浙江省高考数学圆锥曲线历年高考真题版

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浙江高考圆锥曲线

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浙江高考圆锥曲线1.(2013)年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1) 求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时 (2) 直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=, 所以椭圆的方程是2214xy +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩, 28||4D P k x x DP k +=-∴==+所以11||||22ABDS AB DP ∆====2324313k ==≤=++252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x =-2、:的长轴是圆的一个顶点,:)是椭圆点21221)0(141-,0(C C b a y x C P >>=+ 21,l l 是过点,11A C l P 于另一点交椭圆,其中且互相垂直的两条直线面积最大值时直线。

求于另一点交椭圆AB ABP B C l ∆12解设),,(),,(2211y x B y x A 直线AB 的方程为b kx y +=将其代入1422=+y x 整理得448)41(222-+++b kbx x k 22212214144,418kb x x k kb x x +-=+-=+∴由∴⊥PB PA 1)1())(1(11112122121222112211-=+++++=++⋅++=+⋅+x x b x x b k x x k x b kx x b kx x y x y 即0)1(1422=-+-b b ,解得舍去)或(153-==b b ,),(过定点又直线53,0Q AB 2222222214125453241)44)(41(464582121k k kb k b k x x PQ S PAB++⋅=+-+-⋅=-⋅=∴∆ 令则),52(2542≥+=t k t PAB S ∆=tt t t 2594153225945322+⋅=+⋅,时当52=t ,PAB S ∆最大, 53=y AB 的直线方程为于此时。

专题11+圆锥曲线-十年高考(2009-2018)之高三数学分项与解读(浙江专版)+Word版含解析

专题11+圆锥曲线-十年高考(2009-2018)之高三数学分项与解读(浙江专版)+Word版含解析

【考情概览】【应试策略】1.平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b +=>> E :22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.(I )求椭圆C 的方程;(II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上;(ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ,求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】(Ⅰ)1422=+y x ;(Ⅱ)(i )见解析;(ii )12S S 的最大值为49,此时点P 的坐标为)41,22((Ⅱ)(i )设)0)(2,(2>m m m P ,由y x 22=可得x y =/, 所以直线l 的斜率为m ,因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-,即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ,联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ,由0>∆,得520+<<m 且1442321+=+m m x x , 因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ,因为mx y 4100-=,所以直线OD 方程为x m y 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41,得点M 的纵坐标为M 14y =-,即点M 在定直线41-=y 上. (ii )由(i )知直线l 方程为22m mx y -=,令0=x 得22m y -=,所以)2,0(2m G -, 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m , 所以)1(41||2121+==m m m GF S , )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ,所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S , 令122+=m t ,则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S , 当211=t,即2=t 时,21S S 取得最大值49,此时22=m ,满足0>∆, 所以点P 的坐标为)41,22(,因此12S S 的最大值为49,此时点P 的坐标为)41,22(.【应试策略】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现. 2.如图,已知抛物线,过直线上任一点作抛物线的两条切线,切点分别为.(I )求证:; (II )求面积的最小值.【答案】(1)见解析(2) 面积取最小值【解析】试题分析:(1)设,的斜率分别为,由切线条件,易得,即,由两根之积可得所以;(2),而,同理可得,即,然后求最值即可.(II)由(I)得,所以综上,当时,面积取最小值.【应试策略】圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系;③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;④利用基本不等式求出参数的取值范围;⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.3.已知点1,2P t⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆22:12xC y+=内,过P的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,O为坐标原点.(Ⅰ)是否存在实数t,使直线和直线OP的倾斜角互补?若存在,求出的值,若不存在,试说明理由;(Ⅱ)求OAB面积S的最大值.【答案】( Ⅰ)存在;(Ⅱ)max2S=.【解析】试题分析:试题解析:(Ⅰ)存在.由解得,,(或由解得,)当时,显然不符合题意;当时,设直线的斜率为,只需,即,解得,均符合题意.(Ⅱ)由(1)知的方程是,所以,【应试策略】解析几何中存在性问题的求解方法:1.通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于特定参数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在,否则(点、直线、曲线或参数)不存在. 2.反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.【真题展示】一、选择题1.【2018年,浙江卷2】双曲线221 3=x y -的焦点坐标是( )A .(0),0)B .(−2,0),(2,0)C .(0,,(0D .(0,−2),(0,2)【.答案】B【解析】∵2314c =+=,∴双曲线2213x y -=的焦点坐标是(2,0)-,(2,0).2.【2017年,浙江卷2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C .23D .59【答案】B【解析】试题分析:e ==B . 3.【2013年.浙江卷.理9】如图,F 1,F 2是椭圆C 1:24x +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( ).A .32 D 【答案】D【解析】椭圆C 1中,|AF 1|+|AF 2|=4,|F 1F 2|=又因为四边形AF 1BF 2为矩形,所以∠F 1AF 2=90°.所以|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2,所以|AF 1|=2-|AF 2|=2+所以在双曲线C 2中,2c =2a =|AF 2|-|AF 1|=e ==,故选D . 4. 【2011年.浙江卷.理8】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点,2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点,若1C 恰好将线段AB 三等分,则(A)2132a =(B )213a = (C )212b =(D )22b =5. 【2010年.浙江卷.理8】设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ,满足212PF FF =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为(A )340x y ±= (B )350x y ±= (C )430x y ±= (D )540x y ±= 【答案】C【解析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出a 与b 之间的等量关系,可知答案选C ,本题主要考察三角与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察,属中档题 6.【2015高考浙江,理5】如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是( )A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A. 【解析】11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ,故选A. 【考点定位】抛物线的标准方程及其性质7.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1:22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2:22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则( )A .m >n 且e 1e 2>1B .m >n 且e 1e 2<1C .m <n 且e 1e 2>1D .m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【考点】1、椭圆的简单几何性质;2、双曲线的简单几何性质.【易错点睛】计算椭圆1C 的焦点时,要注意222c a b =-;计算双曲线2C 的焦点时,要注意222c a b =+.否则很容易出现错误.8.【2012年.浙江卷.理8】如图,F 1,F 2分别是双曲线C :22221x y a b-=(a ,b >0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是( )A .3 B .2【答案】B9.【2009年.浙江卷.理9】过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若12AB BC =,则双曲线的离心率是 ( )A 【答案】C【解析】对于(),0A a ,则直线方程为0x y a +-=,直线与两渐近线的交点为B ,C ,22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭,则有22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭,因222,4,AB BC a b e =∴=∴= 哦;。

浙江历年高考数学试题及答案汇编十圆锥曲线

浙江历年高考数学试题及答案汇编十圆锥曲线

浙江历年高考数学试题及答案汇编十圆锥曲线1.若双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$,则双曲线的离心率为$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。

2.图中给出的是一个斜三角形$ABP$,要求点$P$在平面$a$内运动,使得$\triangle ABP$的面积为定值。

根据题意可知,$\triangle ABP$的面积等于$\frac{1}{2}AB\cdot h$,其中$h$为$P$到$AB$的距离。

因此,$h$是一个定值,而$AB$是一个斜线段,所以$P$的轨迹是一条与$AB$垂直的直线。

3.设椭圆的焦点分别为$F_1$、$F_2$,椭圆上任意一点$P$到$F_1$、$F_2$的距离之和为常数$2a$($2a$为椭圆的长轴),即$|PF_1|+|PF_2|=2a$。

根据题意可得$|F_2A|+|F_2B|=12$,因此$|AB|=2a=24-|F_2A|-|F_2B|=12$。

4.过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的两个焦点$F_1$、$F_2$的直线为双曲线的准线,且与$x$轴的夹角为$\theta=\arctan\frac{b}{a}$。

