高三数学 一轮复习课件-8.13条件概率与事件的独立性及
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此时称随机变量X服从 二项分布 ，记作X～ B(N，P) ， 并称P为 成功概率 ．
考点一 条件概率 示范1 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回 地依次抽取2道题， (1)求第1次抽到理科题的概率； (2)求第1,2次都抽到理科题的概率； (3)求在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概 率．
1．一般地，设A，B为两个事件且P(A)＞0，称P(B|A)＝
PAB PA
为在事件A发生的条件下，事件B发生的
条件概率
．一
般地，把P(B|A)读作 事件A发生的条件下事件B发生的概率 ．
条件概率具有以下性质： 0≤P(B|A)≤1 .
如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ．
(3)两人各投篮一次，至少有一人投中的对立事件的概率是 P( A ∩ B )＝P( A )P( B )＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16.
∴P(A∪B)＝1－P( A ∩ B )＝1－0.16＝0.84.
方法点拨：两事件独立是指一个事件的发生与否对另一事 件发生的概率没有影响；两事件互斥是指两个事件不可能同时 发生.
考点三 N次独立重复试验 示范3 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进
制数A＝ a1 a2 a3 a4 a5 ，其中A的各位数字中，A1＝1，Ak(k＝
2,3,4,5)出现0的概率为13，Ak(k＝2,3,4,5)出现1的概率为23，记z＝ A1＋A2＋A3＋A4＋A5.当启动仪器一次时，
分析 是否有放回摸球，对两次摸球是否独立有影响．
解析 以事件A表示第一次摸得黑球，事件B表示第二次摸 到黑球，
则P(A)＝a＋a b，P(AB)＝a＋a2b2. (1)P(B|A)＝PPAAB＝a＋a2b2·a＋a b＝a＋a b.
(2)P(B)＝P(AB)＋P( A B) ＝a＋a2b2＋a＋b b·a＋a b＝a＋a b. (3)由上可知：P(AB)＝P(A)P(B)，故A、B互相独立．
则P(A)＝1400＝14，P(A|B)＝PPABB＝4105＝145. 40
方法点拨：求条件概率要把握在什么前提条件下的概率问 题，即明确事件A、事件B、事件AB.求条件概率既可以从事件 数入手，也可以从概率入手.
考点二 事件的相互独立 示范2 一袋中装有A只黑球和B只白球，采用有放回摸球． (1)求在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的 概率； (2)求第二次摸出黑球的概率； (3)第一次摸得黑球与第二次摸得黑球是否独立？并说明理 由．
展示2 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两 人投中的概率都是0.6，
(1)求两人都投中的概率； (2)求其中恰有一人投中的概率； (3)求至少有一人投中的概率．
【解析】(1)设事件A＝{甲投篮一次，投中}，事件B＝{乙 投篮一次，投中}．则事件A∩B＝{两人各投篮一次，都投 中}，事件A与B相互独立．
展示3 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上 网的概率都是0.5(相互独立)，
(1)求至少3人同时上网的概率； (2)至少几人同时上网的概率小于0.3?
【解析】(1)1－C
0 6
×0.56－C
1 6
×0.56－C
源自文库
2 6
×0.56＝1－
1＋66＋4 15＝2312.
(2)至少4人同时上网的概率：
【点评】由名师示范2知P(B|A)＝P(B)，即A发生与否，对 事件B发生的概率没有影响．因为我们采用的是有放回摸球， 第一次摸球的结果实际上不影响第二次摸球，故A、B独立．若 在名师示范2中，采用不放回摸球；同样求以上两个概率．
此时PB|A≠PB，即事件A与事件B不独立，事实 上，因为第一次摸出的球不放回，已使袋中球的组成成分改 变了，当然会影响第2次摸球的概率.
