8.2 赋权图
第八章 图与网络分析
16
赋权图 网络
赋权图：设图G＝(V,E）,对G的每一条边(vi,vj)相应赋 予数量指标 wij ， wij 称为边 (vi,vj) 的权 , 赋予权的图 G 称 为赋权图。赋权图中的权可以代表距离、费用、通 过能力(容量)等等。 网络：若G＝(V,E）为一赋权图,并在其顶点集合V中 指定了起点和终点，其余的点为中间点，这样的赋 权图称为网络图（简称网络）。
v2 9 v1 20
10
v3
15 7 v4 14 6 19 25
v5
v6
子图，支撑子图
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}，如果有
V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 ，则称G1是G2的一个 支撑子图。 v2
v1 e4 e3 v3 e6 e8 e6 e2
第8章 图与网络优化
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A C B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？
A
D
C
B 欧拉证明了上述图形一笔画 是不可能的，因为图中每一个 点都只和奇数条线相关联． 他的结论是：图形能一笔画 的充要条件是图形的奇顶点 （连接奇数条线的顶点）的个 数为零
图的基本性质：
定理1 图G=（V,E），顶点次数之和等于所有边数的2 倍。
证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每 条边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
Ch8环状管网水力计算与水力工况分析
e2 v3
e3 1 0 0 0 0 1 e4 0 1 1 0 0 0 e5 0 0 0 1 1 0 e6 1 1 0 0 0 0 e7 0 v1 1 v2 0 v3 0 v4 1 v5 0 v6
v4
基本关联矩阵
J*N阶关联矩阵的秩为J-1。
任意(J-1)*N阶矩阵为基本关联矩阵。
e1 Bk G 0 0 1 0 0 e2 0 0 1 1 0 e3 1 0 0 0 0 e4 0 1 1 0 0 e5 0 0 0 1 1 e6 1 1 0 0 0 e7 0 v1 1 v2 0 v3 0 v4 1 v5
7、生成树和最小树
生成树：连通图的一个子图，包含全部节点和连
接各节点的分支，但不包含任何回路。
图8-1-4 以分支阻抗为权的有向赋权图
v1 e6
s 6 = 2 103
v2
e7
s 7 = 8 103
v5
s 3 = 2 102
s 4 = 6 102
s 5 = 4 103
e3
e4
e5
e1 v6
s 1 = 6 103
v1
e6
v2
e7
v5
e3
e4
e5
e2 v6 v3 v4
8.2 恒定流管网特性方程组及求解方法
一、节点流量平衡方程组
根据节点质量守恒，可得节点流量方程（连续性
方程）
b Q
j 1 ij
N
j
qi
矩阵表示
BQ q
节点流量平衡方程组
Bk Q q'
N个管段流量未知数， 1个方程 J N J 1
第七章 赋权法ppt课件
一、统计平均法（专家打分法）
统计平均数法（Statistical average method）是根据所选择的 各位专家对各项评价指标所赋予的相对重要性系数分别求其 算术平均值，计算出的平均数作为各项指标的权重。其基本 步骤是： 第一步，确定专家。一般选择本行业或本领域中既有实际工 作经验、又有扎实的理论基础、并公平公正道德高尚的专家； 第二步，专家初评。将待定权数的指标提交给各位专家，并 请专家在不受外界干扰的前提下独立的给出各项指标的权数 值； 第三步，回收专家意见。将各位专家的数据收回，并计算各 项指标的权数均值和标准差； 第四步，分别计算各项指标权重的平均数。
.
现有m个待评项目，n个评价指标，形成标准化后的 数据矩阵为R，rij表示第i个项目第j个指标的数值。
r11 r12
R
r21 rm1
r22 rm2
r1n
r2n
rm3
rm4
mn
设Vj，（j=1，2，…，n）表示某个指标各个项目的最大离差，
V j rm axrm in
m
m
rm axm i a 1 x { rij} ,rm inm i i1 n { rij} ,第 j列 的 最 大 ， 最 小 值
.
.
.
三、因子分析权数法
.
.
.
.
.
.
.
.
1 = 1 . 0 4 7 * 0 . 3 8 7 0 6 4 8 0 . 3 3 3 8 * 0 . 1 9 5 . 6 2 3 9 . . . 0 . 0 8 7 * 0 . 0 7 5 2 0 3 1 0 . 5 7 9
.
.
