第3章 气体平衡态的分子动理论基本概念

∞ ,当r = 0时; 0, 当r > 0时.
§3.4 理想气体的压强 3.4
3.4.1 对气体压强的定性解释 3.4.2 气体分子对器壁的平均碰撞次数 3.4.3 理想气体压强公式
3.4.1 对气体压强的定性解释
压强p就是在大量分子对器壁的极多次碰撞中, 压强p就是在大量分子对器壁的极多次碰撞中,单位 面积器壁在单位时间内所获得的平均冲量
−∞ −∞
∞
∞
(3)速率分布函数 在速度空间中.半径为v ,厚为dv的完整薄球壳里的代表点数目
dN 可以写作:
dN = Nf (v x , v y , v z ) ⋅ 4πv dv
2
因此
f (v) = 4πv f (v x , v y , v z )
2
§3.2 分子间的相互作用力
构成物质的原子或分子彼此之间必定有相互吸引力， 构成物质的原子或分子彼此之间必定有相互吸引力，物质的 性质在很大程度上依赖于其内部原子或分子间的结合力， 性质在很大程度上依赖于其内部原子或分子间的结合力， 共价键 金属键 离子键
f =
λ
r
s
−
µ
r
t
Ep =
∞ ,当r ≤ d时; 0, 当r > d时.
2、苏则朗 苏则朗(Sutherland)分子力模型 苏则朗 分子力模型
4、理想气体模型 理想气体模型
∞ , 当r ≤ d时; Ep = µ' - t -1 , 当r > d时. r
Ep =
这种现象是1827年由英国植物学家布朗 这种现象是1827年由英国植物学家布朗 1827 Brown)慎密地在显微镜下观察 (Robert Brown)慎密地在显微镜下观察 到的， 到的 ， 后来就把这种悬浮微粒叫做布朗 粒子， 粒子 ， 把上述的无规运动叫做布朗运动
布朗运动演示
1.布朗粒子的方均位移
2.朗之万（P.Langevin)理论
媒质分子作用于布朗粒子上的力： 宏观粘滞阻力（粒子前进方向上的碰撞引起的） 随机涨落力 重力 浮力
法国物理学家朗之万(P.Langevin)就基于如上考虑 写出 就基于如上考虑,写出 法国物理学家朗之万 就基于如上考虑 布朗粒子在水平方向上的运动方程,即著名的朗之万方程 即著名的朗之万方程, 布朗粒子在水平方向上的运动方程 即著名的朗之万方程 设初条件为:t=0时刻粒子处于 时刻粒子处于x=0处,则可由该方程得到 则可由该方程得到: 设初条件为 时刻粒子处于 处 则可由该方程得到
dI p= dAdt
dA 微观大
dt 微观长
3.4.2 气体分子对器壁的平均碰撞次数 单位时间内、容器中的分子对单位面积器壁的碰撞次数，将其 单位时间内、容器中的分子对单位面积器壁的碰撞次数， 记为 Γ ⑴简单模型 将容器内均以速率 v 运动的分子等分为6队（x,y,z轴正方向与 负方向）。 做一假想柱体,以 dA为底,沿z轴方向的高度为 vdt ,沿负z轴平行 而下运动。 占柱体内分子总数六分之一的分子定能在 dt 内与 dA 相碰 z 这些分子的数目是： n为气体中的 分子数密度。
x ∝t
2
3.布朗运动特性
⑴无规性（随机性） ⑵涨落
粒子小，受冲击碰撞少，涨落就大 质量小，冲击力就大。
⑶扩散 ⑷分数布朗运动
3.1.2 分子运动方向的统计描述
分子运动无择优方向.
平衡态下,气体的宏观性质与方向无关,那么,在微观上，分子的运 动必然各向机会均等. 为描述这一通性,作一个球面，由于分子朝各方向运动的概率相等， 为描述这一通性,作一个球面，由于分子朝各方向运动的概率相等， 的分子数为： 则到达球面上 ∆S 的分子数为：
W N ( n) = N! p n q N −n n!( N − n)!
