椭圆中相关三角形的面积问题

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椭圆压轴题三角形面积

椭圆压轴题三角形面积
（原创实用版）
目录
1.椭圆压轴题的概念和特点
2.三角形面积的计算方法和应用
3.椭圆压轴题中三角形面积的解法
4.结论和展望
正文
一、椭圆压轴题的概念和特点
椭圆压轴题是指在数学考试中，通常作为最后几道题目出现的、难度较大的椭圆题目。

这类题目通常具有较高的区分度和选拔功能，旨在考查考生的综合运用能力。

椭圆压轴题涉及的知识点较多，包括椭圆的性质、几何变换、代数方法等，需要考生具备较强的逻辑思维和分析能力。

二、三角形面积的计算方法和应用
三角形面积的计算方法有多种，如海伦公式、海伦 - 秦九韶公式、正弦定理等。

在实际应用中，三角形面积的计算方法常常与其他数学知识相结合，如在解椭圆压轴题时，三角形面积的计算往往与椭圆的性质和几何变换等知识密切相关。

因此，熟练掌握三角形面积的计算方法和应用，对于解决椭圆压轴题具有重要意义。

三、椭圆压轴题中三角形面积的解法
在椭圆压轴题中，三角形面积的解法通常需要运用椭圆的性质和几何变换等知识。

具体来说，首先要正确识别题目中的椭圆图形，分析其性质和特点；其次，要运用几何变换等方法，将椭圆问题转化为三角形面积问题；最后，利用三角形面积的计算方法，求解三角形面积，从而得到椭圆压轴题的答案。

