梁的弹性弯曲变形与刚度计算问题
梁的抗弯曲刚度计算公式
梁的抗弯曲刚度计算公式梁是工程结构中常见的构件，其抗弯曲性能对结构的整体稳定性和安全性具有重要影响。
在工程设计中，需要对梁的抗弯曲性能进行计算和分析，以确保结构的安全可靠。
梁的抗弯曲刚度是评价其抗弯曲性能的重要参数之一，本文将介绍梁的抗弯曲刚度计算公式及其应用。
梁的抗弯曲刚度是指梁在受到外力作用时抵抗弯曲变形的能力。
在工程设计中，通常使用弹性理论来计算梁的抗弯曲刚度。
根据弹性理论，梁的抗弯曲刚度与梁的几何形状、材料性能和受力情况有关。
一般来说，梁的抗弯曲刚度可以通过以下公式进行计算：EI = K (b h^3) / 12。
其中，EI表示梁的抗弯曲刚度，单位为N·m^2；K为梁的截面形状系数；b为梁的宽度，单位为m；h为梁的高度，单位为m。
上述公式中的截面形状系数K反映了梁的截面形状对其抗弯曲性能的影响。
对于不同形状的截面，其截面形状系数K也不同。
一般来说，矩形截面的梁的截面形状系数K为1/3，而对于其他形状的截面，则需要根据具体情况进行计算。
在实际工程中，可以通过有限元分析等方法来确定梁的截面形状系数K。
梁的抗弯曲刚度计算公式可以应用于不同类型的梁，包括悬臂梁、简支梁和连续梁等。
在实际工程设计中，需要根据具体的受力情况和结构要求来选择合适的计算方法。
下面将分别介绍悬臂梁、简支梁和连续梁的抗弯曲刚度计算方法。
对于悬臂梁而言，其一端固定，另一端悬空。
在计算悬臂梁的抗弯曲刚度时，需要考虑悬臂梁的受力情况和截面形状。
一般来说，可以通过悬臂梁的截面形状系数K和悬臂长度来计算悬臂梁的抗弯曲刚度。
具体计算方法如下：EI = K (b h^3) / 3 L。
其中，L表示悬臂长度，单位为m。
对于简支梁而言，其两端都可以自由转动。
在计算简支梁的抗弯曲刚度时，需要考虑简支梁的受力情况和截面形状。
一般来说，可以通过简支梁的截面形状系数K和梁长来计算简支梁的抗弯曲刚度。
具体计算方法如下：EI = K (b h^3) / 3 L。
梁的强度和刚度计算
梁的强度和刚度计算强度是指梁抵抗外力的能力。
梁的强度计算一般包括了两个方面：弯曲强度和剪切强度。
其中，弯曲强度是指梁在受到弯曲作用时的承载能力，剪切强度是指梁在受到剪切力作用时的承载能力。
弯曲强度的计算通常基于弹性理论，其中最常用的方法是根据梁的截面形状和材料的弹性模量来计算梁的截面抵抗力矩。
弹性模量是材料的一种力学性质，它衡量了材料在受力后产生的应变程度。
根据梁的截面形状和边界条件，可以计算出梁在弯曲作用下的最大应力和最大应变。
将最大应力与材料的弯曲强度进行比较，就可以判断梁是否满足设计要求。
剪切强度的计算也是基于弹性理论。
梁在受到剪切力作用时，梁内部会发生剪切变形。
剪切强度的计算包括两个方面：剪切应力和剪切变形。
剪切应力是指剪切力对梁截面的作用，剪切变形是指梁截面产生的剪切位移。
剪切强度的计算要求同时满足两个条件：剪切应力小于材料的剪切强度，剪切变形小于允许的变形限制。
刚度是指梁在受到力作用后的变形程度。
梁的刚度决定了梁的承载能力和结构的稳定性。
刚度的计算通常考虑梁的弹性变形和塑性变形两个方面。
弹性变形是指梁在小荷载下的弯曲变形，主要涉及梁的截面形状、材料的弹性模量和梁的长度等因素。
塑性变形是指梁在大荷载下的弯曲变形，主要涉及梁的屈服强度、截面形状和材料的塑性性质等因素。
根据梁的受力情况，可以计算出梁的弯曲刚度和剪切刚度。
弯曲刚度表示梁在受到弯曲作用时的抵抗变形能力，剪切刚度表示梁在受到剪切力作用时的抵抗变形能力。
在梁的强度和刚度计算中，需要根据具体的工程要求和设计规范进行。
梁的截面形状、材料的性质和受力情况都会对强度和刚度的计算结果产生影响。
因此，工程师需要根据具体情况选择适当的计算方法和模型进行计算。
同时，还需要进行合理的验算和对比，确保梁的设计满足强度和刚度的要求。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
梁的变形与刚度计算
查表，得
y
C
y
4
Cq
y
Cm
l
q
A
2 5ql ml 384EI 16 EI
()
Bq
θA θAq θAm
3 ml ql 24 EI 3EI
Aq
m
A
C y cq
(
)
Bm
Am
C ycm
θB θBq θBm
3 ml ql 24 EI 6 EI
(
2
3
ml 16 EI
ml 3EI ml 3EI 一、梁的刚度条件
w
max
L
w L
max
1 1 w (对土建工程: ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此 条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
梁的变形及刚度计算 一、基本概念（挠度、转角、挠曲线） 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵 向对称平面
