公式法解一元二次方程与根的判别式
一元二次方程的根与判别式
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。
1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。
(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。
3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。
判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解。
(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。
(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
九年级数学一元二次方程的解法根的判别式
概括总结
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根 当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根 当b2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到 判别式的值的符号呢？
3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式 子是（ ） D A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0
典型例题
例1不解方程，判断下列方程根的情况： （1）-x2+ 2 6 x-6=0 （2）x2+4x=2 （3）4x2+1=-3x （4）x2-2mx+4（m-1）=0 解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0 ∴该方程有两个相等的实数根
归纳总结
一元二次方程的根的情况与系数的关系？
b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的 判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程 的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知 b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值 情况。
！诸人要从自己の夫君那里花银子买首饰，而且她の夫君竟然还是家财万贯の雍亲王爷，这要是让外人晓得咯，还不被人笑掉咯大牙？爷不是最讲脸面の人 吗？怎么这壹次居然不管不顾起来咯！而且这各按照市价公事公办，也就意味着他苏总管不用送给年侧福晋壹各顺水人情，不需要打任何折扣，而且王爷の那 番吩咐甚至是在向他暗示，壹分钱都不要少收咯侧福晋，但是明眼人谁都看得出来，那物件肯定是哪各官员、门客，或是幕僚呈送上来の贡礼。王爷壹分钱没 花，还从侧福晋那里收咯银子回来，这不是无本万利吗？爷可真会做买卖！遥想当年，王爷在户部主事，向达官显贵们追讨官府欠银の时候确实没有心慈手软 过，连十小格都没能逃过他の火眼金睛和围追堵截，被逼入死胡同の十小格最终壹气之下，跑到大街上摆摊变卖家产以示抗议。那场沸沸扬扬の讨债最终闹到 皇上那里，还是由皇上替十小格说咯好话，王爷才算是罢手不予追究。现在倒好，王爷居然发展到直接经营空手套白狼の营生上来咯，挣の还是自己府里の诸 人の银子，这，这可真是旷世奇谈！不过，王爷倒也确实是对得起“铁面无私”这几各字の评语，亲兄弟、明算帐，夫妻俩、账算明。不管将来会被众人如何 耻笑，王爷已经吩咐咯の事情，苏培盛只有不折不扣地执行。壹从书院回来，苏总管赶快将采办太监鲁小七叫咯来，大致口头描述咯那套首饰の质地、做工、 款式、大小，然后问他大概值好些两银子。鲁小七听完之后，万般为难、磨磨叽叽地开口说道：“总管，小の没看到那物件，真不好胡乱开价。”第壹卷 第 414章 五千鲁小七可是比猴子都精の壹各机灵鬼，当然咯，傻笨之人也当不咯采办の差事。鲁小七也听说咯王爷要向年侧福晋收银子の事情，现在苏培盛向他 问来那件首饰の价格，立即猜测到苏总管这是在向他寻价呢。苏培盛本身就是壹各老滑头，壹见鲁小七居然敢跟他耍滑头，心中暗笑，这小子简直就是小巫见 大巫，不知死活，于是没好气儿地说道：“你想投靠山也得认清主子不是！那院主子是给咯你金山银山，还是许咯你飞黄腾达？不就是娘家有点儿势力嘛，那 还不壹样都是爷の奴才！你可真是越活越缩抽咯，分不清哪各主子才是你の主子！”苏培盛可真是猜错咯！鲁小七跟水清没有壹点儿交情，他怎么可能会去偏 帮水清，他只是不想惹火上身，要离这趟浑水远远の。可是，他想躲也没有用，苏培盛怎么可能放过他！被逼到死胡同里の鲁小七，无可奈何之下只得战战兢 兢地开口道：“小の确实没有见过，这是实话，苏总管您也是晓得の。不过，假设按照您刚才大致说の那各样子，小の估摸着，最少也得五千两银子 吧。”“五千两？”苏培盛倒吸咯壹口冷气！