第1章-自然坐标系
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自然坐标系
t)
-
et
(t)
当： t 0 , 0
et
t
t
O Δ P2
s
et t
有 det et d d
P1
方向
det
et
d et d
d t dt
即en方向
en
et
t
t
et
et
t
4
d ds
at
dv dt
c
an
v2 R
(b ct)2 R
（2） at an
解得 t b R cc
12
§1-3 相对运动
一 时间与空间
在两个作相对运动的参考系中，时间 的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的, 与参考系无关．
时间和长度的的绝对性是经典力学或 牛顿力学的基础．
13
二 相对运动
o
at
0.4
M at
a
x
11
例5 一质点沿半径为R的圆周运动，其路程s随时
间t 的变化规律为 s bt 1 ct 2，式中b，c为大于
零的常数，且 b2 Rc 。求（2 1）质点的切向加速
度和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速
度等于法向加速度。
解： （1）
v ds b ct dt
解： 按题意作矢量图
y
v v0 v
v v0 tan 60 10 tan 60m s1
17.3 m s1
y´ x´
v0
v
速度：
v
大学物理第一章
加速度与速度的夹角 为钝角
an
a
A
at
a
an
at A
加速度的方向：总是指向轨道曲线凹的一侧。
§1-2 圆周运动和一般曲线运动
用位置矢量、位移、速度、加速度等描述质点圆 周运动的方法，称为线量描述法；在圆周运动中，由 于质点与圆心的距离不变，常用角位置、角位移、角 速度、角加速度来描述，称为角量描述法。
选作参考的物体。
花草相对于地面是静止的。
行星相对于太阳或地球的运动是不同的。
花草相对于小车是运动的。
参考系和坐标系
4.坐标系
直角坐标系、极坐标系、球坐标系、圆柱坐标系等。
为了精确地、定量地描述物体的运动，我们在参考系上建立一个坐标系，用物体所在位 置的坐标表示物体的位置，用坐标的变化来描述物体位置的变化（即表示物体的运动）。
x
dx dt
y
dy dt
z
dz dt
大小
2 x
2 y
2 z
速度
4.速率（标量）
t0时，平均速率的极限。
lim lim S
t 0
t0 t
dS
dt ds dr
dS dr , 或
dt dt
瞬时速率与瞬时速度大小相等。
§1-1 质点运动的描述
八、加速度 描述质点速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。
位移和路程
2.路程 (标量)：质点运动所经过的路径z
的长度。S
通常 S AB r r S
o
A
S
B
Δr
rA
rB
y
其中 r rB rA
lim r lim S
t 0
t 0
dr dS
1-3 坐标系的运用
ω
r r
r
ω
r
r
υ
r
ω
r
r r υ = ω×r
d ω d 2θ 角加速度： 角加速度： β = = 2 dt dt
r
P
3、 角加速度 (Angular Acceleration ) 、
14
1.3 坐标系的运用
圆周运动的角量与线量的关系： 圆周运动的角量与线量的关系： 的关系
第1章 质点运动学
ds r dθ υ= = = rω dt dt dυ dω aτ = =r = rβ dt dt
8
1.3 坐标系的运用
曲线运动的 加速度小结： 加速度小结：
第1章 质点运动学
2
r dυ υ ˆ ˆ ˆ a = aττ + ann = n τˆ + dt ρ
r υ2 法向加速度： 法向加速度： a = ˆ n n
大小： 大小：
切向加速度： r 切向加速度：a = dυ τ ˆ τ dt dυ 大小： 大小： aτ = dt
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
1.3 坐标系的运用
1
1.3 坐标系的运用
一、自然坐标系
第1章 质点运动学 S为弧坐标。 为弧坐标。
在已知运动轨道上任取一参照点 O，由质点 已知运动轨道上任取一参照点 ， 来表示质点的位置 质点的位置。 与参考点之间轨迹的长度 s 来表示质点的位置。 速度方向为切向坐标方向；指向曲率中心的 速度方向为切向坐标方向； 切向坐标方向 方向为法向坐标方向 与速度的方向垂直） 法向坐标方向（ 方向为法向坐标方向（与速度的方向垂直）。
ds = v0 − bt 解：1） v = ） dt dv = −b 2） at = ） dt 2 2 v (v0 − bt ) an = = R R
r r
r
ω
r
r
υ
r
ω
r
r r υ = ω×r
d ω d 2θ 角加速度： 角加速度： β = = 2 dt dt
r
P
3、 角加速度 (Angular Acceleration ) 、
14
1.3 坐标系的运用
圆周运动的角量与线量的关系： 圆周运动的角量与线量的关系： 的关系
第1章 质点运动学
ds r dθ υ= = = rω dt dt dυ dω aτ = =r = rβ dt dt
8
1.3 坐标系的运用
曲线运动的 加速度小结： 加速度小结：
第1章 质点运动学
2
r dυ υ ˆ ˆ ˆ a = aττ + ann = n τˆ + dt ρ
r υ2 法向加速度： 法向加速度： a = ˆ n n
大小： 大小：
切向加速度： r 切向加速度：a = dυ τ ˆ τ dt dυ 大小： 大小： aτ = dt
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
1.3 坐标系的运用
1
1.3 坐标系的运用
一、自然坐标系
第1章 质点运动学 S为弧坐标。 为弧坐标。
在已知运动轨道上任取一参照点 O，由质点 已知运动轨道上任取一参照点 ， 来表示质点的位置 质点的位置。 与参考点之间轨迹的长度 s 来表示质点的位置。 速度方向为切向坐标方向；指向曲率中心的 速度方向为切向坐标方向； 切向坐标方向 方向为法向坐标方向 与速度的方向垂直） 法向坐标方向（ 方向为法向坐标方向（与速度的方向垂直）。
ds = v0 − bt 解：1） v = ） dt dv = −b 2） at = ） dt 2 2 v (v0 − bt ) an = = R R
自然坐标系
r
t
t 0
AB .