1.1专家估测法
.
1.2 加权统计法
离散数学王元元习题解答 (9)
第三篇图论第八章图8.1 图的基本知识内容提要8.1.1 图的定义及有关术语定义8.1 图（graph）G由三个部分所组成：（1）非空集合V(G)，称为图G的结点集，其成员称为结点或顶点（nodes or vertices）。
（2）集合E(G)，称为图G的边集，其成员称为边(edges)。
I（3）函数ΨG：E(G)→(V(G)，V(G))，称为边与顶点的关联映射（associatve mapping）。
这里（V(G)，V(G)）称为VG的偶对集，其成员偶对（pair）形如（u，v），u，v为结点，它们未必不同。
ΨG(e) = (u,v)时称边e关联端点u，v。
当(u,v)用作序偶时(V(G)，V(G)) =V(G)⨯V(G)，e称为有向边，e以u为起点,以v为终点, 图G称为有向图（directed graph）；当(u,v)用作无序偶对时，(u,v) = (v,u)，称e为无向边（或边），图G称为无向图（或图）。
图G常用三元序组< V(G)，E(G)，ΨG>,或< V，E，Ψ>来表示。
显然，图是一种数学结构，由两个集合及其间的一个映射所组成。
定义8. 2 设图G为< V，E，Ψ>。
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。
本书只讨论有限图。
（2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足Ψ(e1) = Ψ(e2)的不同边e1,e2,为重边,或平行边。
（3）当Ψ(e)＝(v,v)（或<v,v>）时，称e为环（loops）。
无环和重边的无向单图称为简单图。
当G为有限简单图时，也常用（n，m）表示图G，其中n = |V |，m = |E |。
（4）Ψ为双射的有向图称为有向完全图；对每一(u，v)，u ≠v，均有e使Ψ(e)＝(u,v)的简单图称为无向完全图，简称完全图，n个顶点的完全图常记作K n。
（5）在单图G中，Ψ(e)＝(u,v)（或<u，v>）时，也用(u,v)(或<u,v>)表示边e，这时称u，v邻接e, u,v是e的端点（或称u为e的起点，v为e的终点）;也称e关联结点u , v 。
离散数学王元元习题解答
第三篇图论第八章图图的基本知识内容提要8.1.1 图的定义及有关术语定义图（graph）G由三个部分所组成：（1）非空集合V(G)，称为图G的结点集，其成员称为结点或顶点（nodes or vertices）。
（2）集合 E(G)，称为图G的边集，其成员称为边(edges)。
I（3）函数ΨG：E(G)→(V(G)，V(G))，称为边与顶点的关联映射（associatve mapping）。
这里（V(G)，V(G)）称为VG的偶对集，其成员偶对（pair）形如（u，v），u，v为结点，它们未必不同。
ΨG(e) = (u,v)时称边e关联端点u，v。
当(u,v)用作序偶时(V(G)，V(G)) =V(G) ?V(G)，e称为有向边，e以u为起点,以v为终点, 图G称为有向图（directed graph）；当(u,v)用作无序偶对时，(u,v) = (v,u)，称e为无向边（或边），图G称为无向图（或图）。
图G常用三元序组< V(G)，E(G)，ΨG>,或< V，E，Ψ>来表示。
显然，图是一种数学结构，由两个集合及其间的一个映射所组成。
定义8. 2 设图G为< V，E，Ψ>。
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。
本书只讨论有限图。
（2）当ΨG 为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足Ψ(e1) = Ψ(e2)的不同边e1,e2,为重边,或平行边。
（3）当Ψ(e)＝(v,v)（或<v,v>）时，称e为环（loops）。
无环和重边的无向单图称为简单图。
当G为有限简单图时，也常用（n，m）表示图G，其中n = ?V ?，m = ?E ? 。
（4）Ψ为双射的有向图称为有向完全图；对每一(u，v)，u ? v，均有e使Ψ(e)＝(u,v)的简单图称为无向完全图，简称完全图，n个顶点的完全图常记作Kn。
（5）在单图G中，Ψ(e)＝(u,v)（或<u，v>）时，也用(u,v)(或<u,v>)表示边e，这时称u，v邻接e, u,v是e的端点（或称u为e的起点，v为e的终点）;也称e关联结点u , v 。
离散数学复习3
3
4
5
21
4、图的运算
1、删边、删点
2、删边集、删点集 3、收缩 4、交、并、环和
22
图的运算
1.删除运算 删边：从G中删去一边的子图，记为G-e 删点：从G中删去一点及其关联边所得的 子图，记为G-v
G
G-e
G-v
23
图的运算
删除边集：从G中删去边集E的子集E’所 得到的子图，记为G-E’ 删除点集：从G中删去点集V的子集V’及 它们的关联边所得的子图，记为G-V’
G
G-E’
G-V’
24
图的运算
2.收缩运算：
设图G中边e，它的端点为vi和vj，现删去边e，
并把vi和vj合并为新的一点vi-j，使原来与vi或vj
关联的边变为与新的点vi-j关联，称边e被收缩。
