排队系统分析分解

现实中有许多服务系统，其顾客的到达具有下述特征：
（1）无后效性：任一时段的到达数不受前一时段的影响； （2）平稳性：顾客到达是均匀的；（3）稀有性：瞬时内 只可能有1个顾客到达。
称具有上述特征的输入为泊松流，其在 t 时段内到达n
个顾客的概率为
Pn (t )
(t )n
n!
e t
,n
0,1,
即参数为 t 的泊松分布。
讨论问题
1、这家银行如何解决出现的具体问题：能否立即为他办理手续？
2、这家银行服务质量有问题吗？如果有，存在什么问题？
3、Βιβλιοθήκη Baidu家银行选址规划有问题吗？如果有，存在什么问题？
4、这家银行的设施布置有问题吗？如果有，存在什么问题？
5、这家银行的排队系统设计有问题吗？如果有，存在什么问题？
引导案例
6 ……
“我就现在办！”一位又高又瘦的顾客冲着窗口里面的服务员高声叫 喊着。随着这声叫喊，本来就不平静的营业大厅荡起一阵骚动。“你是普 通卡，请您换取‘人民币业务’号排队”，胸前挂着“营业经理”标示牌 的女士耐心地解释着。“有什么用，我原来取的是‘人民币业务’197号 ，已经等了40多分钟，鬼才知道还要等多久。最令人可气的是，别人一 刚进来就办手续，这平等吗。我就现在办！”这位顾客涨红着脸。营业经 理坚决地说，“现在叫的是‘金卡’号，现在请您等候，您不能影响银行 的工作。”经理的这句话显然激怒了这位顾客，甚至说出过激的话语： “… …，我就现在办，谁来也没用。”
3
2
1
VIP专柜
银行窗口
引导案例
6 ……
3
2
1
银行窗口
引导案例
➢种瓜
✓散客户等的时间少了 ✓VIP客户等的时间也少了
➢没有得瓜
✓散客户不满意 ✓VIP客户也不满意
排队系统分析
（Queueing Systems Analysis）
第一节 排队的基本概念 第二节 到达与服务的规律 第三节 M/M/1排队模型 第四节 M/M/C排队模型 第五节 M/G/1排队模型 第六节 排队系统优化
这家银行为什么种瓜没有得瓜?（续）
时间到了2005年2月6日。今天是星期日，春节前的最后一个星期天 。你知道的，2月8日就是大年三十了！与其他储蓄所一样， ELZH储蓄所 里面挤满了人，不断有顾客进进出出，有的顾客在大厅里四处走动，随便 取些理财方面的宣传材料打发时间，排队机在机械地叫着号，声音听起来 也不如以前悦耳动听了。不过，好在场面还算在控制之中。
第一节 排队的基本概念
一. 排队系统的组成
顾 到达 客
源
队列
服 务 离去 机 构
现实世界中形形色色的排队系统
到达的顾客
要求服务的内容
服务机构
不能运转的机器 修理技工 电话呼唤
修理 领取修配零件 通话
修理技工 发放零件的管理员 交换台
1. 输入过程
（1）顾客源：分为 • 无限 (如电话呼唤)
• 有限 m （如车间里待修理的机器）
（2）到达规律：指到达间隔时间T 的分布 分为 • 定长 D • 负指数 M • k阶爱尔朗 Ek
2. 排队规则
（1）损失制 指顾客到达时若所有服务实施均被占用，则
顾客自动离去。
（2）等待制 指顾客到达时若所有服务实施均被占用，则留
下来等待，直至被服务完离去。
等待的服务规则又可分为 • 先到先服务（FCFS） • 后到先服务（LCFS）
例1 （M / M / 1 / / /FCFS）表示：
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分布，1个 服务台，顾客源无限，系统容量也无限，先到先服务。
若只讨论先到先服务的情况，可略去第6项。
三.排队问题的求解
主要是计算描述系统运行状态的指标：
1. 队长和排队长
队长：系统中的顾客数；其概率分布称状态概率，记为Pn， 表示系统中有n个顾客的概率；队长的平均值记为Ls。
由概率论知识可知，泊松分布的参数即其均值。因此，
的含义是单位时间到达系统的平均顾客数，即到达率。
下面考察，当顾客按泊松流到达时，其到达的间隔时间 T 是服从什么分布呢？
因为到达为泊松流，所以，t时段内没有来顾客的概率为
P0
(t
)
(t )0
0!
e
t
e t ,
所以， t时段内有顾客到来（即间隔T t ）的概率为
P (T t ) 1 e t，即F (t ) 1 e t
（3）混合制 分为 • 系统容量有限制 • 等待时间有限制
3.服务机构
（1）服务台个数
C
1 1
(并列多台)
（2）服务规律：指服务时间 v 的分布 分为 • 定长 D • 负指数 M • k阶爱尔朗 Ek • 一般分布 G
二. 排队模型的表示
用记号（X/Y/Z/A/B/C）表示，其中 X：顾客到达时间间隔的分布 Y：服务时间的分布 Z：服务台个数 A：系统容量 B：顾客源数量 C：服务规则
排队长：系统中正在排队等待的顾客数，记其均值为Lq。
2 . 逗留时间和等待时间
逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间，记为W，其均 值记为Ws。
等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间，记其均值为 Wq 。
第二节 到达与服务的规律
一.到达的规律
到达间隔（时间） 描述顾客到达规律可从两方面 到达数（人数）
这家银行为什么种瓜没有得瓜?（续）
随着事态的发展，顾客们由窃窃私语变成了对这位顾客的声援，大 家你一句，他一句，七嘴八舌：“你们就是不对，办理同样的业务，有 钱人就可以与别人不同吗？”“你们这是在为谁服务？”“如果这样下 去，我们就不会再来了。” 更出乎大家意料的是，一位储蓄所工作人 员扔出一句骂人的话，然后，重重地摔上门，溜进后台。“她在骂人， 把她揪出来！”“她的号码是多少，向总行反映。”“这丫头我是认定 她了，除非她不露面。”一时间，场面极度混乱，令人目不忍睹……
引导案例
案例文本
这家银行为什么种瓜没有得瓜?
“本营业所已搬到马路对面ZX路××号，给您带来了不便，敬请 谅解，……”梁大爷读着这则通知，微微点点头，“这下好了，这下 好了，以后存钱、取钱、交话费再也不用穿行这条让人堵心的马路了 。”
一走进新的营业大厅，梁大爷就在工作人员的引导下取号，就座 等候。与老储蓄所相比，这里不用站着排队。营业大厅宽敞明亮、窗 明几净，新装的银灰色座椅干净整齐。窗口增加了，一米警戒线没有 了，顾客是坐在服务台前的转椅上办理手续的。“这里的环境真是太 好啦！我得尽快告诉邻居。”梁大爷脸上绽出了灿烂的笑容。