继而开始嘬起咯牙花子。虽然他看着那套首饰の时候也是不小地吃咯壹惊，也承认那确实是各稀罕物件，但是壹 听到这各价格，还真是大大地出乎咯他の意料：怪不得爷会向年侧福晋讨要银子呢，确实是价值不菲，不过，话又说回来咯，爷怎么会跟诸人计较银子？而且 数目这么大の银子，爷对诸人，不，是爷对年侧福晋可真是没有壹点情面可讲呢。鲁小七壹见苏总管直皱眉头，就晓得这事儿要坏。他刚刚就是担心，不管他 说啥啊价钱，苏培盛都会联想到他有办差吃差价の巨大嫌疑。以往苏总管不怎么查账，只要账面上大致说得过去也就睁壹眼闭壹眼不太计较。可是当他听苏培 盛描述咯那件首饰の样式之后，也是极为震惊，那件首饰少说也要五千两，可是这各价格，任谁都不敢相信。由于不相信，导致苏培盛自然而然地凭空猜测他 在采办の过程中使咯暗收回扣、低进高出之类の手段。果不其然，鲁小七の担心非常有道理，现在苏总管壹副震惊和难以置信の神情，将他搞得苦不堪言。这 壹次他真の是据实相告，可是他平时办差の时候确实没少干低进高出、终饱私囊の勾当。假设因为今天の事情牵扯出来以往の损公肥私，他可真是小命不久矣。 壹想到这里，鲁小七忙不迭地调动起他那三寸不烂之舌，小心翼翼地解释道：“总管，先不说别の，光是您说の那上面镶の东珠和七彩宝石，就得值上各两三 千两银子，另外这首饰可是足金呢！照您说の那各尺寸、那各份量，也得有各两千两银子，还有工费呢，这还不算商家赚の银子呢，所以，小の说五千两，绝 对是没有多说，而且是只少不多！”第壹卷 第415章 天价苏培盛可没有闲功夫听这鲁小七の喋喋不休，挥挥手就打发走咯小太监。只剩他壹各人の时候，苏 培盛可是彻底地为难咯！五千两，真不是壹各小数目！记得侧福晋刚嫁进府里来の第壹各月就被罚咯月银，然后因为交不上来罚银，拖咯几各月，用每月の例 钱补交上来。连区区三、五百两の银子交得都那么困难，现在这令人瞋目惊舌の五千两还不要咯她の命？要说爷呢，这回可是真够狠の！壹出手可就是五千 两！原本爷也不是这样の壹各人呢，对诸人不但慷慨大方，而且怜香惜玉，怎么对年侧福晋就能这么不留情面，竟然下得去狠手？噢，对咯，估计爷对侧福晋 坏咯他和年仆役の好事，心存不满，特意选咯这么各最贵重の东西做贺礼，好好借这各机会变相地惩治壹番侧福晋，以解心头之气和夺妻之恨。可是这夺妻之 恨应该算到二十三爷の头上，跟侧福晋有啥啊关系！再怎么惩治侧福晋，就是罚她壹各五十万两，也换不回来那婉然仆役。倒是侧福晋，这回估计是要被爷罚 得倾家 ； .au/ 悉尼驾照翻译
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式一、重难点解析配方法解一元二次方程的一般形式导出公式法，分析判别式02=++c bx ax （0≠a ）1．根的判别式(1) 当Δ＝ac b 42->0时，原方程有两个不相等的实数根；(2) 当Δ＝ac b 42-=0时，原方程有两个相等的实数根；(3) 当Δ＝ac b 42-<0时，原方程没有实数根。
例：方程2210x x +-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x ++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根。
二、典型题1．若关于x 的不等式12a x -<的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程210x ax ++=根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定 2．若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3C ．﹣1D ．﹣1或3 3．关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．18a >- B ．18a ≥-C ．18a >-且1a ≠D ．18a ≥-且1a ≠ 4．关于x 的一元二次方程2(1)210m x x ---=有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ＞0C ．m ≥0且m ≠1D ．m ＞0且m ≠1 5．一元二次方程22(1)2(1)7x x +--=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一正根一负根C ．有两个正根D ．有两个负根6．关于x 的一元二次方程22(21)(1)0x k x k +-+-=无实数根，则k 的取值范围为 ．7．关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围．8．已知关于x 的一元二次方程0)(2)(2=-+++c a bx x c a ，其中c b a ,,分别为△ABC 三边的长。
九年级数学一元二次方程的解法根的判别式
典型例题
例1不解方程，判断下列方程根的情况： 不解方程，判断下列方程根的情况： x（1）-x2+ 2 6 x-6=0 （2）x2+4x=2 +1=（3）4x2+1=-3x 2mx+4 （4）x2-2mx+4（m-1）=0 解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0 ） × ） ） ∴该方程有两个相等的实数根
