2019考研数学三真题及答案解析

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2019年考研数学(三)真题及答案解析(完整版)

【解析】令 un
1 n3
, vn
1n
，故（A）（C）排除。令 un
1 n3
, vn
1n
1 ln n
，故（D）
排除，对于选项（B），由于 vn 条件收敛，则 lim vn 0 ，且 lim unvn lim vn 0 ，
n1 n
n n
n nun n n
根据正项级数判别法 nun 绝对收敛，则 unvn 绝对收敛。综上，故选（B）.
（C）3.
（D）4.
【答案】（C）
【解析】 x tan x ~ 1 x3, 故 k 3. 3
（2）已知方程 x5 5x k 0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围（）
（A） (, 4) （B） (4, ) （C）[4, 4] （D） (4, 4)
【答案】（D）
【解析】令 f x x5 5x k ，则 f x 5x4 5 5 x4 1 5 x2 1 x2 1 ，
则 x 1, f x 0 ； 1 x 1, f x 0 ； x 1, f x 0 ；
又 lim f x , lim f x ，综合单调性知 f 1 0, f 1 0 时才有三个根，
x
x
即 f 1 1 5 k 0, f 1 1 5 k 0, 则 4 k 4 。
n 2 2 3
n n+1 n n+1
(10)
曲线
y
x
sin
x
2
cos
x
2
x
3 2
的拐点坐标为
【答案】
【解析】 y ' sin x x cos x 2sin x x cos x sin x
y '' cos x x sin x cos x x sin x ，令 y '' 0得x 0或x

(完整版)2019考研数学三真题及参考答案解析

2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.），（44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.）收敛（nn nv u +∑∞=1D.）发散（nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*=Ax A A A 线性无关的解，则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=，则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。

2019考研数学三真题及答案

ax 22
b) x
ax 33
ax
a n
a
x
n
x
0, 0,
a11x11
a 2x 22
(a2 b)3x 3
3
3
a nx n nn
0,
a1
x 1
a 2
x 2
a x 33
(a n
b) x n
0,
n a
其中 i1 i
0.
试讨论
a 1
,
a 2
,
, a n 和 b 满足何种关系时，
f ( x) （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f (0) 存在，则函数 g(x) x
(A)在 x=0 处左极限不存在.(B)有跳跃间断点 x=0. (C)在 x=0 处右极限不存在.(D)有可去间断点 x=0.[D] 【分析】由题设，可推出 f(0)=0,再利用在点 x=0 处的导数定义进行讨论即可. 【详解】显然 x=0 为 g(x)的间断点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.
A 2
,
3
4A相, 互A独立.
A 2
,
3
4A两, 两A独立.
三、（本题满分8 分）
设：
f ( x)
1 x
1 sin x
1 (1
x)
,
x
[
1 2
,1).
试补充定义 f(1)使得 f(x)在 [21 ,1]上连续.
四、（本题满分8 分）
2 f 设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 u2
2 f v2
求幂级数 n1
2n ( x 1) 的和函数 f(x)及其极值.
七、（本题满分9 分）

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题_真题(含答案与解析)-交互

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题(总分150, 做题时间180分钟)选择题每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.当x →0 时，若x-tanx与x k是同阶无穷小，则 k=SSS_SINGLE_SELA1B2C3D4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C2.已知方程 x5-5x + k = 0 有个不同的实根，则 k 的取值范围SSS_SINGLE_SELA（-∞，-4）B（4，+∞）C[-4，4]D（-4，4)该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D3.已知微分方程y''+ay'+by=ce x的通解为y=（C1+C2x）e-x+e x，则a，b，c依次为SSS_SINGLE_SELA1,0,1B1,0,2C2,1,3D2,1,4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D由题干分析出-1为特征方程r2+ar+b=0的二重根，即（r+1）2=0 故a=2，b=1；又e x为y''+ay'+by=ce x的解，代入方程得c=44.SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B5.设A是四阶矩阵，A*是 A的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则A*的秩是SSS_SINGLE_SELAB1C2D3该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A由于 AX = 0 的基础解系有只有两个解向量，则由4 - R(A) = 2可得R(A) - 2 < 3，故R(A* ) = 0。

6.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2+A=2E ,且| A |=4 ,则二次型x T Ax的规范形为SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C∵A2+A=2E ,设 A的特征值为λ∴λ2+λ=2（λ+2）（λ-1）=0∴λ=-2或1∵| A |=4∴A的特征值为λ1=λ2=-2，λ3=1∴q=2，p=1∴X T Ax的规范形为y12-y22-y327.设 A,B 为随机事件，则 P(A) = P(B) 的充分必要条件是SSS_SINGLE_SELAP(A∪B) = P(A) + P(B)BP(AB) = P(A)P(B)CD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:CA选项⇔P(AB) =0 ,故 A 排除B选项⇔ A、B 独立，故 B 排除C选项⇔ P(A) - P(AB) = P(B) - P(AB)而P(A) ⇔ P(B) ，故 C 正确= 1- P(A) -P(B) + P(AB)⇔1 = P(A) + P(B) 故 D 排除8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布N（μ，σ2），则P{|X-Y|<1}SSS_SINGLE_SELA与μ无关，而与σ2有关B与μ有关，而与σ2无关C与μ,σ2都有关D与μ,σ2都无关该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A填空题每小题4分，共24分。

