三角代换求函数最值问题
高三数学三角函数的最值问题(2019年10月整理)
高三备课组
1一： 基础知识
1 、 配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为 二次函数在闭区间上的最值问题， 如求函数 y sin2 x sin x 1 的最值
可转化为求函数 y t2 t 1,t 1,利用有界性求最值：
asin x bcox a2 b2 sin(x )
如函数 y
1
的最大值是
2 sin x cox
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；
因改骨咄禄为不卒禄 行隋正朔 气如烟雾 是月 三十余年 元济囚杨氏 令以礼改葬 直是贱人 岁给米百石 颉利世 志尚虚玄 僣称伪位 高宗数其罪而赦之 仍主处木昆等十姓兵马四万余人 破灭之 至襄州 但依常礼 部落渐多逃散 招魂迁葬讫 尚不能晓 初 李氏可赠孝昌县君 俄又令玉真公 主及光禄卿韦縚至其所居 命秋狝冬狩以教战阵 开元中 送玄奘及所翻经像 嘉运率将士诣阙献俘 傥此等各怀犬吠 遂斩嘉宾 则天时 开元五年 高宗东封泰山 伫谐善绩 突利二可汗举国入寇 卿更相朕 解天文律历 有国恒典 告城归养者二十余人 骨咄禄鸠集亡散 高宗遣鸿胪卿萧嗣业 与我 百姓不异 "此药金也 奏授观察判官 请代兄死 秦州上邽人 则天闻其名 ’是鄱阳公主邑司 "翌日 父 道州土地产民多矮 薛万彻出畅武道 朔 "我与突厥面自和亲 光禄卿 默啜于是杀我行人假鸿胪卿臧思言 征诣京师 入南海 诸高僧等入住慈恩寺 悲形解之俄留 止为颉利一人为百姓之害 虐杀尔夫 许州扶沟人也 "果至是月而卒 文仲尤善疗风疾 裴与德武别后 樊彦琛妻魏氏 与其小臣饮斯达干奸通 弱冠明经举 夏州都督 将军死绥 山臣鸿一敢以忠信奉见 可以久安 天纲又谓轨曰 宝璧坐此伏诛 且邻里有急 我策尔延陀日月在前 其下诸部 投黑山呼延谷 来游魏阙 于是乃止
高中数学-三角代换证明不等式和求最值
高中数学-三角代换证明不等式和求最值2(一)三角代换的应用-证明不等式1, c 2d 2 1,求证: |ac bd | 1证明：设 a=sin ,b=cos ,c=s in ,d=cos 则有：|sin sin cos cos | |cos( )| 1， 问题得证。
例2已知a,b R,且 a 2 2 2b 1，求证：|a +2ab-b 2| 、:2解：可设 a=ksin ,b=kcos ,其中|k| 1于是有2 2 |a +2ab-b |=k 2|s in2 —cos2 |=2k 2|sin(2 )| 、2k 2 .2 2 2a b 2例3 •已知0<x<1,求证： (a b)x 1 x分析：0<x<1 ， 0<1 — x<1 ,且x+(1-x)=1,联想到三角代换。
证明：因为 0<x<1 , 0<1 —x<1 设 x=sin 2 ，且 所以2 a ・ 2 sin 2 a 2 ab 2cos 2 b 2b 2 a 2 cot2ab a 2 b 21-x 例4已知 1 分析：因为 (1 cot 2 )b 2 (1 tan(a b 2 tanb)2(a b)2米用三角代换之。
2, n N 求证(1 x)n (1+ x)n 2n1考虑到右边有1-x 与1+x,故联想到利用2倍角余弦公式化简, 从而证明：因为 1 x 1，设x=cos2 ,(0所以 (1 x) nn n 2n n 2n n 2 2 n (1＋x) 2 sin 2 cos 2 (sin cos ) 2 故原不等式 (1 x)n (1＋x)n 2n 成立。
则 1-x=1-cos2 =1 (1 2si n 2 ) 2si n 22 1＋x 1 cos 2 2cos(二)三角代换的应用-求最值 例5设x, y R ,不等式 x . y a 厂丫恒成立，求a 的最小值。
析：原不等式等价于 a 平 厲恒成立，则a 必不小于右边代数式的最大值J x y即只需求岀—x H 的最大值即可。
利用三角恒等变换求最值问题
０ ） 上 。利 用数形 结合 可求 得 厂 （ ｚ ） ≥√３。
１在 区间 ［ 一 ，
１（ ２
—
１ ） ＋￡ ＝ １（ ＋１ ）
一
故 函数 ＿ 厂 （ ） 的最小值 为√ ３ 。
（ 责任 编辑 郭正 华）
一
１ ］ 上单 调递 减 ， 在 区间［ 一１ ， ］ 上 单调 递增 。
ｔ ａｎ
（ 詈 一 ｚ ｚ
）
， 即ｔ ｎ 一
（ ２ ｙ －１ ） 一 ０有 实 数 解 。
＋ ≥ 。当且 仅 当
综 上 可 知 ， 所 求 函 数 的 值 域 为 ｆ ＿ 丢 ， ３ ］ 。
胖。
： ． Ⅱ… ’ 一 …。 一。 一 一 ’ ’
． ．
解： 厂 （ ） ＝ ４ ｃ 。 ｓ ｆ 一 詈） ｓ ｉ ｎ ｚ — ｃ 。 ｓ （ ２ ｚ ＋ ７ ｃ ）
解： 函 数 一 兰 翌 旦
的
一 ４ ｃ ｏ ｓ 扣 ｚ ｓ ｉ ｎ ｃ ｏ ｘ ＋ ｃ Ｏ ｓ ２
『 一 ， ］ ， ｔ 一Ｉ ＋２ ｓ ｉ ｎ Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ 。
一
为点 Ａ（ ０ ， ２ ） 与点 Ｂ（ 一ｓ ｉ ｎ ２ ｘ， Ｃ Ｏ Ｓ ２ ｘ ） 连 线 的斜 率 ， 点 Ｂ（ 一ｓ ｉ ｎ ２ ｘ， Ｃ Ｏ Ｓ ２ ｘ ） 在半 圆 。 ＋ｙ 。 一１ （ 一１ ≤ｚ ＜
数 分 析 ： 兰 求 函 数 厂 （ ｚ ） 的 值 域 ， 可 利 用 三 角 公 式 将 函 一 、 ： 。 ’ ’ 山 ＇ ： 一 二 二 ． ， ： ’ ■ 二 ． ｒ ＝ 二
．
＋是的形式 。
厂 （ ） 的解析式恒等变形 为 ｆ Ｃ ｒ ） 一Ａ ｓ ｉ ｎ （ ＋ ）
高三数学三角函数的最值问题
高三备课组ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1一： 基础知识
1 、 配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为 二次函数在闭区间上的最值问题， 如求函数 y sin2 x sin x 1 的最值
可转化为求函数 y t2 t 1,t 1,1
上的最值问题。
2、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：
注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函 数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题 要注意参数的作用和影响。
二、题型剖析 1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。
P(66) 函数Y=acosx+b (a.b为常数),若 7 y 1
,求bsinx +acosx 的最大值.
