高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)

数多个，平面的法向量也有无数个. 2.利用空间向量解决立体几何中的平行问题
1证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是 共线向量，但要注意说明这两条直线不共线. 2证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的 法向量垂直，但要说明直线不在平面内.②证明能够在平面 内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直 线不在平面内.③利用共面向量定理，即证明直线的方向向 量与平面内的两个不共线向量是共面向量.同时要注意强 调直线不在平面内.
uuur
uuur
在选项 A 中， MP ＝1，4，1，∴n·MP ＝0.
16
4.已知 a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－
6，2)，则下列结论正确的是( C )
A.a∥c，b∥c
B.a∥b，a⊥c
C.a∥c，a⊥b
D.以上都不对
解析 ∵c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1) ＝2a，∴a∥c，又 a·b＝－2×2＋(－3)×0＋ 1×4＝0，∴a⊥b.
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平r行;
3.向ur量n 是平面的法向量，向
量m 是与平r面ur平行或在平面
内，则有 n m 0
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问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
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∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
∥D→A1，又∵MN
与
DA1
不共线，∴MN∥DA1，
又∵MN⊄平面 A1BD，A1D⊂平面 A1BD，
∴MN∥平面 A1BD.
探究提高 用向量证明线面平行的方法有：
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向
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变式训练 2 在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD，E、F 分别为棱 AD、PB 的中点，且 PD＝AD. 求证：平面 CEF⊥平面 PBC.
证明 如图建系，设 A(1,0,0)，
P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)， 则 E12，0，0，F12，12，12，
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证明 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形， ∴AB、AP、AD 两两垂直，以 A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、 F(0,1,1)、G(1,2,0)．P→B＝(2,0，－2)，
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题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
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证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
,
a
此方程称为直线r 的向量参数方程。这
样点A和向量 a 不仅可以确定直线 l的
B 位置，还可以具体写出l上的任意一点。
uuur uuur r
A
OP OA ta ，
uuur uuur uuur
OP xOA yOB (x y 1）
6
三、平面的法向量
空间中平面 的位置可以由 内两条相
交直线来确定.
13
五、垂直关系：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则r r r r
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
rr r r
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
r
r
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题型二 利用空间向量证明垂直问题 例 2 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥
底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝ 60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．证明： (1)AE⊥CD； (2)PD⊥平面 ABE. 思维启迪：建立适当的空间直角 坐标系，利用向量坐标证明．
F→E＝(0，－1,0)，F→G＝(1,1，－1)， 设P→B＝sF→E＋tF→G，
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即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
t＝2， ∴t－s＝0，
－t＝－2，
解得 s＝t＝2.
P→B＝2F→E＋2F→G， 又∵与F→E与F→G不共线，∴P→B、F→E与F→G共面．
∵PB⊄平面 EFG，∴PB∥平面 EFG.
∴n＝(1，－1，－1)．
又
uuuur MN
·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，
uuuur
∴ MN ⊥n，又 MN⊄平面 A1BD，
∴MN∥平面 A1BD.
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方法二
uuuur MN
＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C=
12(D→1A－D→1D)
＝12D→A1，∴
uuuur MN
量线性表示；
Leabharlann Baidu
(4)本题易错点为：只证明 M N ∥A 1D ，而忽视 M N ⊄平面 A 1B D .
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变式训练 1 如图所示，平面 PAD⊥平面 ABCD， ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且 PA＝AD＝2，E、F、G 分别是线段 PA、PD、 CD 的中点． 求证：PB∥平面 EFG.
r
注设意直：线这l里的r的方线向线向平量行为包a括线(线a1,重b1合, c1，),线平面面平行的
包法括向线量在为面r u内，r(面a2面, b2平, c行2 )包,则括面面重合.
l // a u 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
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[难点正本 疑点清源] 1.直线的方向向量实质上是与直线平行的非零向量，它有无
若a (a1r,b1r,c1),ur (ar 2,b2,c2),则
l a // u
r 当a2 ,b2, c2 0时,a
a
//
ku
r u
a1 ka2
a1 b1 c1
,
b1
a2 b2 c2
kb2, c1
kc2.