数三2019年真题答案解析

数三2019年真题答案解析1、设在sql server 中有如下定义触发器的语句：create trigger tri on t1 for insert as……以下关于该语句的观点，恰当的就是( )。

a．该语句声明的是一个后触发型触发器，每当在t1表上执行完插入操作之后，执行tri触发器b．该语句声明的就是一个后引爆型触发器，每当继续执行回去tri触发器后，再继续执行填入语句c．该语句声明的是一个前触发型触发器，每当在t1表上执行插入操作之前，先执行tri触发器d．该语句声明的就是一个前引爆型触发器，每当继续执行tri触发器前，先继续执行填入语句参考答案：a参照解析：采用for或者after选项定义的触发器为后引爆的触发器，即为只有在引起触发器继续执行的语句中的操作方式都已顺利继续执行，并且所有的约束检查也顺利顺利完成后，才继续执行触发器。

采用instead of选项定义的触发器为前触发器。

在这种模式的触发器中，选定继续执行触发器而不是继续执行引起触发器继续执行的sql语句，从而替代引起的操作方式。

故答案为a项。

2、下列列出的建模方法中，不属于需求分析建模方法的是( )。

a．idef1xb．dfdc．idefod．uml参照解析：idef1x侧重于分析、抽象化和归纳应用领域中的数据市场需求，被称作数据建模方法。

故答案为a项。

3、下列关于数据库优化的说法，错误的是( )。

a．减少数据库内存数量可以在一定程度上减少数据库服务器io操作方式b．性能优化过程有可能需要对应用系统相关程序进行修改c．性能优化操作方式由dba顺利完成，应用领域开发人员无须参予d．为了提高系统写性能，可以考虑将raid5改为raid1参考答案：c参考解析：调整一个数据库应用系统的性能要求熟悉系统环境、数据库管理系统、应用程序以及应用程序所使用的数据。

数据库性能优化是对数据库管理员的严峻考验，有时候对应用程序的修改需要应用开发人员配合才能完成。

2019考研数学三(试题与解析)

C.
D.
，有
可得，
；
.
若要
由 3 个不同的实根，则必须满足：
，即
，则
.
3. 已知微分方程次为（）
A. 1，0，1
B.1，0，2
的通解为
，则
依
C. 2，1，3
D. 2，1，4
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【解析】D
由题设条件可得：
①
为
方程
的两个解，即
有重根-1，则
.
②为
的特解，即为
.
,求
，并求的极值.
，；
；故
，令
可得
，
-
0
+
不存在
-
0
+
极小值
极大值
极小值
于是由的极小值为
，极大值为
.
16. 已知
具有 2 阶连续偏导数，且
，求
【解析】
，
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故
.
17. 已知满足微分方程
，且有
.
（1）求；
（2）转体体积.
，求平面区域绕轴旋转一周成的旋
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2019 全国硕士研究生入学统一考试
一、选择题
1. 当
时，
A. 1
C. 3
【解析】C
数学（三）试题
与是同阶无穷小，则 =（） B. 2 D. 4
由于
，则可得
2. 已知方程
A.
B.
【解析】D
令，当
则可得：极大值为
极小值为

