证明角相等的方法
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证明两角相等的方法
黄冈中学初三数学备课组【重点解读】
证明两角相等是中考命题中常见的一种题型,此类证明看似简单,但方法不当也会带来麻烦,特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法,可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理(或常见结论)以及几种处理方法,仅供参考。
【相关定理或常见结论】
1、相交线、平行线:
(1)对顶角相等;
(2)等角的余角(或补角)相等;
(3)两直线平行,同位角相等、内错角相等;
(4)凡直角都相等;
(5)角的平分线分得的两个角相等.
2、三角形
(1)等腰三角形的两个底角相等;
(2)等腰三角形底边上的高(或中线)平分顶角(三线合一);
(3)三角形外角和定理:三角形外角等于和它不相邻的内角之和
(4)全等三角形的对应角相等;
(5)相似三角形的对应角相等.
3、四边形
(1)平行四边形的对角相等;
(2)菱形的每一条对角线平分一组对角;
(3)等腰梯形在同一底上的两个角相等.
4、圆
(1)在同圆或等圆中,若有两条弧相等或有两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等;(2)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等. ,圆心角相等.
(3)圆周角定理:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(4)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.
(5)三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.
(6)正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.
(7)从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角;
5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等.
6、利用三角函数计算出角的度数相等
【典题精析】
(一) 利用全等相关知识证明角相等
例1 已知:如图,CD AB ⊥于点D ,BE AC ⊥于点E ,BE 与CD 交于点O ,
且BD CE =. 求证:AO 平分BAC ∠.
分析:要证AO 平分BAC ∠,因为CD AB ⊥于点D ,BE AC ⊥于点E ,所以只要证明OD=OE ;若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可,因为可证
∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ,而BD=CE ,故问题得到解决.
证明:∵CD AB ⊥于点D ,BE AC ⊥于点E
∴∠ODB=∠OEC=90°
在△O BD 和△OCE 中
∠ODB=∠OEC
∠BOD=∠COE
BD=CE
∴△OBD ≌△OCE
∴OD=OE
∵CD AB ⊥于点D ,BE AC ⊥于点E
∴AO 平分BAC ∠.
说明:本例的证明运用了对顶角相等,角的平分线性质的逆定理
例2 如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 是梯形内一点,ED ⊥AD ,BE=DC ,∠ECB=45 o
.
求证:∠EBC =∠EDC
分析:要证明∠EBC =∠EDC ,容易想到证全等,而图中没有全等的三角形,如果
能构造出两个全等的三角形即可。延长DE与BC交于点于点F,这样就很容易证
△BEF≌△DCF,从而问题得到解决。
证明:延长DE与BC交于点于点F
AD∥BC,ED⊥AD
∴DF⊥BC
∴∠BFE=∠DFC=90°
∵∠ECB=45 o
∴∠ECB=∠CEB=45 o
∴CF=EF
在Rt△BEF和Rt△DCF中
EF=CF ,BE=DC
∴Rt△BEF≌Rt△DCF
∴∠EBC=∠EDC
说明:本例运用全等三角形的对应角相等,来证明两角相等
例3如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,CD∥BA,四边形AEBC是平行四边形.
求证:∠ABD=∠ABE.
分析:要证∠ABD=∠ABE,若能证△ABD≌△ABE即可.因为可证BE=AC=BD,AE=BC=AD,而AB为公共边,故问题得到解决.
证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AD=BC,AC=B D.
∵四边形AEBC是平行四边形,∴BC=AE,AC=BE.
∴AD=AE,BD=BE.
又∵AB=AB,∴△ABD≌△ABE.
∴∠ABD=∠ABE.
说明:本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等.
总结:这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质,在中考中也是常考的题型,在证明过程中,特别要抓住一些基本图形,同时还要注意常用辅助线的作法。
(二)利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系
例4.已知:△ABC 中,AD 是高,CE 是中线,DC=BE ,DG ⊥CE ,G 是垂足,
求证:⑴G 是CE 的中点;⑵∠B=2∠BCE.
分析:⑴已知中多垂直和中线条件,
可联想直角三角形斜边上的中线性质;
要证明G 是CE 的中点,结合已知条件DG ⊥CE ,
符合等腰三角形三线合一中的两个条件,
故连结DE ,证明△DCE 是等腰三角形,由DG ⊥CE ,
可得G 是CE 的中点.
⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,BE=DE ,∠B 转化为∠EDB.
证明:⑴连结DE ,
∵∠ADB=90°,E 是AB 的中点,
∴DE=AE=BE (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
又∵DC=BE ,∴DC=DE ,
又∵DG ⊥CE ,
∴G 是CE 中点(等腰三角形底边上的高平分底边).
⑵∵DE=DC ,∴∠DCE=∠DEC (等边对等角),
∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE (三角形的外角等于两不相邻内角的和),
又∵DE=BE ,∴∠B=∠EDB ,∴∠B=2∠BCE
直角三角形、等腰三角形等特殊三角形,其特殊性质有:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式:已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.
例5 如图,直线AC BD ∥,连结AB ,直线AC BD ,及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点P 落在某个部分时,连结PA PB ,,构成PAC ∠,APB ∠,PBD ∠三个角.
(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角