《微积分》第二章 函数的极限与连续 2.1数列的极限ppt

若 {xn} 满足 x1 x2 xn , 则称 {xn} 严格单调增加, 记为{xn} .
若 {xn} 满足 x1 x2 xn , 则称 {xn}单调增加, 也记为{xn} .
若 {xn} 满足 x1 x2 xn , 则称
{xn} 严格单调减少, 记为 {xn} .
又割，以至于不可割，则与圆
1
周合体而无所失矣”
——刘徽(魏晋时期—公元3世纪杰
出的数学家)
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正 62n1 形的面积 An
他计算到正3072 6 29边形，得： 3927 3.1416
1250
A1, A2, A3, , An,
2、截丈问题：
战国时期哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引 用过一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
把每天截后剩下部分的长度记录如下（单位：尺）：
第一天剩下的杖长为
X1
1 2
;
第二天剩下的杖长为
X2
1 22
;
第n天剩下的杖长为
Xn
1 2n
;
Xn
1 2n
0
0
二、数列及其简单性质
1. 定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
例1 介绍几个数列
(1) {2n}: 2, 4, 8,, 2n ,
通项 : xn 2n.
x1 x2 … xn …
•••• ••••••••
x
0 2 4 …• 2n …• •
7
(2)
1 2n
:
1, 1, 1, 248
1 , 2n ,
通项 :
xn
1 2n
.
… xn … x3
x2
••••• •••••
{2n} , 无界 (但下方有界：xn 2 ).
有些数列虽然无界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的.
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例3
(1).an
1 2n
,即 1 , 1 , 1 , 248
当n无限增大时，
0
(2).an
1
1 ,即2, 3 , 4 , 5 ,
n
234
1
(3).an 2n,即2, 4, 6, 8,
)M
0
x
13
例2 观察例1 中的几个数列：
(1)
1 2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
… xn … x3
x2
••••• •••••
01
2n
11
1
x1 x
2
48
1 2n
,
有界 (可取 M 1 ). 2
14
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1,
x2n
–1
0
x 2 n 1
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
5
2. 数列的表示法
公式法 图示法 表格法
运用数轴表示 运用直角坐标系表示
n
1 2 …. n ….
xn
x1 x2 ….
xn ….
6
.
x2n1
x2n
x4
•••••
•••••
0
1
1
x1 x3
n
2
M 所有奇数项
x2 x
1
10
(5)
n
n
1
:
1 , 2 , 3, , n , 2 3 4 n1
通项 :
xn
n. n 1
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
x
0
1 2
2 3
3 4
…
n n 1
…
1
11
3. 数列的性质 (1) 数列的单调性
第二章 函数的极限与连续
§2.1 数列的极限 §2.2 数项级数的基本概念
lim
n
yn
A
§2.3 函数的极限
§2.4 极限的性质和运算法则
§2.5 无穷小量与无穷大量
§2.6 极限存在的准则与两个重要极限
§2.7 函数的连续性
§2.8 函数的间断点
§2.1 数列的极限一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之
(4).an
1 (1)n 2
,即0, 1, 0, 1,
(5).an
(1)n
1 ,即 1, 1 ,
n
2
1,1, 34
? 0
(6).an
2n ,即 2 , 4 , 6 ,
n1
234
2
(7).an
n (1)n n
,即0, 3 , 2 , 5 , 234
1
(8).an (1)n
即-1，1，-1，1…
?
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三、极限的直观定义 结论： 当 n “无限增大”时 ,数列的变化趋势有三种情形：
an 无限增大； an 的变化趋势不定； a“n 无限接近”某个常数 A。 数列极限的直观描述:
对于数列 an 和常数A，如果当 n无限增大时,an无限接
近 A ，则称该数列收敛于A或以A为极限。
x
1
{(1)n1} 不单调, 但有界 (可取 M 1 ).
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(3)
1
(1)n n
:
0, 1, 0, 1 , 0, 1,, 1 (1)n ,
23
n
x2n1
x2n
x4
•••••
•••••
0
1
1
x1 x3
n
2
M
x2 x
1
1
(1) n
n
不单调,
但有界 (可取
M
1 ).
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(4)
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{2n }
{
1 2n
}
4
1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
若 {xn} 满足 x1 x2 xn , 则称
{xn} 单调减少, 也记为 {xn} .
12
(2) 数列的有界性的定义
若 M 0, 使得 | xn | M , n N 成立, 则称数列{xn} 有界. 否则称{xn} 是无界的. 几何意义：
－M ( • • • • •
xn
•••••
01 1
1
2n
8
4
x1
x
1 2
8
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1, 通项 : xn (1)n1.
x2n
–
0
1
所有的偶数项
x 2 n 1
x
1
所有的奇数项
9
(4)
1
(1)n n
:
0, 1, 0, 1 , 0, 1,, 1 (1)n ,
23
n
通项：
xn
1
(1)n n
n
n
1
:
1 , 2 , 3, , n , 2 3 4 n1
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
x
0
1 2
2 3
3 4
…
n n 1
…
1
n
n
1
,
有界(可取 M
1 ).
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(5) {2n}: 2, 4, 8,, 2n ,
x1 x2 … xn …
•••• ••••••••
x
0 2 4 …• 2n …• •