概率的基本性质
概率的基本性质
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事 件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一 面向上，这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事 件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，
高中数学必修二课件：概率的基本性质
一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件 及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解． 答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小 明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的 编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖， 其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.
概率的基本性质-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
10.1 随机事件与概率
10.1.4概率的基本性质
课程标准
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机
事件与样本点的关系。了解随机事件的并、交与互斥的含义，
能结合实例进行随机事件的并、交运算；
2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事
件的概率；
3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；
什么关系?（大家可以大胆猜想！）
探究 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，
2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球. =“两次都摸
到红球”， =“两次都摸到绿球”.
（1）、这两个事件有什么关系?
（2）事件、事件的和事件是什么？
（3）()、()与( ∪ )的值有什么关系？
性质5:(概率的单调性) 如果 ⊆ ，那么() ≤ ().
新知讲解
问题4 摸球试验中， =“第一次摸到红球”， =“第二次摸到
红球”，“两个球中有红球”= ∪
（1）( ∪ )和() + ()相等吗?如果不相等,请你说明原
因，并思考如何计算( ∪ ).
( ∪ ) = () + () − ( ∩ ).
与性质3的区别是:性质3的事件是互斥的；
但性质6的事件是两个随机事件；
性质3是性质6的特殊情况.
概念生成
性质1：对任意的事件，都有() ≥ .
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
即() = ，(∅) = .
（2）特殊的事件有哪些？他们的概率分别是多少？
（3）事件间有哪些特殊关系？他们的概率之间有哪些关系？
概率的基本性质【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
2,P(E∪F)=P(E)+P(F)=0.
特别地,当事件A或事件B至少有一个是不可能事件时,A∩B=∅,此时也有P(A∩B)=0.
12
因为P(A)=0.
45,P(AB)=0.
P(A1)+P(A2)+…+P(Am)
P(A)+P(B)-P(A∩B)
5
45,P(AB)=0.
12
2,P(E∪F)=P(E)+P(F)=0.
摸出白球的概率为 P(C).
因为 P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9,且 P(A)+P(B)+P(C)=1,
所以 P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1,
所以 P(B)+P(C)=0.7.
答案:A
0.6
2.若 E,F 是互斥事件,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,则 P(F)=
事件 B 为对立事件,所以 P(B)=1-P(A)=1-0.95=0.05.
5.拔高练袋中装有大小、质地相同的红球、黑球、黄球、
1
3
绿球各若干个,从中任取一球,得到红球的概率是 ,得到黑球或
5
12
5
12
黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率是 ,试求得到黑球、
黄球、绿球的概率各是多少.
解析:因为E,F是互斥事件,
P(A)+P(B)-P(A∩B)
解析:因为E,F是互斥事件,
解析:因为E,F是互斥事件,
15,所以P(B)=0.
提示:若事件A与事件B互斥,则A∩B为不可能事件,此时有P(A∩B)=0.
45,P(AB)=0.
10.1.4 概率的基本性质
10.1.4 概率的基本性质课标要求素养要求通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养.教材知识探究甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.问题甲获胜的概率是多少？提示甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3，则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3.概率的基本性质一般地，概率有如下性质：概率的基本性质是解决与概率问题有关问题的重要依据，望同学们一定要牢记性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).教材拓展补遗[微判断]1.任一事件的概率总在(0，1)内.(×)2.不可能事件的概率不一定为0.(×)3.必然事件的概率一定为1.(√)4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，恰好是正品的概率为0.96.(√)5.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于23.(√)提示 任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故1、2错. [微训练]1.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( ) A.16B.13C.12D.1解析 事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是16，所以“向上的数字是5或6”的概率是16＋16＝13. 答案 B2.事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.2，则P (B )＝________.解析 因A 与B 是对立事件，所以P (A )＋P (B )＝1，即P (B )＝1－P (A )＝0.8. 答案 0.83.事件A 与B 是互斥事件，P (A )＝0.2，P (B )＝0.5，求P (A ∪B ). 解 因为A 与B 互斥，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.2＋0.5＝0.7. [微思考]1.在同一试验中，设A ，B 是两个随机事件，若A ∩B ＝∅，则称A 与B 是两个对立事件，此说法对吗？提示 不对，若A ∩B ＝∅，仅能说明A 与B 的关系是互斥的，只有A ∪B 为必然事件，A ∩B 为不可能事件时，A 与B 才互为对立事件.2.在同一试验中，对任意两个事件A ，B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )一定成立吗？ 提示 不一定.只有A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )才成立.题型一 互斥事件概率公式的应用应用公式时要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和【例1】(1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝16，求出现1点或2点的概率.(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝310，P(B)＝12，求这3只球中既有红球又有白球的概率.解(1)设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A、B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝16＋16＝13，所以出现1点或出现2点的概率是13.(2)因为A、B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝310＋12＝45，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是4 5.规律方法(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.【训练1】在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18).解记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥.(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18)的概率分别为0.82，0.38，0.24.题型二对立事件概率公式的应用若题中含有“至多”“至少”等字眼时，通常考虑用对立事件公式求解概率 【例2】 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率.解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率p ＝1－12－13＝16.即甲获胜的概率是16.(2)法一 设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23.法二 设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23.即甲不输的概率是23.规律方法 对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.【训练2】 某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率.解 某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶”为事件A ，则其对立事件B 为“未中靶”，于是P (A )＝1－P (B )＝1－0.05＝0.95. 所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95. 题型三 概率性质的综合应用【例3】 某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：0.19. (1)求x 的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？