C46×0.56＋C56×0.56＋C66×0.56＝3112＞0.3，
∴P(A∩B)＝P(A)P(B)＝0.6×0.6＝0.36. (2)两人各投篮一次，恰好有一人投中包括两种情况：一种 是A∩ B ；另一种是 A ∩B且此两种情况不可能同时发生．
∴所求概率为P(A∩ B )＋P( A ∩B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B) ＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.
2．设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B) ，则称事 件A与事件B相互独立．可以证明，如果事件A和B 相互独立 ， 那么A与 B ， A 与B， A 与 B 也都相互独立．
3．一般地，在相同条件下重复做的N次试验称为 N次独立重复试验． 一般地，在N次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在 每次试验中事件A发生的概率为P，那么在N次独立重复试验 中，事件A恰好发生k次的概率为 P(X＝k)＝CknPk(1－P)N－k，(k＝0,1,2，…，N)，
展示1 某班学生有40人，其中团员15人，全班平均分成4 组，第一组10人中有团员4人，若要在班内选一人当学生代 表，这个代表恰好在第一组内的概率为多少？若要在班内选一 团员当代表，这个代表恰好在第一组内的概率是多少？
【解析】设事件A＝{在班内任选一学生，该生在第一 组}，
事件B＝{在班内任选一学生，该生是团员}， 4
(1)求z＝3的概率； (2)当z为何值时，其概率最大？
解析 (1)依题意：P(z＝3)＝C24(13)2(23)2＝287 (2)P(z＝1)＝C04(13)4＝811，P(z＝2)＝C14(23)(13)3＝881 P(z＝3)＝287，P(z＝4)＝C34(13)(23)2＝3821 P(z＝5)＝C44(23)4＝1861 ∴z＝4的概率最大．最大值为3821
分析 (1)(2)是为(3)作铺垫．要注意是不放回抽取．
解析 设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事 件B，则第1次和第2次都抽到理科题的事件AB.
(1)P(A)＝35××44＝35； (2)P(AB)＝35××24＝130；
(3)P(B|A)＝PPAAB＝130×53＝12.
【点评】已知A发生的条件下B发生的概率，相当于是把A 看作新的基本事件空间来计算AB发生的概率.
考点一 条件概率 示范1 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回 地依次抽取2道题， (1)求第1次抽到理科题的概率； (2)求第1,2次都抽到理科题的概率； (3)求在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概 率．
1．一般地，设A，B为两个事件且P(A)＞0，称P(B|A)＝
PAB PA
为在事件A发生的条件下，事件B发生的
条件概率
．一
般地，把P(B|A)读作 事件A发生的条件下事件B发生的概率 ．
条件概率具有以下性质： 0≤P(B|A)≤1 .
如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ．
(3)两人各投篮一次，至少有一人投中的对立事件的概率是 P( A ∩ B )＝P( A )P( B )＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16.
∴P(A∪B)＝1－P( A ∩ B )＝1－0.16＝0.84.
方法点拨：两事件独立是指一个事件的发生与否对另一事 件发生的概率没有影响；两事件互斥是指两个事件不可能同时 发生.
考点三 N次独立重复试验 示范3 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进
制数A＝ a1 a2 a3 a4 a5 ，其中A的各位数字中，A1＝1，Ak(k＝
2,3,4,5)出现0的概率为13，Ak(k＝2,3,4,5)出现1的概率为23，记z＝ A1＋A2＋A3＋A4＋A5.当启动仪器一次时，
分析 是否有放回摸球，对两次摸球是否独立有影响．
解析 以事件A表示第一次摸得黑球，事件B表示第二次摸 到黑球，
则P(A)＝a＋a b，P(AB)＝a＋a2b2. (1)P(B|A)＝PPAAB＝a＋a2b2·a＋a b＝a＋a b.
(2)P(B)＝P(AB)＋P( A B) ＝a＋a2b2＋a＋b b·a＋a b＝a＋a b. (3)由上可知：P(AB)＝P(A)P(B)，故A、B互相独立．
则P(A)＝1400＝14，P(A|B)＝PPABB＝4105＝145. 40
方法点拨：求条件概率要把握在什么前提条件下的概率问 题，即明确事件A、事件B、事件AB.求条件概率既可以从事件 数入手，也可以从概率入手.