v1 v1 v5 v2 V4-5 v2
e
v4 v3
v3
25
图的运算
3.图的并、交、环和
设图G1=(V1,E1),G2=(V2,E2)
41
路与回路
在图G中，由弧组成的有限序列是弧序。 弧序的开始点记为v0，结束点记为vm。 弧序可以用有向边序列表示，也可以用顶点序列来表 示。 所有弧都不同的弧序即为有向迹，所有顶点都不同的 弧序即为有向路。
若v0= vm的有向迹，则称为有向闭迹，否则称有向开迹。 若v0= vm，而其余顶点都不相同的弧序，则称为有向闭路， 否则称有向开路。
15
图的同构
a c A B
b
d
a-A, b-B, c-C, d-D 观察点a:(a,b) ,(a,c),(a,d) 观察它对应的映射点A： (A,B),(A,C),(A,D) 其余的点都有这种点对点，边对边的映射关系。 这两个图都表现出“图中每一个顶点都与其他3
运筹学6(图与网络分析)
定义7：子图、生成子图（支撑子图）
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。
图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图： 如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图： 如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当G中每个顶点的出 次等于入次。
② 15
9 10
离散数学第8章图论
第8章 图论
两图同构的必要条件:
(1) 结点数相等; (2) 边数相等; (3) 度数相同的结点数相等。 但这不是充分条件。例如下图中(a)、(b)两图虽然满足以上 3条件,但不同构。(a)中的x应与(b)中的y对应,因为次数都是3。 但(a)中的x与两个次数为1的点u,v邻接,而(b)中的y仅与一个次数 为1的点w邻接。
A
C
B
第8章 图论
8.1 图的基本概念
8.1.1 图 定义8.1―1 一个图G是一个三重组〈V(G),E(G),ΦG〉,其中
V(G)是一个非空的结点(或叫顶点)集合,E(G)是边的集合,ΦG是从
边集E到结点偶对集合上的函数。一个图可以用一个图形表示。 例1设G=〈V(G),E(G),ΦG〉,其中V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4, e5,e6,e7},ΦG(e1)=(a,b),ΦG(e2)=(a,c),ΦG(e3)=(b,d), ΦG(e4)=(b,c),ΦG(e5)=(d,c),ΦG(e6)=(a,d),ΦG(e7)=(b,b)
第8章 图论
定理8.2―2在一个具有n个结点的简单图G=〈V,E〉
中,如果经v1有一条简单回路,则经v1有一条长度不超过n 的基本回路。
定义 8.2―3 在图 G=〈V,E〉中 , 从结点 vi 到 vj 最短路径
的长度叫从 vi 到 vj 的距离 , 记为 d(vi,vj) 。若从 vi 到 vj 不存在 路径,则d(vi,vj)=∞。 注意,在有向图中,d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi),但一般地 满足以下性质:
其中V3=V1∩V2,E3=E1∩E2,记为G3=G1∩G2。 (3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。 其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉, G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1G2。
离散数学作业册
第一章命题逻辑1.1 命题与逻辑联结词1.判断下列语句是否是命题，不是划“×”，是划“√”，且指出它的真值.(1)所有的素数都是奇数. ( ) 其真值( )(2)明天有离散数学课吗？ ( ) 其真值( )(3)326+>． ( ) 其真值( )(4)实践出真知. ( ) 其真值( )(5)这朵花真好看呀！( ) 其真值( )(6)5x=．( ) 其真值( )(7)太阳系外有宇宙人．( ) 其真值( )2.将下列命题符号化．(1)如果天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.(3)我们不能既划船又跑步．(4)大雁北回，春天来了.3.将下列复合命题分解成若干个原子命题，并找出适当的联结词.(1)天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.1.2 命题公式1. 判断下列各式是否是命题公式，不是的划“×”，是的划“√”．(1)(Q→R∧S). ( )(2)((R→(Q→R)→(P→Q)). ( )(3) (P∨QR)→S. ( )(4)((⌝P→Q)→(Q→P)). ( )2．写出五个常用命题联结词的真值表.1.3 真值表与等价公式1.指出下列命题的成真赋值与成假赋值．(1)⌝(P∨⌝Q).(2)⌝P→(Q→P).2.构造真值表，判断下列公式的类型．(1)(P∧Q)∧⌝(P∨Q).