每个个体被抽到的可能性都是nN(3)已知y ≥245，z ≥245，求九年级中女生比男生少的概率. 解 (1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380.(2)九年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为5002 000×48＝12.(3)设九年级女生比男生少为事件A ，则A －为九年级女生比男生多或九年级男生和女生同样多.九年级女生数、男生数记为(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，y ，z ∈N .满足题意的所有样本点是(245，255)，(246，254)，(247，253)，…，(255，245)，共11个，事件A －包含的样本点是(250，250)，(251，249)，(252，248)，(253，247)，(254，246)，(255，245)，共6个.∴P (A －)＝611.因此，P (A )＝1－611＝511.规律方法 求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.【训练3】 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解 (1)记“他乘火车”为事件A ，“他乘轮船”为事件B ，“他乘汽车”为事件C ，“他乘飞机”为事件D .这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P (A ∪D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7. 即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为p ，则 p ＝1－P (B )＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.一、素养落地1.通过学习概率的基本性质提升数学抽象素养.通过随机事件概率的运算培养数学运算素养.2.互斥事件概率的加法公式是一个基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).3.求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.二、素养训练1.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于()A.0.3B.0.7C.0.1D.1解析∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.答案 A2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A.A⊆BB.A＝BC.A＋B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3解析A＋B表示A与B的和事件，即A＋B表示向上的点数是1或2或3，故选C.答案 C3.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8解析因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.答案 C4.小明需要从甲城市编号为1～14的14个工厂或乙城市编号为15～32的18个工厂中选择一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B，则P(A＋B)＝()A.325 B.58 C.916 D.14解析P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1432＋632＝58.答案 B基础达标一、选择题1.若A，B是互斥事件，则()A.P(A∪B)<1B.P(A∪B)＝1C.P(A∪B)>1D.P(A∪B)≤1解析∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1). 答案 D2.某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为()A.0.5B.0.3C.0.6D.0.9解析此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5，故选A.答案 A3.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为()A.13 B.14 C.16 D.112解析 从1，2，3，4中选取两个不同数字组成所有两位数为：12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共12个样本点，其中能被4整除的有：12，24，32，共3个样本点，所以这个两位数能被4整除的概率为p ＝312＝14. 答案 B4.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.38C.58D.78解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，有16种不同的选法，周六、周日都有同学参加公益活动有16－2＝14(种)不同的选法，所以所求的概率为1416＝78. 答案 D5.下列四种说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件. 其中错误的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A ，B 为互斥事件时才有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，故②错； 因A ，B ，C 并不一定包括随机试验中的全部样本点， 故P (A )＋P (B )＋P (C )并不一定等于1，故③错； 若A ，B 不互斥，尽管P (A )＋P (B )＝1， 但A ，B 不是对立事件，故④错. 答案 D 二、填空题6.口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________.解析 由题意，得摸出是黄球的概率为0.64－0.45＝0.19， ∴摸出是红球或蓝球的概率为：1－0.19＝0.81. 答案 0.817.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.解析 由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928. 答案 19288.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中第二、三个军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，三个军火库都爆炸的概率为________.解析 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D 表示三个军火库都爆炸，则P (A )＝0.025，P (B )＝0.1，P (C )＝0.1.其中A 、B 、C 互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 答案 0.225 三、解答题9.一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数小于8环的概率.解 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A ，B ，C ，D ，E ，可知它们彼此之间互斥，且P (A )＝0.24，P (B )＝0.28，P (C )＝0.19，P (D )＝0.16，P (E )＝0.13.(1)P (射中10环或9环)＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“至少射中7环”与事件E “射中7环以下”是对立事件，则P (至少射中7环)＝1－P (E )＝1－0.13＝0.87. 所以至少射中7环的概率为0.87.(3)事件“射中环数小于8环”包含事件D “射中7环”与事件E “射中7环以下”两个事件，则P (射中环数小于8环)＝P (D ∪E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29.10.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＝13，P （B ＋C ）＝512，P （C ＋D ）＝512，P （A ＋B ＋C ＋D ）＝1， 则⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＋P （C ）＝512，P （C ）＋P （D ）＝512，13＋P （B ）＋P （C ）＋P （D ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＝14，P （C ）＝16，P （D ）＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.能力提升11.设事件A 的对立事件为B ，已知事件B 的概率是事件A 的概率的2倍，则事件A 的概率是________.解析 由题意得⎩⎨⎧P （A ）＋P （B ）＝1，P （B ）＝2P （A ），解得P (A )＝13，P (B )＝23. 答案 1312.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：(1)求有4人或5(2)求至少有3人外出家访的概率.解 (1)设派出2人及以下为事件A ，3人为事件B ，4人为事件C ，5人为事件D ，6人及以上为事件E ，则有4人或5人外出家访的事件为事件C 或事件D ，C ，D 为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，p ＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.创新猜想13.(多填题)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B －的概率为P (B －)＝________，事件A ＋B － (B －表示事件B 的对立事件)发生的概率为________.解析 由题意知，B －表示“大于或等于5的点数出现”，则P (B －)＝26＝13，事件A 与事件B －互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝46＝23. 答案 13 2314.(多填题)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________，任取出2粒恰好不同色的概率是________.解析易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.不同色的概率为1－1738＝1835.答案17351835。
概率的基本性质(614)
P244-练习10 ：抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色 骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等 于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4” （1）求事件A，B，C的概率；（2）求 A B, A B 的概率.
