第十三章单辉祖材料力学课后答案
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0 2 2
l
2
并利用协调条件 ∆Bx = 0 ，可得
FBx =
Me （←） 2l
3
依据平衡条件，进而可得
FBy =
Me Me Me （↑） ， FAx = （→） ， FAy = （↓） ， 2l 2l 2l
法 2，利用反对称性求解 见图（3） ，可直接得到合支反力 F，
F=
将其分解，所得结果与法 1 完全相同。 弯矩图如图（4）所示。 （b）解：此为一度静不定问题。
13-2
图示各刚架，弯曲刚度 EI 均为常数。试求支反力，并画弯矩图。
题 13-2 图
2
（a）解：法 1，常规解法 此为一度静不定问题。 解除 B 处水平约束（见图 13-2 之 1） ，代以多余反力 FBx 。
由 ∑ M A = 0 ，得
FBy =
据图（1） 、图（2） ，列弯矩方程如下：
Me − FBx l
M M ( x1 ) = e − FBx x1 ， l
M (x1 ) = − x1 ，
将其代入
M ( x 2 ) = FBx x 2 − FBx l
M (x 2 ) = x 2 − l
∆Bx =
1 EI
∫
l 0
M (x1 )M (x1 )dx1 +
1 EI
∫ M(x )M (x )dx
将其代入
5
∆Cx =
积分后，得
1 EI
∫
π 2 0
M (ϕ )M (ϕ )Rdϕ
∆Cx
代入协调条件
R3 π F FCx − = EI 4 4
∆Cx = 0
得
FCx =
进而求得
F （←） π F （→） π
FBx =
（b）解：此为一度静不定问题。
。 求 ∆Ay 的载荷状态及单位状态可示如图（1）和（2）
第十三章
题号
静不定问题分析
页码
13-1 ................................................................................................................................................................1 13-2 ................................................................................................................................................................2 13-3 ................................................................................................................................................................5 13-4 ................................................................................................................................................................7 13-5 ................................................................................................................................................................9 13-7 .............................................................................................................................................................. 11 13-8 ..............................................................................................................................................................13 13-10 ............................................................................................................................................................15 13-11 ............................................................................................................................................................16 13-12 ............................................................................................................................................................18 13-13 ............................................................................................................................................................20 13-14 ............................................................................................................................................................22 13-15 ............................................................................................................................................................23 13-16 ............................................................................................................................................................28 13-18 ............................................................................................................................................................30 13-20 ............................................................................................................................................................31 13-21 ............................................................................................................................................................32