x
A
y
B
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x
例题求图示梁截面B的挠度
q A EIz
a C
B
L
解法1：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视 为图(1)和图(2)两种情况的叠加
q A EIz
a C
B
L L c q (2) B
q A c L (1) B A
a
q
梁的变形与刚度计算
(e) 结果（转角和挠度方程）。 AC段
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pb 2 2 EIv1 ' EI 1 (l b 2 3x1 ) 6l (0 x1 a) EIv Pb (l 2 b 2 x 2 ) 1 1 6l
CB段
Pb 2 2 3l 2 2 EIv2 ' EI 2 6l l b 3x b x 2 a (a x 2 l ) EIv Pb l 2 b 2 x 2 x l x a 3 2 2 2 6l b
例9-4。图示杆系中，AB和CD梁的抗弯为EI，BD杆的拉压刚度是EA，不计剪切变形的影响，求BD
杆的内力。
A
B l/2
解(a) 确定静不定梁的基本结构 取D为多余约束
A
R'D
B
C
l
D
D (1)
RD
C
(2)
D
(b) 求变形几何关系
vD1 vD2
(c) 求物理关系
l 3 RD l 2 R l l D 3EI EA 3EI 2 EA R' D l 3 ql 4 8 EI 3EI
第 9 章
梁的变形与刚度设计
DESIGN OF BEAMS FOR BENDING DEFLECTIONS
一。 弯曲变形概念
y
θ
P
受载荷作用后，梁的轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线 在平面弯曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内的平 面曲线。梁弯曲后的轴线称为挠曲线。
x
O
v
梁截面有沿垂直方向的线位移v，称为挠度；相对于原截面转过的角位移θ，称为转角 挠曲线是一条连续光滑平面曲线，其方程是
梁的变形及刚度条件
f
三、梁的刚度条件
• 1、最大挠度：在建筑工程中，通常只校核 梁的挠度，不校核梁的转角，一般用f表示 梁的最大挠度。 • 2、许用挠度：用[f ]梁的允许挠度，通常用 允许挠度和跨长的比值 作为校核标准， • 3、刚度条件：梁在荷载作用下产生的最大 挠度与跨长的比值不能超过许用的单位长 度的挠度来表示刚度条件：
• 梁的变形与跨长l的三次或四次冪成正比，设法减小梁的跨度，将 会有效地减小梁的变形 • 1、将简支梁的支座向中间适当移动， • 2、在梁的中间增加支座。
（三）改善荷载的分布情况
• 1、将集中力分散作用 • 2、改为分布荷载
第七节梁的变形
• 一、挠度与转角
• 1、挠曲线：梁在荷载作用下产生弯曲变形后， 其轴线为一条光滑的平面曲线； • 2、挠度：梁任一横截面形心在垂直于杆轴方向 竖向位移CC'； • 3、转角：梁内任一横截面在梁变形后，绕中性 轴转过的角度，称为该截面的转角， • 4、挠度与转角的关系：
二、用叠加法求梁的变形
• 一般钢筋混凝土梁的
• 钢筋混凝土吊车梁的
例题9-25
• 一简支梁由№28b工字钢制成，跨中承受一集中 荷载，已知F=20kN，l=9m，E=210Gpa，［］ ＝170MPa， 。试校核梁正应力强度和 刚度。
•最大弯矩
•查表№28b工字钢 •强弯曲刚度EI • 1、由于同类材料的E值相差不多； • 2、增大惯性矩 I • 使材料尽量分布在远离中性轴的地方 • 通常采用工字形、箱形、圆环形截面 （二）减小梁的跨度
• 1、根据：由于梁的变形与荷载成线性关系。 所以，可以用叠加法计算梁的变形。 • 2、方法：即先分别计算每一种荷载单独作 用时所引起梁的挠度和转角，然后再将它 们代数相加，就得到梁在几种荷载共同作 用下的挠度或转角。
梁的弯曲刚度计算
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
【解】 1) 求梁的最大挠度。查表6.1知，该梁最大挠度发生在 自由端B截面处，其值为
wmax
ql4 8EI
(↓)
2) 刚度校核。梁的最大挠跨比为
wmax l
ql3 8EI
80kN/m 23m3 8 2.2 104 kN m2
力学
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
梁的弯曲刚度计算
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往还要对梁进行
