概率统计经典习题

立足概率基础 关注横向联系
诸暨中学 邵跃才
随着高考改革的深入，概率统计问题已经成为高考命题的一个重点内容。

其考查的内容主要有：等可能性事件发生的的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，随机事件的分布列和数学期望等基本概念和求解方法。

概率问题虽然常常以实际应用题的形式出现，但近几年也逐渐开始和传统知识及相关学科的交汇融合，形成一些背景新颖、结构精巧的综合题。

一、典型例题
1．等可能性事件发生的概率
例1 先后抛掷两枚均匀的正方形骰子（六个面上分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X ，Y 则满足1log 2=Y X 的概率为（ ） Ａ．16 Ｂ．536
Ｃ．112 Ｄ． 12 解： 满足1log 2=Y X 即Y=2X 的有序数对为（１，２），（２，４），（３，６） ∴231612
P == 故选C 例2 将1，2，…，9这9个数平均分成三组，每组的三个数成等差数列的概率为（ ） A ．561 B ．701 C ．3361 D ．420
1 解：本题的关键是求“每组的三个数成等差数列”这一事件中的基本事件数，基本事件
总数为n=28033
333639=A C C C ，每组三数成等差数列的分法可按前两组的公差大小分类计数，则有（1，2，3）（4，5，6）（7，8，9）； （2，3，4）（6，7，8）（1，5，9）； （1，3，5）（2，4，6）（7，8，9）； （4，6，8）（5，7，9）（1，2，3）； （1，4，7）（2，5，8）（3，6，9）。

∴m=5, 56
12805==P ，故选A 例3某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等 可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .
解：“6位乘客按0，1，2，3的人数分配到4节车厢”这一事件中基本事件的个数，
分法数为34
21233
6A C C C ，∴3236346454128C C A P == 点评 求等可能性事件概率的关键在于计算所求事件包含的基本事件的个数。

2．互斥事件发生的概率
例4家中有人时，某家庭电话在打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，在响第二声时被接的概率为0.3，在响第三声时被接的概率为0.4，在响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？
解： 分别记“电话响第一、二、三、四声时被接”为事件A 1、A 2、A 3、A 4，则有P （A 1）=0.1，P （A 2）=0.3，P （A 3）=0.4，P （A 4）=0.1，电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥，所以P= P （A 1）+ P （A 2）+P （A 3）+P （A 4）=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9
点评 只有互斥事件才可考虑概率和公式。

当直接求某一事件发生的概率较为复杂时不妨先转化为求其对立事件的概率，从而简化解题过程。

3．相互独立事件或独立重复事件发生的概率
例5甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
21，乙每次击中目标的概 率3
2．求：（I ）甲恰好击中目标2次的概率；（II ）乙至少击中目标2次的概率；（III ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
解：（Ⅰ）甲恰好击中目标2次的概率为P 1=2
3313()28
C = （II ）乙至少击中目标2次的概率为P 2=22333321220()()()33327
C C ⋅+=． 或P 2=1－2720)31()32()31(2113303=-C C （III ）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次 为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1、B 2 为互斥事件．
2203331312333321121()()()()()()()33232P A P B P B C C C C =+=⋅⋅+⋅=1111896
+=.所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为16
. 点评 要特别注意n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率k n k k n p p C --)1(和第k 次发生
的概率k n k p p --)
1(的区别，对涉及到“至多”、“至少”等词时，可用对立事件的概率公式来简化计算。

4．离散型随机变量的概率分布
例6 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每 次随机地摸出1个球，记下颜色后放回。

其中，摸出1个红球可获得奖金10元，摸出两个红球可获得奖金50元。

现有甲、乙两位顾客，规定甲摸一次，乙摸两次，令ξ表示甲、乙二人摸球后获得的奖金总额. 求：（1）ξ的分布列；（2）ξ的数学期望
解 ：ξ所有可能的取值为0，10，20，50，60，
1000
729)109()0(3===ξP 10002431018109)109(101)10(22=⨯+==ξP 1000181018101)20(2=⨯==ξP 1000
9109101)50(2=⨯==ξP 10001)101()60(3===ξP
ξ的分布列为：
（2）数学期望 E ξ=0×1000729+10×1000243+20×100018+50×10009+60×1000
1=3.3(元) 二、概率统计与其它知识的交汇融合
1．概率统计与方程、函数、不等式、数列的交汇融合
例 7 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，a 、b 、c )1,0(∈,已知他投篮一次得分的期望为2，则b
a 312+的最小值为（ ） A ．332 B.328 C.314 D.3
16 解： 由已知得223,2023=+=⋅++b a c b a 即且有10,3
20<<<<b a . ∴3
1622231022313223)312(312=+≥+++=++=+b a a b b a a b b a b a b a ，故选D. 例8袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17。

现有甲、乙两人 从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的．求：
（Ⅰ）袋中原有白球的个数；（Ⅱ）取球2次终止的概率；（Ⅲ）甲取到白球的概率
解：（Ⅰ）设袋中原有n 个白球，由题意知：227
(1)
1(1)2.76776
2n n n C n n C --===⨯⨯ 所以(1)6n n -=，解得2=n 舍去，3=n 即袋中原有３个白球（Ⅱ）记“取球2次终止”的事件为A.，则7
6734)(=⨯⨯=A P （Ⅲ）记“甲取到白球”的事件为B ，“第ｉ次取出的球是白球”的事件为i A ，
（ｉ＝１，２，３，４，５）因为甲先取,所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，则 P(B)=P （135A A A ++）。

因为事件1A 、3A 、5A 两两互斥，所以
135()()()()P B P A P A P A =++3433432133617765765437353535⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++=++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 例9 甲、乙两人拿两枚骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数时原掷骰子的人继续掷；若掷出的不是3的倍数时，就由对方接着掷。

第一次由甲掷，记第n 甲掷的概率为P n ，，求P n
解： 第n 次由甲掷有两种情况：
（1）第n -1次由甲掷，第n 次继续由甲掷，此时概率为113
13612--=n n P P ； （2）第n -1次由乙掷，第n 次由甲掷，此时的概率为()1132136121--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
n n P P ， 因为这两事件是互斥的，所以有)2()1(3
23111≥-+=--n P P P n n n ∴)2()21(31211≥--=--n P P n n 又211=P ，即{21-n P }是以21为首项，3
1-为公比的等比数列，故1)3
1(2121--+=n n P 点评 概率统计和其它数学知识的交汇融合是一类新颖别致数学问题，这类题涵盖的知识点多，数学思想方法要求高，能够全面考查同学们的综合解题能力。

2.概率在其它学科中的渗透
例10 一对表现正常的夫妻，生了一个白化色盲的儿子，则他们再生一个孩子患白化色盲的概率是（ ）
A ． 41
B ．81
C ．161
D ．32
1 解： 根据生物学知识及双亲和所生儿子的表现型，推知母亲的基因型为,b B X AaX ，
而父亲的基因型为Y AaX B ，由此确定两种遗传病在孩子中出现的概率各为41，所以白化色盲在孩子中发生的概率为41×41=16
1，故选C 点评 概率的产生、建立和发展都与生活实际密切相关。

近几年各地的模考、高考中以几何、物理、生物等知识为背景的概率题型相继出现，值得同学们重视。