专题-高中函数值域的求法(讲义与练习)+

专题 求函数值域的常用方法及值域的应用三、值域的概念和常见函数的值域........................................... 错误!未定义书签。

四、求函数值域（最值）的常用方法......................................... 错误!未定义书签。

.直接法 ............................................................. 错误!未定义书签。

配方法 .............................................................. 错误!未定义书签。

换元法 .............................................................. 错误!未定义书签。

基本不等式法 ........................................................ 错误!未定义书签。

函数的单调性（导数）法 .............................................. 错误!未定义书签。

数形结合法 .......................................................... 错误!未定义书签。

函数的有界性法 ...................................................... 错误!未定义书签。

分离常数法 .......................................................... 错误!未定义书签。

三角函数中的值域问题 ................................................ 错误!未定义书签。

五、高考真题汇编 ........................................................ 错误!未定义书签。

三、值域的概念和常见函数的值域1、定义：函数值y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.， 反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.四、求函数值域（最值）的常用方法.直接法从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例：求函数2xy =，[]2,2x ∈-的值域。

1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦例：求函数2256y x x =-++的值域。

73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例 求函数216x y -=的值域。

解析：161602≤-≤x ， 41602≤-≤∴x故 所求函数的值域为 []40，∈y 。

练习1、求函数()1y x =≥的值域。

)+∞2、求函数y = [)1,+∞3、求函数1y =+的值域。

4、（2013重庆理）y =()63a -≤≤的最大值为( )B.92C.3【答案】B配方法对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例2：求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥，则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤，所以04μ≤≤，[]0,2，所以，y =值域为[]0,2.换元法利用代数换元，将所给函数转换成易求值域的函数， 形如()1y f x =的函数，令()f x t =；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数t =；[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦.例1.求下列一元二次函数的值域： ;,32)1(24R x x x y ∈+-= .4sin 2cos )3(];2,1[,324)2(21+--=∈+-=+x x y x y x x解析： 例}{;2|.2),,0[1)0(,32.0,,)4(22≥≥∴+∞∈=≥+-=⇔∴≥∴∈=y y y t t t t y t R x x t 即原函数的值域为：对称轴方程又原函数令}{;113|],4,2[13].4,2[,32].4,2[],2,1[,2)5(2≤≤∴∉=∈+-=⇔∴∈∴∈=y y t t t t y t x t x 该函数值域为：对称轴）同理，与题（原函数令}{.62|],1,1[12].1,1[,32],1,1[sin .3sin 2sin 4sin 2)sin 1()6(222≤≤∴-∈=-∈+-=⇔∴-∈=+-=+---=y y t t t t y x t x x x x y 该函数值域为：对称轴）类似，与题（原函数令原函数变形为例：求函数的值域：y x =+解：设10,t x =-≥则21x t =-.所以原函数可化为()()2214250y t t t t =-+=--+≥，所以5y ≤.所以原函数的值域为(],5-∞.练习（1）求函数212y x x =+-的值域。

（2） 求函数的值域。

答案（1）令12t x =-（0t ≥），则212t x -=，∴22151()24y t t t =-++=--+∵当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值。

∴函数212y x x =+-的值域为5(,]4-∞。

（2）令，则，（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：基本不等式法利用a b ab +≥，应满足三个条件①0,0a b >>;②()a b ab +或为定值；③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可. 例1 求函数12++=x x y 的值域.解答:211112≥++==+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为),2[+∞∈y .例2 求函数1222+++=x x x y 的值域.分析: 用基本不等式，关键是凑出有倒数关系的两个数之和的形式，本题目标就是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可运用的方法是（1）待定系数法：设: 22))(1(2++=+++x x c b x x , 将左边展开是)()1(2c b x b x ++++,故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c . 从而原函数1111)1)(1()1(+++++++==x x x x x y ;（2）换元法：设t x =+1，则原式化为tt t f 1)(+= 接下类怎么办因为1+x 的符号不确定，因此需要分类讨论： ⅰ)当1->x 时, 01>+x ,011>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .ⅱ)当1-<x 时, 0)1(>+-x , 011>-+x , 此时有211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=+++=++++=x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y .例：求函数的值域：2211212x x y x x -+⎛⎫=> ⎪-⎝⎭.解：11,022x t x >∴=->，则原函数化为112()2f t t t =++1222t t t ∴+≥=，当且仅当12t t=时，即12x +=时等号成立，12y ∴≥，所以元函数的值域为12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 1．（2012年上海春）函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值是______.函数的单调性（导数）法利用导数求值域（最值）是求函数值域的基本方法，务必掌握例如，()()0,0bf x ax a b x=+>>.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题.例．求函数x x y 1+=在区间()+∞∈,4x 上的值域。

分析与解答：011'2>-=x y ，所以该函数在此区间上单调递增于是：函数xx y 1+=在区间()+∞∈,4x 上的值域为),417[+∞。

例： 求函数x x x f 3)(3-=在)1,5(-内的值域.分析:33)(2-='x x f . 由0)(='x f 得f 的极值点为1,1-==x x .,2)1(=-f 2)01(-=-f . 140)05(=+-f .所以, 函数f 的值域为)140,2(-. 例4. 求下列函数的最值：（1）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , 且f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.（2）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.解析：题(1)(2)是求函数最值的典型题，难度不算大，要注意导数公式、运算性质以及利用导数求最值的步骤、方法的正确应用. 只不过，（1）偏重文科考的题型，（2）偏重于理科考的形式.(1) 对原函数求导得：)(x f '＝－3x 2＋6x ＋9．令)(x f '=0，解得x =－1，或x =3（舍）， 因为f (－1)=－5+ a ，f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)>f (－2)> f (－1)．因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值， 于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2． 故f (－1)=－5+ a ＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7． (2) 对原函数求导得：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍又因为412ln )1(-=f ，),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-== 所以0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.总结：由上面两题的解析我们知道解决这类题的关键是：严格按照利用导数求最值的步骤、方法、技巧来做，这种方法不仅易掌握，而且运算速度较快，不容易出错.因为如果只需要求函数的最值，那么我们就不需要求函数的单调区间，判断函数的单调性和极大（小）值了，而只需要求出函数极值、闭区间的端点函数值，再比较大小就可以了. 练习 求函数]1,0[,274)(2∈--=x xx x f 的值域.答案：对原函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-='令0)(='x f 解得 21=x ，或27=x （舍） 又因为.3)1(,4)21(,27)0(-=-=-=f f f所以当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[3,4--].数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由1221y y x x --可联想到两点()11,x y 与()22,x y 连线的斜率.例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。