刚度计算。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中：wmax、max——梁的最大挠度和最大转角；
[w]、——许用挠度和许用转角。根据梁的用途，其值可在
有关设计规范中查得。
在建筑工程中，通常采用最大挠度wmax与跨度l之比，即最大挠 跨比限制在许用的挠跨比范围内，即
3.64103
w l
1 200
该梁满足刚度条件。
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
【例6.7】 图示悬臂工字钢梁，长度l=3.5m，荷载F=12kN，已知
材料的许用应力=170MPa，弹性模量E=210 MPa，梁的许用挠跨
比
w l
=
1 。试按强度条件和刚度条件选择工字钢型号。
400
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
目录
力学
wmax l
w l
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
梁的许用挠跨比
w l
可从设计规范中查得，一般在
1 200
～1
1000
之间。并且，如果梁的强度条件满足，一般刚度条件也能满足。但
梁的变形分析与刚度问题
在Oxw坐标系中，挠度与转角 存在下列关系：
dw tan
dx
在小变形条件下，挠曲线较为
平坦，即很小，因而上式中 tan。于是有
dw
dx
w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。
梁的变形分析与刚度问题
wD0,D0
wC wC
光滑条件： C C 或 写C左 成C右
梁的变形分析与刚度问题
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续 条件）确定。
优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
梁的变形分析与刚度问题
梁的曲率与位移
根据上一章所得到 的结果，弹性范围内的挠 度曲线在一点的曲率与这 一点处横截面上的弯矩、 弯曲刚度之间存在下列关 系：
1＝ M
EI
梁的变形分析与刚度问题
挠度与转角的相互关系
梁在弯曲变形后，横截面的 位置将发生改变，这种位置的 改 变 称 为 位 移 ( displacement)。 梁的位移包括三个部分：
另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的 变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧 即为一例。这种情形下也需要研究变形。
此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补 充方程。
梁的变形分析与刚度问题
梁的位移分析与刚度问题
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方 程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方 程。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变 形的叠加法。此外，还将讨论简单的静不定梁 的求解问题。
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
梁线刚度计算公式
梁线刚度计算公式
梁线刚度可以通过弯曲、拉伸和剪切三种形式进行计算。
具体的公式如下：
弯曲刚度计算公式：
梁线的弯曲刚度可以通过以下公式计算：
EI = k * D / (2 * Phi)
其中EI表示梁的弯曲刚度，k表示梁的弹性系数，D表示梁的弯曲变形，Phi表示梁的弯曲角度。
如果梁的截面形状、材料和长度确定，那么EI值也是固定的。
拉伸刚度计算公式：
梁线的拉伸刚度可以通过以下公式计算：
EA = F / deltaL
其中EA表示梁的拉伸刚度，F表示梁的受力大小，deltaL表示梁的拉伸变形。
如果梁的截面积和材料确定，那么EA值也是固定的。
剪切刚度计算公式：
梁线的剪切刚度可以通过以下公式计算：
GA = k / tau
其中GA表示梁的剪切刚度，k表示梁的剪切模量，tau表示材料的剪切应力。
剪切刚度与梁线的剪切变形有关，当材料的剪切应力发生变化时，剪
切变形也会相应改变。
需要注意的是，梁线的刚度计算公式根据不同的应力状态而有所不同。
在实际工程中，根据梁的材料、截面形状和受力情况，通常采用适当的刚
度计算公式来计算梁线的刚度。
梁线刚度的计算是结构力学中的基础问题之一，通过准确计算梁线的
刚度，可以帮助工程师在设计过程中确保结构的稳定性和安全性。
同时，