(4)统计某班同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都大于60分”
的对立事件为“所有同学的成绩都小于60分”． ( × )
(5)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． ( × )
掷骰子:A={1,2,3},B={1,3,5} A,B既不互斥也不对立
巩固——概率性质的运用
P241-例12.为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:
能中奖的样本数为18个， P(能中奖) 18 3. 30 5
巩固——概率性质的运用
P242-1.已知， (1)若B⊆A，则P(A∪B)=_____，P(AB)=_______.
命中 环数
6
7
8
9 10
(2)若A,B互斥，则(A∪B)=_____，P(AB)=__0_____.
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
P244-13 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；（1）命中
10环；（2）命中的环数大于8环；（3）命中的环数小于9环；（4）命中的环数
不超过5环.
分析：事件为命中某一 环数互斥
解：用x表示命中的环数，由频率表可得.
1 P(x 10) 0.2
解：样本空间可表示为 {(x, y) | x, y {1, 2,3, 4,5,6}} . ,n 36
概率的基本性质
描述事件发生的可能性大小的量度，记作 P(E)，其中E为事件。
必然事件
不可能事件
指在一定条件下，一定发生的事件。其概 率为1。
指在一定条件下，一定不发生的事件。其 概率为0。
概率的公理化定义
公理化定义
基于公理体系的定义方式，通 过公理化方法，将概率定义为 一种满足特定性质的数学对象
。
可数性公理
所有的可能结果都是可数的， 即可以列出所有可能的结果。
04
CATALOGUE
概率的乘法规则
独立事件的乘法规则
定义
如果两个事件A和B相互独立，那么 P(A∩B) = P(A)P(B)。
解释
如果事件A和B是独立的，那么事件A 的发生与否不会影响事件B的发生，反 之亦然。因此，两个独立事件的概率 乘积等于它们各自的概率。
互斥事件的乘法规则
定义
如果两个事件A和B互斥，那么P(A∩B) = 0 。
02
CATALOGUE
概率的基本性质
非负性
总结词
所有概率值都是非负的。
详细描述
根据概率的定义，任何事件的概率值都是非负的，即大于等于零。这是因为概 率被定义为事件发生的次数除以所有可能事件的次数，因此其值不可能为负数 。
规范性
总结词
所有事件的概率总和为1。
详细描述
在一个有限概率空间中，所有事件的概率总和等于1。这是概率的规范性性质，它确保了所有可能的后果被完全 考虑在内，并且每个后果的概率都被正确地分配。
方差的性质
方差的大小取决于随机变量的取值范围和分布形状 ，方差越小，随机变量的取值越集中，分布越稳定 。
方差的计算公式
方差是每个样本点与均值的差的平方的平均 值。
概率的基本性质
概率的基本性质概率是用来描述随机事件发生的可能性的数学工具。
在统计学和数学中，概率具有一些基本的性质。
本文将介绍概率的基本性质，包括概率的定义、概率的性质以及概率的运算性质。
一、概率的定义：1. 随机事件：随机事件是对结果不确定的事件的称呼，例如掷硬币的结果可能是正面或反面，这就是一个随机事件。
2. 样本空间：所有可能结果的集合称为样本空间，用S表示。
例如，掷硬币的样本空间是{正面，反面}。
3. 事件：样本空间的子集称为事件，用A、B等表示。
例如，正面朝上是一个事件。
4. 概率：概率是随机事件发生的可能性的度量，用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
二、概率的性质：1. 非负性：对于任何事件A，有0≤P(A)≤1。
2. 必然事件的概率：对于样本空间S，有P(S) = 1，即必然事件发生的概率为1。
3. 不可能事件的概率：对于空集∅，有P(∅) = 0，即不可能事件发生的概率为0。
4. 互斥事件的概率：如果两个事件A和B不可能同时发生，称它们为互斥事件，则有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
5. 加法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
这个公式表示事件A和B同时发生的概率等于各自发生的概率之和减去它们共同发生的概率。
6. 对立事件的概率：对于事件A的对立事件，记为A'，有P(A') = 1 - P(A)。
这个公式表示事件A不发生的概率等于1减去事件A发生的概率。
三、概率的运算性质：1. 乘法规则：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(B|A)P(A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
2. 全概率公式：对于一组互斥的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集为样本空间S，有P(A) = ΣP(A|Bi)P(Bi)，其中Σ表示求和。
3. 贝叶斯公式：对于一组互斥的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集为样本空间S，有P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi)/ΣP(A|Bj)P(Bj)，其中P(Bi|A)表示在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率。
概率的基本性质
D 1 {出现的点数不大于1}；D 2 { 出现的点数大于3}；
想一想? 这些事件之间有什么关系?