；
是个什么样子呢？ 对一普通人来说，环绕身边的，几乎全是人类自己的成就：城乡、街巷、交通、社区、学校、医院、规则、法令其实，世上还有一种成就，即“大自然成就”：山岳、湖泽、沙漠、冰川、生物、森林、矿藏、气候，甚至人本身亦是大自然成就之一。遗憾的是，21世纪的人类，正 越来越深陷这样的处境：我们只生活在自己的成就里！ 这一点，留意下身边即实，除了农田和牧场，几乎所有地表都像书封一样被覆了膜，或水泥或沥青或瓷砖，在城，你几乎凑不齐一盆养花的泥土，除了专职绿地，连一片自主呼吸的裸地都难找。这些年，蝉鸣稀疏，即因为大地被封死了，蝉蛹 无穴可居，无地气可养。原生态的自然初象，在人类的主流栖息区，已难觅其踪。我们似乎总难遏制这样的欲望：在所有的自然成就之上覆盖以人类自己的成就！此游戏就像小孩子朝树上刻名字。比如乐山大佛、龙门石窟、泰山崖刻，比如高山索道、观光缆车、张家界肩扛的贺龙公园，也许人类清 楚，唯自然才永恒，所以凿山劈崖、以石塑身，借大自然成就彰显自己的事迹。再比如
浅析高中数学解题技巧之三角代换
浅析高中数学解题技巧之“三角代换”摘要：三角函数是高中数学学习中的重要内容，其中“三角代换”应用广泛，且形式灵活多样。
如何利用三角函数性质和基本三角公式，将其转换为三角问题，进而达到化难为易、化繁为简的目的。
本论文以三角代换在高中数学解题中的应用为研究切入点，对其进行了详细的研究和分析。
关键词：三角函数；高中；数学；解题；三角代换鉴于高中数学知识的具有较强的逻辑性和关联性，在具体的高中数学学习过程中，学生经常会遇到一些结构复杂、变元较多的问题。
在这种情况下，学生采用传统的解题方式，解题效果并不十分理想。
而在此基础上，通过三角代换的方式，引入一些较新的额变量，并简化其结构，进而可将复杂的问题进行精准、快速的解答。
一、三角代换概述在进行高中数学问题解答的过程中，学生经常会遇到一些新的问题，或专业难度比较大的问题。
在这种情况下，学生必须要明确已知和未知知识之间的内在联系，并对其进一步进行观察和思想，并充分利用数学知识，开展广泛的联想：通过引进一个新的变量，或者对已知条件进行转换，那么复杂的问题就会变得更加简单。
这就是换元的主要思想。
作为的换元方法，就是在数学知识的解题过程中，将新变元引进到没有固定的形式中，并将复杂的问题进行简化，进而对数学知识进行更好的解答。
在高中数学解题中，三角代换是最为常用的解题技巧，被广泛应用到不等式、函数等问题中，不仅提高了解题的准确率，也大大缩短了解题所用的时间[1]。
二、三角代换在高中数学解题中的具体应用1、三角代换在求最值中的应用在高中数学中，求最值尤为常见，学生在解题过程中，也面临着较大的难度。
在这种情况下，教师在解题过程中，可充分利用三角代换的形式，充分利用三角函数的知识，将函数中的最值问题进行合理的替换，进而使得函数知识转换为三角函数，并对其进行有效的解决。
例如，在求最大值的时候，就可充分利用三角代换的方式进行解题。
具体解题思路如下：假设x=sinα，α∈（-π/2,π/2,）通过这种代换方式，上述例题可变为因此，当α=π/4时，可取得最大值。
利用三角代换求解二元最值问题
方法求解 这种 二元 最值 问题 ．
解析 令 Ｘ ＝ ｒ ｃ ｏ ｓ ０，Ｙ ＝ ｒ ｓ ｉ ｎ ０，
代入 ＋ｘ ｙ一 ２ ｙ ＝１ ， 化简得 ， ． ＝ — Ｃ ＯＳ ６ ／
Ｓ １ ｎ Ｃ Ｏ Ｓ 七 廿
一
１
例 １ （ ２ ０ １ １ 年高 考浙 江卷 ・ 理 １ ６ ）设 Ｘ， Ｙ为 实 数 ，若 ４ ＋ Ｙ ＋ ｘ ｙ＝１， 则 ２ ＋Ｙ 的 最 大 值
．
由于 一 ＜ ＜ｌ ，所 以 ３ 一 ｒ ２ ＞０，即 ｚ ＞。，
例 ２设 Ｘ，Ｙ为实数 ，若 Ｘ ＋ 一 ２ ｙ ＝ １ ，求
ｚ ：３ ｘ 一 Ｙ 的取 值范 围 ．
ｉ ￣ Ｚ ＝ ３ Ｘ ２ ＿ ｙ ２ 的 取 值 范 围
妙用最大公约数 巧解分 层抽样剔 除问题
若ｚ ＝ ，
５＋３ Ｃ Ｏ Ｓ ２ ０＋ ４ｓ ｉ ｎ２ ０
一
＝５， ＜。，不符合条 件 ；
了
令 ｔ ａ ｎ ０，则 ｚ ：
’
，
ｆ ＋ ｆ＋ ｑ
从而 ２ ：
若ｚ ≠ ，则由Ａ＝ ｚ ２ － ４ （ ２ ） （ ３ ＿ Ｚ ） ≥ ０，
即（ ｚ 一 １ ） ｔ ＋ （ ｚ 一 ４ ） ｔ ＋ ４ ｚ 一 ４ ＝０． 若ｚ ＝１ ，则 ｔ ＝０，符 合条件 ；
是— — ．
＿ ２ ＿ ｉ ｎ
巧用三角换元 妙解二元最值问题
2020年第9期欽学款学9-31巧用三角换元妙解二元最值问题蒋宝童邹峰（安徽省和县第一中学，安徽和县238200；武汉职业技术学院商学院，湖北武汉430074）在中学数学中常常会遇到与二元二次有关的最值问题.1条件为二元二次方程的最值问题先看一个例题.例1（2017年全国高中数学联赛河南省预赛题）已知实数％、y满足4/-5巧+4y2= 5,若S=/+犷,记s的最大值为卩,记S的最小*****r^j, 5可以进一步思考和探索的问题至此,我们可以结束对抛物线中过对称轴上的定点弦问题的讨论了.然而，还有一个问题值得思考：椭圆或双曲线中有类似的结论吗？这是一个可以继续讨论和研究的问题.显然,与抛物线类比，椭圆和双曲线没有与命题2相似的性质，所以后继的讨论也就无法继续了.然而，对于椭圆或双曲线的一些特殊的弦，还是有一些类似的性质可以研究的.回到沪教版高中数学教材（高三年级拓展n）第一册的专题2中，就有这样的例题：22椭圆冷+警=l（a>b>0）任意一点a bM（除短轴端点外）与短轴两端点艮、％的连线交％轴于点N和K,求证:I ON\-I OK\=a2.该题选取的是椭圆的特殊弦短轴,求证的结论本质上是心%k=a.如果选取长轴作为特殊弦,也会有结论y N y K=尸，另外，这个结论可以类比到双曲线中•6探究过程给教学的启发我们对抛物线考题的分析、思考和探究过程可以给数学教学和高考复习带来一些启发.在数学教学和高考复习中要有寻根求原的探究意识和思维习惯，寻根就是学习数学知识或解决数学问题时要有追根求源的探究意识，要思考知识的联结点或生长点在哪里，弄清楚知值为g,求丄+丄的值.p q在这个例子中，有个二元二次方程的条件，即4子-5矽+4y2=5,它的一般形式是ax2+2hxy+by2+2gx+2/y+c=0（a2+b2+ FMO）.对于这样的二元二次的条件往往不好直接处理，可以考虑利用换元，转化为一元问/识的来龙去脉；问题从何而来，问题的根或根源是什么•求原即寻找原因、原理与本原，学习数学不能仅仅局限于掌握结果和方法，而要弄清楚结果和方法从哪里来，理由是什么，蕴含了怎样的原理，学习知识要追求理解知识的本原，强调对知识本质的理解，解决问题要寻求问题的本原，弄清楚是什么，为什么，还有什么，这是学好数学的关键.在求解这道抛物线考题的过程中，如果我们不去追问直线I是怎么被发现的，也就不会发现命题3与命题4了.在对抛物线考题的寻根和求原的过程中，我们发现最终都回到了教材•所以，回归教材,立足教材应该是我们在数学教学和高考复习中应该遵守的原则.教材的知识体系是精心组织的，例题与习题都是精心设置的，很多例题与习题有都着深刻的数学背景.如前文提到的习题和例题，我们在引导和组织教学时不能仅仅满足于一个问题的解决，而要有进一步探究的意识，解决好问题后，再多想一步，例如：问题的条件和结论能否作进一步推广？命题的逆命题是否依然成立？该问题还能作怎样的类比和联想？解决这个问题的方法还能解决哪些问题？用研究性的思维来面对每一个例题和习题，做到举一反三，才是提高学生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力的有效方法.9-322020年第9期题进行处理.当人# 0时，利用坐标旋转变换” "cos — y ，sin &,得到让,2y = % sin 0 + y cos 0,2h':x'y +b'y'2 + 2g'x' + 2fy'+c = 0. 一定可以选择适当的0,消去交叉项，即使h'=0,若a' =0或6'=0时，可以直接利用代入消元法消去y 或％，从而使问题转化为一元函数最值问题;若a'b' # 0,x ,r - X通过平移变换<y" = y f +呂，：,使方程变为a'x"2 ++ r,b'y"2 = c".