t R
ern
v2 R
en
法向加速度
a
an
v2 R
vB
B vA
R
O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度 分析方法
vB r
v vB vA vrn vr v
vrn 表示速度方向改变量 vr 表示速度大小改变量
lim lim vr
t 0
rr t
t 0
s t
er
ds dt
er
ds dt
三、 自然坐标系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA
v vB
vA
Δv vB vA ,
AB R
lim lim ar
t 0
则：a an2 a 2 (1.88)2 (1.2)2 2.23(m / s2 )
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
解：根据加速度的定义：
ar
anern
a er
v2 R
ern
dv dt
er
a an2 a 2
v
ds dt
2
R
a
d
dt
1.2t
1-2自然坐标系
加速度
速度、
2、题设加速度关于时间（坐标）的函数
积分
速度、
运动学方程。需注意积分常量和积分上下限。
2015/3/16
DUT 常葆荣
6
例题
一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 4 2t 2
z0
求：x = - 4 m 时（t >0) 的位移、速度、速率、加速度。
2 4 2 解 r t x t i y t j z t k t i t 2t
10
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度：
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s d t
j
r 4i 8 j m
x = -4 t= 2
dr v 2ti 4t 3 4t j d t 1 1 2 2 v 4i 24 j ms v 4 24 4 37 ms
a 2i 12t 4 j
2
a 2 i 4 4 j m s 2
所以
的方向 τ / / n 法线方向指向圆心 d( R ) ds v dτ d n n n n dτ d n Rdt Rdt R dt dt
dv v a n dt R
速度、
2、题设加速度关于时间（坐标）的函数
积分
速度、
运动学方程。需注意积分常量和积分上下限。
2015/3/16
DUT 常葆荣
6
例题
一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 4 2t 2
z0
求：x = - 4 m 时（t >0) 的位移、速度、速率、加速度。
2 4 2 解 r t x t i y t j z t k t i t 2t
10
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度：
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s d t
j
r 4i 8 j m
x = -4 t= 2
dr v 2ti 4t 3 4t j d t 1 1 2 2 v 4i 24 j ms v 4 24 4 37 ms
a 2i 12t 4 j
2
a 2 i 4 4 j m s 2
所以
的方向 τ / / n 法线方向指向圆心 d( R ) ds v dτ d n n n n dτ d n Rdt Rdt R dt dt
dv v a n dt R
自然坐标系
自然坐标系
作者：Michaelexe
自然坐标系中的速度和加速度
在质点的平面曲线运动中，当运动轨迹已知时，常用自然坐标系表述质点的位置、路程、速度和加速度。
如图所示，在某质点运动的轨迹线上任取一点O为自然坐标原点，以质点所在位置P点与O点间轨迹的长度s来确定质点的位置，则称s为质点的自然坐标，即
当质点经Δt从P点达Q点时，Δt内质点运动的路程为
设t时刻质点处于P点，在质点上做相互垂直的两个坐标轴，一个轴沿轨道切向指向质点前进方向，其单位矢量用表示；另一轴沿轨道法向指向轨道凹侧，其单位矢量用表示。
由于切向和法向坐标轴随
质点沿轨道的运动自然变换位置和方向，通常称这种坐标系为自然坐标系。
当质点沿平面曲线运动时，其速度矢量的大小（速率）可以写为
考虑其速度方向为轨道的切向，则速度矢量可表示为
下面我们讨论质点的加速度
为质点的切向加速度，它只改变速度的大小，所以
为质点的法向加速度，它只改变速度方向，所以
，其中为轨道曲线在该点的曲率半径（因为始终指向轨道内侧，故ρ始终大于0，所以ρ也可以定义为）
所以，
现在来求平面曲线y=f(x)的曲率和曲率半径
曲率的定义：
曲率半径的定义：
下面来求k和ρ的公式所以，。
自然坐标系
dv a dt
v 2 (t ) an R