四、结论和展望
椭圆压轴题是数学考试中的一种重要题型，其涉及的知识点较多，难度较大。

三角形面积作为椭圆压轴题中的一个关键环节，熟练掌握其计算方法和应用，对于解决椭圆压轴题具有重要意义。

椭圆中焦点三角形面积公式

2023年高考数学椭圆焦点三角形的面积问题【考点梳理】焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①焦点三角形的周长为2(a ＋c )；②4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ；③当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；④S ＝12r 1r 2sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .【题型归纳】一、求椭圆焦点三角的面积1．已知点P 是椭圆22:1259x y C +=上一点，12,F F 是其左右焦点，且1260F PF ∠=，则三角形12F PF △的面积为_________2．已知点P 是椭圆221259x y +=上的点，点12,F F 是椭圆的两个焦点，若12F PF △中有一个角的大小为3π，则12F PF △的面积为______．3．设12,F F 是椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．22B ．42C ．4D ．64．设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A ．6B ．62C ．8D ．825．已知点F 1，F 2分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点，点M 在椭圆C 上，且满足1223MF MF += ，则12MF F △的面积为___________.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，若椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= ，且△12F PF 的面积等于4.则实数b 的值为___________.二、椭圆焦点三角形面积的最值问题7．已知1F 、2F 为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）A ．3B ．2C ．23D ．4三、已知椭圆焦点三角形面积求边8．设1F 、2F 是椭圆22:110x C y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（）A ．3B ．73C ．83D ．39．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点M 是椭圆C 上的一点，且1212,2F MF F MF π∠= 的面积为1，则椭圆C 的短轴长为（）A ．1B ．2C ．22D ．4四、与内切圆相结合10．已知椭圆2212516x y +=两焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的内切圆半径为______五、与平面向量相结合11．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．93C ．3D ．912．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．【巩固训练】一、单选题13．已知点P 在椭圆221164x y +=上，1F 与2F 分别为左、右焦点，若1223F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）A ．43B ．63C ．83D ．13314．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为815．已知椭圆2221(10)y x b b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，3||2MA =，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．12C ．223D ．33二、多选题16．椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．12PF F △的面积可能为2D ．2PQ PF -的最小值为256-17．已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △面积的最大值为3C ．12PF PF -的最大值为23D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个18．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，则下列结论正确的是（）A ．12MF F △的周长为6B ．12MF F △的面积为153C ．12MF F △的内切圆的半径为159D ．12MF F △的外接圆的直径为321119．双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A ．833B ．433C ．4D ．220．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，过11,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线与椭圆交于,M N 两点，则（）A ．C 的焦距为5B ．当Q 为MN 中点时，直线MN 的斜率为3-C ．C 的离心率为306D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为121．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．离心率62e =B ．12PF F △面积的最大值为2C ．以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切D ．12PF PF ⋅的最小值为0三、填空题22．设12F F ，是椭圆22196x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1221PF PF =：：，则12F PF △的面积等于_______.23．已知F 1，F 2是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，2PF ⊥x 轴，则12PF F 的面积为_________．四、解答题24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=< ，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．25．已知椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，P 为椭圆上一点，且12122F F PF PF =+．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第二象限，12120F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．26．已知圆22:(3)64M x y ++=圆心为M ，定点(3,0)N ，动点A 在圆M 上，线段AN 的垂直平分线交线段MA 于点P(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点Q 是曲线C 上一点，且60QMN ∠=︒，求 QMN 的面积.参考答案1．33【分析】由椭圆方程可得,,a b c ，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得12PF PF ⋅，由三角形面积公式可求得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则22216c a b =-=；由椭圆定义知：12210PF PF a +==，由余弦定理得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，()2212121243100364c PF PF PF PF PF PF ∴=+-⋅=-⋅=，解得：1212PF PF ⋅=，12121213sin 63322F PF S PF PF F PF ∴=⋅∠=⨯= .故答案为：33.2．33或63##63或33【分析】由椭圆方程可求得,,a b c ；当123F PF π∠=时，由焦点三角形面积公式可求得12F PF S ；当123PF F π∠=时，利用余弦定理可构造方程求得1PF ，由三角形面积公式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则224c a b =-=；若123F PF π∠=，则12212tan9tan 3326F PF F PF S b π∠=== ；若123PF F π∠=，设1PF m =，则2210PF a m m =-=-，由余弦定理得：22222112112122cos 648PF PF F F PF F F PF F mm =+-⋅∠=+-=()210m -，解得：3m =，1211212113sin 3863222F PF S PF F F PF F ∴=⋅∠=⨯⨯⨯= ；同理可得：当21π3PF F Ð=时，1263F PF S = .综上所述：12F PF △的面积为33或63.故答案为：33或63.3．D【分析】根据椭圆的定义求出12||4,||3PF PF ==，从而判断出12PF F △为直角三角形，然后即可求出12PF F △的面积.【详解】易知2494a =，26b =，所以222254c a b =-=，72a =，即52c =，由椭圆的定义，知12||||27PF PF a +==，又因为12||:||4:3PF PF =，所以12||4,||3PF PF ==，又1225F F c ==，所以12PF F △为直角三角形，所以13462ABC S =⨯⨯=△.故选：D.4．B【分析】利用椭圆的几何性质，得到12246PF PF a +==，12243F F c ==，进而利用1213cos F PF ∠=得出1218PF PF ⋅=，进而可求出12S PF F 【详解】解：由椭圆2211224x y +=的方程可得2224,12a b ==，所以22212c a b =-=，得26,23a c ==且12246PF PF a +==，12243F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==22212121212442||||42||||2||||2||||a c PF PF b PF PF PF PF PF PF ---==12124122||||2||||PF PF PF PF ⨯-=，而121cos 3F PF ∠=，所以，1218PF PF ⋅=，又因为，121cos 3F PF ∠=，所以1222sin 3F PF ∠=，所以，1212121122sin 1862223S PF F PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯= 故选：B 5．1【分析】设00(,)M x y ，则可得1200(2,2)MF MF x y +=-- ，再由1223MF MF += 可得22003x y +=，而点00(,)M x y 在椭圆上，则有220014x y +=，求出0y ，从而可求出12MF F △的面积【详解】由题意可得2,1,3a b c ===，则12(3,0),(3,0)F F -，设00(,)M x y ，则12000000(3,)(3,)(2,2)MF MF x y x y x y +=---+--=--，因为1223MF MF +=，所以22004412x y +=，所以22003x y +=，因为点00(,)M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，解得033y =，所以12MF F △的面积为1323123⨯⨯=，故答案为：16．2【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P 在椭圆上列方程可得||4P c y =、2||P b y c=，即可求参数b .【详解】由题设，12||||42P P c y c y ⨯⨯==，且(,)(,)0P P P P c x y c x y ---⋅--=，可得222P P x c y =-，又222222222:1P P P Px y c y y C a b a b-+=+=，则2||P b y c =，综上，24b =，又0b >，则2b =.故答案为：27．A【分析】由于12F F 为定值，所以当点M 到12F F 的距离最大时，12MF F △面积取得最大值，即当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大【详解】由2214x y +=，得224,1a b ==，所以222,1,3a b c a b ===-=，由椭圆的性质可知当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大，所以12MF F △面积的最大值为1211231322F F b =⨯⨯=，故选：A 8．A【分析】根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.【详解】在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以73P y =，所以253P x =，则223P P OP x y =+=，故选：A.9．B【分析】首先分别设1MF x =，2MF y =，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设1MF x =，2MF y =，所以22221124x y a xy x y c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，即()222222244x y x y xy x y a +=++=++=，即22444c a +=，得2221b a c =-=，短轴长为22b =.故选：B 10．233##233【分析】根据椭圆的方程求得c ，得12||F F ，设出11||PF t =，22||PF t =，利用余弦定理可求得12t t 的值，得到△12F PF 的面积，再由等面积法求出△12F PF 内切圆的半径．【详解】由题意方程可得，5a =，4b =，223c a b ∴=-=，即12||6F F =,设11||PF t =，22||PF t =，则根据椭圆的定义可得：1210t t +=，①在12F PF △中，123F PF π∠=，∴根据余弦定理可得：22212122cos 63t t t t π+-⋅=，②联立①②得12643t t ⋅=，∴121211643163sin 232323F PF S t t π=⋅=⨯⨯= ,设△12F PF 内切圆半径为r ，△12F PF 的周长为10616L =+=，面积为1633S =，则1112F PF S Lr =，2233S r L ∴==，故答案为：23311．A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A12．