(2) P→(P∧┑Q))∨R.3.用等值演算法验证下列各等价式．(1) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)⇔T.(2)P→(Q∧R)⇔(P→Q)∧(P→R).(3)⌝(P∨Q)∨(⌝P∧Q)⇔⌝P．1.4 蕴涵式及其他联结词1.试证明下列各式为重言式．(1)(P→Q)∧(Q→R)⇒(P→R)．(2) (P→Q)→Q⇒P∨Q．(3)⌝(P↓Q)⇒⌝P↑⌝Q．2.将下列公式化成与之等价且仅含{┑，∨}中联结词的公式．(1) (P∨Q)∧┑P(2) (P→(Q∨┑R))∧(┑P∧Q)3.证明{⌝，∧}是最小全功能联结词组.4.设A、B、C为任意的三个命题公式，试问下面的结论是否正确？(1)若A∧C⇔B∧C，则A⇔B．(2)若⌝A⇔⌝B，则A⇔B．(3)若A→C⇔B→C，则A⇔B．1.6 对偶与范式1.试给出下列命题公式的对偶式．(1)T∨(P∧Q)．(2)⌝(P∧Q)∧(⌝P∨Q)．2.试求下列各公式的主析取范式和主合取范式．(1) (P→(Q∧R))∧(┑P→(┑Q→R))．(2)(⌝(P→Q)∧Q)∨R．(3)(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R)).3.试用将公式化为主范式的方法，证明下列各等价式．(1) (┑P∨Q)∧(P→R)⇔P→(Q∧R)(2) ┑(P↔Q)⇔(P∧┑Q)∨(┑P∧Q)1.7 推理理论1.试用推理规则，论证下列各式．(1) ┑(P∧┑Q),┑Q∨R,┑R⇒┑P(2) P∨Q,Q→R,P→S,┑S⇒R∧(P∨Q)(3) ┑P∨Q,┑Q∨R,R→S⇒P→S(4) P∨Q,P→R,Q→S⇒R∨S第二章谓词逻辑2.1 词的概念与表示1.用谓词表达写出下列命题．(1)高斯是数学家，但不是文学家.(2)小王既是运动员也是大学生.(3)张宁和李强都是三好学生.(4)若是x奇数，则2x不是奇数.2.2 命题函数与量词1.用谓词表达式写出下列命题．(1)每个计算机系的学生都学离散数学.(2)直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B.(3)不存在既是奇数又是偶数的自然数.(4)没有运动员不是强壮的.(5)有些有理数是实数但不是整数.(6)所有学生都钦佩某些教师.2.3 谓词公式与变元的约束1.利用谓词公式翻译下列命题． (1)没有一个奇数是偶数.(2)一个整数是奇数，如果它的平方是奇数.2. 设个体域为自然数集N ，令P(x)：x 是素数；E(x)：x 是偶数； O(x)：x 是奇数；D(x ，y)：x 整除y ．将下列各式译成汉语． (1)∃x(E(x)∧D(x ，6))．(2)∀x(O(x)→∀y(P(x)→⌝D(x ，y)))．3.指出下列表达示中的自由变元和约束变元，并指明量词的辖域． (1)()()(,)()()x F x Q x y xP x R x ∀∧→∃∨．(2)∀x(P(x ，y)∨Q(z))∧∃y(R(x ，y)→ ∀zQ(z))．4.设个体域为A ＝{a ，b ，c}，消去公式∀xP(x)∧∃xQ(x)中的量词．2.4 谓词演算的等价式与蕴含式1.试证下列等价式或蕴涵式,其中A(x),B(x)表示含x自由变量的公式,A,B 表示不含变量x（不论是自由的还是约束的）的公式.(1)（∀x A(x)→B）⇔(∃x(A(x)→B))．(2)（∃x A(x)→B）⇔∀x(A(x)→B)．2.试将下列公式化成等价的前束范式．(1)∃x（（┑∃yP(x,y)）→(∃zQ(z)→R(x))）．(2)∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))．2.5 谓词演算的推理理论1.证明下列推理．(1)所有有理数都是实数，某些有理数是整数。
离散数学试卷及答案(24)
一、填空题：）1．设}4,}3{,,2{a A =，}1,4,3,}{{a B =，请在下列每对集合中填入适当的符号：⊆∈,。
（1）}{a B , (2) }}3{,4,{a A 。
2．设}1,0{=A ，N 为自然数集，⎩⎨⎧=是偶数。
，是奇数，，x x x f 10)( 若A A f →：，则f 是 射的，若A N f →：，则f 是 射的。
3．设图G = < V ，E >中有7个结点，各结点的次数分别为2，4，4，6，5，5，2，则G 中有 条边，根据 。
4．两个重言式的析取是 ，一个重言式和一个矛盾式的合取是 。
5．设个体域为自然数集，命题“不存在最大自然数”符号化为 。
6．设S 为非空有限集，代数系统>⋃<,2S 中幺元为 ，零元为 。
7．设P 、Q 为两个命题，其De-Morden 律可表示为 。
8．当8=G 时，群>*<,G 只能有 阶非平凡子群，不能有 阶子群，平凡子群为 。
二、单项选择题：（每小题1分，本大题共15分）1．设}16{2<=x x x A 是整数且，下面哪个命题为假（ ）。
A 、A ⊆}4,2,1,0{ ； B 、A ⊆---}1,2,3{ ；C 、A ⊆Φ ；D 、A x x x ⊆<}4{是整数且。
2．设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ，则B －A 是（ ）。