因此，只需要考虑条件为匕+ I =m nl(mn 0)的情形.① m > 0, n > 0时，利用三角换元，令兀=y^ncos (p , y =施sin (p ；② m > 0, n < 0时,利用三角换元，令先=x/rnsec <p , y = J - ntan <p ；③ m < 0, n > 0时，利用三角换元，令兀=J - th tan (p , y =伍sec cp.x + y,同样可以消去 x - y y =— ,x' + y'X ~ ~~2',，问题转化为:x — y已知3*2 + 13/2 = 20, S=%'-；儿的最大值为P ，最小值为g,求丄+丄的值•此时，利用三角p q换元,令％' = J^cos (p , y'以解决问题.再看两道改编题.改编1已知实数％、y 满足/ - 5矽+4/ =5,求S = Z 的取值范围.Xx - x + y ,x - y r 贝!]9y'2 - x ,2 - 10,再令 “十，-于0时，使用变换交叉项•在前例中，令■'20—sin<p,同样可解：令下面具体解决一下前面的例题.设[X =先'cos 0 - y'sin 0, / /< ,. , Iff e 10,[y = x sin 0 + y cos 0 \ \4%2 一 5xy + 4y 2 = 5,得(4 一 5sin 0cos 0)x ,2 +孙代入——sec (p , x r = ^/f0 tan (p ( cos <p H 0),得(4 + 5sin 0cos 0)y ，2 一 5cos TTcos 20 = 0,得& =—则令<4y 题转化为：已知3先'2 + 13/2的最大值为p ,最小值为g ,求丄+丄的值•利用p q/ - + -,兀， S &22 经210.2 二 - - 5.=2Z V +72一272一2,问y 三角换元,令力二10 .—sin 133 w 13 13、3 "10 1013' 3，即P譽，则丄+丄=13 p g§7实际上，消去交叉项的过程也不是必须要严格采用前面的坐标旋转变换，在a 和b 都大X y3sin 0 e (-3,3),所以 S =匸X t (x- y 23 +y')—1y2件+1\ye8，f) U(1 , + 8 ).改编24y2 - %_2y + 5= 0,求 S=x+y 的取值范围.■x = x + y f ,x r — y'代入 x 2 — 4xy + 4y~ —5所以S=x+y =31 9 1 15+ y/' = 3y ，+ —y f +y e例2已知实数沢y 满足3* + 3，『+9),27” +27y求E 的最值已知实数％、了满足/ - 4xy +解：令x - 2y + 5 二 0,得％'辺，+8).48 丿102020年第9期欽学救学9-33解:不妨设a=3”，b二歹，则a_T)可设Q=—(cos02b,a、b>0,即a2+(T+62=a+2丄"T+sin0+1),b/+庆+ab+1出亠ff—矿页一的最小值为〒.例4已知实数a、6满足b2+2ab-2b-b2*(cos&-sin&+1),&G(-P苏则2T+21r_a+b3_31+3y~a+b~a2-ab+b21 =-—I cos0-^-2\2,229 +—.8又因为cos0e(0,1],当cos0=1,a=b=1,2T+27，即x=y=0时JIJ---oy取最小值为1;3+3rM,“13±73,3+V3Rn当cos0=亍a=一-—,b=―-—,即,3±73,3+A n,271+27' %=吸3-4，y=log3—4一时，则亍+亍4(a2+1)=0,求P=子一的取值范围.a+1分析：本题是《数学通讯》的征解题，文［1］给出了一个精妙解法，但并没有从条件的二元二次方程入手，而是将待求式进行转化,再进行三角换元，有兴趣的读者可参看文［1］•下面从条件的二元二次方程入手，对本题分析求解.如果采用坐标旋转变换消去交叉项，计算量很大，这里采用配方法消去交叉项.解：令b+a=x,a-y,代入条件得x2-5y2-2x+2y-4=0.再令u=x-1,v=y2/F得5u2~25i>2—24.二角换兀令u=-----sec<p,A2^6ntv=tan<p,贝」9取最大值为£.o2待求式与二元二次有关的函数最值问题例3(文［1］的例1改编)已知a>0, b>0,求P=必土丁?+ 1的最小值.P=a^l,4\{u-V+—I2+24a+5b分析：分子是二元二次函数，借鉴前面二元二次方程的处理方法，先换元消去交叉项，再进行三角换元.解：先令a=x 3x2+卡+］--------L----.再令％= 9x-y V0)侧+y,b=x-y,则P=r C os®73,y=/fsin(p(R>1(2^/30-2^6sin cp+4cos(p)(2^6sin<p+cos<(2^/30+2(2cos(P)+25cos伽i(p_^/6sin<p))30-(2cos(p-v^sin(p)K2+1令m=2cos(p-v^sin<p,则m e[—,P=--------------------------=--------------------3s/37?cos(p-Rsin(p2/7cos@+0)其中cos6=琴,sin0=亠\•2/72/7/3/7等号成立条件：R=\,(P=-e,即％=帀~,y=-愛，也即a=弓，b=字.故P=/To],P=1e[8-4屁8+4点].(2屈 +30-m24(^/30+zn)y/30—m小结：对二元二次的处理，本文的主要思路是：无论是条件中的二元二次方程，还是待求式中含有二元二次的结构，都可以考虑先消去交叉项,然后对平方和或平方差利用三角公9-342020年第9期几个含有二次根式的三元不等式宿晓阳（四川省成都实验外国语学校，四川成都611731）众所周知，不等式在数学中有重要的地位，无论是国际数学奥林匹克竞赛（IMO）、世界各国（地区）数学奥林匹克竞赛，还是国内各大高校自主招生数学考试，与不等式有关的试题频频出现，原因是不等式有各种难度，具有较强的挑战性，不仅可以很好地区分考生的水平,还可以反映考生的数学功底和创新水平.本文将给出几个新颖的含有二次根式的三元不等式，供参考与欣赏，同时为我们的英才教育提供一点新鲜血液.命题1设％、y、z是正实数，则TT-B2(4,B,C)7T-C2TT~A2于是有in扌+2zsin=.竺+竺+Zm2xsin£+2ysix y z2B2a—）（其中。
应用三角换元法求解最大(小)值难题
应用三角换元法求解最大(小)值难题于志洪【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)017【总页数】3页(P7-9)【作者】于志洪【作者单位】江苏省泰州中学附属初级中学【正文语种】中文用三角函数代替问题中的参数,再利用三角函数之间的关系使问题得以简化的方法,我们称之为三角换元法．这种换元法应用极其广泛,本文仅以部分高中数学竞赛题为例,介绍三角换元法在求最大值和最小值问题中的应用,供师生教与学时参考．例1 已知实数x,y满足3x2-4xy+3y2=4,若s=x2+y2,求s的最大值和最小值．因为s=x2+y2,故可设将其代入条件3x2-4xy+3y2=4中,可得3scos2θ-4ssin θcos θ+3ssin2θ=4.所以3s(sin2θ+cos2θ)-4s·sin θcos θ=4,从而可得3s-2ssin 2θ=4,因此由于-1≤sin 2θ≤1, 且当sin 2θ=-1时,当sin 2θ=1时,s=4,故s的取值范围是即s的最大值是4,最小值是上述解法是从结论入手,利用三角换元,通过代入已知条件,将题设代数等式转变为三角函数问题来处理,巧妙结合二倍角正弦公式和平方和公式sin2θ+cos2θ=1,最后根据正弦函数的有界性,求得最大值和最小值．这种解法,不仅减少了计算量,而且丰富了学生的解题思路,其构思巧妙,令人耳目一新．例2 已知实数为x,y满足x2+y2+xy=3,求x2+y2的最大值和最小值．