第三章回归分析原理

第三章 回归分析原理

3·1、一元线性回归数学模型

按理说，在研究某一经济现象时，应该尽量考虑到与其有关各种有影响的因素或变量。但作为理论的科学研究来说，创造性地简化是其的基本要求，从西方经济学的基本理论中，我们可以看到在一般的理论分析中，至多只包含二、三个 变量的数量关系的分析或模型。

这里所讨论的一元线性回归数学模型，是数学模型的最简单形式。当然要注意的是，这里模型讨论是在真正回归意义上来进行的，也可称之为概率意义上的线性模型。

在非确定性意义上，或概率意义上讨论问题，首先要注意一个最基本的概念或思路问题，这就是总体和样本的概念。

我们的信念是任何事物在总体上总是存在客观规律的，虽然我们无论如何也不可能观察或得到总体，严格说来，总体是无限的。而另一方面，我们只可能观察或得到的是样本，显然样本肯定是总体的一部分，但又是有限的。

实际上概率论和数理统计的基本思想和目的，就是希望通过样本所反映出来的信息来揭示总体的规律性，这种想法或思路显然存在重大的问题。但另一方面，我们也必须承认，为了寻找总体的规律或客观规律，只能通过样本来进行，因为我们只可能得到样本。

在前面我们已经知道，用回归的方法和思路处理非确定性问题或散点图，实际上存在一些问题，亦即只有在某些情况下，回归的方法才是有效的。因此，在建立真正回归意义上建立其有效方法时，必须作出相应的假设条件。

基本假设条件：

（1）假设概率函数)|(i i X Y P 或随机变量i Y 的分布对于所有i X 值，具有相同的方差2σ ，且2σ 是一个常数，亦即)(i Y Var =)(i Var μ=2σ。

（2）假设i Y 的期望值)(i Y E 位于同一条直线上，即其回归直线为 )(i Y E =i X βα+ 等价于 0)(=i E μ

这个假设是最核心的假设，它实际上表明)(i Y E 与i X 之间是确定性的关系。 （3）假设随机变量i Y 是完全独立的，亦即。j i u u Cov Y Y Cov j i j i ≠==,0),(),(

3·2、随机项或误差项的含义

一元线性回归模型的一般形式为

i i i x Y μβα++=

i μ是一随机项或误差项，它的存在表明i X 对i Y 的影响是随机的，非确定性的。所以，对于每一个i X 值来说，i Y 是一个概率分布，而不是一个值或几个值。正是由于i μ的出现，使我们的方法或思路发生巨大的变化，这是我们必须充分注意的。

那么，i μ究竟包含了什么意义或内容呢？概括地说来主要有： （1） 模型中被忽视了的影响因素；

（2） 变量的测量误差，这种误差主要来自统计数据本身的误差； （3） 随机误差。社会经济现象中涉及到人的主观因素和行为，还有历史的、

文化的等因素，这些因素一般来说是难以量化的、多变的；

（4） 模型的数量关系误差。即数学形式所带来的误差。 一般来说，模型中的常数项也可以包含某些较为固定的误差。但是值得指出的是，如果i μ能够包含上述所有的内容，那它的分布及其性质将是十分复杂的，任意的。前面的假设条件的核心正是限制了i μ的分布形式，因此，实际上i μ并不能包含如此多的内容或负担。另外，上面4个方面中，我们最主要的是要第4个问题，这也正是经济学研究所要真正解决的问题。

一般来说，所有的经济数学模型的误差也就是这4个方面，或者说是存在的主要问题，对此我们必须要有清醒和深入的认识。

3·3、一元线性回归模型的参数估计

我们已知道，总体意义上真正的回归模型是未知的，我们的任务是如何通过样本观察值.,,2,1),,(n i Y X i i =给出总体真正回归模型的最好估计。

我们必须理解和认识总体回归模型和样本回归模型的区别和关系，必须反反复复地去认识、体会。

假设总体真正的回归直线是

i i x Y E βα+=)( 它是由总体回归模型

i i i x Y μβα++=

显然，上面的模型是想象的、理论上的，实际上是找不到的，它们实际上就是所谓客观规律。

而样本的回归直线为

i i X Y βαˆˆˆ+= 它是来自于样本的回归模型

i

i i e X Y ++=βαˆˆ 注意总体和样本模型的区别和联系，无限和有限，相同和不同等。

下面我们同样根据最小二乘准则，建立真正回归意义上的最小二乘法： 对样本模型

i i i e X Y ++=βαˆˆ 假设其估计的回归模型为

i i X Y βαˆˆˆ+= 因此，其残差则为

i I i i i X Y Y Y e βαˆˆˆ--=-= 所以，其残差平方和为

22

)ˆˆ(i

i i X Y e Q βα--==∑∑ 根据前面的结果，我们有

∑∑=i

i

i x

y

x β

ˆ 其中 Y Y y X X x i i i i -=-=,

X Y βα

ˆˆ-= 到此样本回归模型的参数就估计出来了。对于这个结果需要注意的是，这里

的αˆ ， βˆ 都是i Y 的函数，而i

Y 是随机变量，因此，从理论上说αˆ，βˆ随机变量，而不是一个或几个固定的值，是一个概率分布。正因为如此，回归的结

果实际上也不是确定的，而是概率意义上的。

接着我们关心的是，这个估计结果怎么样？是否可用样本回归模型来推断或

替代总体回归模型呢？因此，我们必须进一步讨论α

ˆ，βˆ的性质，亦即讨论样本回归模型的性质。

3．4、估计值的性质

（1） 估计值的线性性质。

所谓线性性是指估计值αˆ，βˆ是观测值i

Y 的线性函数。

证明：∑∑∑∑∑∑∑-=-=

=2

2

2)(ˆi

i

i

i i

i

i

i i

i x

x Y Y x x Y Y x x

y

x β

而0=∑i x

∑∑

∑==∴i

i i

i i Y w x Y x 2

ˆβ

其中∑=

i

i

i x x w 2 同理可证：α

ˆ=i i Y k ∑ 其中 X w n

k i i -=1

所以，αˆ，βˆ是i

Y 线性函数（应注意线性性的意义和作用）。 （2） 估计值的无偏性。

所谓无偏性是指估计值αˆ，βˆ的期望值等于总体回归模型参数α，β的值。亦即αα

=)ˆ(E ，ββ=)ˆ(E 。 证明：

==∑)()ˆ(i i Y w E E β[]

)()(i i i i i i i i w X w w E X w E μβαμβα∑∑∑∑++=++ 通过计算可知

1,0==∑∑i i i

X w w

)()()()ˆ(i

i i i E w E w E E μβμββ∑∑+=+=∴， 其中),.3,2,1(,0)(n i E i ==μ

所以有 ββ

=)ˆ(E 同理可证 αα

=)ˆ(E （3）有效性（或称αˆ，βˆ具有最小方差性）。

所谓有效性主要是指最小二乘估计α

ˆ，βˆ在所有线性 无偏估计中，其方差是最小的。

证明的基本思路是：

)ˆ()~(

ααV a r V a r 〉 ，)ˆ()~(ββVar Var 〉 证明（略）。

上面三个性质是最小二乘估计的主要性质，理论上说 已达到最好的结果了。因此，满足这三条的估计也称作最 优线性无偏估计。

值得注意的是，这里的最优只是相对所有线性估计中而言的，而不包括非线