令步长均为l,则当N步中向右走的步数为n时,布朗粒子离原点 令步长均为l,则当N步中向右走的步数为n l,则当 距离为: 距离为: x = [n − ( N − n)]l = (2n − N )l
所以
2 2 x = ∑ x W N ( n ) = ∑ ( 2n − N ) l
1.速度空间
速度空间也可以采用球极坐标 一速度矢量的矢径之长,就是其速率 v ,而极角θ和方 位角ϕ 可以表示出速度的方向.运动方向在 θ ~ θ + dθ ϕ ~ ϕ + dϕ 范围内的分子速度矢量必定落在立体角 dΩθ ,ϕ = sin θdθdϕ 之内. 两种坐标系之间的变换关系：
v x = v sin θ cos ϕ v y = v sin θ sin ϕ v z = v cosθ
现在让我们来考虑最简单的问题: 现在让我们来考虑最简单的问题: 在经过一段给定的长时间间隔后, 在经过一段给定的长时间间隔后,布朗粒子离开起始位 置的方均位移。 置的方均位移。
[该问题已由爱因斯坦及俄国数学家斯莫卢乔夫斯基 该问题已由爱因斯坦及俄国数学家斯莫卢乔夫斯基(Smoluchowski)所解决 所解决.] 该问题已由爱因斯坦及俄国数学家斯莫卢乔夫斯基 所解决
−∞ −∞ ∞ ∞
f (v x ) = ∫ dv y ∫ dv z f (v x , v y , v z )
−∞ −∞
∞
∞
dN v x = Nf (v x )dv x
f (v y ) = ∫ dv x ∫ dv z f (v x , v y , v z )
−∞ −∞
∞
∞
f (v z ) = ∫ dv x ∫ dv y f (v x , v y , v z )
3.1.1 布朗运动
悬浮在液体或气体中的固体微粒(如花粉、 悬浮在液体或气体中的固体微粒(如花粉、 藤黄粒、尘埃等) 藤黄粒、尘埃等)要受到周围气体或液体分 子的冲撞，由于来自各方向上的冲击作用 子的冲撞， 的不平衡，悬浮微粒要做无规(随机)运动， 的不平衡，悬浮微粒要做无规(随机)运动， 微粒越小，温度越高，运动就越激烈。 微粒越小，温度越高，运动就越激烈。
f (v x , v y , y z ) = f ( v x ) f (v y ) f (v z )
若已知速度分量的分布函数,即可求得速度分布函数, 反之,也可以由 f (v x , v y , y z ) 求出速度分量分布函数
dN vx = ∫ dv y ∫ dv z Nf (v x , v y , v z )dv x
0 +∞
∫ dv ∫ dv ∫ dv nf (v , v
x y z x 0 −∞ −∞
y
Γ = n ∫ dv x f (v x )v x
0
+∞
v
N ix = ni v x = ni vix dAdt
= nvix f (vix , viy , viz )dv x dv y dv z dtdA
②各种速度的分子在
+∞ +∞ +∞
vx dt
dt 内与 dA相碰的次数:
, v z )v x dAdt = n ∫ dv x f (v x )v x dAdt
f (v z ) =
dN vz Ndv z
f (v x )dv x就是气体分子y和z方向的速度分量任意,而x方向
的速度分量介于 vx ~ vx + dvx 的概率. 概率. 概率
(2)速度分布函数:
速度分布函数
dN vx ,v y ,vz = Nf (v x , v y , y z )dv x dv y dv z
3
L=
1 = 3.34 × 10 −9 (m) n0
3、估计水分子的大小 通常条件下1 摩尔液态水的体积为 1.8 × 10 −5 m 3，
3
D=
1.8 × 10 −5 = 3.1 × 10 −10 (m) 6.02 × 10 23
二、气体分子模型
1、气体分子的力心点模型 、
3、气体分子的无吸引力刚性球模型 气体分子的无吸引力刚性球模型
f (v x , v y , y z )dv x dv y dv z 是分子速度三分量同时分别处于
v x ~ v x + dv x
v y ~ v y + dv y
v z ~ v z + dv z 的概率 概率
由于分子在三方向上的速度分布是互相独立的,因而,根据 相容独立事件的概率乘法定理,
f (v x , v y , y z )dv x dv y dv z = f (v x )dv x f (v y )dv y f (v z )dv z
第3章 气体平衡态的分子 动理论基本概念
§3.1 气体分子热运动的通性 §3.2 分子间的相互作用力 §3.3 气体的微观模型 §3.4 理想气体的压强 §3.5 温度的微观解释 §3.6 范德瓦尔斯方程 §3.7 分子间的碰撞
§3.1 气体分子热运动的通性
3.1.1 布朗运动 3.1.2 分子运动方向的统计描述 3.1.3 分子按速度分布及按速率分布的统 计描述
§3.3 气体的微观模型
一、气体分子参数（标况下） 1、分子密度（1mol）
Vmo = 22.4 × 10 −3 m 3 ⋅ mol −1
摩尔体积
N A = 6.02 ×10 mol
23
23
−1
6.02 × 10 n0 = = 2.69 ×10 25 m −3 22.4 ×10 −3
分子数密度
2、分子平均距离L
N
N
2
2
n =0
n =0
N! p n q N −n n!( N − n)!