设x2+y2=z(z>0),令代入x2+y2+xy=3,得z+zsin θcos θ=3,即得因为θ∈[0,2π),所以-1≤sin 2θ≤1,不等式两边同时加上2,得1≤2+sin 2θ≤3,所以故x2+y2的最大值是6,最小值是2.这是一道二元函数最值问题,本题借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角换元,结合正弦函数的有界性求得结果．例3 已知实数x,y满足x2+y2-6x+4y+4=0,记u=x2+y2+2x-4y的最大值为M,最小值为m,计算M+m．由已知得u+5=(x+1)2+(y-2)2,设则将其代入已知条件式得整理得所以即u2-72u+144≤0.易知u的最大值和最小值就是一元方程u2-72u+144=0的两个根,故由根与系数的关系可求得M+m=72．上述解法从已知条件入手,先将题设式进行配方,再结合三角换元,将条件转化为三角函数代入目标函数,从而沟通了题设与结论的关系,实现了将代数最值问题化归为三角函数最值问题来求解,最后根据根与系数的关系巧妙地求得最大值和最小值之和．上述解法,减少了计算量,提高了学生的解题速度和正确率．例4 求的最大值和最小值．因为故令则这里则有所以当时,取得最大值，其最大值为当α=0时,取得最小值，其最小值为利用三角换元的一个目的是去根号．本题中,巧妙地使用特定的三角函数进行换元，消除了两个根号,其解法更加简捷流畅．例5 已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值( ).根据题意所以可设也就是其中从而因为所以故由正弦函数的图象可知所以则故选D．本题是一道求无理函数最大值和最小值的竞赛题,用常规方法求解较为烦琐,然而根据题设,通过巧妙凑配系数使其出现了平方和为常数的关系,从而利用三角换元,将无理函数的最值问题转化为三角函数化简求最值的问题,方法较为新颖．例6 求函数的最大值和最小值．解法1 由待求函数可设将两边平方后,可得3x-6=y2cos4θ,①3-x=y2sin4θ,②②×3得 9-3x=3y2sin4θ.③因此，由①+③得y2cos4θ+3y2sin4θ=3,所以而cos4θ+3sin4θ=3sin4θ+(1-sin2θ)2=因而故所以1≤y2≤4,而f(x)=ycos2θ+ysin2θ=y,因此函数f(x)的最大值为2,最小值为1.解法2 因为3x-6≥0,3-x≥0,所以2≤x≤3.故可设因此而这时所以1≤f(x)≤2,从而可知f(x)的最大值为2,最小值为1．解答本题的关键是通过三角换元将形如的无理函数转化为三角函数．解法自然流畅、简捷明快，充分体现了三角换元法在解题中的重要性．例7 若实数a,b,c满足a2+b2≤c≤1,求a+b+c的最小值.根据题意，可设则a+b+c=rcos θ+rsin θ+c=因为故可知当且仅当时,等号成立．因此,a+b+c的最小值为此题设计精巧,可以从多角度研究,解法也较多．然而,根据题目中条件的结构特征,利用三角换元思想解题较为便捷．例8 若实数x,y满足求x的最大值和最小值．由条件可得故知x≥0,又所以可令则条件变为①易知当x=0时,式①成立．当x>0时,式①可变为即其中即所以当sin(θ+φ)=1时,取得最大值此时x取得最大值20;当时,取得最小值2,此时x取得最小值4．综上所述,x的最大值是20,最小值是0．本题含有两个根式,直接进行代数变形相当困难．注意到很自然联想到利用三角换元法进行求解,不仅降低了解题难度而且简捷明快,充分体现了三角换元法在解题中的重要作用．例9 若实数x,y,z满足:x+y+z=12,x2+y2+z2=54,分别求xy,yz,zx的最大值和最小值．设代入x+y+z=12,可得则54-z2+54-z2≥(12-z)2，解得2≤z≤6.又因为z2-12z+45=(z-6)2+9,从而有9≤xy≤25,同理9≤yz≤25,9≤zx≤25．即xy,yz,zx的最大值均为25,最小值均为9.本题妙用了三角换元法,提高了解题效率,降低了题目的难度．例10 已知实数x,y满足x2-xy+2y2=8,试求x2+xy+2y2的最大值和最小值．因为x2-xy+2y2=8,故配方可得设则①②将式①和式②同时代入x2+xy+2y2中,得其中故依据正弦函数的有界性,易知当sin(2θ-φ)=1时,x2+xy+2y2取得最大值当sin(2θ-φ)=-1时，x2+xy+2y2取得最小值上述解法从已知条件入手,先将x2-xy+2y2=8进行配方,再利用三角换元,将代数最值问题化归为三角函数最值问题,最后根据正弦函数的有界性,巧妙求得最大值和最小值．综上所述，例1、例2、例5、例6的解法1、例7、例9和例10都是利用两个变量sin θ,cos θ或sin2θ,cos2θ进行换元,而例4和例6的解法2则是利用一个变量进行换元．将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的三角函数,这样就便于运用熟知的三角函数公式进行化简,利于迅速求得其解．上述几道高中数学竞赛题都是比较典型的三角代换题目,考题结构看似平常,其实构思精巧,有着良好的检测功能，值得我们一同来鉴赏与探寻．这种解法的优点在于可以将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的三角函数来表示,从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简,直至问题的解决.这种代换思想符合新课程改革的理念,利于学生融会贯通课本知识,激发学生学习的积极性,发展学生的数学才能,同时利于拓宽学生视野，启迪思维,利于提高教学质量,提高学生分析问题和解决实际问题的能力．故笔者认为在今后的教学过程中,教师应注重引导学生对这类最值问题的结构特征认真分析,发展学生的认知力,培养学生的创造力,这对学生的全面发展大有益处．。
三角函数最值问题求法
三角函数最值问题求法求三角函数最值是高中数学中较常见的题型，也是多年来高考和数学竞赛的热点。
由于求解这类题目需要思路开阔，技巧性强，学生往往感到困难，所以是高中数学的难点。
下面，笔者结合教学实践，提炼出较为典型的若干实例，启示学生如何进行分类探求三角函数的最值方法。
一、利用三角函数的有界性求最值利用三角函数的有界性求三角函数的最值，关键在于应用三角函数的公式、性质将三角函数式化为复角的单名函数式或某些已知其最值的三角函数，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。
例1 求函数y=的最值。
解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。
其中le=arctg，即sin（x+le）=。
|sin（x+le）|≤1，≤1。
整理得，21y2-10y-8≤0。
解得≤y≤，故ymax=，ymin=。
例2 求函数y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。
解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。
其中le由cosle=，sinle=决定。
又因为 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。
即 ymax=，ymin=。
二、用变量代换法求最值求三角函数的最值时，有时选取适当的变量代替式中的三角函数式，能使问题迎刃而解。
但作变量代换时要特别注意式中变量的取值范围。
例3 求函数y=的最值。
解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），则sinxcosx=。
t=sin（x+），-2≤t≤，且（t≠-1）。
又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。
例4 求函数y=-cos2x-4sinx+6的最值。
解：把原函数变形得y=sin2x-4sinx+5。