由于双曲线的左、右支分别对称,不妨考虑右支。

右支的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。

过$F_1$的直线的斜率为$\tan(\theta+\frac{\pi}{4})=\frac{a}{b}$,因此该直线的方程为$y-\frac{b}{a}x=2b$。

将该直线与双曲线的渐近线联立,解得交点坐标为$B(\frac{2a^2}{b},\frac{2ab}{b})$。

同理,过$F_2$的直线的方程为$y+\frac{b}{a}x=2b$,将其与双曲线的渐近线联立,解得交点坐标为$C(-\frac{2a^2}{b},-\frac{2ab}{b})$。

浙江十年(2014-2023)单独考试招生文化考试数学真题分类汇编 圆锥曲线含详解

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专题06圆锥曲线考点01椭圆1.(2023年浙江)中国刺绣作为一项传统手工技艺,是中国传统文化的重要组成部分.某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示,则这个椭圆的离心率是()u 53u 56u 52u 552.(2023年浙江)椭圆的标准方程为2+26=1,焦点在x 210,则n=____.3.(2022年浙江)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为离心率3e =,过点(2,0)-的直线与椭圆交于A ,B 两点,且线段AB 的中点坐标为01,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭.求:(1)椭圆的标准方程;(4分)(2)0y 的值.(6分)4.(2021年浙江)若椭圆2214x y m +=的一个焦点为(0,3)-,则椭圆的离心率为()A.355 B.413 C.313D.313135.(2021年浙江)如图,(4,0)F 为椭圆的右焦点,M 是椭圆上的点,若△OMF是正三角形,则椭圆长轴长为.6.(2020年浙江)若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2,离心率为2.斜率为1的直线经过椭圆的左焦点,交椭圆于A ,B 两点.(1)求椭圆的标准方程;(5分)(2)求||AB 的值.(5分)7.(2019年浙江)椭圆标准方程为221244x y t t+=+-,一个焦点为()3,0-,则t 的值为()A.1- B.0C.1D.38.(2019年浙江)已知椭圆中心在原点且对称轴为坐标轴,它与双曲线2213y x -=有且仅有两个公共点,它们的离心率之积为1,则椭圆标准方程为________.9.(2018年浙江)方程+32+2+−32+2=10所表示的曲线为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线10.(2018年浙江)如图所示,椭圆22+22=1的两个焦点坐标为1−2,0,22,0,两个顶点和两个焦点构成一个正方形,求:(1)椭圆的标准方程和离心率;(4分)(2)以点A (a ,0)为顶点,且关于x 轴对称的内接等腰直角三角形的周长.(6分)11.(2017年浙江)已知椭圆方程:224312x y +=,下列说法错误的是()A.焦点为()0,1-,()0,1B.离心率12e =C.长轴在x 轴上D.短轴长为2312.(2016年浙江)椭圆22116x y m +=的离心率34e =,则m 的值为A.7B 7C.7或25D.7或256713.(2015年浙江)若()0,πβ∈,则方程22sin 1x y β+=所表示的曲线是()A .圆B .椭圆C .双曲线D .椭圆或圆14.(2014年浙江)两边靠墙的角落有一个区域,边界线正好是椭圆轨迹的部分,如图所示.现要设计一个长方形花坛,要求其不靠墙的顶点正好落在椭圆的轨迹上.(1)根据所给条件,求出椭圆的标准方程;(3分)(2)求长方形面积S 与边长x 的函数关系式;(3分)(3)求当边长x 为多少时,面积S 有最大值,并求其最大值.(4分)考点02双曲线1.(2023年浙江)如图所示,双曲线的标准方程为22−22=1(>0,>0),1,2为双曲线的两个焦点,实轴长为23,且双曲线经过点(−2,−2);(1)求双曲线的标准方程;(3分)(2)若点M 在双曲线的渐近线上,ΔB 12的面积为122,求点M 的坐标;(4分)(3)点P (m,n )在双曲线右支上,点N 的坐标为(1,n ),求∣B 1∣∣P∣的值.(3分)2.(2022年浙江)己知双曲线221412x y -=的两个焦点为12,F F ,以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ,则12F PF △的面积为()A .43B .63C .12D .243.(2021年浙江)已知双曲线的渐近线方程为2y x =±,实轴长为4,则双曲线标准方程是()A.221416x y -= B.221416y x -=或2214x y -=C.2214x y -= D.221416x y -=或2214y x -=4.(2020年浙江)双曲线221x y -=与直线1x y -=交点的个数为()A .0B .1C .2D .45.(2020年浙江)已知双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为y =,则该双曲线的离心率为___________.6.(2019年浙江)双曲线22221x y a b-=的实轴长为10,焦距为26,则双曲线的渐近线方程为()A.135y x =±B.125y x =±C.512y x =±D.513y x =±7.(2018年浙江)双曲线216−29=1的焦点坐标为()A.±7,0B.0,±7C.±5,0D.0,±58.(2018年浙江)双曲线22−28=1e =3,则实半轴长9.(2017年浙江)设动点M 到()1F =的距离减去它到)2F 的距离等于4,则动点M 的轨迹方程为()A.22149x y -=(2x ≤-)B.22149x y -=(2x ≥)C.22149x y -=(2y ≥) D.22149x y -=(3x ≥)10.(2017年浙江)双曲线2212516y x -=的两条渐近线方程为______.11.(2016年浙江)已知双曲线22221x y a b -=的离心率52e =,实轴长为4,直线l 过双曲线的左焦点1F 且与双曲线交于,A B 两点,83AB =.(1)求双曲线的方程;(2)求直线l 的方程.12.(2015年浙江)焦点在x 轴上,焦距为8的双曲线,其离心率2e =.则双曲线的标准方程为()A .221412x y -=B .221124x y -=C .221412y x -=D .221124y x -=13.(2014年浙江)双曲线22149x y -=的离心率e =()A .23B .32C .132D .133考点03抛物线1.(2023年浙江)截至2023年2月,被誉为“中国天眼”的500米口径的射电望远镜(FAST),已经发现超740颗脉冲星,为世界各国探索宇宙星空,提供了中国智慧和中国力量.如图所示,这个射电望远镜的轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分.当抛物线口径AB 为300米时,抛物线的深度OC 为56.25米,则这个抛物线的标准方程为()A.x 2=400yB.x 2=200yC.y 2=400xD.y 2=200x2.(2022年浙江)己知点(2,2)M 在抛物线22y px =上,则抛物线的焦点坐标为()A .(1,0)-B .(1,0)C .1,02⎛⎫⎪⎝⎭D .1,02⎛⎫-⎪⎝⎭3.(2021年浙江)已知抛物线顶点为原点,准线l :13y =-.(1)求抛物线的标准方程;(4分)(2)过焦点F 的直线与抛物线相交于A ,B 两点,若83AB =,求直线AB 的方程.4.(2020年浙江)若直线y x b =+经过抛物线24x y =的焦点,则b 的值是()A .2-B .1-C .1D .25.(2019年浙江)已知抛物线的顶点在原点,焦点坐标为()3,0F .(1)求抛物线的标准方程;(2)若抛物线上点M 到焦点的距离为4,求点M 的坐标.6.(2018年浙江)抛物线2=12的焦点到其准线的距离是()A.18B.14C.12D.17.(2017年浙江)1992年巴塞罗那奥运会开幕式中,运动员安东尼奥·雷波洛以射箭方式点燃主会场的圣火成为历史经典.如图所示,如果发射点A 离主火炬塔水平距离60m AC =,塔高20m BC =.已知箭的运动轨迹是抛物线,且离火炬塔水平距离20m EC =处达到最高点O .(1)若以O 为原点,水平方向为x 轴,1m 为单位长度建立直角坐标系。

2005-2019年浙江高考理科数学历年真题之圆锥曲线大题(学生版)

