证明角相等的方法

证明两角相等的方法黄冈中学初三数学备课组【重点解读】证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。

恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。

【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；（4）凡直角都相等；（5）角的平分线分得的两个角相等.2、三角形（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；（5）相似三角形的对应角相等.3、四边形（1）平行四边形的对角相等；（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等.4、圆（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.（5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.（6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等.6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】（一） 利用全等相关知识证明角相等例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠．分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可，因为可证∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决．证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E∴∠ODB=∠OEC=90°在△O BD 和△OCE 中∠ODB=∠OEC∠BOD=∠COEBD=CE∴△OBD ≌△OCE∴OD=OE∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E∴AO 平分BAC ∠．说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o．求证：∠EBC ＝∠EDC分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果能构造出两个全等的三角形即可。

延长DE与BC交于点于点F，这样就很容易证△BEF≌△DCF，从而问题得到解决。

证明：延长DE与BC交于点于点FAD∥BC，ED⊥AD∴DF⊥BC∴∠BFE=∠DFC=90°∵∠ECB=45 o∴∠ECB=∠CEB=45 o∴CF=EF在Rt△BEF和Rt△DCF中EF=CF ，BE=DC∴Rt△BEF≌Rt△DCF∴∠EBC＝∠EDC说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等例3如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，CD∥BA，四边形AEBC是平行四边形．求证：∠ABD＝∠ABE．分析：要证∠ABD＝∠ABE，若能证△ABD≌△ABE即可．因为可证BE＝AC＝BD，AE＝BC＝AD，而AB为公共边，故问题得到解决．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC，AC＝B D．∵四边形AEBC是平行四边形，∴BC＝AE，AC＝BE．∴AD＝AE，BD＝BE．又∵AB＝AB，∴△ABD≌△ABE．∴∠ABD＝∠ABE．说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等．总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。

（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系例4．已知：△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 是垂足，求证：⑴G 是CE 的中点；⑵∠B=2∠BCE.分析：⑴已知中多垂直和中线条件，可联想直角三角形斜边上的中线性质；要证明G 是CE 的中点，结合已知条件DG ⊥CE ，符合等腰三角形三线合一中的两个条件，故连结DE ，证明△DCE 是等腰三角形，由DG ⊥CE ，可得G 是CE 的中点.⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE ，∠B 转化为∠EDB.证明：⑴连结DE ，∵∠ADB=90°，E 是AB 的中点，∴DE=AE=BE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），又∵DC=BE ，∴DC=DE ，又∵DG ⊥CE ，∴G 是CE 中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.⑵∵DE=DC ，∴∠DCE=∠DEC （等边对等角），∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE （三角形的外角等于两不相邻内角的和），又∵DE=BE ，∴∠B=∠EDB ，∴∠B=2∠BCE直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例5 如图，直线AC BD ∥，连结AB ，直线AC BD ，及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA PB ，，构成PAC ∠，APB ∠，PBD ∠三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．）（1）当动点P 落在第①部分时，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠；（2）当动点P 落在第②部分时，APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P 在第③部分时，全面探究PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．分析：本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性质（1）解法一：如图1延长BP 交直线AC 于点E∵ AC ∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD .∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .解法二：如图2过点P 作FP ∥AC ,∴ ∠PAC = ∠APF .∵ AC ∥BD , ∴FP ∥BD .∴ ∠FPB =∠PBD .∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .解法三：如图3，∵ AC ∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD .（2）不成立.（3）(a)当动点P 在射线BA 的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB .(b)当动点P 在射线BA 上， A BC D① ② ③ A B C D P ① ② ③ ④ A B C D ① ② ③ ④ ④ 图1 图2 图3 图4结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD （任写一个即可）.(c) 当动点P 在射线BA 的左侧时，结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .选择(a) 证明：如图4，连接PA ，连接PB 交AC 于M∵ AC ∥BD ,∴ ∠PMC =∠PBD .又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .选择(b) 证明：如图5∵ 点P 在射线BA 上，∴∠APB = 0°.∵ AC ∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB或∠PAC =∠PBD+∠APB或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.选择(c) 证明：如图6，连接PA ，连接PB 交AC 于F∵ AC ∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD总结：这类题主要考查平行线的性质，三角形的内角和，外角性质及其应用，在求解角的度数时，一般运用三角形的角及外角的关系，把所求的角集中在同一个三角形中，然后利用内角和求角度，在证明角之间的关系时，常考虑利用三角形的内角和定理和外角性质，若题中没有三角形，常通过作辅助线构造三角形。

（三）利用四边形的相关知识证明角的有关问题例6 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，以点E 为圆心，EB 为半径画弧，交BC 于点D ，连结ED ，并延长ED 到点F ，使，连结FC ．求证：∠F ＝∠A ．分析：要证明∠F ＝∠A ，由图知只要证明四边形AEFC 是平行四边形即可。

证明：∵AB=AC 图5图6∴∠ABC=∠ACB∵EB=ED∴∠EBD=∠EDB∴∠EDB=∠ACB∴EF∥ACE是AB的中点∴AE=EB∵DF＝DE，EB=ED∴AE=EB= DF＝DE∴AE+EB= DF+DE即AB=EF∵AB=AC∴EF=AC又∵EF∥AC∴四边形AEFC是平行四边形∴∠F＝∠A说明：本例的证明用到了等腰三角形的两底角相等，平行四边形的对角相等。

（四）利用圆的相关知识=，AD⊥BC.例7如图，已知BC是直径，AB AG求证：（1）∠EAF=∠AFE（2）BE=AE=EF=，分析：由BC是直径，得到∠BAC是直角，再利用AB AG得到∠ABE=∠BAE；再证∠EAF=∠FAE。

证明：（1）∵BC是直径∴∠BAC=90 o∴∠ABE+∠EFA=90 o ，∠BAE+∠EAF=90 o∵AB AG∴∠ABE=∠BAE∴∠EAF=∠AFE（2）略说明：本例的证明用到了等弧所对的圆周角相等，等角的余角相等例8已知：如图，AD为锐角△ABC外接圆的直径，AE⊥BC于E，交⊙O于F。

求证：∠1=∠2分析：∠1和∠2分别是BD和CF所对的两个圆周角，故只需证BD=CF，但不易证明，由于∠2+∠C=90 o ，联想到把∠1放到直角三角形中，连结BD，可得∠ABD=90 o，从而问题得证。

证明：连结BD∵AD为直径∴∠ABD=90 o∴∠1+∠D=90 o∵AE⊥BC于E∴∠2+∠C=90 o∵∠C=∠D∴∠1=∠2总结：此题关键是见直径构造90 o的圆周角例9已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D，若AE＝AC，BE交⊙O于点F，连结EF、DE．求证：（1）AE2＝AD·AB；（2）∠ACF＝∠AED．分析：（1）因为AE=AC，要证AE2＝AD·AB，实际上证AC2＝AD·AB，可转化成比例式，放入三角形中用相似三角形来证明。