2019考研数三真题及解析

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4【答案】C【解析】0x →时，有3tan 3x x x --，故3k =.（2）已知方程550x x k -+=有3个不同的实根，则k 的取值范围（） (A) (,4)-∞-(B) (4,)+∞(C) {4,4}- (D) (4,4)-【答案】D【解析】令5()5f x x x k =-+，令4()550f x x '=-=，可得1x =±，当(,1)-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,1)-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；而()f -∞=-∞，(1)4f k -=+，(1)4f k =-+，()f +∞=+∞，故若()f x 有3个不同的零点，则在区间(,1)-∞-，(1,1)-，(1,)+∞分别具有一个实根，所以需满足(1)0f ->，(1)0f <，解得(4,4)k ∈-.（3）已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()xx y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（）(A) 1,0,1(B) 1,0,2 (C) 2,1,3(D) 2,1,4【答案】D【解析】由通解形式可得，12()xC C x e-+是对应齐次方程的解，故是1λ=-其二重特征值，所以其特征方程为2(1)0λ+=，即2210λλ++=，所以2,1a b ==；再将特解x e 带入原方程可得4c =.（4）若1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（） (A)1n nn u v∞=∑条件收敛(B)1n nn u v∞=∑绝对收敛(C)1()nn n uv ∞=+∑收敛(D)1()nn n uv ∞=+∑发散【答案】B 【解析】因为1n n v n∞=∑条件收敛，故0()nv n n →→∞，所以存在0M >，使得n v M n ≤ 所以()n n n n n v u v nu M nu n ⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭，由比较判别法可得：因为1n n nu ∞=∑绝对收敛，故1n n n u v ∞=∑绝对收敛.令31n u n =，(1)nn v =-，则1()n n n u v ∞=+∑发散；令31n u n =，(1)ln n n v n -=，则1()n n n u v ∞=+∑收敛；故选项C 、D 均不成立. （5）设A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（）(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】A【解析】因为0Ax =的基础解系中只有2个向量，故有()2n r A -=，即()422r A =-=，又因为*,()()1,()10,()1n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，所以*()0r A =.（6）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22A A E +=且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为（）(A) 222123y y y ++ (B) 222123y y y +-(C) 222123y y y --(D) 222123y y y ---【答案】C 【解析】设矩阵A 的特征值为λ，由22A A E +=可得，22λλ+=，解得1,2λ=-，又因为1234A λλλ==，故A 的3个特征值为1,2,2--，所以二次型T x Ax 的规范形为222123y y y --.（7）设A ，B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（） (A) ()()()P AB P A P B =+(B)()()()P AB P A P B =(C) ()()P AB P BA =(D) ()()P AB P AB =【答案】C【解析】由减法公式可得：()()()P AB P A P AB =-，()()()P BA P B P AB =-，所以()()P A P B =的充要条件为()()P AB P BA =.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y -<（）(A) 与μ无关，而与2σ有关 (B) 与μ有关，而与2σ无关 (C) 与μ，2σ都有关(D) 与μ，2σ有无关【答案】A【解析】由已知可得，2(0,2)X YN σ-(0,1)N ，所以{1}{(P X Y P P -<=<=<<=Φ-Φ21=Φ-，所以{1}P X Y -<与μ无关，而与2σ有关. 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9. 111lim 1223(1)nn n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ .【答案】1e -【解析】原式1111111lim(1)lim(1)22311n n n n e n n n -→∞→∞=-+-++-=-=++.10.曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点坐标为 .【答案】(,2)π-【解析】sin cos 2sin cos sin y x x x x x x x '=+-=-，cos sin cos sin y x x x x x x ''=--=-，令0y ''=得0x =或x π=，当(0,)x U δ∈，0y ''<；所以(0,2)不是拐点；当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，故(,2)π-为拐点. 11.已知1()f x =⎰，则120()x f x dx =⎰.【答案】118- 【解析】331112000()()()033x x xf x dx f x f x dx '=-=-⎰⎰⎰134420011121(1)(1)3412318x x -=-⨯+=-⋅+=⎰.12.,A B 两商品的价格分别为,A B P P ，需求函数225002A A A B B Q P P P P =--+，10,20A B P P ==，求A商品对自身价格的需求弹性(0)AA AAηη>=.【答案】25【解析】20B P =，250020800A A A Q P P =--+，2(220)130020A A A A A A A A Q P P P P Q P P η∂=⋅=--⋅∂--，当10A P =时，25η=. 13.2101111011A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，01b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，Ax b =有无穷多解，求a = .【答案】1【解析】由已知可得，()(,)3r A r A b =<，化简增广矩阵222101010101010(,)1111010101010110110011A b a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1a =.14.设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x else⎧<<⎪=⎨⎪⎩，()F x 为X 的分布函数，EX 为X 的数学期望，则{()1}P F X EX >-=.【答案】23【解析】由已知可得，224()23x EX xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰，且分布函数20,0()(),0241,2xx xF x f t dt x x -∞<⎧⎪⎪==≤<⎨⎪≤⎪⎩⎰，所以22112{()1}{()}{}{34323X x P F X EX P F X P P X dx >-=>=>=>==. 【法二】易知()(0,1)Y F X U =，所以42{()1}{1}33P F X EX P Y >-=>-=. 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知2,0()1,0x x x x f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求()f x 的极值。