1 EI
∫
π 2
0
M (ϕ )M (ϕ )Rdϕ
∆Ax
(π =
2
M e R2 − 2π − 4 M e R2 = −0.0658 EI 2π EI
)
（←）
13-4
图示桁架，各杆各截面的拉压刚度均为 EA。试求杆 BC 的轴力。
7
题 13-4 图 解：此为一度静不定问题。 求 ∆e / e ' 的载荷状态及单位状态如图 13-4（a）和（b）所示。
FN 5 a
2
FN 5
FN5
2
2a
2 F N 5a
8
∑
由此得
(2 + 2 )F
∑F
i =源自文库 5
l
1
+
1 EI
∫ M(x )M (x )dx
0 2 2
l
2
∆Bx =
代入协调条件
1 4 ql 4 3 F l − Bx EI 6 3
∆Bx = 0
4
得
FBx =
弯矩图如图（3）所示。
ql 8
13-3
图示圆弧形小曲率杆，弯曲刚度 EI 为常数。试求支反力。对于题(b)，并计算截面
A 的水平位移。
题 13-3 图 （a）解：此为一度静不定问题。 由对称性可得
FBy = FCy =
F （↑） 2
，求ΔCx 的载荷状态及单位状态可示如图（1）和（2） 。 又由于对称性（θA=0）
弯矩方程为
M (ϕ ) = FCx Rsinϕ −
F R(1 − cosϕ ) 2
M (ϕ ) = Rsinϕ
（ 也可通过左侧题号书签直接查找题目与解）
13-1
试判断图示各结构的静不定度。
1
题 13-1 图 解： （a）在平面受力时，一个封闭框有三个多余约束，此问题又多一个外约束，故为四度静不 定。 （b）若无中间铰，两边的刚架分开，二者均为静定刚架。安此中间铰，使相连处在 x、y 两个 方向的相对位移均受到约束，故为二度静不定。 另一种分析方法是搭结构法，以左边的静定刚架为基础，搭上右边的刚架需要加三个约束，中 间铰已提供了两个，右下端只需再加一个约束就可以了，可现在加了三个约束（固定端） ，故为二 度静不定。 （c）在平面受力时，一个圆环有三个多余约束，安一个中间铰，减少一个约束，现安有两个 中间铰，故为一度静不定。 （d）在平面受力时，一个封闭框有三个多余约束，此框在左上角和右下角各有一个中间铰， 减去两个约束，故为一度静不定。
Me 2l
载荷状态及单位状态如图 13-2(b)之（1） 、 （2）所示。
弯矩方程为
M (x1 ) = FBx x1 ，
M
(x 2 ) =
F Bx l −
q 2 x2 2
M ( x1 ) = x1 ，
将其代入
M (x 2 ) = l
∆Bx =
积分后，得
1 EI
∫ M(x )M (x )dx
0 1 1
弯矩方程为
M (ϕ ) = M e − F Ay R sin ϕ
M (ϕ ) = − R sin ϕ
将其代入
6
ΔAy =
积分后，得
1 EI
∫
π 2 0
M (ϕ )M (ϕ )Rdϕ
∆Ay =
代入协调条件
R2 π FAy R − M e EI 4
Δ Ay = 0
得
FAy =
进而求得
4M e （↑） π R
FBx = 0 ，
FBy =
4M e （↓） ， πR
MB =
4−π M e （3） π
。 求 ∆Ax 的载荷状态及单位状态示如图（3）和（4） 弯矩方程为
M (ϕ ) = M e −
4M e sin ϕ π
M (ϕ ) = R(1 − cos ϕ )
将其代入
ΔAx =
积分后，得到
求切口处相对位移 ∆e / e ' 的过程列于下表：
i 1 2 3 4 5
li
a a a a
F Ni
− 1 − 1 − 1 − 1
1
FNi
2 2 2 2 −
F Ni FNi li
2 2 2
FN 5
FN 5 a
2 2 2
(F − FN5 ) (F − FN5 )
−
(FN5 − F )a (FN5 − F )a
l
2
并利用协调条件 ∆Bx = 0 ，可得
FBx =
Me （←） 2l
3
依据平衡条件，进而可得
FBy =
Me Me Me （↑） ， FAx = （→） ， FAy = （↓） ， 2l 2l 2l
法 2，利用反对称性求解 见图（3） ，可直接得到合支反力 F，
F=
将其分解，所得结果与法 1 完全相同。 弯矩图如图（4）所示。 （b）解：此为一度静不定问题。
13-2
图示各刚架，弯曲刚度 EI 均为常数。试求支反力，并画弯矩图。
题 13-2 图
2
（a）解：法 1，常规解法 此为一度静不定问题。 解除 B 处水平约束（见图 13-2 之 1） ，代以多余反力 FBx 。
由 ∑ M A = 0 ，得
FBy =
据图（1） 、图（2） ，列弯矩方程如下：
Me − FBx l
M M ( x1 ) = e − FBx x1 ， l
M (x1 ) = − x1 ，
将其代入
M ( x 2 ) = FBx x 2 − FBx l
M (x 2 ) = x 2 − l
∆Bx =
1 EI
∫
l 0
M (x1 )M (x1 )dx1 +
1 EI
∫ M(x )M (x )dx
将其代入
5
∆Cx =
积分后，得
1 EI
∫
π 2 0
M (ϕ )M (ϕ )Rdϕ
∆Cx
代入协调条件
R3 π F FCx − = EI 4 4
∆Cx = 0
得
FCx =
进而求得
F （←） π F （→） π
FBx =
（b）解：此为一度静不定问题。
。 求 ∆Ay 的载荷状态及单位状态可示如图（1）和（2）
第十三章
题号
静不定问题分析
页码
13-1 ................................................................................................................................................................1 13-2 ................................................................................................................................................................2 13-3 ................................................................................................................................................................5 13-4 ................................................................................................................................................................7 13-5 ................................................................................................................................................................9 13-7 .............................................................................................................................................................. 