近世代数

。个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n （ ）

）

（群。能作成

对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b = 3、循环群的子群仍是循环群。 （ ）

4．正规子群的左陪集也一定是一个右陪集。（ ）

5．任何群G 都与其商群G/N 同态。 （ ）

13123321 61）（、=???? ??- （ ）

也是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 7

8．整数环Z 的每个理想不一定是主理想。 （ ）

9．设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元，若 | R |＞1，

则R 一定是体。（ ）

10．无零因子的交换环不一定是整环。 （ ）

11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。（ ）

2、什么是理想？3什么是体？

的行列式。是矩阵其中同态映射，且是满射，

的一个

到是：普通乘法，证明：，代数运算是数的；再令运算是方阵的普通乘法

数阶方阵作成的集合，代

上全体是数域分）令三、（A |A | M M |A |A F M n F M 15?→??=四、（15分）设G 是一个群，且H ≤G ，K ≤G ，

证明：H 与K 的交集是G 的一个子群。

五、（15分）设N 是群G 的任一正规子群，证明：G ~ G/N

6、（15分）写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于子群

H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。

一、判断题。！个双射变换个元素的任意集合共有

、含有 n n 1 2．在模8剩余类环Z 8中{}

6,4,2,0 2>=<是一个极大理想。（ ）

4．整数环Z 的每个理想都是主理想。 （ ）

二、单项选择题（每小题2分，共10分）

1、关于半群的说法不正确的是： （ ）

（A ）半群是带有一个代数运算的代数系统；

(B) 半群的乘法一定适合结合律；

(C) 半群的乘法不一定适合交换律；

（D) 半群中一定有单位元。

2、设G 是一个群，H 是G 的一个非空子集，则

H ≤G 的充要条件是 （ ）

（A ） H ab H b ,a ∈?∈ (B) H a H a 1∈?∈-

(C) H ab H b ,a 1∈?∈- (D) H b a H b ,a ∈+?∈

3、设R 是一个环，下面说法不正确的是 （ ）

（A ）R 中若有零因子，则一定既有左零因子也有右零因子；

(B) R 中若无零因子，则一定既无左零因子也无右零因子；

(C) 一个环一定有零因子；

(D) R 中若有左零因子也一定有右零因子。

4、设三次对称群S 3 ={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，

H={ （1），（12）}，则H 的左陪集（13）H 是 （ ）

（A ）{ （1），（12）} (B) {（13），（123）}

(C) { （23），（123）} (D) { （13），（132）}

5、 设σ=（1234），τ=（1243）则στ=（ ）

（A ）（132） (B) (12)(34)

（C ）（1234） （D ）（13）(24)

三、填空题（每小题3分，共15分）

）（）））（（（），则（），（），（、设三次置换

1 13212111

35531=???=?=?=? ???? ??=?????? ??=????? ??=?321 13232131232123131，则，、设三次置换

3．设M={1，2，3}，T （M ）表示M 的全体变换作成的集合，问|T （M ）

| =（ ）。

)

()i i i 41k 21=- 、（ 5、(327)(26)(14)(134)(57)= .

四、概念题1、什么是正规子群？2、什么是素理想？

七、（12分）证明：<2>是整数环Z 的一个素理想。

八、（11分）写出三次对称群S 3关于子群H={（1），（23）}的所有左陪集和

所有右陪集。

⒈ 由集合X={1，2，3，4}到集合Y={a,b,c}共有（ ）个满射。

5．在四元数群G={1，i, j, k, -1, -i, -j, -k}中，ij=( ).

8．设H={（1），（12）}是三次对称群3S 的一个子群，写出陪集

(13)H={ } }.

{ 4 }7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0{Z 898=><=主理想中，的剩余类环、在模 10、把下列置换表示成对换的乘积：（1432）= 。

1、什么是不变子群？

2、什么是环？

三、（15分）在二元多项式环Z[x ，y]中，

证明：＜y ＞={yf(x,y) | f(x,y)∈Z[x ，y]}是Z[x ，y]的素理想。

四、（11分）设G 是由数域F 上一切n 阶可逆方阵组成的集合，证明G 对于

普通的矩阵乘法作成群。

六、（13分）设H ，K 是群G 的两个子群，证明H ∩K ≤G 。

⒈ 设A 、B 都是非空集合，且|A| = m ，|B| = n 则A 到B 间可定义多少个映

射 （ ）。

（A ） mn (B) m+n (C) m n (D) n m

⒊ 设R 是实数集，对于任意 a ，b ∈R 规定：b 3a 2b a += ，则下面说

法不正确的是（ ）

（A ） ”是一个代数运算。“ (B) ”不适合交换律。“

(C) ”适合结合律。“

⒋ 设υ是集合M 到集合N 的一个同态映射 ，则下面说法不正确的是

（A ） υ一定是M 到N 的一个映射；

(B) υ一定是M 到N 的一个满射；

(C) υ不一定是M 到N 的一个单射

(D) υ不一定是M 到N 的一个双射。

⒌ 下列命题不正确的是 （ ）

（A ）群是带有一个代数运算的代数系统；

(B) 群的乘法一定适合结合律；

(C) 群的乘法一定适合交换律；

(D) 群中一定有单位元。

G G D G G C G

K G / B G K A Ker K G G 10；整除）（；整除）（）（的正规子群；是）（）（下列命题正确的是，

的一个同态满射，

到群是群、设??=?