A 、}}{{Φ ；B 、}{Φ ；C 、}}{,{ΦΦ ；D 、Φ。
3．下图描述的偏序集中，子集},,{f e b 的上界为 （ ）。
A 、c b , ；B 、b a , ；C 、b ；D 、c b a ,,。
4．设f 和g 都是X 上的双射函数，则1)(-g f 为（ ）。
A 、11--g f； B 、1)(-f g ； C 、11--fg ； D 、1-fg 。
5．下面集合（ ）关于减法运算是封闭的。
A 、N ；B 、}2{I x x ∈ ；C 、}12{I x x ∈+ ；D 、}{是质数x x 。
《离散数学》图论 (上)
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
图论—基本概念
3) 两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj) 或<vi，vj>的重数；
4) 含有平行边的图称为多重图； 5) 非多重图称为线图； 6) 无自回路的线图称为简单图。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
G3＝<V3,E3>＝<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>,
<3,5>,<4,5>}>
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几个基本概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的 还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和 vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
设V＝{v1, v2,…,vn}为图G的结点集，称 (deg(v1),deg(v2),…,deg(vn))为G的度数序列。
上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。
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例
1) （3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？ 为什么？
2) 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点 的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什 么？
对任意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者
(u,v)∈V&V相对应。
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图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
图论模型(最优连线问题、最短路问题)
v3
8.1 最优连线问题（最小生成树）
例1 现需从自来水厂接自来水管道到各个城镇，自 来水厂到各城镇之间铺设自来水管道价格如下，问 如何铺设最经济。
A 8 B
5
E 1
7 6
水厂
3 10
D 9
C
分析： ①显然铺设的自来水管道要连通各个顶点； ②铺设的管道中如果有回路，则去掉一条边，仍可 行。 故所铺设的管道是连通各个顶点且没有回路的 图形，称为图G的生成树。 我们的目标是寻找一颗图G的生成树，其各条 边的权之和最小，称为最小生成树。 1956年，Kruskal给出了一种求最小生成树的 算法，称为避圈法。
e2 e5
e4
M
v2
v3
v4
v4
0 0 0 1
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
e3
v3
例3
v1 2 v2
v1 v1 v2 v3 v4
3 7
8
M
v2
v3
v4
v4
0 7
2 0 8
0 5
3 0
5
lv; v; s(k+1)=v; k=k+1; u=s(k); end l z 输出结果为： l=0 2 1 7 3 6 9 12 z=1 1 1 6 2 5 4 5
注：l输出的是u1到u1、u2、…、u8各个顶点的 最短路径距离。 z输出的是最短路径中u1、u2、…、u8的父节点。
%求从u0到uj0的最短路径 disp('起点为u1.'); j=input('输入终点u'); disp('下面求从起点u1到终点'); j, disp('的最短路径。'); lj=[]; while j~=1 lj=[[j],lj]; j=z(j); end lj=[[1],lj]; lj 例如求u1到u8的最短路径，程序执行后输出为：1 2 5 6 8 各位有兴趣还可以考虑将图可视化，点击屏幕输入终点以及 在图形上输出显示最短路径。
《综合评价方法》PPT幻灯片PPT
xi*j m 1ii xn nijxij (1in,1jm).