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基础自测
1.两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1＝ 1，0，－1，v2＝－2，0，2，则 l1 与 l2 的位置关系是 A
A.平行
B.相交
C.垂直
D.不确定
解析 ∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.
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2.已知平面 α 内有一个点 M1，－1，2，平面 α 的一个法向
量是 n＝6，－3，6，则下列点 P 中在平面 α 内的是 A
A.P2，3，3
B.P－2，0，1
C.P－4，4，0
D.P3，－3，4
uuur
解析 ∵n＝6，－3，6是平面 α 的法向量, ∴n ⊥ MP ，
设平面
CEF
uuur
的一个法向量为
n1＝(x，y，
z)．
则
n1 n1
EF uuur EC
0 0
⇒－12y＋12x12＋z＝y＝00
，
28
取 x＝1，则 n1＝1，12，－12， 同理，平面 PBC 的一个法向量为 n2＝0，12，12， ∵n1·n2＝1×0＋12×12－12×12＝0，∴n1⊥n2. ∴平面 CEF⊥平面 PBC.
∴ PD ⊥ AE ，即 PD⊥AE.
∵ AB ＝(1,0,0)，∴ PD ·AB ＝0，
∴PD⊥AB，又 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 AEB.
方法二 设平面 ABE 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
∵ AB ＝(1,0,0)， AE ＝14， 43，12，
n·AB ＝0
x＝0
∴ n·AE
＝0
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四、平行关系：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr 的法向量分别为 u, v ，则
rr r r 线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
r r rr
线面平行 l ∥ a u a u 0 ； rr r r
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
方程组
n
•
a
0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
9
r 解：设平面的法向量为n （x，y，z），
r uuur r uuur 则n AB，n AC
（x，y，z）g(2, 2,1) 0，（x，y，z）g(4,5,3) 0,
即24xx
2y 5y
z0 ,
3z 0
取z
1
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
复习：
共线向量定理:
rrr
rr
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
rr
充要条件是存在实数，使a＝b。
棱长为 1，
则 M 0，1，12，N 12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是
uuuur MN
＝12，0，12，
设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)．
则
uuur
n·DA1
=0
且
n·D→B＝0，得xx＋＋yz＝＝00，.
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
3
思考1：
1、如何确定一个点在空间的位置？ 2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量）， 能确定一条直线在空间的位置吗？ 3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一 个平面在空间的位置吗？ 4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一 个平面在空间的位置吗？
，则
D
(0，
23 3
，0),
uuur
∴CD ＝
(－
1 2
，
3 6
，0).
uuur 又 AE ＝
(
1 4
，
3 4
，
1 2
)，
uuur ∴ AE
uuur CD
＝
1 2
1 4
3 6
3 0，
4
uuur uuur 即 AE ⊥ CD ，即 AE⊥CD.
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(2)方法一 ∵P(0,0,1)，∴ PD ＝0，233，－1. 又 AE ·PD ＝ 43×233＋12×(－1)＝0，
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
4
一、点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中 uuur
任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 uuur
向量OP称为点P的位置向量。
P
O
5
二、直线的向量参数方程
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
个定点 A 以及一个定方向确定.
l
P
对于直线 lu上uur的任uu一ur点P 存在实数 t 使得 AP t AB
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证明 ∵AB、AD、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直
角坐标系，设 PA＝AB＝BC＝1，则 P(0,0,1)．
(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C12， 23，0，
E14， 43，12.设 D(0，y,0)，由 AC⊥CD，
得
uuur AC
uuur CD
＝0，即
y＝
2
3 3
r n
r b
r
O a
P
对于平面 上的任一点 P ,
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
uuur r r
OP xa yb
rr
这样，点O与向量 a、b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向
量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.