三角代换求函数最值问题

巧用三角代换求无理函数的最值

上海市第五十四中学（邮编200030）裴华明

求无理函数的最值问题，是中学数学中常见的问题之一，若用常规方法求解，对于有些题目来说就显得较为繁杂，计算量也较大，但若根据问题的特点巧妙的用三角代换来求解，则可把求无理函数的最值问题转化为求三角

函数的最值问题，使问题得已简化，达到事半功倍的效果。下面就介绍几类可用三角代换法来求无理函数最值的题型，仅供参考。

一、当函数的定义域为 x0, a a 0 时，可设x a sin2，

0,

2

例 1、求函数y 1 x x 的最大值和最小值。

解：∵函数的定义域为

则原函数可化为x 0,1 ，∴可设x sin 2，0,

2 y sin cos 2 sin

4

又∵ 0则3

44

24

∴2

sin1即 1y2 24

故当0 或2时，y

m i n1

当时，y

max2

4

例 2、求函数y3x x1的最值。

解：∵函数的定义域为x0,3，∴设 x3sin 2，0,

2则原函数可化为y 3 cos 3 sin1 6 sin1

4

∵ 0

2则

444

∴

2

sin

2

即31y 3 1 242

故当

4即0 时，y m a x 3 1

4

当

4即

2

时，

y

min31

4

二、 当 函 数 的 定 义 域 为 x

a,a a 0 时 ， 则 可 设 x a sin ，

2 ,

2

例 3、 求函数 y

x 2

4 x 2 的最大值和最小值。

解：∵函数的定义域为 x

2,2 ，∴可设 x 2 sin

，

2 ,

2 则原函数可化为 y

2 sin

2 2 cos

2 2 sin

4 2

∵

则

3

2

2

4

4

4

∴

2 sin

1 即

4 y 2

2 2

2

4

故

当 4

2 即

时，

y

max

2 2

2

4

当

4 即

2 时，

y

min

4

4

三、 当 函 数 的 定 义 域 为 x

a, b ， 可 设 x

a b a cos 2

，

0,

或者设 x

a b b

a

cos ，

0,

2

2

2

例 4、 求函数 y

x 2 21 3x 的最值。

解：∵函数的定义域为 x 2,7 ，

∴可设 x

2 7 2 cos 2

2 5 cos 2

，

0,

2

则原函数可化为

y

5 cos

15 sin

2 5 sin

6

∵ 0

2 则

3 6

6

∴

3

sin

1

即

15 y

5

2

2

6

故

当

6 即

0 时，

y

max

5

6

当

即 时，

y

min

15

6

3

2

例 5、 求函数 y

8 2x x 2

3x 的最大值或最小值。 解：∵函数的定义域为 x 2,4

∴可设 x244

22cos13cos，0,

2

则原函数可化为y8 2 13cos 3 13cos

3sin3 3 cos3 6 sin

3

3

∵ 0则

2 333

∴

3

1，即43y63 sin

3

2

故当

5y

max63 32

即时，

6

当33即0时，y

min43

四、当函数的定义域为 x a,时，可设 x a sec2，0,

2

例 6、求函数y x1x2的最

解：∵函数的定义域为x1,，∴可设x sec2，0,

2则原函数可化为y sec2 1 sec22tg tg 21

2

5

tg1

24

故当 tg0时，y min1

五、当函数的定义域为x, a a,a0 时，可设x a sec ，

0,

2

, 2

例 7、求函数y1x 21

的最大值。

x 2

x x

,11,

解：∵函数的定义域为，

∴可设 x sec，0,

22

,

则原函数可化为y1sec21cos2tg cos

sec2sec

当0,

2

时， y cos2tg cos cos2sin