江苏高考数学模拟试卷

2013年江苏高考数学模拟试卷（六）
第1卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 若复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则其共轭复数z = ．
2．“m ＜1”是“函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一).
3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，→AB ·→
BC ＝1，则BC ＝ ．
4．一种有奖活动，规则如下：参加者同时掷两个正方体骰子一次， 如果向上的两个面上的数字相同，则可获得奖励，其余情况不奖励．那么，一个参加者获奖的概率为 ． 5．为了在下面的程序运行之后得到输出25=y ，则键盘输入x 的值应该为 ．
（第6题图）
6．如图，直线与圆12
2=+y x 分别在第一和第二象限内交于21,P P 两点，若点1P 的横坐标为
3
5，∠21OP P =3
π，则点2P 的横坐标为 ． 7．已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0．表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最小
值时的k 的值为 ． 8．若关于x 的方程2
－|x |
－x 2＋a ＝0有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是 ．
9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是___ _____．
10．直线)20(<<±=m m x 和kx y =把圆422=+y x 分成四个部分，则22(1)k m +的最小
值为 ．
11．已知双曲线122
22=-b
y a x （)0,1>>b a 的焦距为c 2，离心率为e ，若点(-1,0)和(1,0)到直
Read x
If x <0 Then
y =(x +1)(x +1)
Else
y =(x-1)(x -1) End If Print y End x y
O P 1 3π P 2
线
1=-b y a x 的距离之和为S ≥c 5
4
,则e 的取值范围是 . 12．已知定义在R 上的函数⎩
⎨⎧∉-∈=]1,0[3]1,0[1
)(x x x x f ，则1)]([=x f f 成立的整数x 的取值的
集合为 ． 13．定义在[2,4]上的函数x x x x f ln 322
1)(2
++-
=的值域为 ． 14．在如右图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为a i ，j ，且满足a 1，j ＝2j －
1，a i ，1＝i ，
a i ＋1，j ＋1＝a i ，j ＋a i ＋1，j （i ，j ∈N *）；又记第3行的数3，5，8，13，22，39，…． 则第3行第n 个数为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15.（本小题满分14分）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 交于点O ，E 为侧棱SC 上的一点．
（1）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （2）若SA //平面BDE ，求:SE EC 的值。

16.（本小题满分14分）已知向量m =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+x x 2cos 232sin 21,21与n =(1，y )共线，且有函
数)(x f y =．
（1）求函数)(x f y =的周期及单调增区间； （2）若锐角△ABC ，三内角分别为A ，B ，C ，3)3
(=-
πA f ，边BC =7，7
28cos =
B ，求A
C 的长．
17.（本小题满分14分）某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一
段．已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m（h≥1）时达到距水面最大高度4m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．
（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．
18.（本小题满分16分）已知椭圆E：x2
a2＋y2
b2＝1（a＞b＞0）的离心率为
3
2，其长轴长与短轴
长的和等于6．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点
为T．证明：线段OT的长为定值．
19.（本小题满分16分）已知函数f (x )＝(a ＋1a )ln x ＋1
x －x （a ＞1）． （1）讨论f (x )在区间(0，1)上的单调性；
（2）当a ≥3时，曲线y ＝f (x )上总存在相异两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))，使得曲线y ＝f (x )
在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1＋x 2＞6
5．
20.（本小题满分16分）设数列{}n a ，对任意*n N ∈都有
112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++，(其中k 、b 、p 是常数).
（1）当0k =，3b =，4p =-时，求123n a a a a +++
+；
（2）当1k =，0b =，0p =时，若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
当1k =，0b =，0p =时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212a a -=，试问：是否存在这样的“封闭数列”
{}n a ，使得对任意*n N ∈，都有0n S ≠，且
123
1111
1111218
n S S S S <++++
<．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．
． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，点D 为劣弧AB 的中点．
（1）求证：四边形AOBD 是菱形；
（2）延长线段BO 至点P ，交⊙O 于另一点C ，且BP ＝3OB ，求证：AP 是⊙O 的切线．
B ．（选修４－２：矩阵与变换）在军事密码学中，发送密码时，先将英文字母数学化，对应如下表：
如果已发现发送方传出的密码矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡101324114，双方约定可逆矩阵为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡4321，试破解
发送的密码．
C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）如图，边长为2的正六边形ABCDEO ，以OC 为极轴建立极坐标系，求C
D 边所在直线的极坐标方程．
a b c d … z 1
2
3
4
…
26
C
D
E
x
O
C
D ．（选修４－５：不等式选讲）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且23
21=++c
b a ，求证：a +2b +3
c ≥18．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，
AB =2C D =2BC ，EA ⊥EB ．
（1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；
（2）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出
EF
EA
；若不存在，说明理由．
23．设二项展开式(
)
1
21
3-+=
n n C （n ∈N *）的小数部分为n B .
（1）计算2211,B C B C 的值；
（2）求证：1
22-=n n n B C .。