一:事件的关系与运算
(1)对于事件A与事件B，如果事件A发生， 那么事件B一定发生，则称事件B包含事
记；B A 件A，（或称事件A包含于事件B ）
B A
注: 1）不可能事件记作
2）任何事件都包含不可能事件
概率的基本性质
3.1.3
在掷骰子实验中，可以定义许多事件， 如 C 1 {出现1点}；C 2 {出现2点}；C 3 {出现3点}
C 4 {出现4点}；C 5 {出现5点}；C 6 {出现6点}
D 3 {出现的点数小于3}； E {出现的点数小于7}；F {出现的点数大于6}；； G {出现的点数为偶数}；H {出现的点数为奇数}；
4、课堂小结： 概率的基本性质： 1）必然事件概率为1， 不可能事件概率为0， 因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A与B互斥时，满足加法 公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件A与B为对立事件，则 A∪B为必然事件， 所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于 是有P(A)=1—P(B)；
1、如果某人在某比赛（这种比赛不会出现 “和”的情况）中获胜的概率是0.3，那么他 输的概率是多少？ 0.7 2、利用简单随机抽样的方法抽查了某校200 名学生。其中戴眼镜的学生有123人。如在 这个学校随机调查一名学生，问他的戴眼镜 的概率近似多少？ 0.615
3、某工厂为了节约用电，规定每天的用 电量指标为1000千瓦时，按照上个月的用 电记录，30天中有12天的用电量超过指标， 若第二个月仍没有具体的节电设施，试求 该月第一天用电量超过指标的概率近似值
概率的基本性质ppt课件
我们借助树状图来求相应事件的样本点数,
可以得到,样本空间包含的样本点个数为 n 6 5 30 , 解法二： 上述解法需要分若干种情况计算概率， 注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”。
因为n A1 A2
4 3 12，P A1 A2
12 2 30 5
所以PA 1 P A1 A2
所以P(R1)=P(R2)=6/12, P(R1UR2)=10/12.因此 P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2). 这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1, R2不是互斥的, 容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我 们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
解析 设事件 A=“中奖”,事件 A1 =“第一罐中奖”,事件 A2 =“第二罐中奖”,
那么事件 A1A2 =“两罐都中奖”, A1 A2 =“第一罐中奖,第二罐不中奖”,
A1A2 =“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且 A A1A2 A1 A2 A1A2 ,
因为 A1A2, A1 A2, A1A2 两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,
这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
练习1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别
为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．
[解析] (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B， 由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥 事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B. 故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.
数学知识点：概率的基本性质(互斥事件、对立事件)_知识点总结
数学知识点：概率的基本性质（互斥事件、对立事件）_知识点总结
数学知识点：概率的基本性质（互斥事件、对立事件）互斥事件：事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥。
对立事件：
两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做。
注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。
事件A+B的意义及其计算公式：
（1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。
（2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
（3）对立事件：P（A+）=P（A）+P（）=1。
概率的几个基本性质：
（1）概率的取值范围：[0,高考地理，1].
（2）必然事件的概率为1.
（3）不可能事件的概率为0.
（4）互斥事件的概率的加法公式：
如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1。
互斥事件与对立事件的区别和联系：
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。
因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。
概率的基本性质
请判断那种正确！
小结
概率的基本性质： 1）必然事件概率为1，不可能事件概率 为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：
P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为
必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，
于是有P(A)=1—P(B)；
3 .1 .3
概率的基本性质
复
习
1.请回忆集合之间的关系有哪 些？什么是子集，集合的相等？ 2. 集合之间的运算有哪些？
探 究
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件,例如 ：
C1={出现1点}； C2 ={出现2点} ； C3={出现3点}
C 4 ={出现4点}； C5={出现5点}； C6={出现6点} D ={出现点数为奇数} ; E ={出现点数为偶数} 类比集合与集合的关系、运算，你能发现它们之 请说出事件C1与D的关系. 间的关系与运算吗？ 事件C1发生，则事件D一定发生. 一个事件可能包含试验的多个结果.我们把每一 个结果可看作元素，而每一个事件可看作一个集合. 因此，事件之间的关系及运算几乎等价于集合之间 的关系与运算.
排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人以上 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.04
10.1.4 概率的基本性质
10.1.4 概率的基本性质基础过关练题组一概率的基本性质及应用1.(2020河南郑州一中高一期末)下列结论正确的是()A.事件A发生的概率P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件D.如果A⊆B,那么P(A)<P(B)2.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是()A.(54,2) B.(54,32) C.[54,32] D.(54,43]3.(2020辽宁省实验中学高一期末)下列说法正确的是()A.当A,B不互斥时,可由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)计算A∪B 的概率B.A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小C.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大4.(多选)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法错误的是()A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件B.(A1∪A2)∪A3是必然事件C.P(A2∪A3)=0.8D.P(A1∪A2)≤0.55.给出下列命题:①若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);②若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;③若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1.其中错误命题的个数是.题组二利用概率的基本性质求概率6.如果事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率是()A.0.4B.0.6C.0.8D.0.27.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为()A.15B.25C.35D.458.掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点,2点,3点,4点,5点,6点的概率均为16,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)=()A.15B.35C.23D.499.