第5章 有限元法-1
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有限元法不仅可以解决工程中的线性问题、非线性问题，而且对 于各种不同性质的固体材料，如各向同性和各向异性材料，粘弹性 和粘塑性材料以及流体均能求解；
对于工程中最有普遍意义的非稳态问题也能求解。
到20世纪80年代初期，国际上已开发出了多种用于结构分析的有 限元通用程序，其中著名的有NASTRAN、ANSYS、ASKA、ADINA、 SAP等。
本章介绍了如下内容: ■ 有限元法的基本思想及应用 ■ 平面问题有限元分析原理及步骤 ■ 有限元分析的前后处理 ■ 有限元法的设计应用及计算实例
5.1 概述
在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏 微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度 场等问题。目前求解这类场问题的方法主要有两种：
有限元法最初用于飞机结构的强度设计，由于它在理论上的通用 性，因而它可用于解决工程中的许多问题。
目前，它可以解决几乎所有的连续介质和场的问题，包括热传导、 电磁场、流体动力学、地质力学、原子工程和生物医学等方面的问 题。
机械设计中，从齿轮、轴、轴承等通用零部件到机床、汽车、飞 机等复杂结构的应力和变形分析（包括热应力和热变形分析）。
集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。
4. 确定约束条件
由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解 之前，必修根据具体情况分析，确定求解对象问题的边界约束条 件，并对这些方程进行适当修正。
5. 有限元方程求解
通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的位移， 进而根据位移可计算单元的应力及应变。
1. 连续体离散化
连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。
离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个 单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。
相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。
其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。 目前它已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程 序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。
“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出， 但 真正用于工程中则是电子计算机出现以后。
“ 有限元法 ” 这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough， R.W.） 在一篇题为 “平面应力分析的有限元法” 论文中首先使用。此后， 有 限元法的应用得到蓬勃发展。
单元划分后，给每个单元及节点进行编号； 选定坐标系，计算各个节点坐标； 确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。
图5-1 所示为将一悬臂梁建立有限元分析模型的例子。 图中将该悬臂梁划分为许多三角形单元； 三角形单元的三个顶点都是节点。
图5-1 悬臂梁及其有限元模型
2. 单元分析
连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称为单元分析。
(2) 分析单元的特性，建立单元刚度矩阵
进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面 力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷；
采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节
点位移与节点力之间的关系矩阵
单元刚度矩阵。
3. 整体分析
把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各单 元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。
第5章 有限元法(1)
Ⅴ Finite Element Method (FEM)
第5章 有限元法
内容简介
有限元法是结构分析的一种数值计算方法。它在20世纪50年代初 期随着计算机的发展应运而生。
这一方法的理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效率高，适应性 强，目前已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序 包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。
表5-1列出了几种国际上流行的商用有限元程序的应用范围。
表5-1 几种有限元程序及其应用范围
应用 范围
程序名Baidu Nhomakorabea
非线性分析
塑性分析
断裂力学
热应力与蠕变
厚板厚壳 管道系统 船舶结构 焊接接头 粘弹性材料
ADINA √ √
单元分析工作主要有两项：
(1)选择单元位移模式(位移函数)
用节点位移来表示单元体内任一点的位移、应变和应力，就需 搞清各单元中的位移分布。
一般是假定单元位移是坐标的某种简单函数，用其模拟内位移 的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移函数。通常采用的函数 形式多为多项式。
根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移来表示单元体 内任一点位移的关系式。
到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多 达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序 使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性 能分析的可靠依据。
有限元法的分析过程可概括如下：
● 连续体离散化 ● 单元分析 ● 整体分析 ● 确定约束条件 ● 有限元方程求解 ● 结果分析与讨论
● 用解析法求得精确解； ● 用数值解法求其近似解。
其中， 能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何 边界相当规则的少数问题。
而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的 数值解法，以求出近似解。
目前，工程中实用的数值解法主要有三种：
• 有限差分法 • 有限元法 • 边界元法
位移法优点是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。所以 得到广泛应用，其缺点是精度稍低。
(2)力法
该法是以节点力作为基本未知量，在节点处建立位移连续方 程，求解出节点力后，再求解节点位移和单元应力。
力法的特点是计算精度高。
(3)混合法
此法是取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知量，建 立平衡方程进行求解。
6. 结果分析与讨论
应用有限元法求解机械结构应力类问题时，根据未知量和分析 方法的不同，有三种基本解法：
➢ 位移法 ➢ 力法 ➢ 混合法
(1)位移法