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒，所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=，()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅，1212192F PF S PF PF =⋅=△，所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =；综上，b =3.13．A【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得1216PF PF =，通过三角形面积公式即可求得答案.【详解】由12222121212128cos 2PF PF PF PF F F F PF PF PF ⎧+=⎪+-⎨∠=⎪⎩，，又1243F F =，解得1216PF PF =，1212121sin 313422162F PF S PF P PF F F =⨯⨯==∠△.故选：A.14．D【分析】根据离心率的定义可判断A ；利用椭圆的定义可判断B ；求出PA PB k k ⋅可判断C ；利用勾股定理以及椭圆的定义求出12PF PF 可判断D.【详解】由221259x y +=，可得5a =，3b =，224c a b =-=，A ，离心率45c e a ==，故A 正确；B ，12F PF △的周长为12122218PF PF F F a c ++=+=，故B 正确.C ，设()00,P x y ，2020002200009125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故C 正确；D ，1290F PF ︒∠= ，222121264PF PF F F ∴+==，又因为12210PF PF a +==，所以()212100PF PF +=，即2212122100PF PF PF PF ∴++=，解得1218PF PF =,所以1212192F PF S PF PF ==△，故D 错误.故选：D 15．B【分析】由椭圆定义得12MF MF +，由余弦定理可得12MF MF ，再由三角形面积公式得12MF MF +和12MF MF 的关系，从而求得c ，然后可得离心率．【详解】解：设11||MF r =，22||MF r =，则1222r r a +==，由余弦定理得2221212122||||||2||||cos3F F MF MF MF MF π=+-，即222212*********()4c r r r r r r r r r r =++=+-=-，所以21244r r c =-，因为1212F MF F MA AMF S S S =+ ，所以12121211sin ||sin ||sin 232323r r r MA r MA πππ=⋅⋅+⋅⋅，整理得1212()||r r r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =，所以12c =，1a =，12c e a ==，故选：B.16．ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =，1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =，1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．17．ABC【分析】利用余弦定理可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用椭圆的定义可判断C 选项；利用平面向量的数量积可判断D 选项.【详解】在椭圆M 中，2a =，1b =，3c =，且1223F F =，对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得2221122121123cos 22PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅，因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠= ，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为1232c b bc ⨯⨯==，B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即22323PF -≤≤+，所以，()1222222223PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()1003,F P x y =+ ，()2003,F P x y =- ，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-= ，所以，033y =±，0263x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.18．ABC【分析】求得0y ，进而求得12,MF MF ，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，220041531,433y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+==，所以2212715884,433333MF MF ⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以12MF F △的周长为22426a c +=+=，A 正确.12MF F △的面积为001151521233c y c y ⨯⨯=⨯=⨯=，B 正确.设12MF F △的内切圆的半径为r ，则115156,239r r ⨯⨯==，C 选项正确.1212641641199cos 0,8416233F MF F MF +-∠==>∠⨯⨯为锐角，12121135315sin 12561616F MF ∠=-==，所以12MF F △的外接圆的直径为12122323215sin 4531531516F F F MF ===∠，D 选项错误.故选：ABC 19．AC【分析】根据双曲线方程求出c ，再根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入双曲线方程，求出y ，即可求出三角形面积，当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知1243PF PF -=，再由勾股定理求出12PF PF ，即可得解；【详解】解：由双曲线22:1124x y C -=可得221244c a b =+=+=.根据双曲线的对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入221124x y -=可得233y =±，所以12PF F △的面积为12118323F F PF =.当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知，12243PF PF a -==，由勾股定理可得()22221212264PF PF F F c +===.因为()222121212264PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，所以128PF PF =，此时12PF F △的面积为12142PF PF ⋅=综上所述，12PF F △的面积为4或833.故选：AC .20．CD【分析】由题知226,1a b ==，25c =，进而根据离心率公式和焦距可判断A ，C ；对于B ，利用中点弦的直线的斜率公式直接计算即可判断；对于D 选项，结合椭圆定义得122PF PF =，进而计算面积即可判断.【详解】解：由题知226,1a b ==，所以2615c =-=，故焦距为225c =，故A 选项错误；对于B 选项，当Q 为MN 中点时，由中点弦公式得2020121364MNb x k a y =-=-=-⨯，故B 选项错误；对于C 选项，椭圆的离心率为53066c e a ===，故C 选项正确；对于D 选项，1290F PF ︒∠=，则12222121226PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()1222121212262PF PF PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，代入数据得122PF PF =，所以12F PF △的面积为12112S PF PF ==，故D 选项正确；故选：CD 21．CD【分析】求出离心率可判断A ；计算12PF F △面积的最大值1212F F b ⋅可判断B ；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C ；设(),P x y 进行数量积的坐标运算结合2212x y +=可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由椭圆22:12x C y +=可知，2a =，1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率22c e a ==，故选项A 错误；对于B ：122F F =，当P 点与椭圆的上下顶点重合时，12PF F △面积的最大，所以12PF F △面积的最大值为11221122b ⨯⨯=⨯⨯=，故选项B 错误；对于C ：以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由圆心()0,0到直线20x y +-=的距离222111d c ===+，所以以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥ ，则12PF PF ⋅ 的最小值为0，故选项D 正确；故选：CD ．22．23【分析】先利用定义求出12F PF △的各边，再求出123sin 2F PF ∠=，即可求出12F PF △的面积.【详解】由126PF PF +=，且1221PF PF =：：，12124229623PF PF F F ∴===-=，，又在12PF F △中，cos ∠2221242(23)12422F PF +-==⨯⨯，123sin 2F PF ∴∠=12121S sin 232PF PF F PF ∴=∠=.故答案为：2323．32##132【分析】2PF ⊥x 轴可得P 点横坐标，再根据点P 在椭圆上，求出P 的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.【详解】由题意不妨设1(F ﹣3，0)，2(F 3，0)，∵P 2F ⊥x 轴，∴P (3，±12)，∵△P 12F F 的面积＝12|P 2F ||12F F |＝12⨯12⨯23＝32，故答案为：32．24．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）根据椭圆的定义可知24PQF C a = ，即可求出a ，再根据()12max122PF F S c b =⨯⨯ 及a 、b 、c 的关系计算可得；（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，直接求出矩形的面积，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，消元、根据0∆=求出2242m k =+，同理得2242n k =+，再由平行线之间的距离公式求出AD ，AB ，即可求出ABCD S ，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：由()110PF QF λλ=<得P 、1F 、Q 三点共线，因为三角形2PQF 的周长为8，即22211224PQF C PQ PF QF PF QF PF QF a =++=+++=，所以48a =，则2a =．当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △的面积最大，即121222=⨯⨯== PF F S c b bc ，由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=．(2)解：当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，矩形ABCD 的两条边长分别为24a =，222b =，此时42282ABCD S =⨯=．当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为：y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--．由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令0∆=得2242m k =+，同理得2242n k =+，矩形ABCD 的边长分别为221m AD k =+，2211n AB k =+，∴()22222222821122411111ABCD kk m n mnk k S k kk k⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⨯==++++，2211828212142k k=+≤+=++，当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12．25．(1)22143x y +=(2)33【分析】（1）根据椭圆的定义得1,2c a ==，进而得答案；（2）根据余弦定理，结合椭圆定义，解决焦点三角形的面积问题即可.(1)解:∵椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，∴设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1c =，12||||42PF PF a ∴+==，2a ∴=．222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．(2)解：在△12PF F 中，由余弦定理得222121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF =+-120︒，即212124(||||)||||PF PF PF PF =+-，212124(2)||||16||||a PF PF PF PF ∴=-=-，12||||12PF PF ∴=，1212113||||sin1201233222PF F S PF PF ∴=︒=⨯⨯= ．26．(1)221167x y +=；(2)213.5【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点P 的轨迹为椭圆，写出其方程即可；（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得MQ ，再求三角形面积即可.(1)由已知PN PA =，故8PM PN PM PA AM MN +=+==>，所以P 点轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，设P 点轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则228,3,7a c b ===，所以P 点轨迹方程为221167x y +=.(2)不妨设MQ m =，由椭圆定义可得28QN a m m =-=-，又26MN c ==，则在MNQ 中，由余弦定理可得：()222681cos 212m m QMN m+--∠==，解得145m =.故 QMN 的面积13314213sin 2322255S QMN m c c m =⨯∠⨯⨯=⨯=⨯⨯=.。