11 13-8 ..............................................................................................................................................................13 13-10 ............................................................................................................................................................15 13-11 ............................................................................................................................................................16 13-12 ............................................................................................................................................................18 13-13 ............................................................................................................................................................20 13-14 ............................................................................................................................................................22 13-15 ............................................................................................................................................................23 13-16 ............................................................................................................................................................28 13-18 ............................................................................................................................................................30 13-20 ............................................................................................................................................................31 13-21 ............................................................................................................................................................32
1 EI
∫
π 2
0
M (ϕ )M (ϕ )Rdϕ
∆Ax
(π =
2
M e R2 − 2π − 4 M e R2 = −0.0658 EI 2π EI
)
（←）
13-4
图示桁架，各杆各截面的拉压刚度均为 EA。试求杆 BC 的轴力。
7
题 13-4 图 解：此为一度静不定问题。 求 ∆e / e ' 的载荷状态及单位状态如图 13-4（a）和（b）所示。
FN 5 a
2
FN 5
FN5
2
2a
2 F N 5a
8
∑
由此得
(2 + 2 )F
∑F
i =源自文库 5
l
1
+
1 EI
∫ M(x )M (x )dx
0 2 2
l
2
∆Bx =
代入协调条件
1 4 ql 4 3 F l − Bx EI 6 3
∆Bx = 0
4
得
FBx =
弯矩图如图（3）所示。
ql 8
13-3
图示圆弧形小曲率杆，弯曲刚度 EI 为常数。试求支反力。对于题(b)，并计算截面
A 的水平位移。
题 13-3 图 （a）解：此为一度静不定问题。 由对称性可得
FBy = FCy =
F （↑） 2
，求ΔCx 的载荷状态及单位状态可示如图（1）和（2） 。 又由于对称性（θA=0）
弯矩方程为
M (ϕ ) = FCx Rsinϕ −
F R(1 − cosϕ ) 2
M (ϕ ) = Rsinϕ
（ 也可通过左侧题号书签直接查找题目与解）
13-1
试判断图示各结构的静不定度。
1
题 13-1 图 解： （a）在平面受力时，一个封闭框有三个多余约束，此问题又多一个外约束，故为四度静不 定。 （b）若无中间铰，两边的刚架分开，二者均为静定刚架。安此中间铰，使相连处在 x、y 两个 方向的相对位移均受到约束，故为二度静不定。 另一种分析方法是搭结构法，以左边的静定刚架为基础，搭上右边的刚架需要加三个约束，中 间铰已提供了两个，右下端只需再加一个约束就可以了，可现在加了三个约束（固定端） ，故为二 度静不定。 （c）在平面受力时，一个圆环有三个多余约束，安一个中间铰，减少一个约束，现安有两个 中间铰，故为一度静不定。 （d）在平面受力时，一个封闭框有三个多余约束，此框在左上角和右下角各有一个中间铰， 减去两个约束，故为一度静不定。
Me 2l
载荷状态及单位状态如图 13-2(b)之（1） 、 （2）所示。
弯矩方程为
M (x1 ) = FBx x1 ，
M
(x 2 ) =
F Bx l −
q 2 x2 2
M ( x1 ) = x1 ，
将其代入
M (x 2 ) = l
∆Bx =
积分后，得
1 EI
∫ M(x )M (x )dx
0 1 1
弯矩方程为
M (ϕ ) = M e − F Ay R sin ϕ
M (ϕ ) = − R sin ϕ
将其代入
6
ΔAy =
积分后，得
1 EI
∫
π 2 0
M (ϕ )M (ϕ )Rdϕ
∆Ay =
代入协调条件
R2 π FAy R − M e EI 4
Δ Ay = 0
得
FAy =
进而求得
4M e （↑） π R
FBx = 0 ，
FBy =
4M e （↓） ， πR
MB =
4−π M e （3） π
。 求 ∆Ax 的载荷状态及单位状态示如图（3）和（4） 弯矩方程为
M (ϕ ) = M e −
4M e sin ϕ π
M (ϕ ) = R(1 − cos ϕ )
将其代入
ΔAx =
积分后，得到
求切口处相对位移 ∆e / e ' 的过程列于下表：
i 1 2 3 4 5
li
a a a a
F Ni
− 1 − 1 − 1 − 1
1
FNi
2 2 2 2 −
F Ni FNi li
2 2 2
FN 5
FN 5 a
2 2 2
(F − FN5 ) (F − FN5 )
−
(FN5 − F )a (FN5 − F )a