x 2 = Nl 2 [( N − 1)( p − q ) 2 + 1]
当p=q=1/2时
x 2 = Nl 2
又由于步数N正比于观测所用的总时间t,所以 又由于步数N正比于观测所用的总时间t,所以x 2 ∝ t ,这表明 t, 布朗粒子的运动显然不是匀速漂移, 布朗粒子的运动显然不是匀速漂移,x2与t成正比是随机过程 的典型结果. 的典型结果.
化学键
范德瓦尔斯力 (Van der Waals)
静电力(肯色Keesom力 静电力(肯色Keesom力） Keesom 诱导力(德拜Debye Debye力 诱导力(德拜Debye力） 色散力(伦敦London London力 色散力(伦敦London力）
在中性原子或分子之间存在的一种微弱 的吸引力
n dN ↓ = (vdt ⋅ dA) 6
vdt
dA
dN ↓ 1 Γ= = nv dAdt 6
⑵利用气体分子速度分布律求
①特定范围内的分子在
在直角坐标系下) Γ (在直角坐标系下)
dt 内与dA 相碰的次数:
dA
x
第i组分子 vi (vix , viy , viz )
ni = nf (vix , viy , viz )dvix dviy dviz
x
2
kt = 2 t 6π rη
(其中 为玻耳兹曼常数 为媒质的温度 仍为观测所用的 其中k为玻耳兹曼常数 为媒质的温度,t仍为观测所用的 其中 为玻耳兹曼常数,T为媒质的温度 总时间). 总时间 此式与前面用无规行走模型计算的结果相符合,都表明 此式与前面用无规行走模型计算的结果相符合 都表明: 都表明
2.速度分布函数 (1).速度分量的分布函数 气体分子速度x分量的分布函数: 分布函数: 分布函数
f (v x ) =
f (v y ) =
dN பைடு நூலகம்x Ndv x
dN v y Ndv y
分子 热运动 各向 同性 ， 所以 函数 形式 相同 ！
气体分子速度y分量的分布函数: 分布函数: 分布函数
气体分子速度z分量的分布函数: 气体分子速度z分量的分布函数:
∆N A = N × ∆S . 2 4π r
采用球极坐标，
dΩθ ,ϕ
ds = = 4π
r
2
sin θdθdϕ
r
2
= sin θdθdϕ
dNθ ,ϕ = N
d Ωθ ,ϕ 4π
sin θ dθ dϕ =N 4π
一分子运动方向局限在该立体角微分元内的概率P是：
sin θ dθ dϕ P= 4π
3.1.3 分子按速度分布及按速率分布 的统计描述
?
(1)粒子忽左、忽右，犹如一醉汉走路,正好可以用一维“无规行走” 粒子忽左、忽右，犹如一醉汉走路 正好可以用一维 无规行走” 正好可以用一维“ 粒子忽左 模型来讨论! 模型来讨论 (2)布朗粒子向左挪动和向右挪动的概率 与q是相等的 即p=q=1/2, 布朗粒子向左挪动和向右挪动的概率p与 是相等的 是相等的,即 布朗粒子向左挪动和向右挪动的概率 (3)设布朗粒子从 设布朗粒子从x=0处出发 共走了 步,其中向右 沿X轴正向 走了 处出发,共走了 其中向右(沿 轴正向 走了n 轴正向)走了 设布朗粒子从 处出发 共走了N步 其中向右 步的概率由二项式分布公式给出: 步的概率由二项式分布公式给出