椭圆焦点三角形面积公式

椭圆焦点三角形面积公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1求解运用公式设P为椭圆上的任意一点，角F1F2P=α ，F2F1P=β，F1PF2=θ，则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。

证明方法一设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n，由射影定理得2c=mcosβ+ncosα，e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)，由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。

证明方法二对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n则m+n=2a在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2所以mn=2b^2/(1+cosθ)例题F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1|△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 -4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。

设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。

【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2假设A在x上方，B在下方直线过(1,0)设直线是x-1=m(y-0)x=my+1代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)△F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即 |y1|+|y2|最小[1]）∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3) →→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)令√(m^2+1)=p^2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数)∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析．。

椭圆的三角形面积公式

椭圆的三角形面积公式椭圆的三角形面积公式是指在椭圆内部连接两点与椭圆中心组成的三角形面积。

椭圆是一种具有广泛应用领域的数学概念，因此椭圆的三角形面积公式也是数学研究中一个重要的领域。

本文将从椭圆的定义、椭圆的三角形面积公式的推导和应用领域等方面进行探讨。

一、椭圆的定义椭圆是由平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a（a>0）的所有点P 的集合。

若将 F1、F2 称为椭圆的焦点，2a 称为椭圆的长轴，椭圆的长轴被定为纵轴；若将直线 F1F2 垂直平分线称为椭圆的中心，椭圆的长轴在中心的上方，那么椭圆的标准方程为((x-h)^2)/(a^2)+((y-k)^2)/(b^2)=1 (1)其中（h，k）为椭圆中心的坐标。

二、椭圆的三角形面积公式的推导当圆的长轴 a 和短轴 b 相等时，椭圆就变成圆，此时圆的面积公式为πr^2，其中 r 为半径。

当圆变成椭圆时，在椭圆内部连接两点与椭圆中心组成的三角形会有所变化，为了求出椭圆内部连接两点与椭圆中心组成的三角形的面积，我们可以先由标准方程式（1）推导出椭圆的面积公式（πab）。

根据椭圆的面积公式（πab）和标准方程式（1）,我们知道，椭圆的面积等于椭圆上由 x 坐标为 -a 到 a 区间所包含的所有纵坐标到 x 轴的距离之和，S = ∫(b√(1-(x^2)/(a^2))）dx，(-a≤x≤a) (2)其中∫ 为定积分符号。

将式子（2）进行部分分式分解，得到S = 2∫(b√(1-(x^2)/(a^2)))/2 dx = b∫√(a^2-x^2)/a^2 dx (-a≤x≤a) (3)令 u = (a^2-x^2)/a^2，得到 du/dx = -2x/a^2，dx= -a^2√(1-u^2) ，将其代入式子（3）得到S = -ab∫((1-u)^(1/2))/u^(1/2) du，(-1≤u≤1) (4)由于该积分式子比较难求，我们需要进行化简。

椭圆内接三角形面积最大值

椭圆内接三角形面积最大值[题目]已知点A,B,C是椭圆
上相异的三个点，则S△ABC的最大值为。

[答案]3√6/2
[解析]根据椭圆方程，得a=2，b=√2。

做仿射变换
于是椭圆的方程变为，
这是一个圆心在原点，半径为2的圆。

于是问题转化为求圆内接三角形面积的最大值。

根据正弦定理，有
先利用均值不等式，有
当且仅当A＇=B＇=C＇时取等。

然后利用三变量的琴生不等式，其中y=sinx在[0,π]上是凹函数，即
当且仅当x1=x2=x3时取等。

于是有，
当且仅当A＇=B＇=C＇，即△A＇B＇C＇为等边三角形时取等号。

将r=2代入，可得
最后将所得的△A＇B＇C＇的面积，换算回椭圆下，则有
即椭圆内接三角形面积的最大值为3√6/2。

如何解答与椭圆有关的面积问题

与椭圆有关的面积问题，侧重于考查椭圆的方程、定义、几何性质，三角形的面积公式，弦长公式，以及直线与椭圆的位置关系.而求解与椭圆有关的面积问题主要用到两种三角形的面积公式：（1）S =12ab ⋅sin θ；（2）S =12×底×高.在解题时，需要根据图形的形状来选择合适的公式进行求解.一、焦点三角形的面积问题若P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于长轴端点的点，F 1F 2为两个焦点，则ΔF 1PF 2称作焦点三角形．（1）若∠F 1PF 2=θ，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2①，由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2②.由①②可得：||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF F =12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ=b 2tan θ2.（2）若∠F 1PF 2=θ是未知或不可求的，则需先根据椭圆的定义求得||F 1F 2=2c ；然后将P 点的纵坐标的绝对值看作焦点三角形的高，根据公式S =12×底×高，求焦点三角形的面积.例1.已知P 为椭圆x 2a 2+y 264=1上的一点，F 1和F 2是椭圆的左右焦点.若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为______.解：因为∠F 1PF 2=60°，即α=60°，b 2=64，由S △F 1PF 2=b 2tan α2知，△F 1PF 2的面积为6433.对于本题，由于∠F 1PF 2=60°，且椭圆的方程已知，所以可以直接运用焦点三角形面积公式S △F 1PF 2=b 2tanα2进行求解.例2.已知F 1，F 2分别为椭圆x 29+y 2b2=1(0<b <3)的左右焦点，点P 在椭圆上，点I 为△PF 1F 2的内心，若PI =29PF 1+49 PF 2，则△PF 1F 2的面积为______.解：延长PI ，交x 轴于点Q ，设 PI =xPQ ，则 PI =x PQ =29 PF 1+49 PF 2，PQ =29x PF 1+49xPF 2，因此29x +49x =1，得x =23，因此 PI =23PQ ．设P ()x 0,y 0，y 0≠0，则△PF 1F 2内切圆的半径r =13||y 0．又S △P F 1F 2=12||F 1F 2||y 0=12r ()||PF 1+||PF 2+||F 1F 2,所以c ||y 0=r (a +c )=13(a +c )||y 0，即a =2c ．因为a =3，所以||PF 1+||PF 2=6，由 PQ =13 PF 1+23PF 2可得 PQ - PF 1=2() PF 2- PQ ，即 F 1Q =2 QF 2，所以||F 1Q =2||F 2Q ，由角平分线的性质可得||PF 1=2||PF 2，因此||PF 1=2||PF 2=4，||F 1F 2=3，由余弦定理得cos∠F 1PF 2=||PF 12+||PF 22-||F 1F 222||PF 1||PF 2=1116，因此sin∠F 1PF 2=1-cos 2∠F 1PF 2=31516，所以S △PF F =12||PF 1⋅||PF 2⋅sin∠F 1PF 2=3154，故△PF 1F 2的面积为3154．本题较为复杂，需先根据三角形内心的性质以及角平分线的性质得出a 、c 的值；然后利用椭圆的定义、余弦定理求得||PF 1⋅||PF 2以及sin∠F 1PF 2，即可根据三角形的面积公式S =12ab ⋅sin θ求得问题的答案.二、非焦点三角形的面积问题非焦点三角形的面积问题往往可以通过分割，将转化为三角形的面积问题.主要有两种情形：（1）若三角形的一个顶点在坐标轴上，则可用该坐标轴将三角形分为两部分，分别将该坐标轴上的线段看作两个三角形的底边，另外两个定点的横（纵）坐标的绝对值看作高线长，利用S =12×底×高求三角形的面积；（2）若三角形的三个顶点均不在坐标轴上，需先求出三角形一条边AB 所在直线的方程；然后根据点到直线的距离公式求得另一个顶点到AB 的距离d ，则三角形的面积为S =12×||AB×d .例3.如图1，已知椭圆x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的离心率左右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，坐标原点O 到考点透视38直线AD 的距离为255.（1）求椭圆的方程；（2）过A 点作两条互相垂直的直线AP ，AQ ，分别与椭圆交于P ，Q 两点，求△BPQ 面积的最大值.解：（1）椭圆的方程为x 24+y 2=1.（过程略）（2）设PQ 的直线方程为x =ty +m ，P ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，联立方程得ìíîx =ty +m ,x 2+4y 2-4=0,得()t 2+4y 2+2mty +m 2-4=0，所以y 1+y 2=-2mt t 2+4，y 1y 2=m 2-4t 2+4，因为AP ⊥AQ ，则A ()-2,0，所以()x 1+2()x 2+2+y 1y 2=0，得x 1x 2+2()x 1+x 2+4+y 1y 2=0，即()t 2+1y 1y 2+()mt +2t ()y 1+y 2+(m +2)2=0.所以()t 2+1⋅m 2-4t 2+4+()mt +2t ⋅-2mt t 2+4+(m +2)2=0.整理得5m 2+16m +12=0，解得m =-65或m =-2（舍去），故y 1+y 2=12t 5()t 2+4，y 1y 2=-6425()t 2+4，则S △BPQ =12⋅()2+65||y 1-y 253225令25t 2+64=u ()u ≥8，则S △BPQ =3225⋅u u 2-6425+4=32u +36u ≤328+368=6425,此时△BPQ 最大值为6425.我们需先将直线与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，根据韦达定理求得y 1+y 2、y 1y 2的表达式；然后用x轴将△BPQ 拆分为两部分，以x 轴上的线段为底边，P 、Q的纵坐标的绝对值为高线长，利用S =12×底×高求三角形的面积.图1图2例4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，（1）求椭圆C 的方程；（2）如图2，过点P (-2,1)的直线与椭圆C 交于不同的两点D ,E ，点D 在第二象限，直线AD ,AE 分别与x 轴交于M ,N ，求四边形DMEN 面积的最大值．解：（1）椭圆方程为x 24+y 2=1；（过程略）（2）由题意可知直线DE 的斜率存在，设直线DE 的方程为y -1=k (x +2)，k <0，D ()x 1,y 1,x 1<0,y 1>0，则E ()x 2,y 2,y 2<y 1，y 1=kx 1+2k +1，y 2=kx 2+2k +1，联立方程得ìíîy =kx +2k +1,x 2+4y 2-4=0,可得()1+4k 2x 2+8k (2k +1)x +16k 2+16k =0，需满足Δ>0，可得x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k 2，x 1⋅x 2=16k (k +1)1+4k 2，又l AD :y =y 1-1x 1x +1，则x M =x 11-y 1，同理可得x N =x 21-y 2，故S DMEN =12||x N -x M ×()y 1-y 2=12||||||||x 21-y 2-x 11-y 1×()y1-y 2=16k 2(2k +1)2-16k (k +1)()4k 2+14k 2+1=-164k +1k=16-4k +()-1k≤1624=4，当且仅当-4k =()-1k ，即k =-12时等号成立，故四边形DMEN 面积的最大值为4.对于四边形面积问题，通常可将四边形合理拆分为两个易于求面积的三角形.对于本题，我们将四边形DMEN 拆分为三角形NMD 与三角形MNE ，并以MN 为底，D 、E 两点的纵坐标的绝对值为高线长，即可运用S =12×底×高求三角形的面积.由此可见，求解与椭圆有关的面积问题，关键是根据图形的形状，选择合适的三角形面积公式，并利用弦长公式、点到直线的距离公式、韦达定理、余弦定理求三角形的边长、底边长、高线长、夹角.（作者单位：贵州省遵义市绥阳中学）考点透视39。