2019考研数学三真题解析

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x →时，若tan x x −与kx 是同阶无穷小，则k =（）A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】 C.【解析】当0x →时，31tan 3x xx −−，则=3k .2．已知方程550x x k −+=有3个不同的实根，则k 的取值范围为（）A 、 (,4)−∞− B 、(4,)+∞C 、{}4,4−D 、(4,4)−【答案】 D.【解析】令5()5f x x x k =−+，由()0f x '=得1x =±，当1x <−时，()0f x '>，当11x −<<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，又由于lim ()x f x →−∞=−∞，lim ()x f x →+∞=+∞，方程要有三个不等实根，只需要(1)=40f k −+>，(1)4<0f k =−+，因此k 的取值范围为44k −<<.3．已知微分方程e x y ay by c '''++=的通解为12()e e xx y C C −=++，则,,a b c 依次为（）A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，121λλ==−，故特征方程为221=21=0λλλ+++（），所以2,1a b ==，又由于e x y =是+2x y y y ce '''+=的特解，代入得4c =.4、若1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（） A 、1n nn u v∞=∑条件收敛B 、1n nn u v∞=∑绝对收敛C 、1()nn n uv ∞=+∑收敛D 、1()nn n uv ∞=+∑发散【答案】 B. 【解析】由1n n v n∞=∑条件收敛知，lim 0nn v n →∞=，故当n 充分大时，1n v n . 所以，nn n n n vu v nu nu n=⋅，由于1n n nu ∞=∑绝对收敛，所以1n n n u v ∞=∑绝对收敛.5、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组=Ax 0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=. 6、设A 是3阶实对称，E 是3阶单位矩阵，若2=2A +A E 且4=A ，则二次型T x Ax 的规范形为（）A. 222123y y y ++ B.222123y y y +− C.222123y y y −− D.222123y y y −−−【答案】 C.【解析】22λλ+=，则λ只能为2−或1，又由于4=A ，则特征值分别为-2,-2,1，则二次型的规范形为222123y y y −−. 7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是A.()()().P A B P A P B =+UB.()()().P AB P A P B =C.()().P AB P BA =D.()().P AB P AB =【答案】C【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=；选C.8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y −<A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与μ，2σ都有关. D.与μ，2σ都无关.【答案】A【解析】2~(0,2X Y N −σ，所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−；选A二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．9、111lim 1223(1)nn n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥⋅⋅+⎣⎦____________ 【答案】1e .−【解析】111+++1223(1)1nn n n n n ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯++⎝⎭⎣⎦L ，则1lim e .1nn n n −→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭10、曲线π3πsin 2cos ()22y x x x x =+−<<的拐点坐标为____________ 【答案】 π2−（，）. 【解析】令sin0y x x ''=−=，可得πx =，因此拐点坐标为π2−（，）. 11、已知1()f x t =⎰，则120()d xf x x =⎰____________【答案】1(118−.【解析】依题意，()f x '=(1)0f =.因此，11123310000111()d ()d ()(13318x f x x f x x x f x x x ⎡⎤==−=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 12、A 、B 两商品的价格分别为、，需求函数,, ,求A 商品对自身价格的需求弹性____________ .【答案】0.4. 【解析】因为d (2)d A A A AA A B A A AP Q PP P Q P Q η=−⋅=−⋅−−，将，，1000A Q =代入，可得104000.41000AA η=⋅=. 13、2101111011a −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭A ，01a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，=Ax b 有无穷多解，求____________ 【答案】1.【解析】因为=Ax b 由无穷多解，故()()3r r =<A A,b ，对矩阵()A,b 作初等行变换，因为P A P B Q A =500-P A 2-P A P B +2P B 2P A =10P B =20h AA =h >0()P A =10P B =20a =21010()01010011a a −⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭A,b ，故2110a a −=−=，因此1a =.14、为连续型随机变量，概率密度为, 为的分布函数，为的期望，求{}()1P F X EX >−=____________【答案】2.3【解答】由条件可得224()d d 23x EX xf x x x +∞−∞===⎰⎰，且可求得分布函数20,0,(),02,41, 2.x xF x x x <⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩故可得12{()1}{()}.33P F X EX P F X >−=>=三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0.x x x x f x x x ⎧>=⎨+⎩求()f x '，并求()f x 的极值.【答案】f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0，极大值f (0)=1.极小值1(1)1e f −=−，2e 1()e ef −=.【解析】解：当x >0时：f ′(x )=(e 2xlnx −1)′=(e 2xlnx )′=e 2xlnx (2lnx +2)=2x 2x (lnx +1)当x <0：f ′(x )=e x +xe x =e x (x +1)因此f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0当x =0：X f (x )=x2,0<x <20,elseìíïîïF (x )X EX Xf +′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+x 2x −1x =lim x→0+e 2xlnx −1x =lim x→0+2xlnxx=−∞f −′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+xe x x=lim x→0+e x =0当x >0时，f ′(0)<0，f (x )单调递减，当x <0时，f ′(0)>0，f (x )单调递增因此f (x )在x =0处取得极大值，且f (0)=1.