梁线刚度的计算也为设计者提供了选择材料和截面形状的依据，以满足实
际工程要求。
弯曲变形与刚度计算
三、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
y=f (x)
小变形
四、转角与挠曲线的关系： tg dy y
(1)
dx
五、 梁的挠曲线近似微分方程
M>0
y(x) 0 y
M<0
y
y(x) 0
x
1 M z (x)
EI z
(1)
1
(1
y(x) y2)
三种刚度计算：
、校核刚度： 、设计截面尺寸； 、设计载荷。
f
max
L
f L
(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，
刚度常处于从属地位。特殊构件例外。）
LOGO
yC
5qa 4 24 EI
Pa 3 6EI
(a) θB,yC q
M =q 2
A
C
/2
(b) θC BA
习题 12.2图
(b) θC,yC q
BA
P=q /6
B
C
/2
习题 12.2图
七、梁的刚度校核
梁的刚度条件
f
max
L
f L
(对土建工:程 Lf
(
1 250
~
1 )) 1000
其中 [f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下
LOGO
5.4 弯曲变形与刚度计算
一、 概 述
研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。
二、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用y表示。 向下为正，单位：m或mm。
C
y
6-3梁弯曲时的变形和刚度条件、7-1
§6-3 梁弯曲时的变形和刚度条件课时计划：讲授3学时教学目标：1．理解梁弯曲变形时挠度和转角的概念；2．掌握梁的刚度计算方法及刚度条件。
教材分析:1．重点为梁弯曲变形时挠度和转角的概念；2．难点为梁的刚度计算方法及刚度条件。
教学设计：本节课的主要内容是讲解梁弯曲变形时挠度和转角的概念以及梁的刚度计算方法。
重点为梁弯曲变形时挠度和转角的概念，在此基础上进一步掌握梁的刚度计算方法并建立梁弯曲时的刚度条件。
通过对教材例题的讲解，使学生在此过程中进一步理解弯曲变形，进而学会利用弯曲梁的刚度条件解决工程实际问题。
第1学时教学内容：一、挠度和转角本节课的主要内容是讲解梁弯曲变形时挠度和转角的概念。
因为材料力学研究强度与刚度，强度问题要计算应力，刚度问题要计算变形，本节讲梁的弯曲变形。
图示为简支梁弯曲变形时，变形前梁轴线是直线，受力F 弯曲变形后轴线是光滑平面曲线，变形前后梁轴线简化如下图所示。
横截面nn 移''n n ，形心C 到'C 点。
横截面形心在垂直于原轴线方向的位移，称为截面的挠度，用ω表示；横截面相对于原来位置转过的角度，称为该截面的转角，用θ表示。
截面形心轴线方向位移很小,高阶微量,可省略不计。
弯曲变形后梁的轴线变成一条连续而光滑的平面曲线，称为挠度曲线，简称挠曲线。
在图示的Oxw 坐标系中，表示挠曲线的方程为w ＝w(x)称为挠度方程。
由于轴线是各截面形心的连线，故该方程中的x 为变形前截面位置的横坐标，ω为变形后该截面的挠度。
由于截面转角等于挠度曲线在该截面的切线与x 轴的夹角，小变形有：()x w x w '==≈d d θθtan即任一截面转角近似等于挠度方程对x 的一阶导数。
所以挠度和转角的数值都可以由挠度方程及其一阶导数确定，只要有了挠度方程，就可以计算挠度和转角。
公式中挠度向上为正值,向下为负值；转角逆时针方向为正值,顺时针方向为负值。
由表可知，在一定外力作用下，梁的挠度、转角都和材料的弹性模量E 与截面惯性矩z I 的乘积z EI 成反比。
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
在自由端承受集中力P作用的悬臂梁AB长度为l，
EI为常数。试求其转角与挠度方程，以及最大的转角
θmax与挠度ymax。
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
一、单项选择题
1、通常我们用（
A.挠度和转角 答案：A
）度量梁的弯曲变形。
C.角应变 D.应变
B.单位长度扭转角
bh3 8b 4 I1 12 12
hb 2b 1 I2 I1 12 12 4
3 4
bh2 4b 3 W1 6 6
hb 2 2b 3 1 W2 W1 6 6 2
wmax 2 4wmax 1
max 2 2 max 1
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
就能减小 max 。而梁的最大挠度和转角却与整个梁的 EI 都有关， 局部加大
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