设sinx=t （-1≤t≤1），则得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。
又-1≤t≤1，当t=1时，ymin=2。
当t=-1时，ymax=10。
三角函数的最值问题
上的最值问题。
2、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：
asinxb co xa2b2sin (x )
如函数 y
1
的最大值是
2sinxcox
3、数形结合
常用到直线斜率的几何意义， 例如求函数
y sin x cox 2
四、作业：
»
一、我们因梦想而伟大，所有的成功者都是大梦想家：在冬夜的火堆旁，在阴天的雨雾中，梦想着未来。有些人让梦想悄然绝灭，有些人则细心培育维护，直到它安然度过困境，迎来光明和希望，而光明和希望总是降临在那些真心相信梦想一定会成真的在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。——林语堂
•
五十七、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。——伏尼契
•
五十八、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。——阿·安·普罗克特
•
五十九、一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。——高尔基
•
六十、青春是人生最快乐的时光，但这种快乐往往完全是因为它充满着希望，而不是因为得到了什么或逃避了什么。——佚名
0
,
2
82
上的最大值是1？若存在，求出对应
的a值？若不存在，试说明理由。
思维点拨：
闭区间上的二次函数的最值问题字母分 类讨论思路。
3、换元法解决 sixn co x,ssixn co xs
同时出现的题型。
例4、求函数 的最小值。
y 4 3 sx i4 n 3 cx o s
•
三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
利用三角函数换元求函数的最值
兰
一
４３
３（争１） ３［（素）２＋１］ √ｊ
４３ ２ｚ
２以 ，可令去＝ｔａｎ号（ｏ＜号＜号），
３ １（吾）２＋１］
ｑ３
厶
厶
－
吖ｊ
．·－ｙ＝等ｓｉｎ口（ｏ＜口＜丌），．．．函数的值域是（ｏ，
等）．
，
例２求函数了＝ｚ＋／两的值域．
解：令ｚ＝ｔａｎ口（ａ Ｅ（一号．詈）），则ｙ—
ｓｓｅｅｃ口ｃ口＋ｔａｎ十口＝ｔＬ坠ａｌ笋ｌ＝口ｃｏｔｃ＝ｏ—ｓ 口—＝ （Ｌ孑＿ｑ一 一薹ｉＺ）卜 ．
英文刊名： 年，卷(期)： 引用次数：
张爱华 山西省平遥县襄垣中学,031104
中学数学研究 STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG 2002，(3) 0次
本文链接：/Periodical_zxsxyj200203016.aspx
例·．３‘求号函一号数∈ｙ（ｏ＝，／号）Ｆ，ｉ．＋·ｖ厂．ｙ羽Ｅ（０，的＋ｏ值ｏ）．垃．
解：观察发现４（／ｆｉ）２十（／４ＣＴ－３）２＝ １，可设２／Ｆｉ＝ＣＯＳ口，ｆ４医ｘ－３＝ｓｉｎａ，口∈
［ｏ，要］，
舢＝雩＋Ｓｉｎａ＝譬ｓｉｎ（口＋臼）
（ｓｉｎｐ＝萼），。．’ａ Ｅ［０，号］，．‘．ｓｉｎｐ≤ｓｉｎ（ａ＋ｐ）
解：构造向量：ｍ＝（ｚ，ａ）和咒＝（ｃ—ｚ，
ｂ），贝９ Ｙ＝Ｉ ｍ ｌ＋Ｉ，ｚ Ｉ≥Ｉ，竹＋咒Ｉ＝ ￣／ｃ２＋（口＋ｂ）２，
．‘．ｙ。ｈ＝√ｃ２＋（口＋６）２． 例６ 已知ｚ２＋Ｙ２＝３，ａ２＋ｂ２＝４，（ｚ，Ｙ， ａ，ｂ∈Ｒ），求觚＋ｂ的极值．
解：构造向量ｍ＝（ｚ，Ｙ），孢＝（ａ，ｂ），则
船 以ｚ＋＋ ＝２荔ｍ·．咒言。＝ｌｌ一ｍ｜．｜．ＩＩ言挖ＩＩ ｃｏｓＯ＝怕２√３．４·—４ ·ｃｏｓＯ＝２拈ｃｏｓＯ∈［一２拈，２朽］，．·．（觚＋ 缈）一＝２√３，（纰＋匆）“。＝一２４３．
三角函数最值问题的十种常见解法-6.18
三角函数最值问题的十种常见解法三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。
解决三角函数的最值问题不仅会用到三角函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和三角函数图像，而且还会用到三角函数的多种恒等变化。
同时，在三角函数的最值问题中常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；常用公式1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2. 辅助角公式sin cos ),sin a x b x x ϕφφ+=+==3．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
4．半角公式sin2α=cos 2α=tan 2α= （sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+）5. 万能公式22222tan1tan 2tan222sin ,cos ,tan 1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-题型一：sin y a x b =+或cos y a x b =+型函数策略：转化为一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法，即利用sin 1x ≤或cos 1x ≤便可求解，max min ,y a b y a b =+=-+。
评析:①必须注意字母a 的符号对最值的影响;②必须注意自变量x 对最值的影响。
例1：求函数2cos 1y x =-的值域解析：此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =， 由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-巩固：求sin()cos 6y x x π=-，(,)43x ππ∈的值域解析：111sin()cos sin(2)sin sin(2)6266264y x x x x ππππ⎡⎤=-=--=--⎢⎥⎣⎦∵(,)43x ππ∈，∴2(,)632x πππ-∈，∴sin(2)6x π-∈∴1)4y ∈题型二：sin cos y a x b x =+型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
高三数学三角函数的最值问题
高三备课组
1一： 基础知识
1 、 配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为 二次函数在闭区间上的最值问题， 如求函数 y sin2 x sin x 1 的最值
可转化为求函数 y t2 t 1,t 1,1
上的最值问题。
2、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：
使得函数 y sin 2 x a cosx 5 a 3
练习:求函数 y sin2 x 3 sin x cos x 1
的最值，并求取得最值时的值。
思维点拨：
三角函数的定义域对三角函数有界性 的影响。
2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。
例2 P(66)
求函数y cot x sin x cot x sin 2x的最值. 2
练习: 是否存在实数a，
注意变换前后函数的等价参数函数的最值，解题 要注意参数的作用和影响。
二、题型剖析 1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。
P(66) 函数Y=acosx+b (a.b为常数),若 7 y 1
,求bsinx +acosx 的最大值.