ˆ v v(t )
3 一般平面曲线运动
dv v 2 a n dt
曲线变化缓慢大 曲线变化急大
详细推导
ˆ v v
ˆ dv dv d ˆ a v dt dt dt
ˆ d的大小为 d 1
• 随质点一起运动，自然变换位置和方向。
举例：圆周运动 1 匀速圆周运动 速度 大小：v=衡量
ˆ n
ˆ
方向：切向
ˆ v v
v ˆ ˆ a an n n R
2
a 加速度 大小： n v / R
2
方向：指向圆心
2 变速率圆周运动 速度 加速度
ˆ ˆ a a an a an n
dv a dt 2 v an
a
a a
a 2 an 2
2 2 2
dv v dt
a tg an
加速度总是指向曲线的凹侧，因为正是加速 度的法向分量改变了质点的运动方向。
1.3 角量描述
v2 B v1
§1.2 自然坐标系
• 自然坐标中的位置、路程和速度
（1）自然坐标
s st
ˆ
s st
ˆ ˆ (2) 自然坐标系n,
P
ˆ n
Q
O
ˆ n
ˆ
ˆ 切向单位矢量
ˆ ˆ n 1
（沿轨道法向并指向轨道凹侧。）
（沿轨道切向并指向质点前进的方向。）
ˆ 法向单位矢量 n
自然坐标的特点
ˆ 方向为n
dˆ d d dr v ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n dt dt dt dt
v 2 (t ) an R
ˆ v v(t )
3 一般平面曲线运动
dv v 2 a n dt
曲线变化缓慢大 曲线变化急大
详细推导
ˆ v v
ˆ dv dv d ˆ a v dt dt dt
ˆ d的大小为 d 1
• 随质点一起运动，自然变换位置和方向。
举例：圆周运动 1 匀速圆周运动 速度 大小：v=衡量
ˆ n
ˆ
方向：切向
ˆ v v
v ˆ ˆ a an n n R
2
a 加速度 大小： n v / R
2
方向：指向圆心
2 变速率圆周运动 速度 加速度
ˆ ˆ a a an a an n
dv a dt 2 v an
a
a a
a 2 an 2
2 2 2
dv v dt
a tg an
加速度总是指向曲线的凹侧，因为正是加速 度的法向分量改变了质点的运动方向。
1.3 角量描述
v2 B v1
§1.2 自然坐标系
• 自然坐标中的位置、路程和速度
（1）自然坐标
s st
ˆ
s st
ˆ ˆ (2) 自然坐标系n,
P
ˆ n
Q
O
ˆ n
ˆ
ˆ 切向单位矢量
ˆ ˆ n 1
（沿轨道法向并指向轨道凹侧。）
（沿轨道切向并指向质点前进的方向。）
ˆ 法向单位矢量 n
自然坐标的特点
ˆ 方向为n
dˆ d d dr v ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n dt dt dt dt
1-4 自然坐标系中质点运动描述
v2 R
nv
三 变速圆周运动中的加速度
Δv vB vA Δvv Δvvn Δvv
Δvn 反映速度方向变化。
Δvv 反映速度大小变化。
av lim vv lim vvn lim vv t0 t t0 t t0 t
an
lim vn t0 t
av avn av
av
lim vv t0 t
vB
B vA
Δ r Δθ
oR A
Δv vB
Δ
vv
Δvn vA
Δθ
o
a反n 映出质点速度方向的变化，称为法向加速度。
avn
lim
t 0
vvn t
= lim t 0
|
Δvvn|nv= v 2 Δt R
2
(2)根据加速度的定义
an
v2 R
(v 0
bt)2 R
at
dv dt
b
a
at2 an2
b2
(v 0
bt)4 R2
a 1 R
R2b2 (v0 bt)4
由
a 1 R
R2b2 (v0 bt)4 b
解得 t v0 b
这时质点运行的圈数为
n
s 2R
v
0
(v 0 b
) 1 b(v0 2b
2πR
)
2
v02 4πRb
解题思路 自然坐标中质点运动学问题也分为两类问题。 1. 第一类问题：已知自然坐标中运动方程s(t)，求质点运动 的速度、切向加速度、法向加速度，用求导法。 2. 第二类问题：已知质点运动的速度或切向加速度及初始条 件，求运动方程，用积分法。
自然坐标系
系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA
v vB
vA
Δv vB vA ,
AB R
lim lim a
t 0
t
t 0
AB .
t R
en
v2 R
en
法向加速度
a
an
v2 R
vB
B vA
R
O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度
ds dt
e
3、自然坐标系下的加速度：a
anen
a e
v2 R
en
dv dt
e
a a n 为法向加速度 为切向加速度
vA
a
d
dt
切向加速度的方向为切线方向 它反映了速度大小的变化, 作用是改变质点的速度大小.