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+B(B表示事件B的对立事件)发生的概率为()A.13B.12C.23D.5610.(2020四川成都外国语学校高一月考)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.11.射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:命中环数10987概率0.320.280.180.12求该选手射击一次,下列事件的概率.(1)命中9环或10环;(2)至少命中8环;(3)命中的环数小于8.(1)求中二等奖的概率;(2)求不中奖的概率.能力提升练题组利用概率的基本性质求概率1.(2020湖北武汉华中师大一附中五校期末联考,)已知随机事件A 和B互斥,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.3,则P(A)=()A.0.5B.0.2C.0.7D.0.82.(2020吉林省实验中学高二期末,)已知随机事件A,B,C中,A与B 互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.93.()甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下成和棋的概率是()A.60%B.30%C.10%D.50%4.(2020四川成都七中高一期末,)在5件产品中,有3件一级品和2的是()件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为710A.都是一级品B.都是二级品C.一级品和二级品各1件D.至少有1件二级品5.(2019吉林长春外国语学校高二上期末,)某人忘记了电话号码的最后一个数字,随意拨号,则拨号不超过三次能接通电话的概率为()A.910B.310C.18D.1106.()一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,则摸出红球的概率为()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.47.(多选)()黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:血型A B AB O该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是()A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为18.()如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为 ,不命中靶的概率是 .9.()袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个,它们除颜色外完全相同,从中任取一球,得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 , , .10.()现有7名数理化成绩优秀者,其中A 1,A 2,A 3的数学成绩优秀,B 1,B 2的物理成绩优秀,C 1,C 2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.(1)求C 1被选中的概率;(2)求A 1和B 1不全被选中的概率.11.()甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若事件A 表示“和为6”,求P(A);答案全解全析基础过关练1.B 因为事件A 发生的概率0≤P(A)≤1,所以A 错误;不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,所以B 正确;小概率事件是指这个事件发生的可能性很小,但并不是不发生,大概率事件是指这个事件发生的可能性较大,但并不是一定发生,所以C 错误;由概率的性质5可知,如果A ⊆B,那么P(A)≤P(B),所以D 错误.2.D 由题意得,{0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A)+P(B)≤1,即{0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1,解得{1<a <2,54<a <32,a ≤43,即54<a ≤43,所以实数a 的取值范围是(54,43].3.A 根据概率的性质6,可知选项A 正确.对于两个不可能事件来说,同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等,均为零,故B 错误.当A,B 是对立事件时,P(A)+P(B)=1,但由P(A)+P(B)=1不能得到事件A 与B 是对立事件,故C 错误.事件A,B 中至少有一个发生包括事件A 发生且事件B 不发生,事件A 不发生且事件B 发生,事件A,B 同时发生;A,B 中恰有一个发生包括事件A 发生且事件B 不发生,事件A 不发生且事件B 发生.当事件A,B 互斥时,事件A,B 同时发生的概率为0,所以事件A,B中至少有一个发生的概率等于事件A,B中恰有一个发生的概率,故D错误.4.ABC事件A1,A2,A3不一定两两互斥,所以P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)≤0.5,P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)-P(A2A3)≤0.8,P[(A1∪A2)∪A3]≤1,所以(A1∪A2)+A3不一定是必然事件,无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件,所以A、B、C中说法错误.故选ABC.5.答案2解析只有当事件A,B为两个互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),故①不正确;只有事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,故②不正确;当A,B为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1,故③正确.6.B因为事件A与B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.又因为P(A)=3P(B),所以P(A)=0.6.7.C记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则A,B,C,D,E 两两互斥,取到理科书的概率为事件B,D,E概率的和.∴P(B∪D∪E)=P(B)+P(D)+P(E)=15+15+15=35.8.C记事件A i=“出现i点(i=1,2,3,4,5,6)”,则A=A1∪A3∪A5,B= A1∪A2∪A3,A∩B=A1∪A3,所以P(A)=36=12,P(B)=36=12,P(A∩B)=26=13,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=23.9.C由题意,知“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件,由概率的加法计算公式可得P(A+B)=P(A)+P(B)=26+26=23.10.答案1928解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928.11.解析记“射击一次,命中k环”为事件A k(k=1,2,3,…,10).(1)因为A9与A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.(2)记“至少命中8环”为事件B,则B=A8∪A9∪A10,又A8,A9,A10两两互斥,所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.(3)记“命中的环数小于8”为事件C,则事件C与事件B是对立事件,所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.(1)记“中二等奖”为事件A.由题意可知,事件A 包括两个互斥事件:x=5,x=6. 事件x=5的取法有2种,即(1,4),(2,3),故P(x=5)=210=15;事件x=6的取法有1种,即(2,4),故P(x=6)=110,所以P(A)=P(x=5)+P(x=6)=15+110=310.(2)记“不中奖”为事件B,则“中奖”为事件B ,由题意可知,事件B 包括三个互斥事件:中一等奖(x=7),中二等奖(事件A),中三等奖(x=4).事件x=7的取法有1种,即(3,4),故P(x=7)=110;事件x=4的取法有(0,4),(1,3),共2种,故P(x=4)=210=15.由(1)可知,P(A)=310.所以P(B )=P(x=7)+P(x=4)+P(A)=110+15+310=35.所以不中奖的概率P(B)=1-35=25. 能力提升练1.D ∵随机事件A 和B 互斥,∴P(A)=P(A ∪B)-P(B)=0.5-0.3=0.2,∴P(A )=1-P(A)=0.8.2.C 因为P(C)=0.6,事件B 与C 对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A 与B 互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.故选C.3.D “甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件,“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”,故P(甲不输)=P(甲获胜)+P(甲、乙下成和棋),所以P(甲、乙下成和棋)=P(甲不输)-P(甲获胜)=90%-40%=50%.4.D 设A 1,A 2,A 3分别表示3件一级品,B 1,B 2分别表示2件二级品.