2005-2019年浙江高考理科数学历年真题之圆锥曲线大题(学生版)

2005-2019年浙江高考理科数学历年真题之圆锥曲线大题(学生版)1、(2005年)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点12,F F 在x 轴上,长轴12A A 的长为4,左准线l 与x 轴的交点为M ,|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线1l :x =m (|m |>1),P 为1l 上的动点,使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ,求点Q 的坐标(用m 表示).2、(2006年)如图,椭圆by a x 222+=1(a >b >0)与过点A (2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ,且椭圆的离心率e=23。

(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段AF 2的中点, 求证:∠ATM=∠AF 1T 。

3、(2007年)如图,直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ,两点,记AOB △的面积为S . (I )求在0k =,01b <<的条件下,S 的最大值; (II )当2AB =,1S =时,求直线AB 的方程.4、(2008年)已知曲线C 是到点P ()和到直线距离相等的点的轨迹。

是过点Q (-1,0)的直线,M 是C 上(不在上)的动点;A 、B 在上, 轴(如图)。

(Ⅰ)求曲线C 的方程; (Ⅱ)求出直线的方程,使得为常数。

83,21-85-=y l l ,MA l MB x ⊥⊥l QAQB25、(2009年)已知椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的右顶点为(1,0)A ,过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1. (I )求椭圆1C 的方程;(II )设点P 在抛物线2C :2()y x h h =+∈R 上,2C 在点P 处的切线与1C 交于 点,M N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时,求h 的最小值.6、(2010年)已知1>m ,直线,02:2=--m my x l 椭圆21222,,1:F F y mx C =+ 分别为椭圆C 的左、右 焦点.(I )当直线l 过右焦点F 2时,求直线l 的方程;(II )设直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,21F AF ∆,21F BF ∆的重心分别为G ,H.若原点O 在以线段GH为直径的圆内,求实数m 的取值范围.OxyAP MN7、(2011年)已知抛物线1:C 2x =y ,圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M 。

04__17浙江高考历年圆锥曲线大题

04__17浙江高考历年圆锥曲线大题

2018年04月10日wan****.121的高中数学组卷一.解答题(共21小题)1.如图,已知抛物线x2=y,点A(﹣,),B(,),抛物线上的点P(x,y)(﹣<x<),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;(Ⅱ)求|PA|•|PQ|的最大值.2.如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.3.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y﹣1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(Ⅰ)求点A,B的坐标;(Ⅱ)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.4.已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).5.如图,设椭圆C:(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(Ⅰ)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.6.如图,点P(0,﹣1)是椭圆C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C 2于A、B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程;(2)求△ABD面积的最大值时直线l1的方程.7.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l:y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值.8.如图,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP 平分.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求△APB面积取最大值时直线l的方程.9.如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(P>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB 被直线OM平分.(1)求p,t的值.(2)求△ABP面积的最大值.10.已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y﹣4)2=1的圆心为点M(Ⅰ)求点M到抛物线C1的准线的距离;(Ⅱ)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.11.如图,设P是抛物线C1:x2=y上的动点.过点P做圆C2:x2+(y+3)2=1的两条切线,交直线l:y=﹣3于A,B两点.(Ⅰ)求C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离.(Ⅱ)是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.12.已知m是非零实数,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F在直线上.(I)若m=2,求抛物线C的方程(II)设直线l与抛物线C交于A、B,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H,求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外.13.已知m>1,直线l:x﹣my﹣=0,椭圆C:+y2=1,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点.(Ⅰ)当直线l过右焦点F2时,求直线l的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.14.已知椭圆C1:(a>b>0)的右顶点A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(Ⅰ)求椭圆C1的方程;(Ⅱ)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.15.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为.(Ⅰ)求p与m的值;(Ⅱ)设抛物线C上一点p的横坐标为t(t>0),过p的直线交C于另一点Q,交x轴于M点,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线,求t的最小值.16.如图,椭圆=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,求证:.17.如图,直线y=kx+b与椭圆=1交于A,B两点,记△AOB的面积为S.(I)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;(Ⅱ)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.18.如图,椭圆=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF2的中点,求证:∠ATM=∠AF1T.19.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1,F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|:|A1F1|=2:1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l1:x=m(|m|>1),P为l1上的动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).20.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1,F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|:|A1F1|=2:1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若点P在直线l上运动,求∠F1PF2的最大值、21.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0)点P、Q在双曲线的右支上,支M(m,0)到直线AP的距离为1(Ⅰ)若直线AP的斜率为k,且,求实数m的取值范围;(Ⅱ)当时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.2018年04月10日wan****.121的高中数学组卷参考答案一.解答题(共21小题)1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;11.;12.;13.;14.;15.;16.;17.;18.;19.;20.;21.;。

2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版

2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版

FM = (0 , 2) , FN = (3 , 4) .
则 FM FN = (0 ,2 ) ? (3 , 4 ) =8 .
故选: D
x2 6.(全国卷一理)( 11)已知双曲线 C:
y2 1 ,O 为坐标原点, F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的
3
两条渐近线的交点分别为 M、N.若 △ OMN 为直角三角形,则 |MN |=
2018 年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线(解析版)
一、选择题
1.(浙江卷)( 2)双曲线 x2 3
2
y =1 的焦点坐标是
A . (- 2 ,0) ,( 2 , 0) B . (- 2, 0), (2, 0) C. (0, - 2 ), (0, 2 ) D. (0, - 2), (0, 2)
解:∵双曲线方程可得双曲线的焦点在
4)已知椭圆
C

x a2
y 4
1的一个焦点为 (2 ,0) ,则 C 的离心率为
1 A.
3
1 B.
2
2 C.
2
解:椭圆的一个焦点为( 2,0),可得 a2-4=4,解得 a
22 D.
3
2 2,
c c 2, e
a
2

2
故选: C
5.(全国卷一理)(
8)设抛物线
C: y2=4x 的焦点为
F,过点( –2, 0)且斜率为
故选: B
x2 7.(全国卷二文)( 6)双曲线 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的离心率为
3 ,则其渐近线方程为
A . y 2x
B. y 3x
C. y
2x
2

(完整版)圆锥曲线高考真题

(完整版)圆锥曲线高考真题

(完整版)圆锥曲线⾼考真题(1)求M 的⽅程(2)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对⾓线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 的⾯积最⼤值.2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点,M 是C 上⼀点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另⼀个交点为N.(1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离⼼率;(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a,b .3.已知椭圆C :,直线不过原点O 且不平⾏于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(1) 证明:直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值;(2)若过点(),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平⾏四边⾏?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.4.已知抛物线C :22y x = 的焦点为F ,平⾏于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;(2)若△PQF 的⾯积是△ABF 的⾯积的两倍,求AB 中点的轨迹⽅程.5.已知抛物线C :y 2=2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的⽅程.6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()10M m m >,.(1)证明:12k <-;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上⼀点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r .证明:FA u u u r,FP u u u r ,FB u u u r 成等差数列,并求该数列的公差.7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离⼼率为,且经过点(0,1),圆22221:C x y a b +=+。

