三角代换求函数最值问题

巧用三角代换求无理函数的最值
上海市第五十四中学（邮编200030）裴华明
求无理函数的最值问题，是中学数学中常见的问题之一，若用常规方法求解，对于有些题目来说就显得较为繁杂，计算量也较大，但若根据问题的特点巧妙的用三角代换来求解，则可把求无理函数的最值问题转化为求三角
函数的最值问题，使问题得已简化，达到事半功倍的效果。

下面就介绍几类可用三角代换法来求无理函数最值的题型，仅供参考。

一、当函数的定义域为 x0, a a 0 时，可设x a sin2，
0,
2
例 1、求函数y 1 x x 的最大值和最小值。

解：∵函数的定义域为
则原函数可化为x 0,1 ，∴可设x sin 2，0,
2 y sin cos 2 sin
4
又∵ 0则3
44
24
∴2
sin1即 1y2 24
故当0 或2时，y
m i n1
当时，y
max2
4
例 2、求函数y3x x1的最值。

解：∵函数的定义域为x0,3，∴设 x3sin 2，0,
2则原函数可化为y 3 cos 3 sin1 6 sin1
4
∵ 0
2则
444
∴
2
sin
2
即31y 3 1 242
故当
4即0 时，y m a x 3 1
4
当
4即
2
时，
y
min31
4
二、 当 函 数 的 定 义 域 为 x
a,a a 0 时 ， 则 可 设 x a sin ，
2 ,
2
例 3、 求函数 y
x 2
4 x 2 的最大值和最小值。

解：∵函数的定义域为 x
2,2 ，∴可设 x 2 sin
，
2 ,
2 则原函数可化为 y
2 sin
2 2 cos
2 2 sin
4 2
∵
则
3
2
2
4
4
4
∴
2 sin
1 即
4 y 2
2 2
2
4
故
当 4
2 即
时，
y
max
2 2
2
4
当
4 即
2 时，
y
min
4
4
三、 当 函 数 的 定 义 域 为 x
a, b ， 可 设 x
a b a cos 2
，
0,
或者设 x
a b b
a
cos ，
0,
2
2
2
例 4、 求函数 y
x 2 21 3x 的最值。

解：∵函数的定义域为 x 2,7 ，
∴可设 x
2 7 2 cos 2
2 5 cos 2
，
0,
2
则原函数可化为
y
5 cos
15 sin
2 5 sin
6
∵ 0
2 则
3 6
6
∴
3
sin
1
即
15 y
5
2
2
6
故
当
6 即
0 时，
y
max
5
6
当
即 时，
y
min
15
6
3
2
例 5、 求函数 y
8 2x x 2
3x 的最大值或最小值。

解：∵函数的定义域为 x 2,4
∴可设 x244
22cos13cos，0,
2
则原函数可化为y8 2 13cos 3 13cos
3sin3 3 cos3 6 sin
3
3
∵ 0则
2 333
∴
3
1，即43y63 sin
3
2
故当
5y
max63 32
即时，
6
当33即0时，y
min43
四、当函数的定义域为 x a,时，可设 x a sec2，0,
2
例 6、求函数y x1x2的最
解：∵函数的定义域为x1,，∴可设x sec2，0,
2则原函数可化为y sec2 1 sec22tg tg 21
2
5
tg1
24
故当 tg0时，y min1
五、当函数的定义域为x, a a,a0 时，可设x a sec ，
0,
2
, 2
例 7、求函数y1x 21
的最大值。

x 2
x x
,11,
解：∵函数的定义域为，
∴可设 x sec，0,
22
,
则原函数可化为y1sec21cos2tg cos
sec2sec
当0,
2
时， y cos2tg cos cos2sin
5
1 2
sin
4
2
∵ 1 sin 1
∴
1 y
1
当
, 时， y
cos 2
tg cos
cos 2
sin
2
5
1 2
sin
4
2
∵ 1
sin 1 ∴ 1 y 5
4
故 综合上述，原函数的最大值为
5 。

4
六、 当 函 数 的 定 义 域 为 x
, a
b,
b a 时，可设
x
a b b a
sec ,
0, 2 ,
2
2
2
例 8、 求函数
y
x
2
4
3 x 2
4 x 1的最大值。

x
解：∵函数的定义域为
x
,1 3, ，
∴设 x
3 1 3 1
sec ， 0,
,
2 2
2
2
则原函数可化为
y
tg
sec 2
3 tg
tg 2
2
2
当
0,
2
时， y tg
tg 2
2 9 tg
1
4
2
即
tg
1 时，原函数有最大值
9 。

2
4
9
12
当
2, 时， y
tg
tg 2
2
tg
4
2
即 tg
1 时，原函数有最大值 9 。

2
4
故
综上所述原函数的最大值为
9 。

4
七、 当函数的定义域为
x
R 时，可设 x tg ，
, 。

2 2
例 9、 求函数 y
x
2x 2
1 的最大值。

1
x 2
1 x
2
解：∵函数的定义域为x R ，∴可设 x tg，
2, 2
则原函数可化为y
tg1tg 2
sincos2
1 tg 21tg 2
11
2 2 sin 2sin1 2 sin
84
故当
sin1时，原函数取得最大值为 1 。

48
例 10、求函数y 3x 22x3
2 1 x 2的最值。

解：∵函数的定义域为x R ，∴可设 x tg，
2, 2
则原函数可化为y2x 3 1x
2tg 3 1tg 2
2 1x 2sec2 2 1tg 2
2 1 x2
13
sin 2
sin 2cos2
223
∵ 1 sin21
3
∴原函数的最大值为1，最小值为1。