Q3+Q4=0.01cosθ/(18*v)+0.0010461(1-sinθ/v)=0.00069445[(0 .2cosθα-1.5sinθ)/v+1.5]，显然当v=vm时Q最小。
则代入数据可知θ=0，速度v=vm=5m/s,Q=1.152L
θ=30, 速度v=vm=5m/s,Q=1.554L
(3)带入数据可求出下列：
头顶淋雨量：Q5=s1*t1*w*cosθ=(0.01cosα)/(18*v)
迎雨面淋雨量：Q6= s2*t2*w*(usinθ+v)/u=abdw(u*sinα-v)/uv 总的淋雨量：Q=Q5+Q6=0.0027778*[（0.2cosα-1.5sinα）/v+1.5] 若c*cosα-a*sinα<0.即tanα>c/a，此时v=usinα时Q最小，
当α=30时,v=usinα=4*sin30=2m/s,
此时Q=0.0027778*[（0.2cos30-1.5sin30）/v+1.5]=0.24L，当v=vm 时，α=30,Q=0.93L.由此可知，当v=usinα时，淋雨量是最小的。
（4）:根据三中所求的降雨总量然后对式子分别求导可以可画出图如下：
实际意义：当雨从人体背面吹来时，只要满足c*cosα-a*sinα<0即tanα>c/a，而此时Q最小,即人体淋雨量最少,此时该人只有背面与头顶部淋雨。
（5）若是雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则要再多加一个角度β，然后与上面相同将降雨量分到不同的面分解着求就可以了，从本质与思路来说模型是不变的。
四．讨论
（1）从题目的结果来看，跑得越快，人的淋雨量越少，对现实生活有用，不顾现实中无法匀速跑。
（2只考虑到了顶面和人的迎雨面，可以同样得出跑的越快，淋雨就越少，，可是在实际情况我们也应该考虑到人的背面是否淋雨。
（3）在该模型中考虑到雨的方向，与实际的生活更加的相似了。
由这三个模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。