圆锥曲线高考真题浙江卷(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

圆锥曲线高考真题浙江卷(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

专题21:圆锥曲线高考真题浙江卷(解析版)一、单选题1.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( )A .2B .1CD .2【答案】C【分析】 本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =,进一步可得离心率.容易题,注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x ±y =0的双曲线,可得a b =,所以c =则该双曲线的离心率为 e c a ==, 故选C .【点睛】理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2.已知点O (0,0),A (–2,0),B (2,0).设点P 满足|PA |–|PB |=2,且P 为函数y =图像上的点,则|OP |=( )A .2B .5C D【答案】D【分析】根据题意可知,点P 既在双曲线的一支上,又在函数y =的图象上,即可求出点P 的坐标,得到OP 的值.【详解】因为||||24PA PB -=<,所以点P 在以,A B 为焦点,实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支上,由2,1c a ==可得,222413b c a =-=-=,即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>,而点P还在函数y =的图象上,所以,由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩,解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即OP == 故选:D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用,以及二次曲线的位置关系的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.3.椭圆2x 9+2y 4=1的离心率是( ) A.3 B.3 C .23 D .59【答案】B【解析】 椭圆22194x y +=中22222945a b c a b ===-=,,.离心率e c a ==,故选B. 4.双曲线221 3x y -=的焦点坐标是( ) A.(),) B .()2,0-,()2,0C.(0,,(D .()0,2-,()0,2 【答案】B【分析】 根据双曲线方程确定焦点位置,再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】 因为双曲线方程为2213x y -=,所以焦点坐标可设为(,0)c ±, 因为222314,2c a b c =+=+==,所以焦点坐标为(20),选B.【点睛】。

专题21 圆锥曲线高考真题浙江卷(原卷版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

专题21 圆锥曲线高考真题浙江卷(原卷版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

专题21:圆锥曲线高考真题浙江卷(原卷版)一、单选题1.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( )A .22 B .1C 2D .22.已知点O (0,0),A (–2,0),B (2,0).设点P 满足|PA |–|PB |=2,且P 为函数y =234x -图像上的点,则|OP |=( )A .222B .105 C 7 D 103.椭圆2x 9+2y 4=1的离心率是( )A 13B 5C .23 D .594.双曲线221 3x y -=的焦点坐标是( )A .()2,0-,)2,0B .()2,0-,()2,0C .(0,2,(2D .()0,2-,()0,25.如图,设抛物线24y x =的焦点为 F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A , B ,C ,其中点 A ,B 在抛物线上,点 C 在y 轴上,则 BCF ∆与ACF ∆的面积之比是( )A .11BF AF --B .2211BF AF --C .11BF AF ++D .2211BF AF ++6.双曲线2214y x -=的焦距是( ) A .3B .23C .5D .25【答案】D7.双曲线2221y x -=的一个顶点坐标是( ) A .( 2,0) B .( -22,0) C .(0,2) D .(0 ,22) 8.已知双曲线2222:1x y C a a-=,则C 的离心率是( ) A .5 B .2 C .2 D .59.已知(1,3)P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线上的点,则双曲线C 的离心率是( )A .2B .2C .5D .5二、双空题10.设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切,则k =_______;b =______.三、解答题11.如图,已知点(10)F,为抛物线22(0)y px p=>的焦点,过点F的直线交抛物线于,A B两点,点C在抛物线上,使得ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F右侧.记,AFG CQG△△的面积为12,S S.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求12SS的最小值及此时点G的坐标.12.如图,已知椭圆221:12xC y+=,抛物线22:2(0)C y px p=>,点A是椭圆1C与抛物线2C的交点,过点A的直线l交椭圆1C于点B,交抛物线2C于M(B,M不同于A).(Ⅰ)若116=p,求抛物线2C的焦点坐标;(Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.13.如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(Ⅱ)若P是半椭圆x2+24y=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.14.如图,设抛物线的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|–1.(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.15.已知椭圆2212xy+=上两个不同的点A,B关于直线12y mx=+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求AOB ∆面积的最大值(O 为坐标原点).16.如图,已知抛物线211C 4x :y=,圆222C (y 1)1x :,过点 P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ,PB 分别与抛物线1C 和圆 2C 相切,A ,B 为切点.(1)求点A ,B 的坐标;(2)求PAB ∆的面积.。

高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题(含答案解析)

高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题(含答案解析)