任取2件,则样本空间Ω={A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3,A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2,B 1B 2},共10个样本点,每个样本点出现的可能性相等.记事件A 表示“2件都是一级品”,包含3个样本点,则P(A)=310.记事件B 表示“2件都是二级品”,包含1个样本点,则P(B)=110.记事件C 表示“2件中1件一级品、1件二级品”,包含6个样本点,则P(C)=610=35. 事件A,B,C 两两互斥,所以P(B)+P(C)=P(B ∪C)=710,而B ∪C 表示“至少有1件二级品”.故选D.5.B 解法一:设“第i 次能接通电话”为事件A i (i=1,2,3),借助树状图求出相应事件的样本点数:因此,P(A 1)=110,P(A 2)=9×110×9=110,P(A 3)=9×8×110×9×8=110,所以拨号不超过三次能接通电话的概率为110+110+110=310.故选B.解法二:设“前三次都未接通”为事件A,则P(A)=9×8×710×9×8=710,所以拨号不超过三次能接通电话的概率为1-P(A)=1-710=310.故选B.6.B 设事件A=“摸出红球或白球”,事件B=“摸出黑球”,则事件A 与事件B 是对立事件,又∵P(A)=0.58,∴P(B)=1-P(A)=0.42.设事件C=“摸出红球或黑球”,事件D=“摸出白球”,则事件C 与事件D 为对立事件,又∵P(C)=0.62,∴P(D)=0.38.设事件E=“摸出红球”,则P(E)=1-P(B ∪D)=1-P(B)-P(D)=1-0.42-0.38=0.2.7.AD 任找一个人,其血型为A 、B 、AB 、O 型血的事件分别记为A'、B'、C'、D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O 型血可以输给B 型血的人,所以“可以输给B 型血的人”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A 正确;B 型血的人能为B 型、AB 型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B 错误;由O 型血只能接受O 型血的人输血知,C 错误;由任何人的血都可以输给AB 型血的人知,D 正确.故选AD.8.答案 0.55;0.10解析 设射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则P(A)=0.35,P(B)=0.30,P(C)=0.25,且A,B,C 两两互斥,故射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为P(B ∪C)=P(B)+P(C)=0.30+0.25=0.55,射手中靶的概率为P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.因为中靶和不中靶是对立事件,所以不命中靶的概率P(D)=1-P(A ∪B ∪C)=1-0.90=0.10.9.答案 14;16;1411 解析 设事件A,B,C,D 分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”,则事件A,B,C,D 两两互斥,根据题意,得{ P(A)=13,P(B)+P(C)=512,P(C)+P(D)=512,P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14.10.解析 用(x,y,z)表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,则对应的样本空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2)},共12个样本点.(1)记事件M=“C 1被选中”,则M={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 2,C 1),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 2,C 1),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 2,C 1)},共6个样本点.因而C 1被选中的概率P(M)=612=12.(2)记事件N=“A 1,B 1不全被选中”,则其对立事件N =“A 1,B 1全被选中”.N ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2)},共2个样本点,所以P(N )=212=16.由对立事件的概率公式得P(N)=1-P()=1-16=56.11.解析 (1)易知样本点总数n=25,且每个样本点出现的可能性相等.事件A 包含的样本点共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),所以P(A)=525=15.(2)B 与C 不是互斥事件.理由:因为事件B 与C 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次.(3)这种游戏规则不公平.理由如下:和为偶数的样本点有:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13个,所以甲赢的概率为1325,乙赢的概率为1-1325=1225,所以这种游戏规则不公平.。
高中数学必修三《概率的基本性质》ppt
练习：判断下列给出的每对事件，是否为互斥 事件，是否为对立事件，并说明理由。
从40张扑克牌（红桃，黑桃，方块，梅花点数 从1-10各10张）中，任取一张。 （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
是互斥事件，不是对立事件
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
一、事件的关系和运算：
（1）包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则 事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事
件A包含于事件B）,记作 B A（或A B)
如图：
BA
例.事件C1 ={出现1点 }发生，则事件 H ={出现的
点数为奇数}任何事件都包括不可能事件。
四、课堂小结
1.概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0， 因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式： P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事 件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有
P(A)=1-P(B)；
对立事件是互斥事件的特殊情形。
例题分析：
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是 互斥事件?哪些是对立事件? 事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环； 事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先 将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可 能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件 的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
练习：某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表 所示：
10.1.4 概率的基本性质
七年级
八年级
九年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19.
(1)求x的值； (2)现用 分层随机抽样 的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ 每个个体被抽到的可能性都是Nn
(3)已知y≥245，z≥245，求九年级中女生比男生少的概率. 解 (1)∵2 0x00＝0.19，∴x＝380. (2)九年级人数为 y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的 方法在全校抽取 48 名学生，应在九年级抽取的人数为2500000×48＝12.
【训练2】 某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率. 解 某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶” 为事件A，则其对立事件B为“未中靶”，于是P(A)＝1－P(B)＝1－0.05＝0.95. 所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95.
题型三 概率性质的综合应用 【例3】 某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数
的工厂实习”为事件B，则P(A＋B)＝( )
3 A.25
5
9
1
B.8
C.16
D.4
解析 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1342＋362＝58.