an a
a
a
an2 a2
2
R
2
d
dt
2
a
tg a
an
arctg a ,
an
a an2 a2
an
例题：汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹
车开始阶段的运动方程为 s 20t 0.2t3（单位：m,s）
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
小结本节内容：
1、自然坐标系下的运动方程及其单位矢量：
S=s(t) en e
2、自然坐标系下的速度：
v
分析方法
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA
v vB
vA
Δv vB vA ,
AB R
lim lim a
t 0
t
t 0
AB .
t R
en
v2 R
en
法向加速度
a
an
v2 R
vB
B vA
R
O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度
ds dt
e
3、自然坐标系下的加速度：a
anen
a e
v2 R
en
dv dt
e
a a n 为法向加速度 为切向加速度
vA
a
d
dt
切向加速度的方向为切线方向 它反映了速度大小的变化, 作用是改变质点的速度大小.
an a
a
a
an2 a2
2
R
2
d
dt
2
a
tg a
an
arctg a ,
an
a an2 a2
an
例题：汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹
车开始阶段的运动方程为 s 20t 0.2t3（单位：m,s）
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
小结本节内容：
1、自然坐标系下的运动方程及其单位矢量：
S=s(t) en e
2、自然坐标系下的速度：
v
分析方法
《自然坐标系》课件
自然坐标系的定义
基本概念
• 不同于常规的笛卡尔坐标系、极坐标 系、球坐标系
• 能够更准确地表达物体的真实形状、 大小和位置
特点
• 包含坐标与方位信息 • 内站洼凸性自动转化 • 合理的分带分区结构 • 与国际通用地图厂商软件兼容
自然坐标系的计算方法
点坐标的计算方法 距离的计算方法
根据已知坐标和对应的偏角和距离，可得 出所求点的坐标
自然坐标系
本PPT课件将介绍自然坐标系的基本概念、应用场景及计算方法，以及它在地 图制作和工程设计中的具体应用。希望这份课件能为您带来全新的体验。
相关概念
直角坐标系
由x,y构成的平面直角坐标系
极坐标系
以某点为原点，以该点到直线的距离和该点与极轴正方向的夹角表示平面上其它点的坐标。
球坐标系
将空间点的位置用径向距离r、极角θ、方位角φ这三个参数来表示的坐标系。
国际上常用的大比例尺地图所采用的坐标系统 是自然坐标系。
工程设计
在公路、铁路、港口等大型工程和建筑物的设 计建造中，自然坐标系被广泛用于数据管理和 信息加工。
总结
1 优缺点
2 发展前景
自然坐标系能够更准确地表达物体的真 实形状、大小和位置，但是其计算方法 相对较为繁琐。
在大数据处理和智能交通等领域的应用 逐渐增多，自然坐标系的应用将更加广 泛。
根据正反算公式和高斯投影的方式，通过 计算两点之间的投影距离，得出两点间的 实际距离
自然坐标系的转换
1
自然坐标系和直角坐标系之间的转换
通过正反算公式将自然坐标系的坐标转换为直角坐标系的坐标，间的转换
按一定的方式将自然坐标系转换为极坐标系。
自然坐标系的应用
地图制作
大学物理精品课件1.2 自然坐标系
vA
B
vB v A at 23.3m s 2 t 2 vB 2 an 106m s r
在点 B 的加速度
AB 3.5km
r a n
at
o
a
vB
a 与法向之间夹角
a
2 at
2 an
109m s
为
2
at arctan 12.4 an
1.3
自然坐标系
1
第一章 运动的描述
已知： vA 1940km h
所转过的角度 为 （2）在时间 t 内矢径 r
A
t 3s
AB 3.5km
vB 2192km h 1
vA
B
1 2 At t 2
飞机经过的路程为
r a n
at
o
a
vB
o
R
第一章 运动的描述 1.3 自然坐标系 2.判断下列说法的正、误： a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。 b. 平均速率等于平均速度的大小。
v s / t 依据 平均速率 平均速度的大小 v r / t
c. 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成
v (v1 v2 ) / 2 ,其中 v1是初速度， v2 是末速度。
d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方 向改变。
1.3
自然坐标系
第一章 运动的描述
例 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径约为 3.5km , 且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆 周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求: (1) 飞机在点B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 . 解（1）因飞机作匀变速率 vA A 运动所以 a t 和 为常量 . B dv
自然坐标系
B
r(t t)
(2)位移的大小一般不等于路程。 o
x
即 Δ r Δ s
z
当Δt 很小时近似相等，即 r s
当Δt → 0 时
lim r lim s 即 dr ds
t0
t0
1.1.4 速度（描述物体运动快慢及运动方向的物理量）