此法是以节点位移作为基本未知量，通过选择适当的位移函数， 进行单元的力学特性分析。在节点处建立单元刚度方程，再组合成整 体刚度矩阵，求解出节点位移后，进而由节点位移求解出应力。
对于工程中最有普遍意义的非稳态问题也能求解。
到20世纪80年代初期，国际上已开发出了多种用于结构分析的有 限元通用程序，其中著名的有NASTRAN、ANSYS、ASKA、ADINA、 SAP等。
本章介绍了如下内容: ■ 有限元法的基本思想及应用 ■ 平面问题有限元分析原理及步骤 ■ 有限元分析的前后处理 ■ 有限元法的设计应用及计算实例
5.1 概述
在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏 微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度 场等问题。目前求解这类场问题的方法主要有两种：
有限元法最初用于飞机结构的强度设计，由于它在理论上的通用 性，因而它可用于解决工程中的许多问题。
目前，它可以解决几乎所有的连续介质和场的问题，包括热传导、 电磁场、流体动力学、地质力学、原子工程和生物医学等方面的问 题。
机械设计中，从齿轮、轴、轴承等通用零部件到机床、汽车、飞 机等复杂结构的应力和变形分析（包括热应力和热变形分析）。
集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。
4. 确定约束条件
由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解 之前，必修根据具体情况分析，确定求解对象问题的边界约束条 件，并对这些方程进行适当修正。
5. 有限元方程求解
通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的位移， 进而根据位移可计算单元的应力及应变。
1. 连续体离散化
连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。
离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个 单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。
相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。
其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。 目前它已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程 序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。
“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出， 但 真正用于工程中则是电子计算机出现以后。
“ 有限元法 ” 这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough， R.W.） 在一篇题为 “平面应力分析的有限元法” 论文中首先使用。此后， 有 限元法的应用得到蓬勃发展。
单元划分后，给每个单元及节点进行编号； 选定坐标系，计算各个节点坐标； 确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。
图5-1 所示为将一悬臂梁建立有限元分析模型的例子。 图中将该悬臂梁划分为许多三角形单元； 三角形单元的三个顶点都是节点。
图5-1 悬臂梁及其有限元模型
2. 单元分析
连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称为单元分析。
(2) 分析单元的特性，建立单元刚度矩阵
进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面 力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷；
采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节
点位移与节点力之间的关系矩阵
单元刚度矩阵。
3. 整体分析
把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各单 元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。
第5章 有限元法(1)
Ⅴ Finite Element Method (FEM)
第5章 有限元法
内容简介
有限元法是结构分析的一种数值计算方法。它在20世纪50年代初 期随着计算机的发展应运而生。
这一方法的理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效率高，适应性 强，目前已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序 包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。
表5-1列出了几种国际上流行的商用有限元程序的应用范围。
表5-1 几种有限元程序及其应用范围
应用 范围
程序名Baidu Nhomakorabea
非线性分析
塑性分析
断裂力学
热应力与蠕变
厚板厚壳 管道系统 船舶结构 焊接接头 粘弹性材料
ADINA √ √
单元分析工作主要有两项：
(1)选择单元位移模式(位移函数)
用节点位移来表示单元体内任一点的位移、应变和应力，就需 搞清各单元中的位移分布。
一般是假定单元位移是坐标的某种简单函数，用其模拟内位移 的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移函数。通常采用的函数 形式多为多项式。
根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移来表示单元体 内任一点位移的关系式。
到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多 达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序 使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性 能分析的可靠依据。
有限元法的分析过程可概括如下：
● 连续体离散化 ● 单元分析 ● 整体分析 ● 确定约束条件 ● 有限元方程求解 ● 结果分析与讨论
● 用解析法求得精确解； ● 用数值解法求其近似解。
其中， 能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何 边界相当规则的少数问题。
而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的 数值解法，以求出近似解。
目前，工程中实用的数值解法主要有三种：
• 有限差分法 • 有限元法 • 边界元法
位移法优点是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。所以 得到广泛应用，其缺点是精度稍低。
(2)力法
该法是以节点力作为基本未知量，在节点处建立位移连续方 程，求解出节点力后，再求解节点位移和单元应力。
力法的特点是计算精度高。
(3)混合法
此法是取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知量，建 立平衡方程进行求解。
6. 结果分析与讨论
应用有限元法求解机械结构应力类问题时，根据未知量和分析 方法的不同，有三种基本解法：
➢ 位移法 ➢ 力法 ➢ 混合法
(1)位移法
此法是以节点位移作为基本未知量，通过选择适当的位移函数， 进行单元的力学特性分析。在节点处建立单元刚度方程，再组合成整 体刚度矩阵，求解出节点位移后，进而由节点位移求解出应力。