2018北师大版高中数学必修五学案：第三章 3.2 基本不等式与最大(小)值

3.2 基本不等式与最大(小)值

学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．

知识点一 基本不等式及变形 思考 使用基本不等式证明：

2

1a ＋1b ≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立． 梳理 以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件． 当a >0，b >0时，有2

1a ＋1b

____ab ____a ＋b

2____

a 2＋

b 2

2

；当且仅当________时，以上三个等号同时成立．

知识点二 用基本不等式求最值

思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？

梳理 基本不等式求最值的注意事项 (1)x ，y 必须是________；

(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________；

(3)等号成立的条件是否满足．

使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．

类型一 基本不等式与最值

例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4

x 的最小值，并求此时x 的值；

(2)设0

2，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；

(3)已知x >2，求x ＋4

x －2

的最小值；

(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9

y ＝1，求x ＋y 的最小值．

跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12

x ＋3x 的最小值；

(2)已知x <3，求f (x )＝

4

x －3

＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 类型二 基本不等式在实际问题中的应用 命题角度1 几何问题的最值

例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 2的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？

命题角度2 生活中的最优化问题 引申探究

若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？

例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭

⎫v

202千米，那么这批货物全部运到B 市，最

快需要________小时．

1．已知x ≥5

2，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )

A ．最大值5

2

B ．最小值5

4

C ．最大值1

D ．最小值1

2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )

A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m

3．设a>0，b>0，且不等式1

a＋

1

b＋

k

a＋b

≥0恒成立，则实数k的最小值等于()

A．0 B．4 C．－4 D．－2

4．已知0

5

log2x的最大值是________．

1．用基本不等式求最值

(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．

(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．

(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不

到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋p

x(p>0)的单调性求得函数的最值．

2．求解应用题的方法与步骤

(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．