1.平均速度 t r
总结：确定运动学方程的步骤：
（1）建立（参考系）坐标系 （2）明确起始条件 （3）找出质点坐标随时间变化的函数关系。
1.1.3 位移与路程 1. 位移(描述质点位置变化的物理量)
r r(t t) r(t)
y
B(xB, yB, zB)
A(xA, yA, zA )
r(t)
r r(t t)
a
dv dt
d 2 r dt 2
只要知道运动方程，就可以确定质点在任意时刻的位置、 速度和加速度。
例 如图所示，以恒定
v
xvx (l0 v t)v
速率v 收绳，绳跨 一定滑轮拉湖面上
l0
v
2 x
xax
v2
的船，已知绳初始
h
l(t)
长度 l 0，岸高 h
求 t 时刻船的速度
lim v v //
t 0
t
lim
t 0
v t
lim
t 0
v // t
an
a
讨结论论:：速度r大小r(无t)变化，速v度方d向r 无变化a时的d情v 况 .d2
dt
dt dt
r
2
直角坐标系：
r xi yj zk
自然坐标系
B
（1）角位置
质点所在位置的矢径与x轴 的夹角θ。
A
R
O
X
（2）角位移
t时刻：
A点，角位置为 t
t t时刻：B点，角位置为 t t
在t时间内，矢径转过角度 ，称为质点
对O点的角位移。
t t t
大小：dθ 方向规定： 逆时针方向 dθ＞0；
顺时针方向 dθ＜0。
单位：弧度rad
（3）角速度
a
dv dt
an
dv n dt
a 由于速度大小变化产生的加速度；
an 由于速度方向变化产生的加速度。
切向加速度、法向加速度/二、2 r
r 为运动轨迹的曲率半径。
大小
a
a 2
a
2 n
dv
2
v 2
2
dt r
对于平面曲线运动 a dv dv dt dt
vn 为速度增量在法线方向的分量； 0 切线方向的单位矢量；
n0 法线方向的单位矢量。
切向加速度、法向加速度/二、a、an
将（1）式两边同除 t 后取极限，
lim v
Δt 0 t
lim
Δ t 0
v t
0
Δlitm0
vn t
n0
有
dv dt
dv dt
0
dv n dt
n0
即 a a0 ann0
其中：
切向加速度、法向加速度/二、a、an
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速
率满足 v kRt， k为常数，求：切向加 速度、法向加速度和加速度的大小。
解： 切向加速度
a
dv dt
kR
法向加速度
an
1.3 自然坐标系及运用
1.3 自然坐标系及运用 s (t )
1、自然坐标系 (natural coordinates)
利用 t 时刻质点所在处与原点之间轨迹曲线的
长度s(t) 就可以确定质点的位置，s(t) 称为弧坐
标。弧坐标下的质点运动方程：
s s(t)
质点的速率，为弧坐标对时间的一阶变化率
v ds dt
将两个相互垂直的切向和法向所组成的平面
24tR
a an
an R 2 144t 4R
a
a an
24t 144t 4
3 3
2 4t3 2
2
t3 1/2 3 3.15rad
3
0 t t 0 5s
例2：质点沿半径R=0.1m作圆周运动，其角坐标与
时间的关系为 2 4t 3 （SI），当切向加速度的
大小恰为总加速度的一半时，则
。
解：切向加速度大小为总加速度的一半，则
30 a / an tan 30
v R R d 12t 2R
dt
a
R
d 2
R dt 2
an
v
dˆ
dtv2nˆFra bibliotek aa
an
dv ˆ
dt
v2
nˆ
大小：a
a2 an2
( dv )2 (v2 )2
dt
当质点做直线运动时 ，因此法向加速度为零；
当质点做圆周运动时， 为圆周运动的半径 R ；
如果 v 为常数，则切向加速度为零，合加速度方
向指向圆心，称为向心加速度；
3 圆周运动的角量描述
0t
0
0t
1 2
t2
2
2 0
2
(
1、自然坐标系 (natural coordinates)
利用 t 时刻质点所在处与原点之间轨迹曲线的
长度s(t) 就可以确定质点的位置，s(t) 称为弧坐
标。弧坐标下的质点运动方程：
s s(t)
质点的速率，为弧坐标对时间的一阶变化率
v ds dt
将两个相互垂直的切向和法向所组成的平面
24tR
a an
an R 2 144t 4R
a
a an
24t 144t 4
3 3
2 4t3 2
2
t3 1/2 3 3.15rad
3
0 t t 0 5s
例2：质点沿半径R=0.1m作圆周运动，其角坐标与
时间的关系为 2 4t 3 （SI），当切向加速度的
大小恰为总加速度的一半时，则
。
解：切向加速度大小为总加速度的一半，则
30 a / an tan 30
v R R d 12t 2R
dt
a
R
d 2
R dt 2
an
v
dˆ
dtv2nˆFra bibliotek aa
an
dv ˆ
dt
v2
nˆ
大小：a
a2 an2
( dv )2 (v2 )2
dt
当质点做直线运动时 ，因此法向加速度为零；
当质点做圆周运动时， 为圆周运动的半径 R ；
如果 v 为常数，则切向加速度为零，合加速度方
向指向圆心，称为向心加速度；
3 圆周运动的角量描述
0t
0
0t
1 2
t2
2
2 0
2
(
第1章 质点力学(1-3)
1-1 运动的描述
一. 参照系和坐标系 参照系 为了描述一个物体的运动，必须选择另一个 物体作为参考，被选作参考的物体称为参照系。 Z 日心系
地面系
o 地心系 X
Y
因此，参照系的选择是任意的，不一定是静止的物体。 坐标系 为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选
用 一个坐标系。
二、位置矢量
运动方程
ห้องสมุดไป่ตู้
Δ r r r
1
Δs
B Г
2
r Δ x 2 Δ y 2 Δ z 2
位移方向由A指向B. 路程 s :质点在t时间内运动的弧长.是标量.