尝试：
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0 － ⑵ x2 = 4x－4 － ⑶ x2－3x =－3 －
答案：（ ）有两个不相等的实数根； 答案：（1）有两个不相等的实数根； ：（ （2）有两个相等的实数根； ）有两个相等的实数根；
当一元二次方程有两个不相等的实数根时， 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时， 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
概念巩固
1.方程 2+2=4x的判别式 2-4ac= -8 方程3x 的判别式b 方程 的判别式 . 所以方程的根的情况是 方程无实数根
典型例题
为任意实数， 例2 ：m为任意实数，试说明关于 的方程 为任意实数 试说明关于x的方程 x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等 （ ） （ ） 恒有两个不相等 的实数根。 的实数根。
解：b 2 − 4ac = [− (m − 1)]2 − 4[3(m + 3)]
= m 2 + 10m + 37
典型例题
2
一元二次方程的根的判别式
例3：不解方程，判别关于 x 的方程
x2 2 2kx k 2 0的根的情况.
分析：a 1 b 2 2k c k 2
解：
Байду номын сангаас
2
2k
2
41 k2
系数含有 字母的方
程
8k 2 4k 2 4k 2
∵Q k 2 0,4k 2 0，即 0,
方程有两个实数根.
不解方程，判别关x 于 x 的方程
例1：按要求完成下列表格：
方程
2y2 2 4y
Δ的值
0 0
根的 情况
有两个相等 的实数根
2(x2 1) x 0 2x2 3x 1 0
15 0
没有实数根
17 0
有两个不相 等的实数根
让我们一起学习例题
例2 : 不解方程，判别方程 4 y2 1 4 y
的根的情况.
解：4 y2 4 y 1 0 a 4,b 4, c 1 (4)2 4 41 0
当 b 2 4 ac >0 ，方程有两个不相等的实数根； 当b 2 4 ac =0 ，方程有两个相等的实数根； 当b 2 4 ac <0 ，方程没有实数根；
反过来，对于方程ax2 bx c 0a 0 ，
如果方程有两个不相等的实数根，那么b2 4ac 0; 如果方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程没有实数根，那么 b2 4ac 0.
2) 5t 2 7t 5 0
3) 4x2 20x 25 0
2.求证:方程 (m2 1)x2 2mx (m2 4) 0 没有实数根.
1.已知关于 x 的方程 x2 (2k 1)x k 2 1 0
有两个不相等的实数根，试确定的取值。
第五讲 公式法解一元二次方程和根的判别1
第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。
二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。
2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。
3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。
4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。
（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。
一元二次方程的解法(5)---根的判别式
方程化成一般形式后方可使用！
例题评讲：
例1：不解方程判别下列方程根的情况
（1）x2+3x+1=0 （2）x2 -6x+9=0 （3）2x2 -x+1=0
例2：关于x的方程2x2 +mx-2=2x-m，当m为何值 时方程有两个相等的根？并求出它的根.
练习：
(注意：△≠
b
2
2-4ac) ， 应△ = b 4ac
定理揭示：
（1）关于一元二次方程ax2+bx+c=0(b≠0)根的判别式定理： 在一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac 若△＞0 则方程有两个不相等的实数根 若△=0 则方程有两个相等的实数根 若△≥0时， 则方程有（两个）实数根
1、当K为何值时方程（k-2）x2 +2kx-1=0有两个相等的
实数根.
2、当K为何值时，方程kx2 +（2k+1）x+k=0（k≠0） （1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根
（3）没有实数根
例3：求证：
1 2 关于x的方程X -(m-2)x4
m2=0，无论m为何值，方程总
有两个不相等的实数根.
