高等固体力学

c c
F
d
d
变形前： ab // cd
变形后： ab // cd // ab // cd
2、平截面假设(Plane assumption): 横截面在变形前后均保持为 一平面且仍垂直于轴线。
横截面上每一点的轴向变形相等。 结论：各纤维的伸长相同,所以它们所受的力也相同.
3、理论分析
4、 实验验证
拉伸试样 d 先在试样中间等直部分上划两
条横线,之间的距离称为标距l
(original gage length). l = 10d 或 l =5d
l
标距
拉伸图 ( F- l 曲线 ) (tension diagram) 表示F和 l关系的曲线
F d e f c b a
拉伸图与试样的尺寸有关. 为了消除试样尺寸的影响，把拉 力F除以试样的原始横截面面积A 得到正应力；同时把 l 除以标距 的原始长度l 得到应变.
拉压时横截面正应力的合力必然通过截面形心，为 什么？
y (x, y) d d C FN (xc, yc) x
xd x F xd x xd x
c N c
c

yc

来自百度文库
yd
圣维南原理：作用于杆端的外力的分布方式的不
同，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的

即与杆件成45°的斜截面上剪应力达到最大值，而正应力不为零。
当 90 , cos90 0, sin 2 0, 3、

0, 0
即纵截面上的应力为零，因此在纵截面不会破坏。
2 4、 当 135 45 , cos , sin 2 1, 2
B A 比例极限
p
Proportional limit
弹性极限 e elastic limit
杨氏模量 E 变形均为弹性变形， 且满足Hook`s Law。
E
弹性阶段后，试样受到的荷载基本不变而 变形却急剧增加，这种现象称为屈服 Yielding zone
屈服阶段 屈服极限 s Yielding strength s 235MPa
[ ]
s
n
材料暂时失去抵抗变形的能力。
屈服阶段后，材料又恢复并增强了抵抗变形的能 力， 要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称 为材料的强化
强化阶段
hardening zone
强度极限
b
rupture limit/ultimate strength
b 380MPa
颈缩断裂阶段softening or necking zone
FN FN
注意：同一位臵处左、右侧截面上内力 分量必然具有相同的正负号。
注意：如果杆件受到的外力多于两个，则杆件不同 部分的横截面上有不同的轴力。
F 1 F 1 F 2F 1 2F 2 2F 3 F
2
1
3
FN1=F
2
FN 3 F
3
F
FN 2 F
（压力）
3
2
轴力图——表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线, 或者说表示轴力与横截面位臵关系的图线。
第二章 轴向拉伸与压缩
(axial tension & compression)
§2.1
F
轴向拉伸与压缩的概念
F F
e
F
轴向拉伸和弯曲的组合变形
受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合 变形特征：轴向伸长或缩短
F F F
F
工程实例
连杆
内燃机的连杆
由二力杆组成的桥梁桁架
由 二 力 杆 组 成 的 桁 架 结 构
FNAB sin 300 F
A
d
FNAB cos 300 FNBC
FNAB
300
C
B
AB
FNAB 28.3MPa AAB
a
FNBC
F
BC
FNBC 4.8MPa ABC
例题3 试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已 知F=30KN，A=400mm2
F 2a FN AB a 0
式中
A
为斜截面的面积，

为横截面上的应力。
n F
FNV
n
Fs
FN F

F
F

p


p cos cos2
1 p sin cos sin sin 2 2

为横截面上的应力。
正负号规定： ：横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针 转向为正，反之为负；
：拉应力为正，压应力为负；
：对脱离体内一点产生顺时针力矩的剪应
力为正，反之为负；
讨论： 1、当 0, cos0 1, sin 0 0,
max , 0
即横截面上的正应力为杆内正应力的最大值，而剪应力为零。
2 2、 当 45 , cos , sin 2 1, , max 2 2 2
卸载与再加载行为
冷作(应变)硬化现象： 在常温下把材料预拉到强化 断裂 阶段然后卸载,当再次加载时, 试样在线弹性范围内所能承 受的最大荷载将增大，材料 的比例极限提高，而塑性降 低的现象。
再加载
E
伸长率和断面收缩率 试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由l 变 为 l1，横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为 A1 .
3、作轴力图
O 1 B 4F 2 2 C 3F 3 3 D 2F 注意:在集中外力作 用的截面上，轴力 图有突变，突变大 小等于集中力大小.
1 3F +
2F
+ -
-F
FN -图
FN max 3F
（在OB段）
O
1
B 4F
C 3F 3
3
D 2F
4、分段求 max
1
2F max 3 A
试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象，一
直到试样被拉断.
断裂阶段
断裂
卸载与重新加载行为
加载到强化阶段的某一点后停止加载,并逐 渐卸载,在卸载过程中,荷载与试样伸长量 之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载 定律(unloading law) 在卸载过程中，应
卸载
力与应变满足线性 关系。
残余变形——试件断裂之后保留下来的塑性变形。
Δl=l1-l
二、其他材料在拉伸时的力学性能
锰钢 强铝 退火球墨铸铁
其它塑性材料拉伸时的力学性能
无明显屈服阶段时屈服极限的确定方法:
σ b
0 .2
o
0.2%
ε
在ε轴上取0.2％的点, 对此点作平行于σ－ε 曲线的直线段的直线 （斜率亦为E）,与σ－ ε曲线相交点对应的应 力即为σ0.2 .
E
FNCD sin 300 8 FNBC 8 20 4 0
20kN E
18kN 4m 4m
30
O
FNCD
C
FNBC
BC
FNBC ABC
A
1m
CD
B
FNCD ACD
§2.4 材料拉伸时的力学性能