r a ) r 为标量，r 与 都为矢量
b ) r r2 r1 r r2 r1 r r2 r1 r r
R地球 6.4 102 km, R太阳地球 1.5 108 km
;
但研究地球自转时就不能把地球视为质点了)
第一章
质点力学
本章基本内容
●位矢、位移、速度、加速度
●运动的叠加原理
●牛顿运动定律及动力学问题 ●功、动能、势能、动能定理及机械能守恒定律
●冲量、动量、动量定理及其守恒定律
减速转动
方向相反
由于在定轴转动中轴 的方位不变,故、只 有沿轴的正负两个方 向,可以用标量代替.
例4：一质点运动轨迹为抛物线
(SI) (SI)
求：x= 4m时（t>0)，粒子的速度、加速度。
解：
(SI) 4 t 2 t 2s (t 0) (SI)
vv 2 44i 24 jm / / s t t 2 i 24 j m s
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
这时加速度可以表示为 a aτ t an n
6
由于τ与n相互垂直，加速度a的大小与aτ 、an的 关系为 2 2
a a an
例1、半径R=0.5米的飞轮绕中心轴转动， 其运动函数 为θ=t3+3t(SI)求t=2秒时，轮缘上一点的角速度角加速 度以及切向加速度、法向加速度。 解：ω=3t2+3
dr d d v R sin i R cos j R d ( sin i cos j ) dt dt dt dt
Y
V
r
d R [cos( )i sin( ) j ] dt 2 2
X
括号中的项是与r垂直的单位矢量
d lim t 0 t dt
2
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
△τ=1× △ θ 当△t→0时， dτ=1× d θ、方向指向曲率中 心（即法向）。 d d n dt dt
大学物理课件复习资料坐标系的运用
例1：一质点作匀速率圆周运动，半径为 r ，角速度 ：一质点作匀速率圆周运动， 质点的运动学方程。 为 ω 。求：质点的运动学方程。 1）用直角坐标、位矢表示；2）用自然坐标表示。 ）用直角坐标、位矢表示； ）用自然坐标表示。 以圆心O 为原点。 解： 以圆心 为原点。建立直角 坐标系Oxy ，O ′点为初始位置， 点为初始位置， 坐标系 设 t 时刻质点位于 P（x , y）， （ ）， 质点的运动学方程为： 质点的运动学方程为： 1） x = r cosω t , y = r sinω t ） 用位矢表示为： 用位矢表示为：
∆s
θ
x
υ = rω
dθ
O
ds
r
x
角速度矢量
方向： 方向：角速度矢量 ω 的方向垂直于质点运动 的平面，其指向由右手螺旋定则确定。 右手螺旋定则确定 的平面，其指向由右手螺旋定则确定。 可以得出， 可以得出，质点的线 ω 速度 等于角速度 υ 等于角速度 与质 r 的矢量积： 矢量积： 点位矢
ω
r
ω − kθ
2 0
2
例8：已知运动方程 x = ut y = − gt 2 / 2 ： u , g 为常量，求： at , an 为常量， 解： 这显然是平抛运动（依据迭加原理） 这显然是平抛运动（依据迭加原理） 方程在直角坐标系中给出， 方程在直角坐标系中给出，在自然坐标系中求解
θ
a
1）一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心； ）一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心； 2）在曲线运动中，加速度的方向总是指向曲线 ）在曲线运动中， 凹的一侧。 凹的一侧。
讨论
dυ υ ˆ ˆ ˆ a = aττ + ann = n τˆ + dt ρ
大学物理学C基本内容
《大学物理学C 》课程基本内容第一章 质点的运动1．直角坐标系、极坐标系、自然坐标系※2．质点运动的描述：位置矢量r 、位移矢量r ∆=)()(t r t t r-∆+、运动方程)(t r r =。
在直角坐标系中,k t z j t y i t x t r)()()()(++=速度：t rv d d=； 加速度：22d d d d t r t v a == 在直角坐标系中，速度k v j v i v v z y x ++=,加速度k a j a i a a z y x++=自然坐标系中，速度 τ v v =＝τts d d ，加速度t n a a a +==n r v t v 2d d +τ 在极坐标系中,角量的描述：角速度t d d θω=，角加速度22d d d d t t θωα==3．运动学的两类基本问题：第一类问题:已知运动方程求速度、加速度等。
此类问题的基本解法是根据各量定义求导数。
第二类问题:已知速度函数(或加速度函数)及初始条件求运动方程。
此类问题的基本解法是根据各量之间的关系求积分。
例如据txv d d =，可写出积分式⎰x d ＝⎰t v d .由此求出运动方程)(t x x =。
4．相对运动：位移:t u r r ∆+'∆=∆ ，速度：u v v+'=,加速度：0a a a +'=第七章 气体动理论1．对“物质的微观模型”的认识；对“理想气体”的理解。
※2．理想气体的压强公式23132v n p k ρε==，其中221v m k =ε※理想气体物态方程：RT MmpV =或 nkT p =理解压强与微观什么有关，即压强的物理含义是什么.※3．理想气体分子的平均平动动能与温度的关系：kT k 23=ε 理解温度与微观什么有关，即温度的物理含义。