令()0f x '=得，1x =−及1e x =. 又1(1)0,()0e f f ''''−>>，故极小值为1(1)1ef −=−，2e 1()e ef −=. 16、（本题满分10分）已知(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且(,)(,)g x y xy f x y x y =−+−，求22222g g gx x y y ∂∂∂++∂∂∂∂.【答案】112213.f f ''''−−【解析】依题意知，12(,)(,)gy f x y x y f x y x y x∂''=−+−−+−∂， 12(,)(,)gx f x y x y f x y x y y∂''=−+−++−∂. 因为(,)f u v 具有二阶连续偏导数，故1221f f ''''=，因此，2111221221112222()()2gf f f f f f f x ∂''''''''''''''=−+−+=−−−∂， 21112212211221()()1gf f f f f f x y∂''''''''''''=−−−−=−+∂∂， 2111221221112222()()2gf f f f f f f y∂''''''''''''''=−−+−=−+−∂. 所以，22211222213.g g gf f x x y y∂∂∂''''++=−−∂∂∂∂17、（本题满分10分）已知()y x 满足微分方程22ex y xy '−=，且满足(1)y =（1）求()y x ；（2）若{}(,)12,0()D x y x y y x =，求区域D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积.【答案】（1）22()e x y x =. （2）【解析】（1）22d d 22()e e e e (x xx x x x y x C C −−−⎛⎫⎰⎰=+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰因为(1)y =0C =，所以22()e .x y x =（2）由旋转体体积公式，222224211ππe )d πe d (e e).2x x V x x x ===−⎰⎰18、（本题满分10分）求曲线()esin 0xy x x −=与x 轴之间图形的面积.解:设在区间[π,(1)π]n n +(0,1,2,)n =上所围的面积记为n u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d n n xnx n n n u x x x x ++−−==−⎰⎰;记esin d xI x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰ ecos e dsin e cos (e sin sin de )xx x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22n nxn n n n u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)nn =−)因此所求面积为ππππ111e 11e 221e 2e 1n n n n u −∞∞−−===+=+=+−−∑∑. 19、（本题满分10分）设()10,1,2n a x x n ==⋅⋅⋅⎰（1）证明数列{}n a 单调递减；且()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+（2）求1lim−∞→n nn a a .(1)证明:110(0n n n a a x x +−=−<⎰,所以{}n a 单调递减.1333111212212220011(1)[(1)(1)]33n n n n a x d x x x x dx −−−=−−=−−−−⎰⎰1220110021(131()31(),3n n n n n x x x n x x x x n a a −−−−=−−=−−=−⎰⎰⎰从而有()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+; (2)因为211n n n n n na a a a a a −−<<=,而21lim lim12n n n n a n a n →∞→∞−−==+,由夹逼准则知 1lim1nn n a a →∞−=.20、（本题满分11分）已知向量组I ：()()()21231,1,4,1,0,4,1,2,3TT Ta ===+αααII ：()()()21231,1,3,0,2,1,1,3,3TTTa a a =+=−=+βββ若向量组I 与II 等价，求a 的取值，并将3β用123,,ααα线性表示.【答案】1a ≠−；1a =时，3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；当1a ≠±时，3123=−+βααα.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B .因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.21、（本题满分11分）已知矩阵22122002A x −−⎛⎫ ⎪=− ⎪⎪−⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭相似.（1）求x ,y ;（2）求可逆矩阵P 使得1P AP B −=.解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−.(2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 22、（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为(1)P Y p =−=,(1)1P Y p ==−,(01p <<)，令Z XY =.（1）求Z 的概率密度;（2）p 为何值时，X 与Z 不相关;（3）X 与Z 是否相互独立?【答案】（1）e ,0,()(1)e ,0.z Z zp z f z p z −⎧<=⎨−⎩（2）12p =；（3）不独立.【解析】（1）Z 的分布函数为()()(1,)(1,)Z F z P XY z P Y X z P Y X z ===−−+=，因为X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为1e ,0,()0,0.x X x F x x −⎧−>=⎨⎩因此，e ,0,()[1()](1)()(1)(1e ),0.z Z X X zp z F z p F z p F z p z −⎧<=−−+−=⎨−−⎩所以，Z 的概率密度为e ,0,()()(1)e ,0.z Z Z zp z f z F z p z −⎧<'==⎨−⎩（2）当22(,)()0Cov X Z EXZ EX EZ EX EY EX EY DX EY =−⋅=⋅−⋅=⋅=时，X 与Z 不相关. 因为1DX =，12EY p =−，故1.2p = （3）不独立. 因为(01,1)(01,1)(01)P X Z P X XY P X ==，而1(1)(1)(1)(1e )1Z P Z F p −==−−≠，故(01,1)(01)(1)P X Z P X P Z ≠⋅，所以X 与Z 不独立. 23、（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()22e ,,(;)0,,x A x f x x μσμσσμ−−⎧⎪=⎨⎪<⎩μ是已知参数，0σ>是未知参数，A 是常数. 12,,,n X X X 是来自总体X 简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量. 【解答】（1）由密度函数的规范性可知()d 1f x x +∞−∞=⎰，即222222()2220ed ed d 12x t t AAx t t μσσσμσσ−−−−+∞+∞+∞−∞====⎰⎰⎰，得A =（2）设似然函数22()22211()(;)i x nni i i L f x μσσσ−−====∏，取对数22221()1ln ()ln ]22ni n x L μσσσ=−=−∑；求导数2221224241()()d ln ()1[]d 2222nin i i i x x L nμμσσσσσσ==−−=−+=−+∑∑，令导数为零解得2211()ni i x n σμ==−∑，故2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==−∑.。

