椭圆中相关三角形的面积问题

椭圆的焦点弦三角形的面积问题

丁益祥特级工作室 张留杰

众所周知，椭圆

222

2

1x y a

b

+

=的焦点三角形12F P F 的面积为122

tan

2

F P F S b θ

∆=（其中

12F PF θ∠=）

，当且仅当点P 与短轴端点重合时该三角形的面积最大，最大值为122

S c b c b

=

⨯⨯=．而在椭圆中和两焦点相关的三角形还有“焦点弦2F P Q ∆”，其中PQ 是椭圆的过焦点1F 的弦（如图）．此三角形的面积的求法不止一种，如212||

F PQ

S c y y ∆=-（1y 、2y 分别为P 、Q 两点的纵坐标）等．那么该三角形的面积是否有最大值呢？最大值是多少？笔者在备课讨论过程中对此进行了探究．

将弦PQ 绕焦点1F 旋转，不难发现2F P Q ∆的面积存在最大值．

设直线PQ 的参数方程为cos ,

sin .x c t y t θθ=-+⎧⎨=⎩

（t 为参数，0θπ<<）代入椭圆方程得

2222222

(cos )sin b c t a t a b θθ-++=，整理得 2

2

2

2

2

2

4

(cos sin )2cos 0b a t cb t b θθθ+-⋅-=，

∴ 2

122

2

2

2

2cos cos sin cb t t b a θθθ

+=

+，4122

2

2

2

cos sin b

t t b a θθ

-=

+．

根据参数t 的几何意义，可得

12||||cos sin PQ t t b a θθ

=-=

=

+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22(1sin )sin sin b ab

b a b

c θθ

θ

=

=

-++．

∴ 22

122

2

2

112||||sin 2sin 2

2

sin F PQ ab

S PQ F F c b c θθθ

∆=

⨯⋅=

⨯

⨯⋅+

2

2

2

2

2

2

2

2sin 2sin sin sin acb acb b

b c c θθ

θ

θ

=

=

++．

∵ sin (0, 1]θ∈， ∴ 当

2

2

sin sin b

c θθ

=时，sin b c

θ=

．

∴ 当

1b c

≥即b c ≥时，由函数2

2

b y

c t t

=+

的单调性，可得当sin 1θ=时，2F

P Q

S ∆的最大

值为

22

2

2

22acb

eb b c

=+；

当b c <

时，222F P Q

acb

S ab ∆≤

=，当且仅当sin b c

θ=

时，等号成立．

综上可得：

结论 椭圆的焦点为1F 、2F ，弦PQ 过焦点1F ，则

（1）当椭圆的离心率e

满足02

e <≤时，2F P Q ∆面积的最大值为22eb ，此时弦PQ 垂

直与长轴；

（2）当椭圆的离心率e

满足

12

e <<时，2F P Q ∆面积的最大值为a b ，此时弦PQ 与长

轴的夹角为arcsin b c

．