高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题(含答案解析)1.(2022·浙江·统考高考真题)如图,已知椭圆22112x y +=.设A ,B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点,且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上,直线,PA PB 分别交直线132y x =−+于C ,D 两点.(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值; (2)求||CD 的最小值.【解析】(1)设,sin )H θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PH θθθθθ⎛⎫=+−=−−=−+≤⎭+ ⎪⎝,当且仅当1sin 11θ=−时取等号,故PH(2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++−= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ,所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=−⎪+⎪⎪⎨⎪=−⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩, 因为直线111:1y PA y x x −=+与直线132y x =−+交于C , 则111114422(21)1C x x x x y k x ==+−+−,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+−+−.则224||(21)1C D x CD x k x −=+−====≥=当且仅当316k=时取等号,故CD2.(2022·全国·统考高考真题)已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b−=>>的右焦点为(2,0)F,渐近线方程为y=.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点()()1122,,,P x y Q x y在C上,且1210,0x x y>>>.过P且斜率为Q M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立:①M在AB上;②PQ AB∥;③||||MA MB=.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【解析】(1)右焦点为(2,0)F,∴2c=,∵渐近线方程为y=,∴ba=∴b=,∴222244c a b a=+==,∴1a=,∴b=∴C的方程为:2213yx−=;(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零,直线AB的斜率不为零,若选由①②推③或选由②③推①:由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零;若选①③推②,则M为线段AB的中点,假若直线AB的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知M在x轴上,即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称,与从而12x x=,已知不符;总之,直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为()2y k x=−,则条件①M在AB上,等价于()()2000022y k x ky k x=−⇔=−;两渐近线的方程合并为2230x y−=,联立消去y 并化简整理得:()22223440k x k x k −−+=设()()3344,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===−=−−, 设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y −+−=−+−, 移项并利用平方差公式整理得:()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤−−++−−+=⎣⎦⎣⎦,()()3403403434220y y x x x y y y x x −⎡⎤⎡⎤−++−+=⎣⎦⎣⎦−,即()000N N x x k y y −+−=,即200283k x ky k +=−;由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x −=−−=−,∴)121202y y x x x −=+−, 所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +−−==−−,直线)00:PM y x x y =−+,即00y y =, 代入双曲线的方程22330x y −−=,即)3yy +−=中,得:()()00003y y ⎡⎤−=⎣⎦, 解得P的横坐标:100x y ⎛⎫+⎪⎪⎭,同理:200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭,∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫−=++−=−−⎪−−⎭∴03x m y =, ∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=, 综上所述:条件①M 在AB 上,等价于()2002ky k x =−;条件②//PQ AB 等价于003ky x =;条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=−;选①②推③:由①②解得:2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==−−,∴③成立; 选①③推②:由①③解得:20223k x k =−,20263k ky k =−,∴003ky x =,∴②成立; 选②③推①:由②③解得:20223k x k =−,20263k ky k =−,∴02623x k −=−,∴()2002ky k x =−,∴①成立.3.(2022·全国·统考高考真题)设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点(),0D p ,过F 的直线交C 于M ,N 两点.当直线MD 垂直于x 轴时,3MF =. (1)求C 的方程;(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ,B ,记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ.当αβ−取得最大值时,求直线AB 的方程.【解析】(1)抛物线的准线为2px =−,当MD 与x 轴垂直时,点M 的横坐标为p , 此时=32pMF p +=,所以2p =, 所以抛物线C 的方程为24y x =;(2)[方法一]:【最优解】直线方程横截式设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,直线:1MN x my =+,由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my −−=,120,4y y ∆>=−,由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y −==+−,34223434444AB y y k y y y y −==+−, 直线112:2x MD x y y −=⋅+,代入抛物线方程可得()1214280x y y y −−⋅−=, 130,8y y ∆>=−,所以322y y =,同理可得412y y =,所以()34124422MN AB k k y y y y ===++ 又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ,所以tan tan 22MN AB k k αβ===, 若要使αβ−最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++, 当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时,AB k =:AB x n +,代入抛物线方程可得240y n −−=, 34120,4416y y n y y ∆>=−==−,所以4n =,所以直线:4AB x +. [方法二]:直线方程点斜式 由题可知,直线MN 的斜率存在.设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y A x y B x y ,直线():1MN y k x =− 由 2(1)4y k x y x=−⎧⎨=⎩得:()2222240k x k x k −++=,121x x =,同理,124y y =−.直线MD :11(2)2y y x x =−−,代入抛物线方程可得:134x x =,同理,244x x =. 代入抛物线方程可得:138y y =−,所以322y y =,同理可得412y y =,由斜率公式可得:()()21432143212121.22114AB MN y y y y y y k k x x x x x x −−−====−−⎛⎫− ⎪⎝⎭(下同方法一)若要使αβ−最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时,AB k =:AB x n +,代入抛物线方程可得240y n −−=,34120,4416y y n y y ∆>=−==−,所以4n =,所以直线:4AB x =+. [方法三]:三点共线设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,设(),0P t ,若 P 、M 、N 三点共线,由221212,,44y y t y t PM PN y ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22122144y y t y t y ⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得124y y t =-, 反之,若124y y t =-,可得MN 过定点(),0t 因此,由M 、N 、F 三点共线,得124y y =−,由M 、D 、A 三点共线,得138y y =−, 由N 、D 、B 三点共线,得248y y =−,则3412416y y y y ==−,AB 过定点(4,0)(下同方法一)若要使αβ−最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即2k =时,等号成立,所以当αβ−最大时,AB k =:4AB x =+. 【整体点评】(2)法一:利用直线方程横截式,简化了联立方程的运算,通过寻找直线,MN AB的斜率关系,由基本不等式即可求出直线AB 的斜率,再根据韦达定理求出直线方程,是该题的最优解,也是通性通法;法二:常规设直线方程点斜式,解题过程同解法一;法三:通过设点由三点共线寻找纵坐标关系,快速找到直线AB 过定点,省去联立过程,也不失为一种简化运算的好方法.4.(2022·全国·统考高考真题)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭两点.(1)求E 的方程;(2)设过点()1,2P −的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT TH =.证明:直线HN 过定点.【解析】(1)设椭圆E 的方程为221mx ny +=,过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭,则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得13m =,14n =,所以椭圆E 的方程为:22143y x +=.(2)3(0,2),(,1)2A B −−,所以2:23+=AB y x ,①若过点(1,2)P −的直线斜率不存在,直线1x =.代入22134x y +=,可得(1,M,N ,代入AB 方程223y x =−,可得(3,T ,由MT TH =得到(5,H −.求得HN 方程:(22y x =−,过点(0,2)−. ②若过点(1,2)P −的直线斜率存在,设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y −−+=. 联立22(2)0,134kx y k x y −−+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +−+++=, 可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,()()12221228234444234k y y k k k y y k ⎧−++=⎪+⎪⎨+−⎪=⎪+⎩,且1221224(*)34kx y x y k −+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=−⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++− 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x −−=−+−−, 将(0,2)−,代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +−+++−−=, 将(*)代入,得222241296482448482436480,k k k k k k k +++−−−+−−= 显然成立,综上,可得直线HN 过定点(0,2).−5.(2022·全国·统考高考真题)已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上,直线l 交C于P ,Q 两点,直线,AP AQ 的斜率之和为0. (1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积.【解析】(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上,所以224111a a −=−,解得22a =,即双曲线22:12x C y −=.易知直线l 的斜率存在,设:l y kx m =+,()()1122,,,P x y Q x y , 联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩可得,()222124220k x mkx m −−−−=, 所以,2121222422,2121mk m x x x x k k ++=−=−−,()()222222Δ16422210120m k m k m k =−+−>⇒−+>且≠k .所以由0AP AQk k +=可得,212111022y y x x −−+=−−, 即()()()()122121210x kx m x kx m −+−+−+−=, 即()()()1212212410kx x m k x x m +−−+−−=,所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+−−−−−= ⎪−−⎝⎭, 化简得,()2844410k k m k +−++=,即()()1210k k m +−+=,所以1k =−或12m k =−,当12m k =−时,直线():21l y kx m k x =+=−+过点()2,1A ,与题意不符,舍去, 故1k =−.(2)[方法一]:【最优解】常规转化不妨设直线,PA AQ 的倾斜角为π,2αβαβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,因为0AP AQ k k +=,所以παβ+=,由(1)知,212220x x m =+>,当,A B 均在双曲线左支时,2PAQ α∠=,所以tan 2α=2tan 0αα+,解得tan α=(负值舍去) 此时P A 与双曲线的渐近线平行,与双曲线左支无交点,舍去; 当,A B 均在双曲线右支时,因为tan PAQ ∠=()tan βα−=tan 2α=−2tan 0αα−,解得tan α,于是,直线):21PA y x =−+,直线):21QA y x =−+,联立)222112y x x y ⎧=−+⎪⎨−=⎪⎩可得,)23241002x x ++−,因为方程有一个根为2,所以P x =,P y=,同理可得,103Q x +=,Q y=53−. 所以5:03PQ x y +−=,163PQ =,点A 到直线PQ的距离d = 故PAQ △的面积为11623⨯=. [方法二]:设直线AP 的倾斜角为α,π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭,由tan PAQ ∠=tan 2PAQ ∠由2PAQ απ+∠=,得tan AP k α=1112y x −−,联立1112y x −=−221112x y −=得1x1y ,同理,2x 2y =12203x x +=,12689x x =而1||2|AP x −,2||2|AQ x −,由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠故12121||||sin 2()4|2PAQSAP AQ PAQ x x x x =∠=−++= 【整体点评】(2)法一:由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线,PA PB 的斜率,从而联立求出点,P Q 坐标,进而求出三角形面积,思路清晰直接,是该题的通性通法,也是最优解;法二:前面解答与法一求解点,P Q 坐标过程形式有所区别,最终目的一样,主要区别在于三角形面积公式的选择不一样.。

浙江省高考数学圆锥曲线历年高考真题

浙江省高考数学圆锥曲线历年高考真题

2 204.若椭圆厶1(a > b > 0)的左、右焦点分别为R 、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5:a b3的两段,则此椭圆的离心率为 4 17 (B) 172 2 05 .过双曲线冷爲 1(aa b N 两点,以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于2占 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是准线上一点,且 bB 到该抛物线准线的距离为(A) 16 17 207.已知双曲线爲 a PF i PF ?」PF I |IPF 2I 4ab , 则双曲线的离心率是 (A ) •. 2(B). '3 (C ) 2 (D) 08 .如图,AB 是平面的斜线段, A 为斜足,若点P 在平面 内运动,使得△ ABP 的面积为定值, 则动点P 的轨迹是 A.圆C. 一条直线 ( )B.椭圆 D.两条平行直线2 x 09.过双曲线冷 a2y 1(a 0,b 0)的右顶点A 作斜率为 线的交点分别为B,C . uu u AB 1 uuur -BC ,则双曲线的离心率是 2 ■ 3「5 10. (13)设抛物线y 22px(p 0)的焦点为F , 1的直线, 该直线与双曲线的两条渐近点 A(0,2)。

若线段 FA 的中点B 在抛物线上,则 0, b 0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M2 x 11.已知椭圆G : 2 a2O : x — 1有公共的焦点,O 的一条渐近线 4 2 每=1 ( a > b > 0)与双曲线 b 与以C 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点, 若C 恰好将线段AB 三等分,则( 2 1 2 b = — D . b = 22 A. a 2= 13 B . a 2= 13 C . 2211.设F 1, F 2分别为椭圆—3UJIT 1的左、右焦点,点 A , B 在椭圆上.若F 1A uuur 5F 2B ,则点A 的坐标是 2 12. F 1,F 2分别是双曲线 C :务a 2占 1 (a,b > 0)的在左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 FB 与Cb的两条渐近线分别教育P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M,若|MF2|=|F丘|,则C的离心率是A. U B 空 C.. 2 D. .33 204.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点p、Q在双曲线的右支上,点Mm o)至煩线AP 的距离为1,(1)若直线AP的斜率为k,且|k| [ -, .3],求实数m的取值范围;(2)当n=j2+1时,△ APQ的内心恰好是点M求此双曲线的方程。