考点二 事件的相互独立 示范2 一袋中装有A只黑球和B只白球，采用有放回摸球． (1)求在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的 概率； (2)求第二次摸出黑球的概率； (3)第一次摸得黑球与第二次摸得黑球是否独立？并说明理 由．
展示2 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两 人投中的概率都是0.6，
(1)求两人都投中的概率； (2)求其中恰有一人投中的概率； (3)求至少有一人投中的概率．
【解析】(1)设事件A＝{甲投篮一次，投中}，事件B＝{乙 投篮一次，投中}．则事件A∩B＝{两人各投篮一次，都投 中}，事件A与B相互独立．
展示3 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上 网的概率都是0.5(相互独立)，
(1)求至少3人同时上网的概率； (2)至少几人同时上网的概率小于0.3?
【解析】(1)1－C
0 6
×0.56－C
1 6
×0.56－C
源自文库
2 6
×0.56＝1－
1＋66＋4 15＝2312.
(2)至少4人同时上网的概率：
【点评】由名师示范2知P(B|A)＝P(B)，即A发生与否，对 事件B发生的概率没有影响．因为我们采用的是有放回摸球， 第一次摸球的结果实际上不影响第二次摸球，故A、B独立．若 在名师示范2中，采用不放回摸球；同样求以上两个概率．
此时PB|A≠PB，即事件A与事件B不独立，事实 上，因为第一次摸出的球不放回，已使袋中球的组成成分改 变了，当然会影响第2次摸球的概率.
C46×0.56＋C56×0.56＋C66×0.56＝3112＞0.3，
∴P(A∩B)＝P(A)P(B)＝0.6×0.6＝0.36. (2)两人各投篮一次，恰好有一人投中包括两种情况：一种 是A∩ B ；另一种是 A ∩B且此两种情况不可能同时发生．
∴所求概率为P(A∩ B )＋P( A ∩B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B) ＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.
2．设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B) ，则称事 件A与事件B相互独立．可以证明，如果事件A和B 相互独立 ， 那么A与 B ， A 与B， A 与 B 也都相互独立．
3．一般地，在相同条件下重复做的N次试验称为 N次独立重复试验． 一般地，在N次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在 每次试验中事件A发生的概率为P，那么在N次独立重复试验 中，事件A恰好发生k次的概率为 P(X＝k)＝CknPk(1－P)N－k，(k＝0,1,2，…，N)，
展示1 某班学生有40人，其中团员15人，全班平均分成4 组，第一组10人中有团员4人，若要在班内选一人当学生代 表，这个代表恰好在第一组内的概率为多少？若要在班内选一 团员当代表，这个代表恰好在第一组内的概率是多少？
【解析】设事件A＝{在班内任选一学生，该生在第一 组}，
事件B＝{在班内任选一学生，该生是团员}， 4
(1)求z＝3的概率； (2)当z为何值时，其概率最大？
解析 (1)依题意：P(z＝3)＝C24(13)2(23)2＝287 (2)P(z＝1)＝C04(13)4＝811，P(z＝2)＝C14(23)(13)3＝881 P(z＝3)＝287，P(z＝4)＝C34(13)(23)2＝3821 P(z＝5)＝C44(23)4＝1861 ∴z＝4的概率最大．最大值为3821
分析 (1)(2)是为(3)作铺垫．要注意是不放回抽取．
解析 设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事 件B，则第1次和第2次都抽到理科题的事件AB.
(1)P(A)＝35××44＝35； (2)P(AB)＝35××24＝130；
(3)P(B|A)＝PPAAB＝130×53＝12.
【点评】已知A发生的条件下B发生的概率，相当于是把A 看作新的基本事件空间来计算AB发生的概率.