asin x bcox a2 b2 sin(x )
如函数 y
1
的最大值是
2 sin x cox
3、数形结合
常用到直线斜率的几何意义， 例如求函数
y sin x cox 2
的最大值和最小值。
； https:///
；
我们就成了虚伪的坏蛋。 你骗了别人的钱，可以退赔，你骗了别人的爱，就成了无赦的罪人。假如别人不曾识破，那就更惨。除非你已良心丧尽，否则便要承诺爱的假象，那心灵深处的绞杀，永无宁日。 爱怕沉默。太多的人，以为爱
初中数学 如何求解三角函数的最值性变换问题
初中数学如何求解三角函数的最值性变换问题要求解三角函数的最值性变换问题，我们需要了解三角函数的图像特点和最值的变化规律。
下面以正弦函数为例，介绍如何求解三角函数的最值性变换问题。
1. 正弦函数的图像特点：正弦函数sin(x)的图像是一条周期性的曲线，它在区间[0, 2π]上是周期性的，即sin(x + 2π) = sin(x)。
正弦函数在x = 0和x = π时取得最小值0，在x = π/2和x = 3π/2时取得最大值1和-1。
在其他区间上，正弦函数的图像在0和1之间波动。
2. 求解正弦函数的最值性变换问题：现在我们要求解sin(x)的最值性变换，即要找到一组x的取值，使得sin(x)的最值发生变化。
-正弦函数的最值：正弦函数的最值是sin(x)的最大值和最小值。
根据正弦函数的图像特点，我们知道正弦函数的最大值是1，最小值是-1。
-最值性变换的规律：我们可以通过正弦函数的最值性变换规律来求解正弦函数的最值性变换问题。
根据正弦函数的图像特点，我们知道sin(x)的最值是周期性的，即在每个周期内的最值位置是相同的。
-最值性变换的周期性：由于正弦函数是周期性的，所以最值性的变化也是周期性的。
在每个周期内，正弦函数的最值位置是相同的，即在x = π/2和x = 3π/2的位置上。
在其他周期内，最值性的变化也是相同的。
3. 其他三角函数的最值性变换问题：类似地，我们可以根据三角函数的图像特点和最值的变化规律来求解其他三角函数的最值性变换问题。
以余弦函数为例，余弦函数cos(x)的图像也是一条周期性的曲线，它在区间[0, 2π]上是周期性的，即cos(x + 2π) = cos(x)。
余弦函数在x = 0和x = 2π时取得最大值1，在x = π时取得最小值-1。
在其他区间上，余弦函数的图像在-1和1之间波动。
类似地，我们可以通过余弦函数的最值性变换规律来求解余弦函数的最值性变换问题。
余弦函数的最值是cos(x)的最大值和最小值。
高三数学三角函数的最值问题分类例析
三角函数的最值问题分类例析三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。
因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。
三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种： 一、y=asinx+b （或y=acosx+b ）型 处理方法：利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值. 剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3； 当a =0时，不合题意；当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3. 当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.例2．例3已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值. 解：∵()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π .∵20π≤≤x ，∴32323πππ≤-≤-x ，∴1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx .当0a >时，()3b f x a b ≤≤+.∴⎩⎨⎧-==+.513b b a ，解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当0a <时，3()a b f x b +≤≤.∴⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数a 进行讨论，将会出错。
函数最值问题的几种常见方法
最值问题的几种常见解法一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322⋅-=+的最大值和最小值． 解析：34)322(32+--=xy ，当01≤≤-x 时，1221≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，34max=y ． 二、判别式法 形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=(1a 、2a 不同时为0),将其转化为关于x 的二次函数0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥∆，从而求出函数的值域或参数的值. 例：在20π≤≤x 条件下，求2)sin 1()sin 1(sin x x x y +-=的最大值． 解析：设x t sin =，因0(∈x ，)2π，故 10≤≤t ，则2)1()1(t t t y +-= 即 0)12()1(2=+-++y t y t y因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2≥+--=∆y y y 即 81≤y 将81=y 代入方程得 0[31∈=t ，]1，所以81max =y 注意：因0≥∆仅为方程0)12()1(2=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将81=y 代入方程中检验，看等号是否可取． 三、换元法(一)局部换元法 例：已知20≤≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin则 22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2122-++=a a t y 当2=t 时，2122max ++=a a y ；当a t -=时，)1(212min -=a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解．(二)三角代换法(有时也称参数方程法)例1：已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值．解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数)因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 211()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，21max =u ． 例2：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则max 1S +min 1S =____ 解析：令αcos S x =，αsin S y =，则5sin cos 54=-ααS Sααα2sin 2545cos sin 545-=-=S 当12sin =α时，3102545max =-=y ；当12sin -=α时，13102545min =+=y ． 所以 58101310311min max =+=+S S ．四、三角函数有界法①对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x②形如：a b tan ),sin(cos sin 22=++=+=ϕϕ其中kx b a kx b kx a y 例：求函数x x y 2cos 22sin -=的最值． 解析：1)42sin(212cos 2sin cos 22sin 2--=--=-=πx x x x x y 因为 1|)42sin(|≤-πx ，故 当1)42sin(=-πx 时，12max -=y ；当1)42sin(-=-πx 时，12min --=y ．五、单调性法(一)利用若干次“≥”(或“≤”)求函数的最值例：求函数xx y cos 1sin 1+=在0(，)2π内的最小值． 解析：222sin 22cos sin 2cos sin cos sin cos 1sin 1≥=≥+=+=x x x x x x x x x y 当4π=x 时，x x cos sin =，12sin =x ．