(浙江专用)高考数学板块命题点专练(十三)圆锥曲线(含解析)

(浙江专用)高考数学板块命题点专练(十三)圆锥曲线(含解析)

板块命题点专练(十三) 圆锥曲线命题点一 椭圆1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,A 是C的左顶点,点P 在过A 且斜率为36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为( )A.23 B.12C.13D.14解析:选D 如图,作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|=|PF 2|=2,则c =1.由∠F 1F 2P =120°,可得|PB |=3,|BF 2|=1,故|AB |=a +1+1=a +2,tan ∠PAB =|PB ||AB |=3a +2=36,解得a =4,所以e =c a =14.2.(2018·浙江高考)已知点P (0,1),椭圆x 24+y 2=m (m >1)上两点A ,B 满足AP ―→=2PB ―→,则当m =________时,点B 橫坐标的绝对值最大.解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由AP ―→=2PB ―→,得⎩⎪⎨⎪⎧-x 1=2x 2,1-y 1=y 2-1,即x 1=-2x 2,y 1=3-2y 2. 因为点A ,B 在椭圆上,所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224+-2y 22=m ,x224+y 22=m ,解得y 2=14m +34,所以x 22=m -(3-2y 2)2=-14m 2+52m -94=-14(m -5)2+4≤4,所以当m =5时,点B 横坐标的绝对值最大. 答案:53.(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A ,B两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA =∠OMB . 解:(1)由已知得F (1,0),l 的方程为x =1.则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-22. 又M (2,0),所以直线AM 的方程为y =-22x +2或y =22x -2, 即x +2y -2=0或x -2y -2=0.(2)证明:当l 与x 轴重合时,∠OMA =∠OMB =0°. 当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线, 所以∠OMA =∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1<2,x 2<2,直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1-2+y 2x 2-2.由y 1=kx 1-k ,y 2=kx 2-k ,得k MA +k MB =2kx 1x 2-3k x 1+x 2+4kx 1-x 2-.将y =k (x -1)代入x 22+y 2=1, 得(2k 2+1)x 2-4k 2x +2k 2-2=0, 所以x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2-22k 2+1.则2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k =4k 3-4k -12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0. 从而k MA +k MB =0, 故MA ,MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA =∠OMB . 综上,∠OMA =∠OMB 成立.4.(2018·天津高考)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为53,点A 的坐标为(b,0),且|FB |·|AB |=6 2. (1)求椭圆的方程.(2)设直线l :y =kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q ,若|A Q||P Q|=524sin ∠AO Q(O 为原点),求k 的值. 解:(1)设椭圆的焦距为2c ,由已知有c 2a 2=59,又由a 2=b 2+c 2,可得2a =3b .①由已知可得|FB |=a ,|AB |=2b , 又|FB |·|AB |=62,可得ab =6.②联立①②解得a =3,b =2. 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2). 由已知有y 1>y 2>0,故|P Q|sin ∠AO Q =y 1-y 2.又因为|A Q|=y 2sin ∠OAB ,而∠OAB =π4,所以|A Q|=2y 2. 由|A Q||P Q|=524sin ∠AO Q ,可得5y 1=9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,x 29+y24=1消去x ,可得y 1=6k 9k 2+4.易知直线AB 的方程为x +y -2=0,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,x +y -2=0消去x ,可得y 2=2kk +1. 由5y 1=9y 2,可得5(k +1)=39k 2+4,两边平方, 整理得56k 2-50k +11=0,解得k =12或k =1128.所以k 的值为12或1128.5.(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m >0).(1)证明:k <-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP ―→+FA ―→+FB ―→=0.证明:|FA ―→|,|FP ―→|,|FB ―→|成等差数列,并求该数列的公差.解:(1)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 214+y 213=1,x 224+y 223=1. 两式相减,并由y 1-y 2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k =-34m.①由题设得0<m <32,故k <-12.(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0). 由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0.又点P 在C 上,所以m =34,从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-32,|FP ―→|=32, 于是|FA ―→|=x 1-2+y 21= x 1-2+3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 214 =2-x 12.同理|FB ―→|=2-x 22.所以|FA ―→|+|FB ―→|=4-12(x 1+x 2)=3.故2|FP ―→|=|FA ―→|+|FB ―→|,即|FA ―→|,|FP ―→|,|FB ―→|成等差数列. 设该数列的公差为d ,则2|d |=|FB ―→|-|FA ―→|=12|x 1-x 2|=12x 1+x 22-4x 1x 2. ②将m =34代入①得k =-1,所以l 的方程为y =-x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2-14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128,代入②解得|d |=32128.所以该数列的公差为32128或-32128.命题点二 双曲线1.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )A .y =±2xB .y =±3xC .y =±22x D .y =±32x 解析:选A ∵e =c a =a 2+b 2a=3,∴a 2+b 2=3a 2,∴b =2a . ∴渐近线方程为y =±2x .2.(2018·全国卷Ⅲ)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若|PF 1|=6|OP |,则C 的离心率为( )A. 5 B .2 C. 3D. 2解析:选C 法一:不妨设一条渐近线的方程为y =b ax , 则F 2到y =b ax 的距离d =|bc |a 2+b 2=b .在Rt △F 2PO 中,|F 2O |=c , 所以|PO |=a ,所以|PF 1|=6a ,又|F 1O |=c ,所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中, 根据余弦定理得 cos ∠POF 1=a 2+c 2-6a22ac=-cos ∠POF 2=-a c,即3a 2+c 2-(6a )2=0,得3a 2=c 2,所以e =c a= 3.法二:如图,过点F1向OP 的反向延长线作垂线,垂足为P ′,连接P ′F 2,由题意可知,四边形PF 1P ′F 2为平行四边形,且△PP ′F 2是直角三角形.因为|F 2P |=b ,|F 2O |=c ,所以|OP |=a .又|PF 1|=6a =|F 2P ′|,|PP ′|=2a ,所以|F 2P |=2a =b ,所以c =a 2+b 2=3a ,所以e =ca= 3.3.(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( )A.x 24-y 212=1 B.x 212-y 24=1C.x 23-y 29=1 D.x 29-y 23=1解析:选C 法一:如图,不妨设A 在B 的上方,则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2a ,B ⎝⎛⎭⎪⎫c ,-b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx -ay =0,则d 1+d 2=bc -b 2+bc +b 2a 2+b 2=2bc c =2b=6,所以b =3.又由e =c a=2,知a 2+b 2=4a 2,所以a = 3. 所以双曲线的方程为x 23-y 29=1.法二:由d 1+d 2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b =3.因为双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,所以c a =2,所以a 2+b 2a 2=4,所以a 2+9a2=4,解得a 2=3,所以双曲线的方程为x 23-y 29=1.4.(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C :x 23-y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若△OMN 为直角三角形,则|MN |=( )A.32 B .3 C .2 3D .4解析:选B 法一:由已知得双曲线的两条渐近线方程为y =±13x .设两条渐近线的夹角为2α,则有tan α=13=33,所以α=30°.所以∠MON =2α=60°.又△OMN 为直角三角形,由于双曲线具有对称性,不妨设MN ⊥ON ,如图所示.在Rt △ONF 中,|OF |=2,则|ON |= 3.在Rt △OMN 中,|MN |=|ON |·tan 2α=3·tan 60°=3.法二:因为双曲线x 23-y 2=1的渐近线方程为y =±33x ,所以∠MON =60°.不妨设过点F 的直线与直线y =33x 交于点M ,由△OMN 为直角三角形,不妨设∠OMN =90°,则∠MFO =60°,又直线MN 过点F (2,0),所以直线MN 的方程为y =-3(x -2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =-3x -,y =33x ,得⎩⎪⎨⎪⎧x =32,y =32,所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,32,所以|OM |=⎝ ⎛⎭⎪⎫322+⎝ ⎛⎭⎪⎫322=3, 所以|MN |=3|OM |=3.5.(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ,则其离心率的值为________. 解析:∵双曲线的渐近线方程为bx ±ay =0, ∴焦点F (c,0)到渐近线的距离d =|bc ±0|b 2+a 2=b ,∴b =32c ,∴a =c 2-b 2=12c , ∴e =c a=2. 答案:26.(2018·北京高考)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线N :x 2m 2-y 2n 2=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为__________;双曲线N 的离心率为________.解析:法一:如图,∵双曲线N 的渐近线方程为y =±n mx , ∴n m=tan 60°=3,∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21=1+n 2m2=4,∴e 1=2.由⎩⎪⎨⎪⎧y =3x ,x 2a 2+y 2b2=1,得x 2=a 2b 23a 2+b2.