2、如图所示，高宽比h/b=2的矩形截面梁，若将梁的横截 面由竖放改为平放，其它条件不变，则梁的最大挠度和最大正
应力分别为原来的——倍。
A.2和2 B.4和2 F
F
C.4和4
D.8和4
c h
z
y b
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
答案：B
wmax 与 EI 成反比， max 与 W 成反比。
一、单项选择题
3、在等直梁的最大弯矩所在截面附近，局部加大横截面的尺寸（ ）。
A.仅对提高梁的强度是有效的 C.对提高梁的强度和刚度都有效 B. 仅对提高梁的刚度是有效的 D. 对Wz
，式中 W z 是 M max 所在截面的抗弯截面系数，加大它 并不能显著地减小变形。 I
结构位移和刚度—梁的变形和刚度计算(建筑力学)
1.挠曲线近似微分方程 2.用积分法求变形
y(x)
M (x) EI
EI (x) M (x)dx C1
三、用叠加法求梁的变形
EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
叠加法 — 梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和。
课后作业：《建筑力学》 教材课后练习题
梁的变形计算
例-2 图示简支梁AB，试用叠加法求跨长中点的变形线位移yC和角位移A、B。
M0
q
A
C
B
解 ：梁上作用荷载可以分为两个简
l
单荷载单独作用。
q
A
B
ycq l C B1
M0
ycq
A
B
l C B2
查书中变形附录表，采用叠加法
求代数和得
yC
yCq
yCM 0
5ql 4 384EI
M 16
l2
0
EI
1
y
(1
y2
)
3 2
从而得出挠曲线近似微分方程为 y(x) M (x)
EI
2.用积分法求变形
对于等截面直梁有EIy(x) =Ｍ(x) ,分离变量进行积分，即得转角
方程 EI (x) M (x)dx C1 ，挠曲线方程 EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
梁的变形计算
例1 图示悬臂梁AB，自由端作用集中力偶M0 ，EIz为常量，试用积分法求
梁的转角方程和挠曲线方程。
M0 解：1.建立坐标确定弯矩方程
A
B
x l
M (x) M0
2.列挠曲线近似微分方程并积分，得
EI (x) M 0 x c1
EIy(x)
简支梁刚度问题回答
简支梁刚度
简支梁刚度指的是在外力作用下，梁发生弯曲变形时所具有的抵抗能力。
梁的刚度主要取决于梁的几何尺寸、材料特性以及支承条件等因素。
对于简支梁而言，其刚度与梁的截面形状、截面面积、材料的弹性模量和长度等因素相关。
简支梁的刚度可以通过弯曲刚度来描述。
弯曲刚度是指在相同外力作用下，梁发生相同的弯曲变形所需施加的弯矩大小。
弯曲刚度的计算公式为EI，其中E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。
在实际应用中，我们通常使用挠度来表示简支梁的刚度。
挠度是指在相同外力作用下，梁的最大变形量。
挠度越小，说明梁的刚度越大。
挠度的计算需要考虑梁的长度、截面形状、截面尺寸等因素。
在工程实践中，为了满足建筑物的使用要求，要求简支梁的刚度应该在一定范围内。
一般来说，短梁的刚度比较高，而长梁的刚度相对较低。
此外，梁的截面形状、尺寸和所选材料的弹性模量也会影响梁的刚度。
在实际设计中，需要综合考虑各种因素，确定合理的梁的尺寸和材料，以满足工程需求。
总之，简支梁的刚度取决于多种因素，包括梁的长度、截面形状、尺寸和材料的弹性模量等。
在工程实践中，需要综合考虑各种因素，以确定合理的梁的尺寸和材料，以达到满足工程需求的目的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
qx 3 2 3 w (l 2lx x ) 24 EI
由对称性可知, 在两 端支座 x ＝ 0 和 x ＝ l 处, 转角的绝对值相 等且都是最大值
y q A
A
wmax B
B
x
l/2
max
3 A ql B 24 EI
q w (l 3 6lx 2 4 x3 ) 24 EI
ql FA FB 2
q 2 EIw M ( x) (lx x ) 2
(b)
y FA A x l
q
FB B x
q EIw M ( x) (lx x 2 ) 2
(b)
积分两次
q lx 2 x3 EIw ( ) C1 2 2 3 3 4 q lx x EIw ( ) C1 x C2 2 6 12 (c)
y A C C1 B x
w
挠度符号？
挠度
B'
挠度(w): 横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方 向的线位移, 称为该截面的挠度(Deflection) 。
