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常微分方程试题库试卷库常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+= ５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=-２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++ y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠ ５、11110n n nn n nn d y d dyx a a a y dx dx dx ---++++=６、()()t t C ψφ=７、零 稳定中心二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyy y y e e y μ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=0 2()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!i t i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in tii t e A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭ ４、解：方程可化为3284dy y dxx dy ydx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=令dy p dx =则有3284p y x yp +=（*） （*）两边对y 求导：322322(4)(8)4dpy p y p y p y pdy -+-= 即32(4)(2)0dp p y yp dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即2()p y c =将y 代入（*）2224c p x c =+即方程的 含参数形式的通解为：22224()c px c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p 为参数又由3240p y -=得123(4)p y =代入（*）得：3427y x =也是方程的解 ５、解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160xx x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰ ６、解：由1050x y x y --+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx y dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0） 由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1i λ=-±故（3，-2）为稳定焦点。

三、 证明题由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：10200''1020011110200()1,()0,,()0()0,()1,,()0()0,()0,,()1n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---=========考虑1020010010[(),(),,()]101n w x t x t x t ==≠从而()(1,2,)i x t i n =是线性无关的。

常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为x.y 的连续函数。

2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。

是常数。

引入变量变换-------≠1.03、如果存在常数使得不等式,0 L _____________对于所有称为利普希兹常数。

都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于y 满足利普希兹条件。

4、形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里是常数。

,,21a a5、设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一解可表为)(t γ_____________-。

二、 计算题40%1、求方程的通解。

26xy x ydx dy -=2、求方程xye x ydx dy =+的通解。

3、求方程te x x x 25'6''=++的隐式解。

4、求方程）的第三次近似解。

、通过点（002y x dx dy+=三、 证明题30%1.试验证()t Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡122t t t 是方程组x '=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-t t22102x,x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ，在任何不包含原点的区间a b t ≤≤上的基解矩阵。

2.设()t Φ为方程x '=Ax （A 为n ⨯n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明: ()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.《常微分方程》期终试卷答卷一、 填空题（每空5分） 1)()(y x f dx dy ϕ= 2、n y x Q y x P dx dy )()(+= z=ny -13),(),(21y x f y x f -21y y L -≤4、011111=++++----y a dx dyx a dx y d x a dxy d x n n n n n n n n5、)()()(t t t ϕφγ+=二、 计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=1-y ,算得dx dyy dxdz 2--= 代入原方程得到x z x dx dz +-=6，这是线性方程，求得它的通解为z=826x x c + 带回原来的变量y ，得到y 1=826x x c +或者c x y x =-886，这就是原方程的解。

此外方程还有解y=0. 2、解：x y xe xy e dx dy xy xy-=-=dx y xe xdy xy )(-=dx xe ydx xdy xy =+ dx xe dxy xy =xdx e dxyxy =积分：c x e xy +=--221故通解为：0212=++-c e x xy3、解：齐线性方程05'6''=++x x x 的特征方程为0562=++λλ，5,121-=-=λλ，故通解为t t e c e c t x 521)(--+=2=λ不是特征根，所以方程有形如tAe t x 2)(=把)(t x 代回原方程 tt t t e Ae Ae Ae 22225124=++211=A 于是原方程通解为tt t e e c e c t x 2521211)(++=-- 4、解 0)(0=x ϕ⎰=+=xx dx x x x 022012)]([)(ϕϕ 202)]([)(502212x x dx x x x x+=+=⎰ϕϕ 4400160202)]([)(118502223x x x x dx x x x x+++=+=⎰ϕϕ 三、证明题（每题15分）1、证明：令()t Φ的第一列为1ϕ(t)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t 22,这时'1ϕ(t)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22t =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-t t221021ϕ(t)故1ϕ(t)是一个解。

同样如果以2ϕ(t)表示()t Φ第二列，我们有2ϕ(t)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t221022ϕ(t)这样2ϕ(t)也是一个解。

因此()t Φ是解矩阵。

又因为det ()t Φ=-t 2故()t Φ是基解矩阵。

2、证明：（1）()t Φ,Φ(t- t 0)是基解矩阵。

（2）由于()t Φ为方程x '=Ax 的解矩阵，所以()t Φ1-Φ(t 0)也是x '=Ax的解矩阵，而当t= t 0时，Φ(t 0)1-Φ(t 0)=E, Φ(t- t 0)=Φ（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%) 1. 1.2xylnydx+{2x +2y 21y +}dy=02. dx dy =6x y-x 2y 3. 'y =22)12(-++y x y4. x 'y =22y x ++y5. 5. tgydx-ctydy=06. 6. {y-x(2x +2y )}dx-xdy=07．一质量为m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k ）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为2k ）。