椭圆中三角形

椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。

分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。

点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。

二利用基本不等式或参数方程例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。

解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知，点B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则120420=+y x ，即442020=+y x 。

高中数学椭圆焦点三角形面积公式的应用

椭圆焦点三角形面积公式的应用定理在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆证明：记2211||,||r PF r PF ==.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r -+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例 1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦212121=，则△21PF F 的面积为（） A. 33 B. 32 C. 3D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）A. 59B. 779C. 49D.49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan 221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆97=∴h ，.779=h 故答案选D. 金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF ⋅的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF ⋅的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（）A ．1B ．31C ．34D ．325. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程.6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan 221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan 2tan 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan 2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF θ.故答案选D.4．解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan 221=︒==∆θb S PF F ，又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan 22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a ac e ， ∴95122=-a b ，即952012=-a.解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-=⋅=120,21||||cos 2121θθPF PF . 3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又 3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ；当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .仰望天空时，什么都比你高，你会自卑; 俯视大地时，什么都比你低，你会自负; 只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。

椭圆中一类“特殊三角形”的面积最值问题探究

t PF2 = (c 一 0, -yJ,2F = (c - 0 , 一 02 丿
二一02(( - o1) =-y1(( -0),即 02 (( 一)丿 = 01 (( -22 丿由 0 2 -0 丿=y 2 -0 )得(a2 0) (( - O1 )2 = ( a2 -0)(( -22)2 ,整理得 a +
2
9, 2
xh — a(O1 + ：
，将 a + 010 二亍(a +
+2 c2 )(O1 + 0)代入上式整理得(0^—丿=
m _a a -C ，所以直线
a M,的方程为2=—C .
2
2
所以可以分别求出M(仝，-0+- (- + a)), [+ <
2
2
2
(— + a)丿，则 I M,I =1
(— +
21 + a 2. + a (2[ + a) 2 a2 (c + a)2' ② 若直线P0的斜率存在，设为2,则 P0方
程为 2
= k(2-c),贝寸 w
=I
+ a 先 + a --------------- •---------------
1
0
_|
聲
\ = _______ ___________ \
的斜率为A2,则丨A1 • A I =
图2
24 a - a + c2
-24 •
中学数学研究
2219年第7期
证明：设点 P(21,61) ,(2(2o,6o),因为 A( 一 a
0),则 21 = 2°_ ,20 = 2°_，令 w = I 21 • k. I，则

椭圆焦点三角形面积

椭圆焦点三角形面积公式的应用定理在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若212121=，则△21PF F 的面积为（） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779 解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故答案选D.金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（） A ．1B ．31C ．34 D ．32 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程. 6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF θ. 故答案选D.4．解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ，又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a a c e ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-=⋅=120,21cos 2121θθ.3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又 3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ；当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .。