y A
C
C1 B
转角
x
转角符号？
B'
转角 (): 横截面绕中性轴(即 Z轴 )转过的角度（或 角位移）, 称为该截面的转角(Slope rotation angle) 。
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
7-1
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大
的弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形， 以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
取梁的左端点为坐标原点 , 梁变形前的轴线为 x 轴 , 横截面的铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。
(d)
y
简支梁的边界条件是
在x＝0处, w＝0 在x＝l处, w＝0
FA A x
q
FB B
x
l
代入(c)、(d)式确定出 积分常数
ql 3 C1 24
C2 0
q w (l 3 6lx 2 4 x3 ) 24 EI
q lx 2 x3 EIw ( ) C1 2 2 3 q lx3 x 4 EIw ( ) C1 x C2 2 6 12
y
F
B
(3) 确定积分常数
A x
在x＝0处, w＝0
在x＝0处, ＝0
x
l
代入式(a)和(b), 得： C1＝0,
C2＝0
(4) 建立转角方程和挠度方程 将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b), 得梁 的转角方程和挠度方程分别为： y
Flx Fx 2 w EI 2 EI
y F C B x
A
C1
w(挠度)
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。 挠曲线方程:
w f ( x)
y F
式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该 点的挠度。
A C C1 B
x
w(挠度)
挠曲线
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
y
A
例 2: 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁 , 在全梁上 受集度为 q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线 方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax和最大 转角max 。 y
解: 由对称性可知 , 梁的两个支反力为
FA q
FB
B x
A
x l
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M ( x) x qx (lx x 2 ) 2 2 2 (a)
A
I x D l II
B
Fb FA l
Fa FB l
将梁分为I和II两段, 其弯矩方程分别为
b M 1 FA x F x l b M 2 F x F ( x a) l (0 x a)
(a x l )
两段梁的挠曲线方程分别为
梁段I ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M 1 F b x l
梁的弹性弯曲变形与刚度的 计算问题
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
工程中的弯曲变形问题 梁的挠曲线近似微分方程 积分法计算梁的变形 叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算及提高梁刚度的措施 简单超静定梁 梁的弯曲应变能
9.1 工程中的弯曲变形问题
弯曲构件除了要满足强度条件外, 还需满足刚度条 件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。
C C1
F B
x
w(挠度)
挠度与转角的关系：
(转角)
tan w f ( x)
9.2 挠曲线的近似微分方程
M 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 EI 横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁 的位移的影响, 则 1
1 M ( x) ( x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。 转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。