设D 点的横坐标为x ,由正六边形的性质得|ED |=2x =c ,∴4x 2=c 2. ∴4a 2b 23a 2+b2=a 2-b 2,得3a 4-6a 2b 2-b 4=0, ∴3-6b 2a2-⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22=0,解得b2a2=23-3.∴椭圆M 的离心率e 2=1-b 2a2=4-23=3-1. 法二:∵双曲线N 的渐近线方程为y =±n mx , ∴n m=tan 60°= 3. 又c 1=m 2+n 2=2m , ∴双曲线N 的离心率为c 1m=2.如图,连接EC ,由题意知,F ,C 为椭圆M 的两焦点,设正六边形边长为1,则|FC |=2c 2=2,即c 2=1.又E 为椭圆M 上一点, 则|EF |+|EC |=2a , 即1+3=2a ,a =1+32.∴椭圆M 的离心率为c 2a =21+3=3-1.答案:3-1 2 命题点三 抛物线1.(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为( )A .16B .14C .12D .10解析:选A 抛物线C :y 2=4x 的焦点为F (1,0), 由题意可知l 1,l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ,则l 1:y =k (x -1),l 2:y =-1k(x -1),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x ,y =k x -消去y ,得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴x 1+x 2=2k 2+4k 2=2+4k2,由抛物线的定义可知,|AB |=x 1+x 2+2=2+4k 2+2=4+4k2.同理得|DE |=4+4k 2,∴|AB |+|DE |=4+4k2+4+4k 2=8+4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2+k 2≥8+8=16,当且仅当1k2=k 2,即k =±1时取等号,故|AB |+|DE |的最小值为16.2.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM ―→·FN ―→=( )A .5B .6C .7D .8解析:选D 由题意知直线MN 的方程为y =23(x +2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y =23x +,y 2=4x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =4.不妨设M (1,2),N (4,4). ∵抛物线焦点为F (1,0), ∴FM ―→=(0,2),FN ―→=(3,4). ∴FM ―→·FN ―→=0×3+2×4=8.3.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k =________.解析:法一:设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧y 21=4x 1,y 22=4x 2,∴y 21-y 22=4(x 1-x 2),∴k =y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2. 设AB 中点为M ′(x 0,y 0),抛物线的焦点为F ,分别过点A ,B 作准线x =-1的垂线,垂足分别为A ′,B ′,则|MM ′|=12|AB |=12(|AF |+|BF |)=12(|AA ′|+|BB ′|). ∵M ′(x 0,y 0)为AB 中点,∴M 为A ′B ′的中点,∴MM ′平行于x 轴, ∴y 1+y 2=2,∴k =2.法二:由题意知,抛物线的焦点坐标为F (1,0), 设直线方程为y =k (x -1), 直线方程与y 2=4x 联立,消去y , 得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1x 2=1,x 1+x 2=2k 2+4k2.由M (-1,1),得AM ―→=(-1-x 1,1-y 1), BM ―→=(-1-x 2,1-y 2).由∠AMB =90°,得AM ―→·BM ―→=0, ∴(x 1+1)(x 2+1)+(y 1-1)(y 2-1)=0, ∴x 1x 2+(x 1+x 2)+1+y 1y 2-(y 1+y 2)+1=0.又y 1y 2=k (x 1-1)·k (x 2-1)=k 2[x 1x 2-(x 1+x 2)+1],y 1+y 2=k (x 1+x 2-2),∴1+2k 2+4k2+1+k 2⎝⎛⎭⎪⎫1-2k 2+4k2+1-k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2+4k 2-2+1=0,整理得4k 2-4k+1=0,解得k =2.答案:24.(2018·浙江高考)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆x 2+y 24=1(x <0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围. 解:(1)证明:设P (x 0,y 0),A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21,y 1,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22,y 2. 因为PA ,PB 的中点在抛物线上,所以y 1,y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y +y 022=4·14y 2+x 02, 即y 2-2y 0y +8x 0-y 20=0的两个不同的实根.所以y 1+y 2=2y 0,因此PM 垂直于y 轴.(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧ y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0-y 20,所以|PM |=18(y 21+y 22)-x 0=34y 20-3x 0, |y 1-y 2|=22y 20-4x 0. 因此△PAB 的面积S △PAB =12|PM |·|y 1-y 2| =324(y 20-4x 0)32. 因为x 20+y 204=1(x 0<0), 所以y 20-4x 0=-4x 20-4x 0+4∈[4,5],所以△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62,15104. 命题点四 圆锥曲线中的综合问题1.(2018·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3,12,焦点为F 1(-3,0), F 2(3,0),圆O 的直径为F 1F2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若△OAB 的面积为267,求直线l 的方程.解:(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(-3,0),F 2(3,0),可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0). 又点⎝⎛⎭⎪⎫3,12在椭圆C 上, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2+14b2=1,a 2-b 2=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=4,b 2=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. 因为圆O 的直径为F 1F 2, 所以圆O 的方程为x 2+y 2=3.(2)①设直线l 与圆O 相切于点P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则x 20+y 20=3,所以直线l 的方程为y =-x 0y 0(x -x 0)+y 0, 即y =-x 0y 0x +3y 0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24+y 2=1,y =-x 0y 0x +3y 0 消去y ,得(4x 20+y 20)x 2-24x 0x +36-4y 20=0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点, 所以Δ=(-24x 0)2-4(4x 20+y 20)·(36-4y 20)=48y 20(x 20-2)=0.因为x 0>0,y 0>0,所以x 0=2,y 0=1.所以点P 的坐标为(2,1).②因为△OAB 的面积为267, 所以12AB ·OP =267,从而AB =427. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由(*)得x 1,2=24x 0± 48y 20x 20-x 20+y 20,所以AB 2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+x 20y 20·48y 20x 20-24x 20+y 202. 因为x 20+y 20=3,所以AB 2=x 20-x 20+2=3249, 即2x 40-45x 20+100=0,解得x 20=52(x 20=20舍去),则y 20=12, 因此点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫102,22. 所以直线l 的方程为y -22=-5⎝ ⎛⎭⎪⎫x -102, 即y =-5x +3 2.2.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=8.(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y =k (x -1)(k >0).设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧ y =k x -,y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0. Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=2k 2+4k2. 所以|AB |=|AF |+|BF |=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k2. 由题设知4k 2+4k2=8,解得k =1或k =-1(舍去). 因此l 的方程为y =x -1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y -2=-(x -3),即y =-x +5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0=-x 0+5,x 0+2=y 0-x 0+22+16,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=3,y 0=2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=11,y 0=-6. 因此所求圆的方程为(x -3)2+(y -2)2=16或(x -11)2+(y +6)2=144.3.(2018·北京高考)已知抛物线C :y 2=2px 经过点P (1,2),过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围;(2)设O 为原点,Q M ―→=λQ O ―→,Q N ―→=μQ O ―→,求证:1λ+1μ为定值. 解:(1)因为抛物线y 2=2px 过点(1,2),所以2p =4,即p =2.故抛物线C 的方程为y 2=4x .由题意知,直线l 的斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0),由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2=4x ,y =kx +1,得k 2x 2+(2k -4)x +1=0.依题意Δ=(2k -4)2-4×k 2×1>0,解得k <0或0<k <1.又PA ,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,-2),从而k ≠-3.所以直线l 的斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由(1)知x 1+x 2=-2k -4k 2,x 1x 2=1k 2. 直线PA 的方程为y -2=y 1-2x 1-1(x -1). 令x =0,得点M 的纵坐标为y M =-y 1+2x 1-1+2=-kx 1+1x 1-1+2. 同理得点N 的纵坐标为y N =-kx 2+1x 2-1+2. 由Q M ―→=λQ O ―→,Q N ―→=μQ O ―→,得λ=1-y M ,μ=1-y N .所以1λ+1μ=11-y M +11-y N =x 1-1k -x 1+x 2-1k -x 2 =1k -1·2x 1x 2-x 1+x 2x 1x 2=1k -1·2k 2+2k -4k 21k 2=2.1λ+1μ为定值.所以。