椭圆的内接正三角形的面积最大值

椭圆是一种非常特殊的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。

其中之一就是椭圆内能内接正三角形。

那么，椭圆的内接正三角形的面积最大值是多少呢？在这篇文章中，我们将探讨椭圆内接正三角形的性质，并通过数学推导来解答这个问题。

一、椭圆的定义及性质椭圆是一个平面上的闭合曲线，它有两个焦点和一个长轴和短轴。

椭圆的数学定义是：到两个焦点的距离之和等于常数的点的轨迹。

椭圆具有许多重要的性质，比如任意一点到椭圆上两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度；椭圆上任意一点的切线在焦点处与椭圆的两条直径平分角等。

二、椭圆内接正三角形的性质椭圆内接正三角形是指一个正三角形的三个顶点分别位于椭圆上的三个不同点上，且这个正三角形的内角都是直角。

椭圆内接正三角形具有如下的性质：1. 椭圆内接正三角形的三个顶点将椭圆分成六个部分，这三个部分是锐角三角形，另外三个部分是补角三角形；2. 椭圆内接正三角形的三个顶点分别位于椭圆的三个不同的焦点上；3. 任意一点到椭圆的一个焦点的距离减去该点到另一个焦点的距离的绝对值等于一个常数，这个常数就是椭圆的长轴长度。

三、椭圆内接正三角形的面积椭圆内接正三角形的面积是一个十分有趣的数学问题。

我们希望找到椭圆内接正三角形的面积最大值。

首先我们假设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，接下来我们将通过数学推导来解决这个问题。

1. 定义变量我们假设椭圆上的三个顶点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，其中A、B、C分别位于椭圆的三个不同焦点上。

2. 椭圆方程由椭圆的定义可知，椭圆的方程是：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 13. 椭圆内接正三角形的面积公式椭圆内接正三角形的面积可以通过三个顶点的坐标来求解，假设S为椭圆内接正三角形的面积，则有：S = (1/2) * |x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 - x2y1 - x3y2|4. 椭圆内接正三角形的面积最大值我们知道椭圆的方程是一个二次方程，我们可以通过对椭圆方程进行变形并利用拉格朗日乘子法求解S的极值，从而得到椭圆内接正三角形的面积最大值。

椭圆中相关三角形的面积问题

椭圆的焦点弦三角形的面积问题丁益祥特级工作室张留杰众所周知，椭圆22221x y ab+=的焦点三角形12F P F 的面积为122tan2F P F S b θ∆=（其中12F PF θ∠=），当且仅当点P 与短轴端点重合时该三角形的面积最大，最大值为122S c b c b=⨯⨯=．而在椭圆中和两焦点相关的三角形还有“焦点弦2F P Q ∆”，其中PQ 是椭圆的过焦点1F 的弦（如图）．此三角形的面积的求法不止一种，如212||F PQS c y y ∆=-（1y 、2y 分别为P 、Q 两点的纵坐标）等．那么该三角形的面积是否有最大值呢？最大值是多少？笔者在备课讨论过程中对此进行了探究．将弦PQ 绕焦点1F 旋转，不难发现2F P Q ∆的面积存在最大值．设直线PQ 的参数方程为cos ,sin .x c t y t θθ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，0θπ<<）代入椭圆方程得2222222(cos )sin b c t a t a b θθ-++=，整理得 2222224(cos sin )2cos 0b a t cb t b θθθ+-⋅-=，∴ 21222222cos cos sin cb t t b a θθθ+=+，4122222cos sin bt t b a θθ-=+．根据参数t 的几何意义，可得12||||cos sin PQ t t b a θθ=-==+22222222222(1sin )sin sin b abb a bc θθθ==-++．∴ 2212222112||||sin 2sin 22sin F PQ abS PQ F F c b c θθθ∆=⨯⋅=⨯⨯⋅+22222222sin 2sin sin sin acb acb bb c c θθθθ==++．∵ sin (0, 1]θ∈， ∴ 当22sin sin bc θθ=时，sin b cθ=．∴ 当1b c≥即b c ≥时，由函数22b yc t t=+的单调性，可得当sin 1θ=时，2FP QS ∆的最大值为222222acbeb b c=+；当b c <时，222F P QacbS ab ∆≤=，当且仅当sin b cθ=时，等号成立．综上可得：结论椭圆的焦点为1F 、2F ，弦PQ 过焦点1F ，则（1）当椭圆的离心率e满足02e <≤时，2F P Q ∆面积的最大值为22eb ，此时弦PQ 垂直与长轴；（2）当椭圆的离心率e满足12e <<时，2F P Q ∆面积的最大值为a b ，此时弦PQ 与长轴的夹角为arcsin b c．。

椭圆焦点三角形面积公式

求解之老阳三干创作运用公式设P为椭圆上的任意一点，角F1F2P=α ，F2F1P=β，F1PF2=θ，则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。

证明方法二对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n则m+n=2a在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2所以mn=2b^2/(1+cosθ)例题F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| *2c=c*|y2-y1|△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理暗示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。

设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。

【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2假设A在x上方，B在下方直线过(1,0)设直线是x-1=m(y-0)x=my+1代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)△F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即 |y1|+|y2|最小[1]）∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3)→→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)令√(m^2+1)=p^2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数)∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析．。

专题12 焦点三角形的面积公式(解析版)

A． 48 5
B． 36 5
C．16
D． 48 或 16 5
【答案】D
【详解】依题意， a 5,b 4, c 3 ，不妨设 F1 3, 0, F 3, 0 ，
对于直角三角形 MF1F2 ，
若 F1MF2
π 2
，
PF1 PF2 2a 10
由
PF1
2
PF2
2
4c
2
36
，整理得
PF1
PF2
7 7 3
3
2
33
【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，
在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，SPF1F2
b2 tan
要特别注意记忆
F1PF2 表
2
示的是哪个角.另外利用结论 SPF1F2
b2 求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.
即为 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 4c2
联立可得 PF1 PF2 4c2 4a2 4b2
F1F2P 的面积为
3,
可得 1 2
PF1
PF2
sin 60 1 4b 2 2
3 2
3b2
3
解得
b
1,
a
1 2
，所以双曲线的实轴的长
2a
1.
故选：A
7．（2022
秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）椭圆 x2 100
直线 AF 的斜率为（）
A．
1 3
B． 2 3
C．
1 2
D． 2 2
【答案】A
【详解】设双曲线右焦点为 F2 ，连接 AF2 , BF2 ，由图形的对称性知 AFBF2 为矩形，则有 | AF | AF2 2a ，