2019年考研数学三真题答案解析

un vn = nun v v vn 条件收敛可知， n 有界. 不妨设 n M n n n 1 n
vn M nun ， nu n 绝对收敛，根据比较审敛法，故 B 绝对收敛. n n 1
1 ,则 D 错，因此选 B. 1 1 n 【方法二】 un 3 , vn 1 ，则 A、C 错， un 3 , vn n n ln n

6 / 13
当 x 0 时， f x xe 1 e xe 1 x e . 当 x =0 时， f 0 1 ， f 0 lim
3 x 时， y ( x) 0 ，故拐点为 , 2 . 2
4 / 13
11.已知 f ( x) 【答案】
x
1
1 t 4 dt ，则 x 2 f ( x)dx
0
1
1 (1 2 2 ) 18
【答案解析】

1
0
x 2 f ( x) d x
1 0
x2
2019 考研数学三真题解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当 x 0 时，若 x tan x 与 x k 是同阶无穷小，则 k A. 1. C. 3. 【答案】C. 【答案解析】 x tan x 故选 C. 对泰勒不熟悉的同学，本题也可以用洛必达法则.
1 1 0 0 ________ . 1 , b 13. A 1 1 1 , AX b 有无穷多解，则 a = 2 0 1 a 1 a
【答案】 a 1 【答案解析】
5 / 13

2019年全国研究生考试数学(三)真题

5
7. 【答案】C
【解析】A： P( A + B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0 A 与 B 互斥 B： P( AB) = P( A) P(B) A 与 B 独立 C： P(AB) = P(B A) P(A) − P(AB) = P(B) − P(BA) P(A) = P(B)
当 x 0 时： f '(x) = ex + xex = ex (x +1)
7
因此
f
'(x)
=
2 x 2 x
e
x
(
x
(ln x +1); x
+1); x 0
0 ,
当x = 0：
f+
'(0)
=
lim
x→0+
f (x) − x
f (0)
= lim x→0+
x2x −1 = lim e2xln x −1 = lim 2x ln x
8. 【答案】A
【解析】 X 与Y 独立，则 X -Y ~ N (0, 2 2 ) ,所以 X − Y ~ N (0,1) . 2
故 P( X − Y 1) = P( X -Y 1 ) = 2 1 −1 .从而 P( X − Y 1) 与无关，选 A.
2 2
2
9. 【答案】 e−1
【解析】
A. 1，0，1 C. 2，1，3
B. 1，0，2 D. 2，1，4
4.
若 nun 绝对收敛，
n=1
vn 条件收敛，则( n=1 n
)
A. unvn 条件收敛 n=1
B. unvn 绝对收敛 n=1
C. (un +vn ) 收敛 n=1

2019年数学三真题及答案解析【原版】

【答案】C
【解析】 x tan x x (x 1 x 3 o(x 3)) ~ 1 x 3, 故 k 3.
3
3
（2）已知方程 x5 5x k 0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围（）
（A） (, 4) （B） (4, ) （C）[4, 4] （D） (4, 4)
【答案】D 【解析】
1
k
1 2
ex
cos x sin x
k 1
k
1 lim n 1 k1 ek1 1 k1 ek 1 k 2 n k0
1 lim n ek1 ek 2 n k0
1 2
lim
n
1
2
n k 1
e
k
en1
1 2
1
2 e 1
1 2
1 e 1
（19）（本题满分 10 分）设 an
1
1
2
（18）（本题满分 10 分）求曲线 y e x sin x(x 0) 与 x 轴之间图形的面积
【答案】
【解析】所求面积 A ex sin x dx 。 0
ex sin x dx lim n 1 k k1 ex sin xdx
0
n k 0
k
n
lim n k 0
f21 ''
f22 ''(1)
1
f11 ''
f22 ''
g y
x
f1 '
f2 '
2g y 2
f11 ''
f12 ''
f21 ''
f22 ''(1)

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案

2019年研究生统一入学考试数学（三）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.当时，若与是同阶无穷小，则=（ C ）A.1B.2C.3D.42.已知方程由3个不同的实根，则的取值范围为（D）A.B.C.D.3.已知微分方程的通解为，则a、b、c依次为（D）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.若绝对收敛，条件收敛，则（B）A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 发散5.设是四阶矩阵，*是的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系只有2个向量，则*的秩是（A）A.0B.1C.2D.36.设是3阶实对称，是3阶单位矩阵，若且，则二次型的规范形为（C）A.B.C.D.7.设，为随机事件，则充分必要条件是(C)A.B.C.D.(A)8.设随机变量X和Y相互独立，且都服从正太分布 ( ，)，则A.与无关，而与有关B.与有关，而与有关C.与，都有关D.与，都无关二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

9.10.曲线的拐点坐标为11.已知，则12.、两商品的价格分别为、，需求函数，，求商品对自身价格的需求弹性=13.，，有无穷多解，求14.为连续型随机变量，概率密度为= 为的分布函数，为的数学期望，则=三、解答题：15—23小题，共94分。

请将解答写在答题纸指定位置上。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已知= 求，并求的极值。

当时，当时，故，而在附近时，当，，单调递减；当，，单调递增；故在处取极大值。

16.已知具有二阶连续偏导数，且，求解：，，，17.已知满足微分方程，满足的特解(1)求；解：由于，则可以得出，两边同时积分得由于，代入得，故(2) ，求平面区域D绕轴旋转转成的旋转体体积。