或
x i* j 1 m 1 ia x x n ijx ij (m 1 ia x nx ij 0 ,1 i n ,1 j 版社
12
8.2 评价指标体系的构建及其预处理方法
8.2.4 评价指标的预处理方法
(3) 向量归一化法
对于极大型指标，令 xi* jxij
n
xi2 j (1in,1jm ).
i1
对于极小型指标，令 xi* j1xij
n
xi2 j (1in,1jm ).
(4) 极差变换法
i 1
对于极大型指标，令 xi* jm 1 ia x x n ijx ijm 1 ii m 1 n n iix n n ijxij (1in,1jm ).
8.4.2 TOPSIS 法
⑷ 计算各评价对象到正理想解和负理想解的距离.
m
m
d i* (z ij z * j)2 ,d i (z ij z j)2(i 1 ,2 , ,n ).
j 1
j 1
⑸ 计算各评价对象对理想解的相对接近度，
Ci
di di* di
(i 1,2,
, n)..
⑹ 根据相对接近度Ci (i 1,2, ,n)对各评价对象进
j０
2021/5/17
数学建模实用教程－高教出版社
7
8.2 评价指标体系的构建及其预处理方法
8.2.3 评价指标的筛选方法
(3) 极大极小离差法
① 求出第 j项指标的最大离差
d j 1 m i, a k x n { |x i j x k j|} ( j 1 ,2 ,,m ) .
② 求出最小离差
运筹学—第八章 图与网络分析
v5 1 v6 7 1 v7 －5 －3
e1 {v1 , v2 }
e3 {v2 , v3 }
e2 {v1 , v2 }
e4 {v3 , v4 } e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 } e9 {v6 , v6 }
v1
第二节 树 一、 树的概念和性质 例8.3 已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v6 v5 v2
v3
v4
定义9 一个连通的无圈的无向图叫做树。
作为树T的定义，下列定义是等价的： （1）T是一个树。（设其顶点数为n ，边数为 m ） （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1 。 （4）T无圈，但在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。 （5）T中任意两个顶点之间有且仅有一条链。 （6）T连通，但去掉T的任一条边，T就不连通。
( vi , v j )
一、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 T 为0，其余节点均给T标号， (vi ) (i 2 , 3,, n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
e1 v1
e2 e5
e8 v5
v2
d(v1)= 4，d(v6)= 4
e10 v6 e9
e3 e v4 4 e6 e7 v3
第八讲网络最优化模型【共61张PPT】
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
求解最短路问题实际上就是找一条总长度最短的路 线，对于这样的最短路问题，可以建立0-1整数规划数学
模型求解（如下图）。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
为简化求解过程，可以建立专门的最短路求解模型 ，用计算机求解：可以将图中各条边和每条边是的权数 直接录入到求解模型中，直接得到结果。因此可以称下 图就是一个最短路问题的数学表述模型。
条路，使两点间的总距离为最短。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
例8.1 如下图所示，某人每天从住处S开车到工作地T上
班，图中各弧旁的数字表示道路的长度（千米），试问 他从家出发到工作地，应选择哪条路线，才能使路上行 驶的总距离最短？
第八讲 网络最优化模型
最短路模型的基本特征
最短路模型
1、在网络中选择一条路，始于发点（源点）,终于收点（目的
条道路及道路维修。工期和所需劳动力见下表。该公司共 有劳动力120人，任一工程在一个月内的劳动力投入不能超 过80人，问公司应如何分配劳动力以完成所有工程，是否能按