上式中的两个 “≥”中的等号同时成立，所以22≥y 是 “精确的”不等式．因而 22min =y另：此题还可用换元x x t cos sin +=以及函数单调性来判断(二)形如xb a x y +=的函数的最值 (1) 0>a ，0>b 时，函数在-∞(，ab -］内递增，在ab -[，)0内递减， 在0(，ab ］内递减，在ab [，)∞+内递增．(2) 0<a ，0<b 时，函数在-∞(，ab -］内递减，在ab -[，)0内递增， 在0(，ab ］内递增，在ab [，)∞+内递减．(3) 0<a ，0>b 时，函数在-∞(，)0内递减，在0(，)∞+内递减．(4) 0>a ，0<b 时，函数在-∞(，)0内递增，在0(，)∞+内递增． 例：求函数xx x y sin 1cos sin 22+-=的最大值． 解析：y )1sin 2()1(sin 1sin 2)1(sin 1sin 1sin 2sin 22+-++=+-+=+-+=x x x x x x x 令t x =+1sin ，则20≤<t ，函数tt y 2-+=在0(，)∞+内递增．所以在0(，]2内也是递增的．当2=t ，即1sin =x 时，1max =y ．六、数形结合法有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效．例24：求函数6cos 31sin 4--=x x y 的最值． 解析：将函数式变形为)2(cos 3)41(sin 4--=x x y ，只需求函数2cos 41sin --=x x u 的最值．把u 看成两点2(A ，)41，x B (cos ，)sin x 连线的斜率，(B 即为单位圆上的点)， 则当直线AB 为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．设过A 点的单位圆的切线方程为)2(41-=-x k y ，即 0241=-+-k y kx ． 则圆心到切线的距离为11|241|2=+-k k ，解得：431=k ，1252-=k ．从而函数 最大值为14334max =⨯=y ；最小值为95)125(34min -=-⨯=y ． 七、利用二次函数的性质例25：设0>x ，0≥y 且212=+y x ，求当x 、y 为何值时，)148(log 231++=y xy u 取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值． 解析：由212=+y x ，得y x 221-= )1412(log ]14)221(8[log 231231++-=++-=∴y y y y y u 由0>x ，0≥y 且212=+y x 可得410<≤y ，从而34141212≤++-≤y y (当0=y 时左边取“=”号，61=y 时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即 当61=x 、61=y 时，)34(log 31min =u ；当21=x 、0=y 时，0max =u ．。
三角换元技巧与多元函数最值
三角换元技巧与多元函数最值作者：房园园来源：《中学课程辅导·高考版》2019年第06期三角换元技巧是一种用三角函数代替问题中的字母，然后利用三角函数之间的关系解决问题的一种代换方法，此法应用广泛，本文仅就这种方法在求解多元函数最值问题中的应用，精选部分高考和竞赛数学题为例说明如下.一、解最大值问题例1;（2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试第3题）当x≥0，y≥0时，函数f（x，y）=x2-y2+y3-x2的最大值是（;;）.A.2;;B.3;;C.6;;D.23分析：本题直接求函数的最大值，比较繁琐，根据题目的结构特征，尤其结合根号内的代数式，通过三角换元，结合sin2θ+cos2θ=1，使问题的解答顺畅明了.解：设x=3sinα，y=2sinβ，（0≤α≤π2，0≤β≤π2），所以2-y2=2-2sin2β=2cosβ，3-x2=3cosα.则f（x，y）=3sinα·2cosβ+2sinβ·3cosα=6sin（α+β），因此当α+β=π2时，f（x，y）max=6.故选C.点评：这是一道二元无理函数的最值问题，通过巧妙配凑系数后，借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角换元，将无理函数的最值问题转变为三角函数的化简求最值问题，自然流畅地应用正弦函数的有界性求得结果.其解法简捷明了，其思路顺理成章，真可谓匠心独具，别有洞天，令人耳目一新.例2;（2014年美国哈佛—麻省理工数学竞赛题）已知实数x，y满足x2-xy+2y2=8，试求x2+xy+2y2的最大值.分析：这是一道二元最值问题，试题以二次方程的形式给出，去求二次式的最大值，入口较宽，可以从多个角度进行思考，故能较好地考查同学们的数学思维水平，本文仅介绍一种新颖简捷的三角代换法.解：因为x2-xy+2y2=8，配方得，（x-y2）2+74y2=8，设x-y2=22cosθ，72y=22sinθ，则x=227sinθ+22cosθ，①y=427sinθ，②将①、②同时代入x2+xy+2y2中，得x2+xy+2y2=（227sinθ+22cosθ）2+（227sinθ+22cosθ）·427sinθ+2（427sinθ）2=887sin2θ+8cos2θ+327sinθcosθ=727+167sin2θ-167cos2θ=727+3227sin（2θ-φ），其中tanφ=77，故依据正弦函数的有界性，知当sin（2θ-φ）=1时，x2+xy+2y2取得最大值72+3227.点评：上述解法从已知条件入手，先将题设式进行配方，结合三角换元，将条件三角化后代入目标函数，从而沟通了题设与结论的关系，实现了将代数最值问题化归为三角函数最值问题来处理，最后根据正弦函数的有界性，巧妙求得最大值.上述解法，不仅减少了计算量，而且丰富了同学们的解题思路，提高了解题速度.二、解最小值问题例3;（2015年福建省高考题）已知a>0，b>0，c>0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.（1）求a+b+c的值;（2）求14a2+19b2+c2的最小值.分析：（1）易求得a+b+c=4;（2）本题所求目标式的最小值涉及三个字母，难度大，然而通过变换与变形便能透过现象看本质，找到了三角换元求解就简便了.解：设14a2+19b2+c2=r2（r>0），令c=rsinβ，13b=rsinα·cosβ，12a=rcosα·cosβ，其中，α，β∈[0，π2]代入a+b+c=4中变形得1r=2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinβ4.因为β∈[0，π2]，所以cosβ≥0，于是2cosα·cosβ+3sinα·cosβ=13cosβ·sin（α+φ）≤13cosβ，（其中t anφ=23）.所以2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinβ≤13cosβ+sinβ≤14，所以1r≤144，即r2≥87，当且仅当a=87，b=187，c=27时等号成立，故14a2+19b2+c2的最小值为87.点评：本题考查绝对值函数最值的求法及其满足约束条件的多元函数的最值问题的解法.对于第（1）小题我们利用绝对值的性质易得a+b+c=4，上面给出的三角换元法求最值的方法，其实质是空间极坐标系也叫球坐标系，数学选修《坐标系与参数方程》中有介绍，若将本题中12a，13b，c分别看作x，y，z，令14a2+19b2+c2=r2（r>0），即x2+y2+z2=r2.那么問题就转化为球面方程，可选用空间极坐标系法求解.例4;（2014年高考辽宁卷·理第16题）对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时，3a-4b+5c的最小值为;;;;.分析：本题为三元函数的最值问题，由于试题横向入口较宽，纵向难度较大，综合性和技巧性很强，因而同学们感到很棘手.然而根据题设结构特征巧妙将已知条件变形，再运用三角换元技巧就可将三元函数转化为三角函数来求最小值，从而解题就便利了.解：由已知得（2a-12b）2+154b2=c，令2a-12b=ccosθ，152b=csinθ，则2a=c15sinθ+ccosθ，b=2c15sinθ，从而2a+b=c15sinθ+2c15sinθ+ccosθ=3c15sinθ+ccosθ=210c5sin（θ+φ），于是（2a+b）max=210c5，此时4a2+4ab+b2=85c，即4a2+4ab+b2=85（4a2-2ab+4b2），整理得4a2-12ab+9b2=0，即（2a-3b）2=0，得2a=3b.又2a+b=4b=210c5，从而b=10c10，a=31020c，于是3a-4b+5c=-2b+5c=-210c+5c=5（1c-105）2-2≥-2.