电磁感应-单棒(长度变化)

电磁感应“切割模型”中导体棒长度变化类试题1.如图所示，在磁感应强度为B=2T ，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个由两条曲线状的金属导线及两电阻（图中黑点表示）组成的固定导轨，两电阻的阻值分别为R 1=3Ω、R 2=6Ω，两电阻的体积大小可忽略不计，两条导线的电阻忽略不计且中间用绝缘材料隔开，导轨平面与磁场垂直（位于纸面内），导轨与磁场边界（图中虚线）相切，切点为A ，现有一根电阻不计、足够长的金属棒MN 与磁场边界重叠，在A 点对金属棒MN 施加一个方向与磁场垂直、位于导轨平面内的并与磁场边界垂直的拉力F ，将金属棒MN 以速度v=5m ／s 匀速向右拉，金属棒MN 与导轨接触良好，以切点为坐标原点，以F 的方向为正方向建立x 轴，两条导线的形状符合曲线方程x y 4sin22π±= m ，求：(1)推导出感应电动势e 的大小与金属棒的位移x 的关系式． (2)整个过程中力F 所做的功．(3)从A 到导轨中央的过程中通过R 1的电荷量．2．如图所示，在xoy 平面内存在B=2T 的匀强磁场，OA 与OCA 为置于竖直平面内的光滑金属导轨，其中OCA 满足曲线方程)(5sin5.0m y x π=，C 为导轨的最右端，导轨OA 与OCA相交处的O 点和A 点分别接有体积可忽略的定值电阻R 1=6Ω和R 2=12Ω。

现有一长L=1m 、质量m=0.1kg 的金属棒在竖直向上的外力F 作用下，以v=2m/s 的速度向上匀速运动，设棒与两导轨接触良好，除电阻R 1、R 2外其余电阻不计，求：（1）金属棒在导轨上运动时R 2上消耗的最大功率 （2）外力F 的最大值（3）金属棒滑过导轨OCA 过程中，整个回路产生的热量。

3．如图所示，在磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个质量为m 、半径为r 、电阻为R 的均匀圆形导线圈，线圈平面跟磁场垂直（位于纸面内），线圈与磁场边缘（图中虚线）相切，切点为A ，现在A 点对线圈施加一个方向与磁场垂直，位于线圈平面内并跟磁场边界垂直的拉力F ，将线圈以速度v 匀速拉出磁场．以切点为坐标原点，以F 的方向为正方向建立x 轴，设拉出过程中某时刻线圈上的A 点的坐标为x.(1)写出力F 的大小与x 的关系式；(2)在F －x 图中定性画出F －x 关系图线，写出最大值F 0的表达式． 4．如图所示，MN 、PQ 是相互交叉成60°角的光滑金属导轨，O 是它们的交点且接触良好．两导轨处在同一水平面内，并置于有理想边界的匀强磁场中（图中经过O 点的虚线即为磁场的左边界）．导体棒ab 与导轨始终保持良好接触，并在弹簧S 的作用下沿导轨以速度v 0向左匀速运动．已知在导体棒运动的过程中，弹簧始终处于弹性限度内．磁感应强度的大小为B ，方向如图．当导体棒运动到O 点时，弹簧恰好处于原长，导轨和导体棒单位长度的电阻均为r ，导体棒ab 的质量为m ．求：（1）导体棒ab 第一次经过O 点前，通过它的电流大小； （2）弹簧的劲度系数k ；（3）从导体棒第一次经过O 点开始直到它静止的过程中，导体棒ab 中产生的热量．5.如图所示，由粗细均匀的电阻丝绕成的矩形导线框abcd 固定于水平面上，导线框边长ab =L, bc =2L ，整个线框处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B ，导线框上各段导线的电阻与其长度成正比，已知该种电阻丝单位长度上的电阻为λ，λ的单位是Ω/m ．今在导线框上放置一个与ab 边平行且与导线框接触良好的金属棒MN,MN 的电阻为r ，其材料与导线框的材料不同．金属棒MN 在外力作用下沿x 轴正方向做速度为v 的匀速运动，在金属棒从导线框最左端（该处x=0)运动到导线框最右端的过程中：(1)请写出金属棒中的感应电流I 随x 变化的函数关系式；(2)试证明当金属棒运动到bc 段中点时，MN 两点间电压最大，并请写出最大电压U m 的表达式；(3)试求出在此过程中，金属棒提供的最大电功率P m ；(4)试讨论在此过程中，导线框上消耗的电功率可能的变化情况．6．如图，直角三角形导线框abc 固定在匀强磁场中，ab 是一段长为l 、电阻为R 的均匀导线，ac 和bc 的电阻可不计，ac 长度为2l。

磁场的磁感强度为B ，方向垂直纸面向里。

现有一段长度为2l、电阻为2R 的均匀导体杆MN 架在导线框上，开始时紧靠ac ，然后沿ab 方向以恒定速度v 向b 端滑动，滑动中始终与ac 平行并与导线框保持良好接触。

当MN 滑过的距离为3l时，导线ac 中的电流是多大？方向如何？7．如图所示，顶角θ=450的金属导轨MON 固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中。