期完成？
工程 A．地下通道 B．人行天桥 C．新建道路 D．道路维修
工期和所需劳动力
工期 5～7月 6～7月 5～8月
8月
需要劳动力（人） 100 80 200 80
赵●
(v1)
e1
e3
钱● (v2)
●孙 (v3) e4
●李 (v4)
第八讲 网络最优化模型
基本概念
图
7、 回路 始点和终点重合的路叫做回路。上图中（v3，v5，v6
，v7，v4 ，v3）就是一条回路。
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⑦ ABEFCD 长度为14；
⑧ ABCD 长度为12； ⑨ A对BC于F大E规D 模长复度杂为赋17权图，这种方法显然是不现实的， 所以也，不A到易D计的算最机短上通实路现是。A需F要CD寻，找A合到适D的的求距解离算为法3。。
二、Dijkstra算法
问题：从某个顶点出发，求到达各个顶点的最短路径。
对于简单图，当e=(vi,vj)(或e=<vi,vj>)时，也把w(e)记做 wij。
v3
5 e4
v4
3 e3
e2 8
v1
e1
6
v2
二、边权矩阵
设赋权图G=<V,E,w>, V={v1,v2,…,vn}
令aij为：
aij
wij (vi, vj)E（ <vi, vj>E ） (vi, vj)E （<vi, vj>E ）
转②； ⑤ 输出u到其它各个结点的最短通路的长度L(v)。
二、Dijkstra算法（续）
例 对于赋权图G1，求其中结点v1到各结点的最短通路？ 解 根据Dijkstra算法步骤，可得如下运算过程：
从上可知，结点v1到结点v2的最短通路为v1v2，距离为1； 结点v1到结点v3的最短通路为v1v2v3，距离为3；结点v1到 结点v4的最短通路为v1v2v3v5v4，距离为7；结点v1到结点 v5的最短通路为v1v2v3v5，距离为4；结点v1到结点v6的最 短通路为v1v2v3v5v4v6，距离为9。
算法核心：结点u到结点集V 的距离为：
d(u, V ) = minvV {d(u, v)} 等价于 d(u, V ) = min vV，xV {d(u, v) + w(v, x)}
Dijkstra 算法
基本符号： L表示从结点u到各个结点的通路的长度的当前最小值；
S表示已求得最短通路的结点集合。
并规定wii=0,
则称(aij)n╳n为G的权矩阵,记作W(G)。
例：
v3
5
v4
3 8
v1
6
v2
0 6
W
(G)
3
0
8 0
5
0
8.2.2 最短通路问题
一、最短通路问题
设G=<V,E,w>是n阶简单赋权图(有向或无向) 通路(回路)的长度：通路(回路)上各边的长度之
和；
u到v的最短通路：从u到v的所有通路中具有最 小长度的通路。
从图G知，A到D的所有简单通路有：
① AFED 长度为6；
枚举法
② AFEBCD 长度为13； ③ AFCD 长度为3；
（或穷举 法）
④ A通FC过B列E举D 出长所度有为简14单；通路及其长度，然后从中选择具有
⑤ A最D小长长度度为的1通0；路，得到问题的解。
⑥ ABED 长度为13；
u到v的距离：u到v的最短通路的长度，记为 d(u,v)。
最短通路问题就是在赋权图中寻找一个结点到 另一个结点的具有最小长度的通路。
一、 最短通路问题（续）
例如，图G是一个描述城市A、B、C、D、E和F的公路交通图，图 中的每一条边的权对应于各城市之间公路的长度。任意两个城 市之间可能有多条公路，求出长度最小的公路具有实际的意义 。这就对应于赋权图的最短通路问题。
二、Dijkstra算法（续）
Dijkstra算法步骤如下： ① 初始化：u = v1；L(u) = 0；L(vi) = （i = 2, 3, …, n）
；S = ； ② 如果|S| = n，转⑤； ③ 从VS中选取具有最小值L(v)的v，令S = S {v}； ④ 对于所有xVS，令L(x) = min {L(x)，L(v)+ w(v, x)}；
离散数学
第4篇 图论基础
§8.2 赋权图
赋权图
权矩阵
最短通路问题
求解最短路径问题的Dijkstra 算法 最短路径问题的应用
8.2.1 赋权图的定义
一、赋权图
对图G=<V,E>(有向或无向)的每条边e都附加一个实数w(e)，
将w(e)称为e的权，或者e的长度， 将G称为赋权图或带权图，记做G=<V,E,w>， 其中的w：ER，称为图G的权函数。
三、最短通路问题的应用
作业
P336 第27大题