即3a-4b+5c的最小值為-2.点评：上述方法是从条件入手，通过配方，将已知条件三角化后代入目标函数，实现了将代数最值问题转化为三角函数最值问题来处理.本题运用三角换元技巧法求解，不仅简洁明快，解法流畅，而且能启迪思维，提高解题速度，拓宽视野.此题设计精巧，可以从多角度研究，思维分析切口较宽，解法也较多.然而，根据题中条件的结构特征，利用三角换元思想解题可谓别具一格.三、解最大值和最小值问题例5;（2015年苏锡常三市高考二模试题）若实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，求a+b+c的最大值和最小值.分析：本题如从已知条件入手求解，则很难，但从结构入手通过设a=rcosθ，b=rsinθ，则可联系三角函数知识求得结果.解：设a=rcosθ，b=rsinθ，θ∈[0，2π]，r≤c≤1，则a+b+c=rcosθ+rsinθ+c=2rsin（θ+π4）+c.由sin（θ+π4）∈[-1，1]可知a+b+c∈[-2r+c，2r+c].因为0≤r≤c≤1，那么2r+c≤1+2，当且仅当a=b=22，c=1时，等号成立;又-2r+c≥-2c+c=（2c-1）22-12≥-12，当且仅当a=b=-12，c=12时，等号成立.因此a+b+c的最大值为1+2，最小值为-12.点评：本题属于三元条件最值问题，直接用代数方法解较难.然而根据已知条件式子的结构特征，联想三角换元，利用正弦函数有界性求得最大值和最小值.其解法思维自然，解法流畅，从而沟通了题设与结论之间的关系，使问题轻松得到解决.从以上各例可以看出用三角换元技巧求高考最值问题，其关键是要从问题的背景出发，根据题设及所求题目的结构特征经过合理的推理，探究出问题中的隐藏的三角函数关系，列出符合题意的关系式，从而与代数有关知识联系起来，以达到解题目的.用三角换元技巧求解高考最值问题之所以具有新颖别致、独特创新的灵活性和创造性，是因为在解题过程中往往容易找到题设和结论之间的关系，使原来抽象隐含的条件充分显露出来，因而解题时，就能化繁为简，变难为易.用三角换元技巧求解高考最值问题，对于数学思维的培养及数学方法的培养有一定的强化作用，有利于提高运用数学知识解决实际问题的能力.这种解法的优点在于可将已知条件中的二个或三个变量代换为同一个角的某个三角函数来表示，从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简，直至问题的解决.。
谈谈如何利用三角代换求函数最值
How to use trigonometric function in mathematics 作者： 李凤阁
作者机构： 拉萨市北京中学
出版物刊名： 西藏科技
页码： 29-30页
主题词： 解题方法 三角代换 函数 最值
摘要：三角代换在求函数最值中是一种常用的重要方法.其实质是把求函数最值的问题利用三角函数知识进行合理替换,使之转化成三角函数问题便捷求解的等价转化的数学思想方法.具体做法是将所给函数中的自变量用某个三角函数进行代换,并对代换后的式子适当变形,从而达到解题目的.本文旨在介绍进行三角代换求函数最值时,如何选择代替函数变量的三角函数,以及代换后如何根据原函数限定所选三角函数中角的范围,并通过典型实例介绍它的应用.。
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巧用三角代换求无理函数的最值
上海市第五十四中学（邮编200030）裴华明
求无理函数的最值问题，是中学数学中常见的问题之一，若用常规方法求解，对于有些题目来说就显得较为繁杂，计算量也较大，但若根据问题的特点巧妙的用三角代换来求解，则可把求无理函数的最值问题转化为求三角
函数的最值问题，使问题得已简化，达到事半功倍的效果。
下面就介绍几类可用三角代换法来求无理函数最值的题型，仅供参考。
一、当函数的定义域为 x0, a a 0 时，可设x a sin2，
0,
2
例 1、求函数y 1 x x 的最大值和最小值。
解：∵函数的定义域为
则原函数可化为x 0,1 ，∴可设x sin 2，0,
2 y sin cos 2 sin
4
又∵ 0则3
44
24
∴2
sin1即 1y2 24
故当0 或2时，y
m i n1
当时，y
max2
4
例 2、求函数y3x x1的最值。
解：∵函数的定义域为x0,3，∴设 x3sin 2，0,
2则原函数可化为y 3 cos 3 sin1 6 sin1
4
∵ 0
2则
444
∴
2
sin
2
即31y 3 1 242
故当
4即0 时，y m a x 3 1
4
当
4即
2
时，
y
min31
4
二、 当 函 数 的 定 义 域 为 x
a,a a 0 时 ， 则 可 设 x a sin ，
2 ,
2
例 3、 求函数 y
x 2
4 x 2 的最大值和最小值。
解：∵函数的定义域为 x
2,2 ，∴可设 x 2 sin
，
2 ,
2 则原函数可化为 y
2 sin
2 2 cos
2 2 sin
4 2
∵
则
3
2
2
4
4
4
∴
2 sin
1 即
4 y 2
2 2
2
4
故
当 4
2 即
时，
y
max
2 2
2
4
当
4 即
2 时，
y
min
4
4
三、 当 函 数 的 定 义 域 为 x
a, b ， 可 设 x
a b a cos 2
，
0,
或者设 x
a b b
a
cos ，
0,
2
2
2
例 4、 求函数 y
x 2 21 3x 的最值。
解：∵函数的定义域为 x 2,7 ，
∴可设 x
2 7 2 cos 2
2 5 cos 2
，
0,
2
则原函数可化为
y
5 cos
15 sin
2 5 sin
6
∵ 0
2 则
3 6
6
∴
3
sin
1
即
15 y
5
2
2
6
故
当
6 即
0 时，
y
max
5
6
当
即 时，
y
min
15
6
3
2
例 5、 求函数 y
8 2x x 2
3x 的最大值或最小值。
解：∵函数的定义域为 x 2,4
∴可设 x244
22cos13cos，0,
2
则原函数可化为y8 2 13cos 3 13cos
3sin3 3 cos3 6 sin
3
3
∵ 0则
2 333
∴
3
1，即43y63 sin
3
2
故当
5y
max63 32
即时，
6
当33即0时，y
min43
四、当函数的定义域为 x a,时，可设 x a sec2，0,
2
例 6、求函数y x1x2的最
解：∵函数的定义域为x1,，∴可设x sec2，0,
2则原函数可化为y sec2 1 sec22tg tg 21
2
5
tg1
24
故当 tg0时，y min1
五、当函数的定义域为x, a a,a0 时，可设x a sec ，
0,
2
, 2
例 7、求函数y1x 21
的最大值。
x 2
x x
,11,
解：∵函数的定义域为，
∴可设 x sec，0,
22
,
则原函数可化为y1sec21cos2tg cos
sec2sec
当0,
2
时， y cos2tg cos cos2sin
5
1 2
sin
4
2
∵ 1 sin 1
∴
1 y
1
当
, 时， y
cos 2
tg cos
cos 2
sin
2
5
1 2
sin
4
2
∵ 1
sin 1 ∴ 1 y 5
4
故 综合上述，原函数的最大值为
5 。
4
六、 当 函 数 的 定 义 域 为 x
, a
b,
b a 时，可设
x
a b b a
sec ,
0, 2 ,
2
2
2
例 8、 求函数
y
x
2
4
3 x 2
4 x 1的最大值。
x
解：∵函数的定义域为
x
,1 3, ，
∴设 x
3 1 3 1
sec ， 0,
,
2 2
2
2
则原函数可化为
y
tg
sec 2
3 tg
tg 2
2
2
当
0,
2
时， y tg
tg 2
2 9 tg
1
4
2
即
tg
1 时，原函数有最大值
9 。
2
4
9
12
当
2, 时， y
tg
tg 2
2
tg
4
2
即 tg
1 时，原函数有最大值 9 。
2
4
故
综上所述原函数的最大值为
9 。
4
七、 当函数的定义域为
x
R 时，可设 x tg ，
, 。
2 2
例 9、 求函数 y
x
2x 2
1 的最大值。
1
x 2
1 x
2
解：∵函数的定义域为x R ，∴可设 x tg，
2, 2
则原函数可化为y
tg1tg 2
sincos2
1 tg 21tg 2
11
2 2 sin 2sin1 2 sin
84
故当
sin1时，原函数取得最大值为 1 。
48
例 10、求函数y 3x 22x3
2 1 x 2的最值。
解：∵函数的定义域为x R ，∴可设 x tg，
2, 2
则原函数可化为y2x 3 1x
2tg 3 1tg 2
2 1x 2sec2 2 1tg 2
2 1 x2
13
sin 2
sin 2cos2
223
∵ 1 sin21
3
∴原函数的最大值为1，最小值为1。