例 4. 已 知 a 、 b 、 c 是 Δ ABC 的 三 条 边 ， 那 么 方 程
cx2+2(a+b)x+c=0,的根的情况是（
）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断
思考
（1）k为何值时，关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数 根？
公式法解一元二次方程(根的判别式).
2
ax bx c 0(a 0)中
2
例3.K为何值时，关于X的 方程X2-4X+K+1=0 有两个实数根？
解：△=（-4）2-4（k+1) =16-4k-4 = 12-4k ∵原方程有两个实数根 ∴△≥0 即：12-4k≥0 ∴k≤3时，原方程有两个实数根。
课时训练
4.关于 x 的方程 k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则 k的范围 k≤1/4 是__________. 5. 若关于 x 的一元二次方程 mx2-2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k 的取值范围是 (A ) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1
2 2
m 2且m 1
试一试：
1.已知关于X的一元二次方程
2
kx (2k 1) x k 0
当K取什么值时,方程有两个不相等的实数根? 2.已知关于X的方程 kx2 (2k 1) x k 0 当K取什么值时,方程有实数根?
课时x+4=0的根的情况 是 ( D ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根 3.下列一元二次方程中，有实数根的是 ( C ) A.x2-x+1=0 C.x2+x-1=0 B.x2-2x+3=0 D.x2+4=0
22.2.4一元二次方程根的判别式
a、b、c 的值.
的值，确定 的符号.
3、判别根的情况，得出结论.
练习
(1)不解方程，判别关于 的方程 x
. x 2 2kx 的根的情况 k 0
2 2
分析：a 1 b 2 2k
ck 2 2 解： 2 2k 4 1 k
2
系数含有 字母的方 程
8k 4k 4k
22.2.4 一元二次方程根的判别式
用公式法求下列方程的根:
用公式法解 一元二次方程 的一般步骤:
1)2 x 2 x 2 0
1 2 2) x x 1 0 4
确定a , b , c 的值
4ac 2)计算 b 2 的值
b 2 4ac 0
b b 2 4ac x 2a
已知a,b,c是ABC的三边,判 断cx2 +2 a-b x+c=0方程的根的 情况.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
作业：课时优化
解：当方程时一元二次方程时：
△=(-6)2-4k ≥ 0 且k≠0 ∴k≤9 且 k≠0 当方程时一元一次方程时： k= 0 方程-6x+1=0也有实根
综上:k ≤9 方程有实根
(5) 若关于x的方程 （1-2k)x2- 2 k+1 x=1有两个不等
实根,求k的取值范围？
例3.求证：不论m取何值，关于x的一元二次 方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的 实数根.
证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）
=m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157 =（m-11）2+36 ∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0
2.3用公式法求解一元二次方程-一元二次方程的根的判别式(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的根的判别式的理解程度各有不同。有的学生能够迅速掌握判别式的计算和应用，而有的学生在理解判别式与方程根的关系上存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个别差异，采取更为灵活多样的教学方法。
在讲授新课的过程中，我尽量用简单的语言解释判别式的概念，并通过具体的案例进行分析，让学生能够直观地感受到判别式在实际问题中的应用。然而，我也注意到，对于一些学生来说，理论知识的掌握仍然需要更多的实际操作和练习。因此，在实践活动中，我安排了分组讨论和实验操作，让学生亲自动手解决问题，以提高他们的实际操作能力。
针对实际问题的应用，教师应设计不同难度层次的例题和练习，如求解几何图形的面积、物体的运动轨迹等，引导学生将判别式应用于实际问题中，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力。
注意：由于字数限制，上述内容并未达到2000字，但已尽量详细列出教学难点与重点的每个细节。在实际教案撰写中，可以根据需要进一步拓展和深化每个部分的讲解和举例。
2.提高学生的逻辑推理能力，通过推导一元二次方程求根公式，理解判别式的意义及其在求解过程中的作用。
3.培养学生的数学运算能力，使其能够运用判别式快速判断一元二次方程的根的性质，并进行有效求解。
4.增强学生的数据分析观念，通过分析判别式的值对不同根的情况进行分类讨论，培养学生对数学问题深入探究的精神。
2.教学难点
-理解判别式Δ与方程根之间的数量关系。
-掌握在不同Δ值情况下，方程根的性质和求解方法。
-解决实际问题时，能够正确应用判别式进行分析。
举例：难点在于帮助学生理解判别式Δ与方程根的对应关系。教师需要通过图示、表格或动画等教学辅助手段，直观展示Δ值的增减如何影响方程根的数量和性质。例如，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程没有实数根。通过对比不同Δ值下的解题过程，让学生深刻理解判别式在解题中的作用。
一元二次方程的根的判别式
解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n.