椭圆中有关顶点在原点的三角形面积问题

椭圆中有关顶点在原点的三角形面积问题近几年高考中的很多解析几何试题的背景是圆锥曲线的性质，对这些性质采用特殊化的处理可命制出鲜活的高考题.由于以椭圆中顶点在原点的三角形面积为背景的试题往往与图形的本质特性和运动不变性有关，涉及定值、最值、轨迹等问题，所以这类问题常成为解析几何中的热点.在2011年山东卷（理科）、2013山东卷（文科）、2014年全国卷（新课标Ⅰ理科）和2015年山东卷（理科）中均有考察.本文将针对这类问题进行探究.问题提出：例1已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点3(1,)2M . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．例2（2014年全国卷（新课标Ⅰ理科））已知点A(0，－2)，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．例3（2015年山东卷（理科））平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． (ⅰ)求OQ OP的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．说明：本题中3ABQ OAB S S ∆∆=,可先求△OAB 面积.例4（2013山东卷（文科））在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为4的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP ＝tOE ，求实数t 的值．例5（2011年山东卷（理科））已知直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y ,Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积S=其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明x 12+x 22和y 12+y 22均为定值（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点D,E,G ，使得S △ODE =S △ODG =S △OEG. 若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.以上题目均涉及到椭圆中顶点在原点的三角形面积的求解问题，例1中给出了直线l 的斜率，例2中给出了直线l 在y 轴上的截距，例3中的直线为y=kx+m ，例4、例5均以三角形的面积值作条件.那么该类问题如何求解，是否存在通法，三角形的面积表示是否存在统一的表达式，其形式又是怎样的呢？探究一：为解决上面提出的问题，我们从一般性出发，给出下面的问题：已知不过原点O 的直线:(0)l y kx m m =+≠与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于11(,),A x y 22(,)B x y 两不同点. 求三角形OAB 的面积S ∆OAB .解：由22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+-当>0时，222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b --+=⋅=++，2222(0,1)m a k b∈+.12x x ∴-==. 1212OABS m x x ∆∴=⋅-12m ==.利用上面的结果，例1、例2中三角形面积的最大值可用均值不等式求得，即22222222+12m m a k b a k b ab⎛⎫- ⎪++⎝⎭≤=12ab ，当且仅当22221=2m a k b +时三角形面积取得最大值.但在例3中222214m a k b ≤+,用均值不等式求解时等号不成立，无法求得三角形面积的最大值.为了解决例3中均值不等式失效的问题，设2222m a k b λ=+,由题意可求得10,4λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以三角形OAB 的面积S ∆OAB 1)λ==<<，当且仅当1=4λ三角形面积取得最大值. 我们不难发现，令2222m a k b λ=+是求解顶点在原点的三角形面积最值及取值范围的通法，它可将三角形面积最值及取值范围问题转化为求解2222m a k b λ=+的取值范围问题，二者通过S ∆OAB =1)λ=<<……(*)建立等量关系.补充说明一点，当不过原点O 的直线l 的斜率不存在时，可设直线l 的方程为(0)x n n =≠,记22,n aλ=上述(*)式仍然成立.同样利用(*)式，例4中的三角形面积可转化为3144λλ==或，例5中的三角形面积可转化为12λ=. 至此，每个例题中的三角形面积问题得以完美求解和转化,但新的问题又出现了，在这么完美的换元方式背后，2222m a k bλ=+是否存在几何意义呢，它又是怎样的呢？探究二：受益于例4这道高考试题的启发，我得到提出如下问题：已知不过原点O 的直线:(0)l y kx m m =+≠与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>交于11(,),A x y 22(,)B x y 两不同点.设线段AB 的中点为P,射线OP 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>于点Q ，求22OPOQ的值. 解：由22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+-当>0时，222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b --+=⋅=++，2222(0,1)m a k b ∈+. 设OP OQ μ=，3344(,),(,)P x y Q x y ，则OP =33(,)x y ，OQ =44(,)x y.33(,)x y =μ44(,)x y =44(,)x y μμ，∴3434,x x y y μμ==.∴21232222x x a km x a k b +-==+，233222b my kx m a k b =+=+.∴22222233222222222211x y a km b m a b a a k b b a k b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2222222222222()()a k mb m a k b a k b =+=++2222m a k b +.……①又224422x y a b+=1， ∴()()22222244223344222222x y x y x y a b a b a b μμμμ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.……② 由①，②知22222m a k bμ=+又OP OQ μ=，∴2222222OPm a k b OQμ==+.解：由22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+->0，2222(0,1)m a k b λ∴=∈+. 又222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b--+=⋅=++. 12x x ∴-==. 1212OABS m x x ∆∴=⋅-12m ==1)λ==<<.结论2：设线段AB 的中点为P ,射线OP 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>于点Q ，则22OP OQλ=. 证明：设OP OQ μ=，3344(,),(,)P x y Q x y ，则OP =33(,)x y ，OQ =44(,)x y.33(,)x y =μ44(,)x y =44(,)x y μμ，∴3434,x x y y μμ==.由结论1的证明知，21232222x x a km x a k b +-==+，233222b my kx m a k b=+=+. 所以22222233222222222211x y a km b m a b a a k b b a k b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2222222222222()()a k mb m a k b a k b =+=++2222m a k b λ=+. 224422x y a b +=1，∴()()22222244223344222222x y x y x y a b a b ab μμμμ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭=λ.又OP OQ μ=，∴2222222OPm a k b OQμ==+.解：（1）略，E 的方程为2214x y +=. (2) 当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2．2441k λ=+，∴由结论1知S △OPQ==≤1(01)λ<<，当且仅当λ＝12，即k ＝±72时等号成立. 所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.1.两个结论，揭示本质已知不过原点O 的直线:(0)l y kx m m =+≠与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>交于11(,),A x y 22(,)B x y 两不同点，设2222m a k bλ=+. 结论1：三角形OAB的面积1)S λ∆=<<OAB .证明：由22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+->0，2222(0,1)m a k b λ∴=∈+.又222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b--+=⋅=++. 12x x ∴-==. 1212OABS m x x ∆∴=⋅-12m ==1)λ=<<.结论2：设线段AB 的中点为P,射线OP 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>于点Q ，则22OP OQλ=. 证明：设OP OQ μ=，3344(,),(,)P x y Q x y ，则OP =33(,)x y ，OQ =44(,)x y.33(,)x y =μ44(,)x y =44(,)x y μμ，∴3434,x x y y μμ==.由结论1的证明知，21232222x x a km x a k b +-==+，233222b my kx m a k b =+=+. 所以22222233222222222211x y a km b m a b a a k b b a k b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2222222222222()()a k m b m a k b a k b =+=++2222m a k b λ=+. 224422x y a b +=1，∴()()22222244223344222222x y x y x y a b a b ab μμμμ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭=λ.又OP OQ μ=，∴2222222OPm a k b OQμ==+. 2.三年高考，提炼通法例1（2014年全国卷（新课标Ⅰ理科））已知点A(0，－2)，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：（1）略，E 的方程为2214x y +=. (2) 当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2．2441k λ=+，∴由结论1知S △OPQ2=≤1(01)λ<<，当且仅当λ＝12，即k ＝±72时等号成立. 所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.例2（2015年山东卷（理科））平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求OQ OP的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．解：（Ⅰ）略，椭圆C 的方程为22 1.4x y += （Ⅱ）（i ）略，OQ OP的值为2.（ii ）椭圆E 的方程为221164x y +=.22(01),164m k λλ=<<+∴由结论1知S △OAB ==.（不可用均值不等式）将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，由△2≥0可得m 2≤1+4k 2，所以221.1644m k λ=≤+所以S △OAB ≤当且仅当λ＝14等号成立.由（i ）知，△ABQ 的面积为3S △OAB ，即△ABQ 面积的最大值为点评：通过例1和例2的解答可知在用常规方法得到△OPQ 与△OAB 的面积表达式之后可统一采用换元法，即令2222m a k bλ=+，可转化为结论1中的二次函数配方求解. 例3（2013山东卷（文科））在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）A ，B 为椭圆C 上满足△AOB的面积为4E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP ＝tOE ，求实数t 的值．解：（Ⅰ）略,椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.（Ⅱ）当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝n，由题意＜n ＜0或0＜n将x ＝n 代入椭圆方程22x ＋y 2＝1，得|y|所以S △AOB ＝=.解得n 2＝32或n 2＝12. 又OP ＝tOE ＝()12t OA OB +＝12t (2n,0)＝(nt,0)，且P 为椭圆C 上一点，所以22nt ()＝1.由①②得t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t.当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m.由结论1知S △OAB=解得3144λλ==或.由结论2知λ=222221=.OE OE t OP tOE = 所以t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t.综上所得t ＝2或t＝3.点评：通过例3的解答可知△AOB 的面积为43144λλ==或，再用结论2中λ的几何意义求解.，而换元法正是解决这类问题的通法.文中参数λ与三角形面积取值范围之间的相互转化是解决这类问题的关键，希望大家复习中要引起足够的重视.同时也提醒我们要加强对高考试题的研究，提炼通法.最后作一点说明,当不过原点O 的直线l 的斜率不存在时，可设直线l 的方程为(0)x n n =≠,记22,n aλ=结论1和结论2仍然成立.已知椭圆：的离心率为，右焦点为(，0)．(1) 求椭圆的方程；(2) 过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点，求证：点到直线的距离为定值； (3) 在（2）的条件下，求面积的最大值．C )0(12222>>=+b a by a x 362C O A B O AB OAB ∆解：（1） ………………………… 3分（2）设，，若k 存在，则设直线AB ：y ＝kx ＋m.由，得 ……………………………5分 △ ＞0， ……………………………6分有OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(k x 1＋m ) (k x 2＋m )＝(1＋k 2) x 1x 2＋k m (x 1＋x 2)＝0 ………………………8分代入，得4 m 2＝3 k 2＋3原点到直线AB 的距离d. ………………9分当AB 的斜率不存在时，,可得，依然成立．所以点O 到直线的距离为定值……………………………10分说明：直接设直线OA 的斜率为K 相应给分（3）＝＝≤4 …………………12分当且仅当，即时等号成立. ……………………………13分当斜率不存在时，经检验|AB |＜2.所以≤综合得：面积的最大值为 ………………………14分1322=+y x 11()A x y ，22()B x y ，2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩222(13)6330k x kmx m +++-=12221226133313km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩=11x y =12x d ==AB 22222221222633(1)()(1)()41313km m AB k x x k k k ⎡⎤-=+-=+-⨯⎢⎥++⎣⎦42242423(9101)123961961k k k k k k k ++=+++++22123196k k+++2219k k =k =OAB S ∆122⨯=OAB ∆23已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率(1)求椭圆标准方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，直线与(1)中的椭圆有两个不同的交点M 、N ，求m 的取值范围；（3）直线：与(1)中的椭圆有两个不同的交点，当的面积取到最大值时，求直线的方程。