解：由体积公式得=18.求曲线与轴之间图形的面积。

解：面积=19.设(1)证明数列{ }单调递减，且解：，所以单调递减其中的，所以(2)求。

2019考研数学三真题及参考答案解析

的概率密度
（2） p为何值，X，Z不相关；
（3） X ,Z是否独立.
23.设随机变量
X
的概率密度为
f
(x,
2)
A
( x )2
e 2 2
,
x
0,
x
2 为已知参数，为未知参数，A 常数，
X
，X
1
，，X
2
为取自总体X的简单随机样本
n
.
（1）求 A；
2
（2）求的最大似然估计量
2019 年全国硕士研究生入学统一考试
故 f 1= e1 1 为极小值.
16. 解： g(x, y) xy f (x y, x y)
g x
y
(
f
u
fv),
g y
x(
fu
fv)
2g x 2
( fuu
fuv
fuv
fvv )
fuu
2 fuv
fvv
2g xy
1 (
fuu
fuv
fuv
fvv )
1
fuu
fvv
2g y 2
( fuu
f
0
lim x2x 1 lim e2xln x 1 lim 2x ln x ，
x x0
x0
x
x x0
f
0
lim xex 11 lim ex 1 .
x0
x
x0
故
f
x=
x2x 2 ln x
1
x
e
x
2
x0
.
x0
令 f x=0 ，得 x1 e1, x2 1.
（1）当 x 0, e1 , f x 0, f x单调递减，

数学(三)真题参考答案及解析

（15）已知函数
（f x）
x2x,
xex
1,
x x
0 0 ，求
f（ x），并求
（f x）的极值.
【答案】
f（ x）
2x2（x ln x 1）,
（x
1）e
x
,
x x
0， 0.e
2
e1
和1
e1
为
（f x）的极小值；1为
（f x）的
极大值.
7
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【解析】当 x 0 时， f（ x）=（x2x） =（e2xln x） =e2xln（x 2lnx 2）=2x2（x lnx 1）；
大值.
（16）设函数（f u，v）具有二阶连续偏导数，函数 g（x，y） xy （f x y，x y），
8
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求
2g x2
2g xy
2g y 2
.
【答案】1 3 f11 f22 .
【解析】因为（f u，v）具有二阶连续偏导数，所以 f12 f21 .
由复合函数求导法则可知
0
（12）以 pA ， pB 分别表示 A ， B 两种商品的价格，设商品 A 的需求函数为
QA
500
p
2 A
pA
pB
2 pB2
，则当
pA
10，pB
20
时，商品
A 的需求量对自身价
格的弹性AA (AA 0) 为_______.
【答案】 0.4
【解析】由题干得
QA pA
=
2 pA
pB
.
因为
AA
pA QA