又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根，
方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根，
∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0.
把4n=m2+8m-8代入上两式得 20 m 45
x2 b x c 0
aa
x2 b x c
a
a
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
配方 法
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
(a
0)
a0,4a20 b2 4ac
当 0 时 ， 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ； 当 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 时 ， 0 ；
当 0 时 ， 方 程 没 有 实 数 根 . 当 方 程 没 有 实 数 根 时 ， 0 .
让我们一起学习例题
例1：按要求完成下列表格：
方程
a2x2b2c2x2(bc)2a
有两个等根，试判断△ABC的形状.
解：利用Δ ＝0，得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.
典型例题解析
【例5】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值.
求根公式法解一元二次方程及方程根的判别式的应用
1.把一元二次方程各系数直接代入求根公式，可以直接得到方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做法。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是。
3.一元二次方程的根的判别式是：△= 。
（1）当△＞0时，一元二次方程的实数根。
（2）当△= 0时，一元二次方程的实数根。
（3）当△＜0时，一元二次方程的实数根。
4.用求根公式解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式，即的形式；（2）确定，，的值；（3）计算△= b2﹣4ac的值，若△时，则将a. b.c 代入求根公式计算；（4）写出答案：x1= , x2= .5.把一元二次方程左边因式分解，使方程化成两个一次因式的积等于0，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解方程的方法叫法。
6.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式。
即的形式；（2）把方程的左边分解成的形式，右边为；（3）令这两个一次因式分别等于，得到两个一元一次方程；（4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；（5）写出答案。
例1、用公式法解下列方程1，21202x x -++= 2，2121233x x --+= 分析：可先将方程转化为整系数方程，再用求根公式 解：1，整理得：2240x x --= a=1 b=-2 c=-4224(2)41(4)20b ac ∆=-=--⨯⨯-=212x ∴==±即x 1=1， x 2=1 （2）整理得：23250x x +-= a=3 b=2, c= -5△ = b 2﹣4ac=2243(5)64-⨯⨯-=∴x=214233--±=⨯ 即x 1=1 ， 253x =-。
例2.用因式分解法解下列方程。
（1）26510x x -+= （2）261360x x ++=分析：这两个方程二次项系数都不是1，但也能将左边分解为两个一次因式乘积的形式。
（2x-1）（3x-1）=0 210x ∴-=或310x -= 即1211,.23x x == （2）261360x x ++=()()32230x x ++=320230x x ∴+=+=或 即1223,.x x =-=-0,ab a ≠∴例4.选择适当的方法解下列方程()21310x x --= ()223)12-=(1)()()223243x x -=- (2)()()112x x --=例5 若关于x 的方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值。
解一元二次方程公式法及判别式
)
A．x＝4±
（－4）2－4×2×1 2×2
B．x＝－4±
42－4×2×1 2
C．x＝－4±
（－4）2－4×2×1 2×2
D．x＝－4±
42－4×2×1 2×2
【例题精讲】
例1：用公式法解方程 2x2-9x+8=0
解: a 2,b 9, c 8. 1.变形:化已知方程为一般形式;
b2 4ac 92 4 28 17 0.