答案 B
一、素养落地 1.通过学习概率的基本性质提升数学抽象素养.通过随机事件概率的运算培养数学运算
素养. 2.互斥事件概率的加法公式是一个基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各
事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 3.求复杂事件的概率通常有两种方法
概率的基本性质
概率的取值范围是[0,1]，这个范围是概率论中规定的，用于描述随 机事件发生的可能性程度。
定义：两个互斥事件A和B同时发生的概率等于它们各自概率的和。
公式：P(A∪B)=P(A)+P(B) 应用：在概率论和统计学中，加法性质常用于计算多个事件同时发生的概 率。 注意事项：互斥事件是指两个事件不可能同时发生。
概率定义：描述 随机事件发生的 可能性大小的数 值，取值范围为0 到1之间。
统计意义：通过 大量重复实验中 性、可 数性和有限可加 性等性质。
概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性大小。
概率取值范围包括0和1，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一 定发生。
概率是一个实 数，其值在0和
1之间
必然事件的概 率为1，不可能 事件的概率为0
概率具有可加 性，即两个独 立事件的概率 之和等于它们 概率的直接概
率
概率具有有限 可加性，即对 于任意有限个 两两分离的事 件，其概率之 和等于它们概 率的直接概率
事件定义：在一 定条件下，随机 实验中可能出现 或不可能出现的 结果。
添加标题
应用：在概率论和统计中，独 立性是一个非常重要的概念， 它可以帮助我们理解和预测事 件之间的相互影响。
添加标题
条件概率与独立性的关系：如 果事件A和B是独立的，那么 P(A|B)=P(A)，也就是说，在 给定B发生的条件下，A发生 的概率与B无关。
定义：条件概率 的逆向推理公式， 用于计算在已知 某些条件下，某 一事件发生的概 率。
公式形式： P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)
概率的基本性质
6、由对立事件的意义： A
A
是一个必然事件，它
的概率等于１，又由于Ａ与 A 互斥，
P( A A) P( A) P( A) 1
对立事件的概率的和等于1
王新敞
奎屯 新疆
从上面的公式还可得到：
P( A) 1 P( A)
三、讲解范例：
例1 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随
机抽取一张，那么取道红心的概率是0.25，取
一、复习引入：
1 事件的定义： 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件；
不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2 随机事件的概率: 一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发 m 生的频率 总是接近某个常数，在它附近摆动，这 n 时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作 P ( A)
3.概率的确定方法： 通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频
率近似地作为它的概率；
4．概率的性质： 必然事件的概率为1， 不可能事件的概率为0， 随机事件的概率为 0 P( A) 1 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
5、基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个
结果(事件A)称为一个基本事件
都是互斥的，那么就说事件
A1 , A2 ,, An 彼此互斥.
从集合的角度看， 几个事件彼此互斥，是 指由各个事件所含的结
A
B
C
果组成的集合彼此互不
相交，如图。
2．对立事件的概念 从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的， 即事件Ａ没发生，记作 由于事件Ａ和事件
A
A 不可能同时发生，它们是互 A
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2) 概率的加法公式 ( 互斥事件至少 有一个发生的概率)
在掷骰子实验中，事件A={出现点1}；
B={出现点2}；C={出现的点数小于3}；
A
B
C=A∪B
P(C)=p(A∪B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3 当事件A与B互斥时, A∪B发生的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)
3) 对立事件有一个发生的概率
题 2.1 1 ()求 A的 B 方 (2)求 程 SOA 的 ； B 最 .
AB: x0x y0yb2,
A
dH O
B
P O到AB的距离d为 b2 x02 y02
| AB|2 |OA|2 d2
2 b2(
b2
)2
2b
x02 y02 b2
x02 y02
x02 y02
1
b3
S |AB |d
2
x02y02b2 . x02y02
已知:诸葛亮的成功概率为0.90. 三个臭皮匠相互独立的成功概率 分别为:0.6，0.5，0.5. 证明:三个臭皮匠抵个诸葛亮.
.
频率 f n ( A ) 是
英
概率 P ( A )的
法
近似值 , 概率
南斯拉夫
是频率的稳
英
定值 .
在相同条件n下 次重 试复 ,验 观察事A是 件否
发生 ,称n次试验中A事 出件 现的次nA 数 为为
若某事件发生当且仅当事件A或事 件B发生，则称此事件为事件A与事件 B的并事件（或和事件），记作A事件发生当且仅当事件A且 事件B发生，则称此事件为事件A与事 件B的交事件（或积事件），记作 A∩B（或AB）。
A A∩B B
若A∩B为不可能事件（A∩B= ），
题 2.1 1 ()求 A的 B 方 (2)求 程 SOA 的 ； B 最 .
A
dH
O
B
P
S1|AB |db3 2
x02y02b2 x02y02
令 tx0 2y0 2b2,y0 2a b2 2(a2x0 2)
令t
x02 y02 b2
a2 b2 a2
x02
a2 b2
b3t
b3
S t2 b2 b2
.
记出现“1点”，“2点”，…， “6点”分别为事件A1，A2，…， A6， 记“出现偶数点”为事件 P“ B( . 出现偶数)＝ 点”
解: N A52 218
lg3
lg9;lg1
3 lg
1 33 9
.
T2.0,1,,.9..可重复数字的三位个数数的 为252个.
解 :N910 1 09A 9 2252
.
T 3 A 2 2 .(A N 6 6 2 A 3 3 A 3 3 ) 2 (7 2 7)0 2 12
.
T4 C .1 3 N 64C 4 3C 4 2C 11 247
.
（2）某战士射击一次，击中 环数大于7的概率为0.6，击中 环数是6或7或8的概率为0.3， 则该战士击中环数大于5的概 率为0.6+0.3=0.9，对吗？为什 么？
2.甲、乙两个下棋，和棋的概 率为1/2，乙获胜的概率为1/3， 求：
（１）甲获胜的概率；P1
1111 23 6
（２）甲不输的概率。
.
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 相互独立事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第 1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”.