一根与ON 垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v 0沿导轨MON 向右滑动，导体棒的质量为m ，导轨与导体棒单位长度的电阻均匀为r ．导体棒与导轨接触点为a 和b ，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触．t=0时，导体棒位于顶角O 处，求：(1)t 时刻流过导体棒的电流大小I 和电流方向． (2)导体棒做匀速直线运动时水平外力F 的表达式． (3)导体棒在0～t 时间内产生的焦耳热Q.(4)若在t 0时刻将外力F 撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x.1．解答：（1）m 4sin242x y L π==所以 V 4sin 240x Blv e π==（2）因为 x=vt 所以V 45sin240t e π= 由于导体做匀速运动，力F 所做的功等于电路中电流所做的功。

有效值V 402max==E E导体切割磁感线的时间s 6.14/52==ππt 电路中总电阻Ω=+⨯=+=263632121R R R R R拉力F 所做的功J 12802===t RE Q W 热 （3）由V 45sin240t e π= 可知 E max =BS ω=Φm ω ，所以ππωφ2324/5240maxm ===E Wb 通过电阻R 1的电量为C 32642232296R 2R R R I m 2121ππφ=⨯⨯=⨯+=∆=t Q 电2．解析：（1）金属棒向上匀速运动的过程中切割磁感线，产生电动势，接入电路的有效长度即为OCA导轨形状所满足的曲线方程，因此接入电路的金属棒长度为：)(5sin5.0m y x l π==所以当棒运动到C 点时，感应电动势最大，为：V v Bx v Bl E m m m 2===电阻R 1、R 2并联，此时R 2上消耗的功率最大，最大值为：WW R E P m 33.031222≈==(2)金属棒相当于电源，外电路中R 1、R 2并联，其并联阻值为:Ω=+=42121R R R R R通过金属棒的最大电流为:A R E I m5.0==所以最大安培力N BIx F m 5.0==安因为金属棒受力平衡，所以外力的最大值N mg F F 5.1=+=安（3）金属棒中产生的感应电动势为:yBxv E 5sin2π==显然为正弦交变电动势，所以有效值为VE E m 22==有该过程经历的时间：s v OAt 5.2==所以产生的热量为Jt RE Q 25.12==有。

3．解析：由于线圈沿F 方向做切割磁感线运动，线圈上要产生顺时针方向的感应电流，从而要受到与F 方向反向的安培力F f 作用，由图可知，此时线圈切割磁感线的有效长度2)0.(2)x r l x r ⎧⎪≤=⎨>⎪⎩线圈上感应电动势E=Blv ，感应电流Ei R =，线圈所受安培力大小为F f =Bil ，方向沿x 负方向，因线圈被匀速拉出，所以F = F f ，解上各式得22284,(2)0.(2)B vr B v x x x r F R Rx r ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩(2)当x=r 时，拉力F 最大，最大值为2204B r vF R =。

F －x 关系图线如图所示。

4．解：（1）设ab 棒在导轨之间的长度为l ，由欧姆定律得rBv lr Blv I 3300==（2）设O 点到ab 棒距离为x ，则ab 棒的有效长度l' =2xtan30°=x 332 ∵ab 棒做匀速运动，∴l BI kx '=∴ rv B x xr Bv B xl BI k 9323323020=⋅⋅='=（3）裸导线最终只能静止于O 点，故其动能全部转化为焦耳热，即2021mv Q = （2分） 则6320mv Q Q ab ==5．解： (1) E= BLv,)25)(2(666)25)(2(2x L x L Lr vBL Lx L x L r BLv rR E I -++=-++=+=λλ(2)M 、N 两点间电压Rr ER rR EU +=+=1，当外电路电阻最大时，U 有最大值m U 。

. 因为外电路电阻L x L x L R 6)25)(2(-+=λ，当x L x L 252-=+，即x=L 时，R 有最大值，所以x=L时，即金属棒在bc 中点时M 、N 两点间电压有最大值，即Lr v BL U m λλ3232+=。

(3) rL E r L E P m 6566522+=+=λλ (4）外电路电阻λλL L L L L R 6555min =+⋅=，λλL L L L L R 233333max =+⋅=。

当r<min R ，即r<λL 65时，导线框上消耗的电功率先变小，后变大；当min R < r<max R ，即λL 65<r<λL 23时，导线框上消耗的电功率先变大，后变小，再变大，再变小；当r>max R ，即r>λL 23时，导线框上消耗的电功率先变大，后变小．6．解析：MN 滑过的距离为3l时，它与bc 的接触点为P ，如图。

由几何关系可知MP 长度为3l，MP 中的感应电动势Blv E 31=MP 段的电阻 R r 31=MacP 和MbP 两电路的并联电阻为 R R r 9232313231=+⨯=并 由欧姆定律，PM 中的电流 并r r EI +=ac 中的电流 I I ac 32= 解得 RBlvI ac 52=根据右手定则，MP 中的感应电流的方向由P 流向M ，所以电流I ac 的方向由a 流向c 。

7．解析：(1)0～t 时间内，导体棒的位移为0x v t =，t 时刻导体棒的长度l=x ，导体棒的电动势0E Blv =，回路总电阻R (2)R x r =，电流E I R ==，电流方向b →a ．(2)22F BIl ==(3) t时刻导体棒的电功率为232P I R '==因P ∝t，故2322PQ t == (4)如图所示，撤去外力后，设任意时刻t 导体棒的坐标为x ，速度为v ，取很短时间△t 或很短距离△x ．在t ～t ＋△t 内，由动量定理得BIl t m v -∆=∆又E I R ===则2)lv t m v -∆=∆∑2S mv =扫过面积22000000()(),()22x x x x x x S x v t +--∆===得x =d ，则0000()2v t v t d S d ++∆=即200220d v t d S +-∆=解之得00d v t =-+，得00x v t d =+==。