※4．能量均分定理：气体处于平衡态时，分子每个自由度上的平均能量均为2kT概念：自由度※理想气体内能公式：RT iM m E 2=5．麦克斯韦气体分子速率分布律 ※麦克斯韦气体分子速率分布函数：定义：vNN v f d d 1)(=函数：22232π2π4)(v v v kTm ekT m f -⎪⎭⎫⎝⎛= 以及v v f NNd )(d =；v v Nf N d )(d =；⎰21d )(v v v v Nf ；⎰21d )(v v v v f 等表示的物理含义。
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1-2-5 自然坐标系：
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。 s
P
et en
s
Q
O
en
规定：
• 切向 • 法向
et
et 坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为 坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 en
1
s
P
s en
et
Q
O
et
v
质点位置： s st 路程：
运动的速度
o
xx'
t t
15
ut o '
yy'
r r ' D 或 r r 'ut
速度变换
位移关系
P P'
oo'
*
r r ' u t t v v'u
y
P
y' u Q
r
D
P'
t 0
xx'
r '
an r 2 0.2(2 1 4) 2 m s 2 0.8 m s
2
v 2
an
o
M
a a a 0.89 m s
2 t 2 n
at
x
11
an 0.8 arctan arctan 63.4 at 0.4
a
例5 一质点沿半径为R的圆周运动，其路程s随时 间t 的变化规律为 s bt 1 ct 2，式中b，c为大于 2 1）质点的切向加速 零的常数，且 b 2 Rc 。求（ 度和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速 度等于法向加速度。 解： （1）
角位移： 质点从A到B矢径转过的角度 。
规定： 逆时针转向为正 顺时针转向为负
y
B
角速度： 角加速度：
d lim dt t 0 t
R
s
A
O
x
7
d lim dt t 0 t
角量表示匀加速圆周运动的基本公式：
0 t
ds v b ct dt 2 2 dv v (b ct ) at c an dt R R
（2 ）
a t an
解得
b R t c c
12
§1-3 相对运动
一 时间与空间
在两个作相对运动的参考系中，时间 的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的, 与参考系无关． 时间和长度的的绝对性是经典力学或 牛顿力学的基础．
1
例4 半径为r = 0.2 m的飞轮，可绕 O 轴转动。已知 轮缘上一点M的运动方程为 = -t2+4t ，求在1秒时 刻M点的速度和加速度。 d d 解： 2 2t 4 dt dt
1
at r (2) 0.2 m s 2 0.4 m s 2
et
et t t
et t
4
d
ds
O
et t t
P2 Δ
d et ds en dt ρdt v en ρ
2 det v v en dt ρ
s
P 1
et t
沿法线方向 2 d e v t en 法向加速度： an v dt ρ
5
综上所述：
Байду номын сангаас
dv v 2 a at an et en dt
加速度的大小：
a a a
2 n
2 t
加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：
an arctan at
例：抛体运动
an
at
g
6
1-2-6 圆周运动及其角量描述
角位置 ：
质点所在的矢径与x 轴的夹角。
s sQ sP
ds 速度： v vet et dt
2
质点的加速度： de t dv d( ve t ) dv et v a dt dt dt dt dv et ： dt
速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向
切向加速度：
dv d s at et 2 et dt dt
1 2 0 0 t t 2 2 02 2 0
角量和线量的关系：
s R
v R at R 2 an R
ds d R dt dt dv d R dt dt 2 v an R R
2
8
可以把角速度看成是矢量 ！
3
2
讨论
d et dt
O
Δ
et et (t t ) - et (t )
当： t 0 , 0 有 方向
d et et d d
et t t
s
P 1
P2
et t
det et 即en方向
d et d en dt dt
o
xx'
t t
16
ut o '
v v u
伽利略速度变换
绝对速度
相对速度
dr v dt
a r ω v r R 方向沿着运动的切线方向。 为切向加速度 r y 即 at r
ω
R
v
ω v
方向指向圆心 为法向加速度
r
O
x
10
即 an ω v
z
v r r (2t 4) 0.2 (2 1 4) m s 0.4 m s
13
二 相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
14
质点在相对作匀速
yy'
P P'
直线运动的两个坐标系 中的位移
S系 (Oxyz ) 基本参考系 S'系 (O' x' y ' z ' ) 运动参考系
oo'
*
y
P
y' u Q
r
D
P'
t 0
xx'
r '
u 是S’系相对S系
方向由右手螺旋法则确定 。