浙江省高考数学圆锥曲线历年高考真题 (1)

浙江省高考数学圆锥曲线历年高考真题 (1)

浙江省高考数学圆锥曲线真题04. 若椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为(A)1716(B)17174 (C)54(D)55205.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点,以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 .07. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是准线上一点,且1212,||||4PF PF PF PF ab ⊥⋅=,则双曲线的离心率是 (A )2 (B )3 (C )2 (D )308.如图,AB 是平面α的斜线段...,A 为斜足,若点P 在平面α内运动,使得ABP △的面积为定值,则动点P 的轨迹是( ) A .圆B .椭圆C .一条直线D .两条平行直线09. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若12AB BC =u u u r u u u r,则双曲线的离心率是( )A .2B .3.5.1010. (13)设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,点)2,0(A 。

若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为 。

11. 已知椭圆C 1:2222=1x y a b + (a >b >0)与双曲线C 2:2214y x -=有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点, 若C 1恰好将线AB P(第10题)段AB 三等分,则( )A .a 2=132 B .a 2=13 C .b 2=12D .b 2=2 11. 设F 1,F 2分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点,点A ,B 在椭圆上.若125F A F B =u u u r u u u u r ,则点A 的坐标是________.12. F 1,F 2分别是双曲线C :22221x y a b-=(a,b >0)的在左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别教育P,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ,若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是 A.23 B 6C.. 2D. 3 04. 已知双曲线的中心在原点,右顶点为A (1,0),点P 、Q 在双曲线的右支上,点M (m ,0)到直线AP 的距离为1, (1)若直线AP 的斜率为k ,且|k |∈[3,3], 求实数m 的取值范围; (2)当m =2+1时,△APQ 的内心恰好是点M ,求此双曲线的方程。

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省高考数学圆锥曲线真题
04. 若椭圆122
22=+b
y a x (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶
3的两段,则此椭圆的离心率为
(A)
1716 (B)17174 (C)5
4 (D)552
05.过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、
N 两点,以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 .
07. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是准线上一点,且
1212,||||4PF PF PF PF ab ⊥⋅=,则双曲线的离心率是
(A )2 (B )3 (C )2 (D )3
08.如图,AB 是平面α的斜线段...
,A 为斜足,若点P 在平面α运动,使得ABP △的面积为定值,则动点P 的轨迹是( )
A .圆
B .椭圆
C .一条直线
D .两条平行直线
09. 过双曲线
22
221(0,0)x y
a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若1
2
AB BC =,则双曲线的离心率是( )
A 2
B 351010. (13)设抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ,点)2,0(A 。

若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为 。

11. 已知椭圆C 1:2222=1x y a b + (a >b >0)与双曲线C 2:22
14
y x -
=有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点, 若C 1恰好将线段AB 三等分,则( )
A .a 2

132 B .a 2=13 C .b 2=12
D .b 2
=2 11. 设F 1,F 2分别为椭圆2
213
x y +=的左、右焦点,点A ,B 在椭圆上.若125F A F B =,则点A 的坐标是________.
A B P α (第10题)
12. F 1,F 2分别是双曲线C :2
2
221x y a b
-=(a,b >0)的在左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C
的两条渐近线分别教育P,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ,若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心
率是
A.
3
B 2
04. 已知双曲线的中心在原点,右顶点为A (1,0),点P 、Q 在双曲线的右支上,点M (m ,0)到直线AP 的距离为1,
(1)若直线AP 的斜率为k ,且|k |∈
], 数m 的取值围; (2)当m =2+1时,△APQ 的心恰好是点M ,求此双曲线的方程。

05. 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F 1、F 2在x 轴上,长轴A 1A 2的长为4,左准线x l 与轴的交点为M ,|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线11),1|(|:l P x m x l 为>=上的动点,使21PF F ∠最大的点P 记为Q ,求点Q 的坐标(用m 表示).
06.如图,椭圆b
y a x 2
22+=1(a >b >0)与过点A (2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ,且
椭圆的离心率e=
2
3
.(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段AF 1的中点,求证:∠ATM=∠AF 1T.
07如图,直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A 、B 两点,记ABC ∆的面积为S 。

(Ⅰ)求在0k =,01b <<的条件下,S 的最大值; (Ⅱ)当||2,1AB S ==时,求直线AB 的方程。

08. 已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
,和到直线5
8
y =-
距离相等的点的轨迹. l 是过点(10)Q -,
的直线,M 是C 上(不在l 上)的动点;A B ,在l 上,MA l ⊥,MB x ⊥轴(如图).
(Ⅰ)求曲线C 的方程; (Ⅱ)求出直线l 的方程,使得2
QB
QA
为常数.
09已知椭圆1C :22
221(0)y x a b a b
+=>>的右顶点为(1,0)A ,过1C 的
焦点且垂直长轴的弦长为1. (I )求椭圆1C 的方程;
(II )设点P 在抛物线2C :2
()y x h h =+∈R 上,2C 在点P 处
的切线与1C 交于点,M N .当线段AP 的中点与MN 的中 点的横坐标相等时,求h 的最小值.
A
B O
Q
y
x
l
M (第20题)
10.已知1>m ,直线,02:2
=--m my x l 椭圆21222,,1:F F y m
x C =+ 分别为椭圆C 的左、右焦点. (I )当直线l 过右焦点F 2时,求直线l 的方程;
(II )设直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,21F AF ∆,21F BF ∆的重心
分别为G ,H.若原点O 在以线段GH 为直径的圆,数m 的取值围.
11. 已知抛物线C 1:x 2
=y ,圆C 2 :x 2
+(y -4)2
=1的圆心为点M .
(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离;
(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点),过点P 作圆C 2的两条切线,交抛物线C 1于A ,B 两点,若过M ,P 两点的直线l 垂直于AB ,求直线l 的方程.
12. 如图,椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的离心率为
1
2
,其左焦点到点P(2,1)的距离为10,
不过原点
....O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分。

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求△APB面积取最大值时直线l的方程。

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