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
ห้องสมุดไป่ตู้
【公式理解】
1:方程－x2＋3x＝1用公式法求解，先求a，b，c的值，
正确的是(
)
A．a＝－1，b＝3，c＝－1 B．a＝－1，b＝3，c＝1 C．a＝－1，b＝－3，c＝－1 D．a＝1，b＝－3，c＝－1
2．解方程 2x2＋1＝4x，下列代入公式正确的是(
2：二次方程 2mx2 8m(x 1) x ， 当 m 为何值时，方程有两个不相等的
实数根；
【跟踪练习】
1．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋1＝0的根的判别 式的值为5，则k的值为_－__5_或__1______．
2．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满 足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程 ．已知x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等 的实数根，则mn＝__－__2____．
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， b2 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b2 4ac 0
【理解运用】
1:不解方程，判定下列一元二次方程根的情况．
根的判别式与因式分解法解一元二次方程的联系
根的判别式与因式分解法解一元二次方程的联系桃林乡沙溪附中 任德波根的判别式是判断一元二次方程根的情况，但△=b 平方-4ac 有时的结果是一个平方数，这在用公式时求它的算术平方根时可得出一个整数，于是解出根的结果是有理数。
用公式需要代入公式求解，有时数据或符号的失误导致解出的结果错误，而且速度不是最快的。
在解一元二次方程的所有方法中，用因式分解法应该是最快的且准确度较高的，如何解决用什么办法解一元二次方程，可以用根的判别式先算出结果，看是不是平方数，如果是，一般可用因式分解法，如果不是平方数，只能用公式法或配方法解。
下面举例阐述这个观点。
例1、 分析：先用判别式得1-4×（-5)=21,21不是平方数，所以不能用因式分解法解。
适合用配方法或公式法。
例2 分析：这个方程不是一元二次方程的一般式，先应转化在一般式为： 再用判别式得4—4×3×（—1）=16，16是平方数，于是此方程可用十字相乘法： 1 -1 3 1 1×1+3×(-1)=-2,刚好是一次项系数，于是可分解为(x-1)(3x+1)=0 解得x1=1,x2=-1/3此题如果算到一般式后用公式法或配方法都不是那么快且准确，特别是配方法，还要配入一次项系数一半的平方，这使计算复杂化了。
而用因式分解法，使运算更快更准确了。
通过以上两例说明，因式分解法不是万能的解法，但它可以提高解题效率，节省时间，特别是升学考试时，以120分钟完成150分值的试题，答题压力可想而知。
但只要掌握了好的方法，能提高解答效率，达到事半功倍的效果。
x 2 + x - 5 =0x + 1 - ( ) 2 2(x 2 -1) =03x -1 2 -2x =0。
一元二次方程根的判别式
2
系数含有 字母的方 程
8k 4k 4k
2 2
∵ k2
0,4k 0，即 0,
2
方程有两个实数根.
(1)不解方程，判别关于 的方程 x
a x ax 1的根的情况 0 a 0 .
2 2
解： (a) 2 4a 2 (1) 5a 2 , 且a 0
5a 2 0,即 0 所以，原方程有两个不相等的实数根。
(2) x2-2kx+4(k-1)=0
(k为常数)
解：△=4 k2-16k+16 =4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
∴ △≥ 0方程有两个实根 (3) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数) 解：△=m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4 ∴ △ > 0方程有两个不等实根
ax 2 bx c 0
b c x x 0 a a b c 2 x x a a
2
配方 法
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
2 b b 4ac x 2 2 a 4 a
2
求出参数范围
(2) m为何值时,关于x的方程 4x2-mx =2x+1-m有两个相等实根？ 解：方程整理为：
4x2-(m+2)x+m-1=0 依题意 △=(m+2)2-16(m –1) =m2-12m+20 =0 解得:m₁=2 m₂=10 即当m=2或10 x2-mx =2x+1-m有两个相等 实根
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课题 公式法解一元二次方程与根的判别式
教学目标：
1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.
2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.
3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.
4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.
5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.
教学重点：
1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.
2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.
教学难点：
1、正确理解“当240b ac -<时，方程2
0(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.
一、学习新知，推导公式
我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a
b x -=，那么对于一元二次方程02=++
c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢我们用配方法推导一元二次方程的求根公式.