y
F
A C B
x
C1
w(挠度)
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题 必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后, 在x轴方向 也有线位移。 但在小变形情况下 , 梁的挠度远小于跨长 , 横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于 高阶微量, 可略去不计。
梁段II ( a x l)
b EIw2 M 2 F x F ( x a ) l
2 2 b x F ( x a ) EIw2 F C2 l 2 2
积分一次 2 b x 得 转 角 方 EIw1 F C1 l 2 程
再积分一 次得挠曲 线方程
称为近似的原因: (1) 略去了剪力的影响; (2)略 去了w'2项。
9.3 积分法求弯曲变形
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量, 上式可改写成
EIw M ( x)
上式积分一次得转角方程
EIw M ( x)dx C1
再积分一次, 得挠度方程
EIw M ( x)dx dx C1 x C2
Fab(l a ) B 6lEI
简支梁的最大挠度应在 w' ＝ 0 处。研究第一段 梁, 令w'1＝0得
Fb 1 2 1 w1 [ (l b 2 ) x 2 ] 0 2lEI 3
FA
A x a I F D l b II FB B
l b x1 3
2 2
1 w M ( x) 3 2 ( x) EI (1 w ) 2
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
y M M＜0 w’’<0 O x M
曲线向上凸 时： w’’<0, M＜0 曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0 因此, M与w’’的正负号相同。
b x3 EIw1 F C1 x D1 l 6
b x 3 F ( x a )3 EIw2 F C2 x D2 l 6 6
注意：在对梁段 II进行积分运算时 , 对含有 (x-a) 的弯矩 项不要展开, 而以(x-a)作为自变量进行积分, 这样可使下 面确定积分常数的工作得到简化。
Flx Fx w 2 EI 6 EI
2 3
F
A x
B wma
max
x
x
l
(5) 求最大转角和最大挠度 自由端B处的转角和挠 2 EI
wmax w x l
Fl 3 3EI
所得的挠度为负值, 说明B点向下移动; 转角为 负值, 说明横截面B沿顺时针转向转动。
转角方程
1 w1
Fb 1 2 Fb l 1 [ (l b 2 ) x 2 ] 2 w2 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2lEI 3 2lEI b 3
挠曲线方程
Fbx 2 w1 [l b 2 x 2 ] 6lEI Fb l w2 [ ( x a)3 x3 (l 2 b 2 ) x] 6lEI b
则：当F从梁中点位置向B支座移 动时，b值减小时，x从0.5L向 0.577L趋近（F接近B点时）；
b II
FB B
此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠 度与最大挠度应该差距较大。 在极端情况下 , 当 b非常小 , 以致 b2与 l 2项相比 可以略去不计时 Fb wmax w1 |x x1 (l 2 b 2 )3 9 3lEI
wC wC C C
A
B
不可能
讨论：
①适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲 ②用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移
③积分常数由挠曲线变形边界条件确定
④优点：使用范围广，直接求出较精确；
缺点：计算较繁
例1： 图示一抗弯刚度为 EI的悬臂梁 , 在自由端 受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角 方程, 并确定其最大挠度wmax和最大转角max 。 解：以梁左端A为原点, y F 取直角坐标系 , 令 x 轴 A B 向右, y轴向上为正。 x
(1) 列弯矩方程
x
l
M ( x) F (l x) Fl Fx
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分
EIw M ( x) Fl Fx
EIw M ( x) Fl Fx