椭圆焦点三角形面积公式的应用

椭圆焦点三角形面积公式的应用定理在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆证明：记2211||,||r PF r PF ==.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r -+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例 1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦21||||2121=⋅PF PF PF PF ，则△21PF F 的面积为（） A. 33 B. 32 C. 3D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）A. 59B. 779C. 49D.49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan 221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆97=∴h ，.779=h 故答案选D. 金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（）A ．1B ．31C ．34D ．325. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程.6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且21||||2121-=⋅PF PF PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan 221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan 2tan 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan 2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D.4．解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan 221=︒==∆θb S PF F ，又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan 22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a ac e ， ∴95122=-a b ，即952012=-a.解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-=⋅=120,21||||cos 2121θθPF PF PF PF . 3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又 3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ；当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .。

椭圆的焦点在y轴上的焦点三角形面积如何计算？

椭圆的焦点在y轴上的焦点三角形面积的计算公式为：$S = b^2tan(\frac{\pi}{2} - \alpha)$，其中，S表示焦点三角形的面积，b表示半长轴长，α表示椭圆在y轴上的焦点角的顶点与焦点的连线与x轴的夹角。

具体来说，椭圆的方程可以表示为$x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} = 1$，其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴，满足a>b>0。

椭圆的焦点在y轴上，因此焦点三角形的角既有锐角也有钝角。

设椭圆上任意一点到两个焦点的距离分别为y和x，则椭圆焦点三角形的面积可以用顶角θ的三角形的面积乘以tan(θ)，其中θ等于$\frac{\pi}{2}$减去椭圆在y轴上的焦点角的顶点与焦点的连线与x轴的夹角。

由于椭圆上的点在y轴上的投影是确定的，因此可以通过测量椭圆在y轴上的焦点角的顶点与焦点的连线与x轴的夹角来计算焦点三角形的面积。

除了上述公式外，还可以使用其他方法来计算椭圆的焦点三角形面积。

例如，可以将椭圆的长轴长度乘以短轴长度再除以4得到焦点三角形的面积。

另外，对于简单形式的椭圆，可以直接使用半长轴和半短轴的长度的乘积再除以2来计算焦点三角形的面积。

总之，椭圆的焦点在y轴上的焦点三角形面积的计算公式为$S = b^{2}tan(\frac{\pi}{2} -\alpha)$，其中b表示半长轴长，α表示椭圆在y轴上的焦点角的顶点与焦点的连线与x轴的夹角。

使用这个公式可以方便快捷地计算出椭圆的焦点三角形面积。