2019年考研数学三真题与解析

2019年考研数学三真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．已知方程550x x k -+=有三个不同的实根，则k 的取值范围是（）（A ）(,4)-∞- （B ）(4,)+∞ （C ）(4,0)- （D ）(4,4)-【答案】（D ）【详解】设5()5f x x x k =-+，则42(),(),()555(1)(1)(1),f f f x x x x x '-∞=-∞+∞=+∞=-=++-令()0f x '=得121,1x x =-=且(1)20,(1)20f f ''''-=-=，也就是函数在11x =-处取得极大值(1)4f k -=+，在21x =处取得极小值(1)4f k =-；由于方程有三个不同实根，必须满足(1)40(1)20f k f k -=+>⎧⎨=-<⎩，也就得到(4,4)k ∈-．3．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定2,1a b ==；（2）显然，*xy e =是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c =． 4．若级数1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n∞=∑条件收敛，则（）（A ）1n nn u v∞=∑条件收敛（B ）1n nn u v∞=∑绝对收敛（C ）1n nn u v∞=∑收敛（D ）1n nn u v∞=∑发散（注：题目来自网上，我感觉选项（C ）应该有误差，否则（A ），（B ）选项显然没有（C ）选项优越，若（A ），（B ）中有一个正确，则（C ）一定正确．题目就不科学了．【答案】（B ）【详解】由于1n n v n ∞=∑条件收敛，则lim 0nn v n →∞=，也就是有界；从而，nn n n n v u v nu M nu n =⋅≤，由正项级数的比较审敛法，1n n n u v ∞=∑绝对收敛．5．设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（A ）【详解】线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213r A r A n -=⇒=<-=，所以(*)0r A =．6．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．7．设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（）（A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B = （C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =；对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（）（A ）与μ无关，而与2σ有关（B ）与μ有关，而与2σ无关（C ）与μ，2σ都有关（D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ-只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．111lim 1223(1)nn n n →∞⎛⎫+++= ⎪⨯⨯⨯+⎝⎭L ．【答案】1e -解： 11111lim lim 11223(1)1nnn n n n n e →∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=-= ⎪ ⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭L10．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点坐标是（）【答案】(,2)π-【详解】sin 2cos y x x x =+，cos sin y x x x '=-，sin y x x ''=-，sin cos y x x x '''=--；令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==，且()0f π'''≠，所以(,2)π-是曲线的拐点；而对于点(0,0)，由于(0)0f '''=，而(4)(0)0f ≠，所以不是曲线的拐点．11.已知函数1()f x =⎰，则120()x f x dx =⎰ ．【答案】118-．【详解】（1）用定积分的分部积分：111233140000011111()()()|(1)3331218x f x dx f x dx x f x x x -==-=-+=⎰⎰⎰⎰ （2）转换为二重积分：1112221001()3tx f x dx x dx x dx t ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12．以,A B P P 分别表示,A B 两个商品的价格．设商品A 的需求函数225002A A A B B Q P P P P =--+，则当10,20A B P P ==时，商品A 的需求量对自身价格弹性(0)AA AA ηη>= ．【答案】0.4【详解】225002A A A B B Q P P P P =--+，当10,20A B P P ==时，1000A Q =则边际需求2AA B AQ P P P ∂=--∂，商品A 的需求量对自身价格弹性为10400.41000A A A AA A A A EQ P Q EP Q P η∂==⋅=⨯=∂．13．已知矩阵2101111,011A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭01b a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．若线性方程组Ax b =有无穷多解，则a = ．【答案】1．【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：222101010101010(,)1111010101010110110011A b a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然，当且仅当1a =时，()(,)23r A r A b ==<线性方程组Ax b =有无穷多解．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．12{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xx xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．【详解】当0x >时，22ln ()xx x f x xe ==，2()2(ln 1)xf x x x '=+；当0x <时，()1xf x xe =+，()(1)xf x x e '=+；在0x =处，22000()(0)12(ln 1)(0)limlim lim 1x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞，所以()f x 在0x =处不可导．综合上述：22(ln 1),0()(1),0x xx x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩；令()0f x '=得到1211,x x e=-=．当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，当10x e <<时，()0f x '<，当1x e>时，()0f x '>；故11x =-是函数的极小值点，极小值为1(1)1f e --=-；0x =是函数的极大值点，极大值为(0)1f =；21x e=是函数的极小值点，极小值为21()e f e e -=．16．（本题满分10）设函数(,)f u v 具有二阶连续的偏导数，函数(,)z xy f x y x y =-+-，求22222z z zx x y y∂∂∂++∂∂∂∂．【详解】12(,)(,)zy f x y x y f x y x y x∂''=-+--+-∂，12(,)(,)z x f x y x y f x y x y y ∂''=-+-++-∂21112212211122222zf f f f f f f x∂''''''''''''''=----=---∂，211221z f f x y ∂''''=-+∂∂，211122222z f f f y ∂''''''=-+-∂； 22211222213z z zf f x x y y∂∂∂''''++=--∂∂∂∂． 17．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0y xy '-=的通解：22x y Ce =，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e'-=通解，设22()x y C x e=为其解，代入方程，得2222(),()x x C x e e C x ''==，1()C x C ==，也就是通解为：221)x y C e =把初始条件(1)y =10C =，从而得到22().x y x xe =（2）旋转体的体积为2222411()()2x x V y x dx xe dx e e πππ===-⎰⎰．18．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0xex -=得,0,1,2,x k k π==L当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑19．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；（2）求极限1lim n n n a a →∞-．【详解】（1）证明：1n a x =⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰L当(0,1)x ∈时，显然有1n n x x +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰L则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+L 令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；（2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim 1nn n a a →∞-=．20．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．【详解】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==1231232222111101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+----⎝⎭⎝⎭（1）当1a =时，显然， 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．此时，123311111023(,,;)0112011200000000αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也就是3123(23)(2)k k k βααα=-++-+，其中k 为任意常数；（2）当1a ≠时，继续进行初等行变换如下：12312322111101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-+⎝⎭⎝⎭显然，当1a ≠-且1a ≠时，123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==，同时()123101101101,,02202201111101001a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123(,,)3r βββ=，也就是 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．这时，3β可由123,,ααα线性表示，表示法唯一：3123βααα=-+．21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫ ⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关；（3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本．（1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏L 其他，取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑L解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()nn ii d L X X X n Xd σμσσσ==-+-=∑L ，得未知参数2σ的最大似然估计量为¶2211()n i i X n σμ==-∑．。

考研数学三真题解析

骤．
15、（本题满分 10 分）
已知
f
(x)
=
x2x,

xex
+
1,
x 0, 求 f (x) ，并求 f (x) 的极值. x 0.
【答案】��′(��)
=
2�� 2�� (�� {
+
1)；x
>
0，
��(�� + 1)；x < 0
C. 与， 2 都有关.
D. 与， 2 都无关.
【答案】A
【解析】X − Y ~ N (0, 2 2 ，所以 P{ X − Y 1} = (1− 0 ) = ( −1− 0) = 2( 1 ) −1；
2
2
2
选A
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
−4 k 4 . 3．已知微分方程 y + ay + by = cex 的通解为 y = (C1 + C2 )e−x + ex ，则 a, b, c 依次为（）
A、1, 0,1
B、 1, 0, 2
C、 2,1,3
D、 2,1, 4
【答案】 D.
【解析】由通解形式知， 1 = 2 = −1 ，故特征方程为（ +1）2 = 2 + 2 +1=0 ，所以
x2
【答案】（1） y(x) = xe 2 . （2）
【解析】（1）
y(
x)
=
e−

−
xdx

C
+

1 2x