曲面积分习题课2

1)若曲面 : z z( x, y)
则 f ( x, y, z)dS f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy; Dxy
2)若曲面 : y y( x, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2dxdz;
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(P,Q, R) ( zx , zy ,1)dxdy
将在xOy面投影
(P,Q, R) (zx ,zy ,1)dxdy
Dxy
例 设S为椭球面 x2 y2 z2 1的上半部分, 22
点P( x, y, z) S,Π为S在点P处的切平面, ( x, y, z)
为
点O(0,0,0)到平面Π的
2
2
例 计算
I [ f ( x, y, z) x]dydz [2 f ( x, y, z) y]dzdx
[ f ( x, y, z) z]dxdy, 其中 f ( x, y, z) 为连续函数,
为平面
x
y
z
1在第四卦限
部分的上侧．
z
解 利用向量的点积法
1
的法向量为n {zx ,zy ,1}
Dxy
注意 的确定!
3.
向量的点积法n0
(zx , zy ,1) 1 zx2 zy2
,
dS
设曲面的方程为z f ( x, y)
1 zx2 zy2dxdy
规定的法向量为(zx , zy ,1)
I 若题P设dy中dz曲 面Qdz的dx侧与Rd(xdzyx , zy ,1)相同, 取,否则取 . (P,Q, R) (dydz,dzdx,dxdy) A n0 dS
I
2. 通过投影化为二重积分
I P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
P( x( y, z), y, z)dydz Q( x, y(z, x),z)dzdx
D yz
Dzx
R( x, y, z( x, y))dxdy
Dxz
3)若曲面 ： x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2dydz.
D yz
计算的关键是看所给曲面方程的形式！！！
曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个 变量所确定的坐标平面投影，得到积分区域。
对坐标的曲面积分的计算法
第十章 曲面积分
习题课 教学要求 场论初步 例题
一、教学要求
1. 了解两类曲面积分的概念及高斯 Gauss) 斯托克斯(Stokes)公式, 并会 、 计算两类曲面积分.
2.了解散度、旋度的概念及其计算 方法.
3. 会用曲面积分求一些几何量与物 理量.
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
f ( x)dx F (b) F (a) (F( x) f ( x)) a 牛顿--莱布尼茨公式
距
离,
求
S
(
z x,
y,
z
dS )
.
解 设( X ,Y , Z )为上任意一点, 则得出的方程为
xX yY zZ 1 22 由点O到平面的距离公式,得
(x, y, z)
1 x2 y2 z2 44
设S为椭球面 x2 y2 z2 1的上半部分 22
由z
x2 y2 1
22
z
x
,
x 2 1 x2 y2
zy
y, x2 y2
I ( x y z)dxdy
1dxdy
Dxy
1. 2
y
1
D xy
x
-1 x y 1
例 计算 I ydydz xdzdx z2dxdy, 其中 为
锥面 z x2 y2 被平面 z 1, z 2 所截部分的外侧．
解 法一：利用向量点积法
zx
x, x2 y2
D
22
得
z
y
y 2 1 x2 y2
22
dS
1
z x
2
z y
2
dxdy
4 x2 y2 dxdy 2 1 x2 y2 22
所以
S
(
x
z ,
y,
z
dS )
1 4
(4
x2
y2
)dxdy
Dxy
1 2 dq 2 (4 r2 )rdr
40
0
3
2
dS 4 x2 y2 dxdy 2 1 x2 y2
{1,1,1},
1
oy
1
x
I [ f ( x, y, z) x]1 [2 f ( x, y, z) y](1)
[ f ( x, y, z) z]1 dxdy
I [ f ( x, y, z) x]dydz [2 f ( x, y, z) y]dzdx
[ f ( x, y, z) z]dxdy, 其中 f ( x, y, z) 为连续函数, 为平面 x y z 1在第四卦限部分的上侧．
解法有三种
1. 利用高斯公式
(1)若P,Q, R在闭曲面 所围成的空间域中
具有一阶连续偏导数,则
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(
P x
Q y
R z
)dv
其中取 外侧.
1. 利用高斯公式
(2) 若非闭而P,Q, R比较复杂, P,Q, R在 加面 后 ( 为闭)所构成的空间域中
具有一阶连续偏导数,则
22
(x, y, z)
1
x2 y2 z2
44
z 1 x2 y2 22
Dxy
:
x2 2
y2 2
1
例 求 x2dS,其中为柱面 x2 y2 a2, 0 z 6 解：由于 关于变量 x, y 轮换对称性
x2dS y2dS
x2dS 1 x2 y2 dS a2 dS 6 a3
斯托克斯公式
（三）场论初步
梯度
gradu
u
i
u
j
u
k
x y z
通量 散度
Pdydz Qdzdx Rdxdy
divA
P
Q
R
x y z
环流量 Pdx Qdy Rdz
旋度
rotA
(R
Q
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k
y z z x x y
对面积的曲面积分的计算法
如果曲面方程为以下三种：
2.二重积分与曲线积分的联系
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(沿L的正向)
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
(P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(
y
z
)dydz ( z
)dzdx x
( x
)dxdy y
Pdx Qdy Rdz