用配方法解一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax
解： c bx ax -=+2 移常数项 a
c x a b x -=+2
方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a
ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。
因此对上面这个方程要进行讨论
因为2
040a a ≠>所以
（1）当2
40b ac -≥时，2404b ac a -≥。
利用开平方法，得2b x a += 则2b x a =-
所以x =， （2）当2
40b ac -<时，2404b ac a -<。
在实数范围内，x 取任何值都不能使方程22244)2(a
ac b a b x -=+左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当042≥-ac b 时，它有两个实数根：
2b x a
-±=（04,02≥-≠ac b a ） 这就是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式.
问题：1、在求根公式中，如果042=-ac b 时，根的情况如何
2、如何用求根公式求一元二次方程的根
解答：
1、如果042=-ac b ，那么方程有两个相等的实数根，即a b x x 221-
==. 2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果042≥-ac b ，那么可代
入公式求出方程的根，如果042
<-ac b ，那么方程无实数根，这种解一元而次方程的方法叫做公式法.
二、利用公式引导判别式：
利用求根公式x =，可以解任何一个一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠.
（1）当2
40b ac ->时，方程的根是12x x ==（2）当240b ac -=时，方程的根是122b x x a
==-.
（3）当2
40b ac -<时，方程没有实数根.
提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况
1、定义：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“△”表示，记作△=24b ac -.
2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，
当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；
当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；
当△=2
40b ac -<时，方程没有实数根.
例题精讲：
例1：用公式法解下列方程：
（1）25610x x ++= （221)(2)1x x x -=-+ 解（1）原方程中5,6,1a b c ===，
即 15x =-或1x =- 所以，原方程的根是121,15
x x =-=-
（2）把原方程化为一般式，得21)210x x +=
其中1,2,1a b c ===
即 1x =或3x =--
注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般式确定a 、b 、c 的值，并且注意a 、b 、c 的符号。
例2、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）24530x x --=； （2）22430x x ++=； （3）223x +=.
解：（1）∵2(5)44(3)730∆=--⨯⨯-=>
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
（2）∵2
442380∆=-⨯⨯=-<
∴ 原方程没有实数根.
（3）原方程可化为2
230x -+=
∵2(4230∆=--⨯⨯= ∴原方程有两个相等的实数根.
例3、关于x 的方程2(1)0x m x m +--=（其中m 是实数）一定有实数根吗?为什么 解：2(1)41()m m ∆=--⋅⋅-
因为m 是实数，所以2(1)0m +≥，即0∆≥.
所以，此方程一定有实数根.
基础训练
一、求下列方程中24b ac -的值：
1、2650x x --=
2、2
8160x x -+=
3、2232x x =- 42x =5、211042
x x -= 6、21x x -=
7、2x q px +=- 8、20x x -+=
二、不解方程，判断下列方程根的情况：
1、22520x x -+=
2、21302x x --
=
3、230x -+=
4、241290x x -+=
5、211022
x x ++= 6230x -+=
7、250x += 8、
2104
x x -+= 三、用公式法解下列方程：
1、220x --=
2、222x x +=
3、22220x x +-=
4、291220x x -+=
5、241x =+
6、2
910x -+= 四、解答题：
1、当0q >时，请你判断关于x 的方程2
0x px q +-=的根的情况。
2、关于x 的方程2(2)20x m x m -++=一定有实根吗为什么?
3、如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
能力提高
一、用公式法解下列一元二次方程：
1、2
418x x += 2、3(34)1x x +=-
3、9(1)31x x x -=+
4、4(210x x +=
二、解答题：
1、关于x 的方程2(3)30mx m x +++=一定有实数根吗为什么
2、关于x 的一元二次方程2(4)210k x x ---=
（1）若方程有两个实数根，求k 的取值范围；
（2）当k 是怎样的正整数时，方程没有实数根。
思维拓展
1、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，判断方程22()0cx a b x c +-+=的根的情况。
课后作业
一、用求根公式法解下列方程：
1、25x +=
2、2210x x --=
3、2320x x --+=
4、
21122x x += 5、281(31)(23)x x x -=-+ 6、2235x x +=-
二、求证：不论k 为任意实数，方程221(21)3202x k x k +-++=没有实数根。