右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指 的指向即为角速度矢量的方向。 y 线速度与角速度的关系： ω
v r
dv dω dr r ω dt dt dt
O
R
v
r
x
9
z
v 2 v v R
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。 s
P
et en
s
Q
O
en
规定：
• 切向 • 法向
et
et 坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为 坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 en
1
s
P
s en
et
Q
O
et
v
质点位置： s st 路程：
运动的速度
o
xx'
t t
15
ut o '
yy'
r r ' D 或 r r 'ut
速度变换
位移关系
P P'
oo'
*
r r ' u t t v v'u
y
P
y' u Q
r
D
P'
t 0
xx'
r '
an r 2 0.2(2 1 4) 2 m s 2 0.8 m s
2
v 2
an
o
M
a a a 0.89 m s
2 t 2 n
at
x
11
an 0.8 arctan arctan 63.4 at 0.4
a
例5 一质点沿半径为R的圆周运动，其路程s随时 间t 的变化规律为 s bt 1 ct 2，式中b，c为大于 2 1）质点的切向加速 零的常数，且 b 2 Rc 。求（ 度和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速 度等于法向加速度。 解： （1）
角位移： 质点从A到B矢径转过的角度 。
规定： 逆时针转向为正 顺时针转向为负
y
B
角速度： 角加速度：
d lim dt t 0 t
R
s
A
O
x
7
d lim dt t 0 t
角量表示匀加速圆周运动的基本公式：
0 t
ds v b ct dt 2 2 dv v (b ct ) at c an dt R R
（2 ）
a t an
解得
b R t c c
12
§1-3 相对运动
一 时间与空间
在两个作相对运动的参考系中，时间 的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的, 与参考系无关． 时间和长度的的绝对性是经典力学或 牛顿力学的基础．
1
例4 半径为r = 0.2 m的飞轮，可绕 O 轴转动。已知 轮缘上一点M的运动方程为 = -t2+4t ，求在1秒时 刻M点的速度和加速度。 d d 解： 2 2t 4 dt dt
1
at r (2) 0.2 m s 2 0.4 m s 2
et
et t t
et t
4
d
ds
O
et t t
P2 Δ
d et ds en dt ρdt v en ρ
2 det v v en dt ρ
s
P 1
et t
沿法线方向 2 d e v t en 法向加速度： an v dt ρ
5
综上所述：
Байду номын сангаас
dv v 2 a at an et en dt
加速度的大小：
a a a
2 n
2 t
加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：
an arctan at
例：抛体运动
an
at
g
6
1-2-6 圆周运动及其角量描述
角位置 ：
质点所在的矢径与x 轴的夹角。
s sQ sP
ds 速度： v vet et dt
2
质点的加速度： de t dv d( ve t ) dv et v a dt dt dt dt dv et ： dt
速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向
切向加速度：
dv d s at et 2 et dt dt
1 2 0 0 t t 2 2 02 2 0
角量和线量的关系：
s R
v R at R 2 an R
ds d R dt dt dv d R dt dt 2 v an R R
2
8
可以把角速度看成是矢量 ！
3
2
讨论
d et dt
O
Δ
et et (t t ) - et (t )
当： t 0 , 0 有 方向
d et et d d
et t t
s
P 1
P2
et t
det et 即en方向
d et d en dt dt
o
xx'
t t
16
ut o '
v v u
伽利略速度变换
绝对速度
相对速度
dr v dt
a r ω v r R 方向沿着运动的切线方向。 为切向加速度 r y 即 at r
ω
R
v
ω v
方向指向圆心 为法向加速度
r
O
x
10
即 an ω v
z
v r r (2t 4) 0.2 (2 1 4) m s 0.4 m s
13
二 相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
14
质点在相对作匀速
yy'
P P'
直线运动的两个坐标系 中的位移
S系 (Oxyz ) 基本参考系 S'系 (O' x' y ' z ' ) 运动参考系
oo'
*
y
P
y' u Q
r
D
P'
t 0
xx'
r '
u 是S’系相对S系
方向由右手螺旋法则确定 。
右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指 的指向即为角速度矢量的方向。 y 线速度与角速度的关系： ω
v r
dv dω dr r ω dt dt dt
O
R
v
r
x
9
z
v 2 v v R