2.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中取1球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是
黑3.球袋”中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取 2球.事件A:“第一次取出的是白球”.事件 B:“第二次取出的是黑球” ( 不放回抽取)
事件 A出现的频 , fn(数 A).nnA为A出现的频 . 率
定义1：在一定条件下必然要发生的事件叫 必然事件。
例如:①木柴燃烧，产生热量; ②抛一石块,下落.
定义2：在一定条件下不可能发生的事件叫 不可能事件。
例如:③在常温下,焊锡熔化; ④在标准大气压下,且温度低于0℃时,冰融化.
定义3：在一定条件下可能发生也可能不 发生的事件叫随机事件。
O
B
OA PA 0
P ( x1, y1 ) ( x1 x0 , y1 y0 ) x12 x1 x0 y12 y1 y0 x1 x0 y1 y0 x12 y12 b2
同理 OB， PB0
x2x0y2y0 x22y22 b2
A， B均 在x直 0xy线 0yb2上 ,
AB :x0xy0y. b2.
在掷骰子试验中，事件“出现 偶数点”可以由哪些结果组成？ 基本事件特点: (1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可 以表示成基本事件的和．
.
例１.从字母a，b，c，d中 任意取出两个不同字母的 实验中，有哪些基本事件？
.
探究公式
(1)在抛掷一枚硬币观察哪个面向上 的试验中“正面朝上”和“反面朝 上”这2个基本事件的概率分别是 多(2)少在?抛掷一枚骰子的试验中，出现 “1点”、“2点”、“3点”、“4 点”、“5点”、“6点”这6个基 本事件的概率分别是多少? (3)在掷骰子的试验中，事件“出 现偶数点”发生的概率是多少？
A D {次品 0,1,2 数 ,3,4,5,为 6,7,8} .
二:概率的基本性质
1.概率P(A)的取值范围
1) 必然事件B一定发生, 则 P(B)=1 2) 不可能事件C一定不发生, 则p(C)=0 3) 随机事件A发生的概率为 0＜P(A) ＜1
4) 若A B, 则 p(A) P(B)
概率P(A)的取值范围: 0P(A)1
P2
1 2
1 6
2 3
相互独立事件及其同时发生的概率
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发 生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互 独立事件。
已知:诸葛亮的成功概率为0.90. 三个臭皮匠的相互独立成功概率 分别为:0.6，0.5，0.5. 证明:三个臭皮匠抵. 个诸葛亮.
.
2.某检查员从一批产品中抽取8 件进行检查，观察其中的次品 数,记：A =｛次品数少于5件｝
B =｛次品数恰有2件｝ C =｛次品数多于3件｝ D =｛次品数至少有1件｝
A∩C=________.
A∩C={次品数为4}
.
2.某检查员从一批产品中抽取8 件进行检查，观察其中的次品 数,记：A =｛次品数少于5件｝
注： ①区别：互斥、对立事件和相互独立事件 的区别：
②如果事件A与B相互独立，那么A与B， A与B，A与B是不是相互独立的
相互独立
.
2、相互独立事件同时发生的概率公式： 两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生
的概率为：P (A B )P (A )P (B )
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立， 那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件 发生的概率的积，即 P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）
4.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2 球.事件A为“第一次取出的是白球”.事件B为 “第二次取出的是白球”. ( 放回抽取)
.
.
问题情境 考察两个试验： (1)抛掷一枚质地均匀的硬币的试验； (2)掷一颗质地均匀的骰子的试验。
分别说出上述两试验的所有可 能的实验结果是什. 么?
每个结果之间都有什么关系？
B =｛次品数恰有2件｝ C =｛次品数多于3件｝ D =｛次品数至少有1件｝
B∩C =_____.
BC .
2.某检查员从一批产品中抽取8 件进行检查，观察其中的次品 数,记：A =｛次品数少于5件｝
B =｛次品数恰有2件｝ C =｛次品数多于3件｝ D =｛次品数至少有1件｝
AD_________
.
T13N. 10树状图列举
.
T1N 4. C3232321 1)甲乙相A同 B ， 2） 甲 乙 不A相 B A同 C \B， C A,B,C
.
TN 1 A 5 7 4 2 .A 6 3 A 2 2 A 5 2 A 2 2 A 2 2 440
.
TN 1 (A 6 8 3 A .7 2 ) 2 (C 8 2 A 3 3 C 7 1 A 7 2 ) 60
.
已知:诸葛亮的成功概率为0.90. 三个臭皮匠的相互独立成功概率分别为:0.6， 0.5，0.5. 证明:三个臭皮匠抵个诸葛亮.
.
卷8.CBCC ;BCDC;B1,四 C;(0, 1),1;3; 16 8
4,3 55 2;4;3, 6;(3,1).
2
4
6.某 国 际 会 议 在 杭 州 ,为举做行好 服 务 ,工 作
b
.
b
b a2 b2
排 列 与 组(二 合)C综 BD 合CB； 1C； 41;； 4280 9， 0910n;66;10;1;02;144;600.T217(2)(3)不 能(1)用 . T1从 .1,3,5中 ,7,取 9 不a同 b,得l的 ga-lg的 b 不 同 值 的1个 8. 数 是
t
t
.
题 2.1 1 ()求 A的 B 方 (2)求 程 SOA 的 ； B 最 .
A
H
O
B
P
b3t
b3
St2b2 tb2 (0t
a2b2)
t
1 a2 b2 b,ba 2b时,
b3 a2 b2
Smax
a2
2 a2 b2 b, a 2b时,
b a2 b2
Smax