力学性能: 指材料受力时在强度和变形方面表现出来 的性能。即：材料从加载直至破坏整个过程中表现出 来的反映材料变形性能、强度性能等特征方面的指标。 比例极限 p、杨氏模量E、泊松比、极限应力 b 等。 塑性材料(ductile material)：断裂前产生较大塑性变 形的材料,如低碳钢 脆性材料(brittle material)：断裂前塑性变形很小的 材料，如铸铁、石料
3
D 2F
1
解： 1、计算左端支座反力
FR
O
1
B 4F 2
2
C 3F
3
D 2F
FR 3F 4F 2F 0
2、分段计算轴力 O B 4F 2 2
1
FR 3F ()
3
FN1 FR 3F (拉)
FN 2
FR
FN 2 4F FR 0
FN 2 F (压) FN 3 2F (拉)

2
135
45
2
45
45
,135 45 45 2 2


2

例题1
阶段杆OD，左端固定，受力如图，OC段的横
截面面积是CD段横截面面积A的2倍。求杆内最大轴力，
最大正应力，最大剪应力与所在位臵。
O
1
B 4F
2
2 C 3F 3
5、求 max
（在CD段）
FN 1 3F 1 , 2A 2A FN 3 2 F 3 A A
max
1 F max 2 A
（在CD段与杆轴 成45°的斜面上）
例题2 图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，BC杆 为正方形截面杆，其边长a=60mm，P=10KN，试求AB 杆和BC杆横截面上的正应力。
横截面上应力为均匀分布，以表示。
F
F F
根据静力平衡条件：
F
FN=F

FN dF d A A
A
即
FN A
正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
FN 的适用条件: A
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件，即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合。 2、等直杆，可放松到变截面直杆。 3、只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。
试件(test specimen)准备 实现方式：控制位移 常温静载试验: 也称为简单拉伸试验(simple tension test)
国家标准规定《金属拉伸试验方法》 （GB228—2002)
L
对圆截面试样： 对矩形截面试样：
L=10d
L=5d
L 11.3 A
L 5.65 A
试验设备
试验原理：

,135 45 45 2 2


剪应力互等定理：二个相互垂直的截面上，剪应力 2 4、 当 135 45 , cos , sin 2 1, 大小相等，方向相反。 2
135

2
135
O
d ′g
Δl0
f′ h
Δl
应力应变图(stress-strain diagram) --表示应力和应变关 系的曲线

f
O
f ′h
一、低碳钢(mild steel，含炭量在0.25%以下的碳素钢) 拉伸时的力学性能
低炭钢Q235拉伸时的应力-应变图
弹性阶段elastic zone(OAB段)
F 2F 2F F
FN
F + F + x
FN -图
（二）、应 力 1 F 1 F
横截面的应力分布无法由静力平衡条件 得到，是静不定问题 3 2 F 2 3

F dF d A
A
应力的合力=该截面上的内力 F F


研究方法：
实验观察 1、实验观察 作出假设 理论分析 实验验证
F
a a b b
轴向范围约离杆端1－2个杆的横向尺寸。
F
F
F
F
FN A
圣维南原理
§2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
F
F
F
FNV
FN F
Fs FNV

FS

实验证明：斜截面上既有正应力，又有剪应力，且 应力为均匀分布。
n F
FN F
F
p
FN F F p cos cos A A / cos A
名义屈服应力
脆性材料在拉伸时的力学性能
拉伸
拉伸：与无明显的线性 脆 性 材 料
关系，拉断前应变很小.只
能测得 b 。抗拉强度差。

弹性模量E以总应变为
0.1%时的割线斜率来度量。 破坏时沿横截面拉断。

b
σb是衡量脆性材料强度的唯一指标。
§2.5 材料压缩时的力学性能
国家标准规定《金属压缩试验方法》
伸长率/延伸率 (percent elongation)
l1 l 100% l
A A1 断面收缩率 100% (percent reduction in area ) A ≧5%的材料，称作塑性材料 (ductile materials)
<5%的材料，称作脆性材料 (brittle materials)
C 简易桁架 1 A 2 F F

B
FBC
B
FBC C
1 B
FAB
FAB A
2
B
FBC
FAB
§2.2 拉压时横截面上的内力和应力
（一）、轴力(axial force)
F
F FN=F FN=F
F
F
FN
——轴力。单位：牛顿（N）
轴力正负号规定：拉为正，压为负。 拉力(tensile force),压力(compressive force)
A
FNAB 2 F
FNAB 150MPa A
a
F D
FNAB B C
a
a
例题4 计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。已 知CD杆为φ28的圆钢，BC杆为φ22的圆钢。
以AB杆为研究对像
以CE为研究对像
D
m m
A
0 0
FNBC 9 18 5 0 FNBC 10 kN FNCD 40kN