二、（每小题15分，共30分）设Z 为全体整数的集合，

??????????∈???? ??=??????????=-∈???? ??= Z x 1c x 1 H 1 bc ad ,Z d ,c ,b ,a d c

b a G

（1） 证明G 关于矩阵乘法构成群。（2） 证明H ≤G 。

三、（20分）证明：群G 的

两个正规子群的乘积仍是一个正规子群。

？

？；求）（设分）已知（四、（=?σσ=σ?σ=σ=?=----11121k k 1k 21 )57)(134( ),14)(26(327 )

i i i i ()i i i 15

五、（15分）设G 是群，N ≤G ，证明： 。

都有是：对于任意的正规子群的充要条件是 N aNa G a G N 1?∈-<2>是整数环Z 的一个素理想。（ ）

2．在模8剩余类环Z 8中{}

6,4,2,0 2>=<是一个极大理想。（ ）

3．环R 的理想一定是R 的子环，但环R 的子环不一定是R 的理想。（ ）

4．整数环Z 的每个理想都是主理想。 （ ）

5．设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元，

若 | R |＞1，则R 一定是体。（ ）

6．无零因子的交换环一定是整环。 （ ）

7．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。（ ）

9．任何群G 都与其商群G/N 同态。 （ ）

3113123321 10）（）（、==???? ?? （ ） 是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 11

1、什么是群？

2、什么是环？

三、（15分）在二元多项式环Z[x ，y]中，

证明：＜x ＞={x f(x,y) | f(x,y)∈Z[x ，y]}是Z[x ，y]的素理想。

四、（20分）设X 与Y 是两个有限集合且| X |=| Y |=n ，则X 到Y 的映射?是

满射的充要条件是?是单射。

？

？；求）（设分）已知（五、（=?σσ=σ?σ=σ=?=----11121k k 1k 21 )57)(134( ),14)(26(327 )

i i i i ()i i i 15

1、集合A 的元素间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三

个条件： 。

2、设～是集合A 的元素间的一个等价关系，它决定A 的一个分

类：[][]b a ,是两个等价类。则[][]?=b a 。

3、设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群()

a G 的阶等于 。

4、设G =()a 是12阶循环群，则G 的生成元是 。

53S 的子群()()(){}132,123,1=H 的一切右陪集 。

6、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则?=Hb Ha 。

7、设G 是一个m p 阶群，其中p 是一个素数，m 是一个正整数，

则G 的真子群的一切可能的阶数是 。

8、一个无零因子环的特征指的是 。

9、含2p （p 为素数）个元的域F 的特征是 。

10、设G =()a 是循环群，则G 与模n 的剩余类加群同构的充要条

件是 。

二、单项选择题（每题2分，共10分）

1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一

个映射，那么（ ）

①D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换；

③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同；④元()n a a a ,,,21 的象

可以不唯一。

3、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc

a x ==-,12，那么=

x （ ） ①11--a bc ； ②11--a c ； ③11--bc a ； ④ca b 1-。

4、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）

①f 的同态核是1G 的不变子群; ②1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。

③1G 的子群的象是2G 的子群；④2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；

5、下列正确的命题是（ ）

①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环；

③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。

三、判断说明题（每小题6分，共30分。下列题正确错误均需说

1、若群G 的每一个元都适合方程e x =2，G 是不是交换群？

2、群G 的所有子群的交集是不是G 的子群？

3、设N 是G 的不变子群，N n G a ∈∈?,，是否一定存在N n ∈1使

a n an 1=？

4、整数环与偶数环是否同态？

5、设R 是一个有单位元的环，μ是R 的一个理想且1∈μ，由此能否判定

μ=R ？

1、=F ｛所有实数3b a +，（b a ,是有理数）｝。证明，F 对于普通加法和

乘法来说是一个域。

五、计算题（10分） 假定R 是模8的剩余类环，在[]x R 里计算

)()()()(x g x f x g x f 与+并求出它们的次数，其中

[][][][][]34)(453)(2

3+-=-+=x x x g x x x f ，。 １．实数集Q 上的代数运算a b a b ＝＋２适合结合律。

２．循环群的子群一定是循环群。

3、R 是由所有复数bi a +（Z b a ∈,）所作成的环，证明()i R +1是一个

域。

３．若f 是A 到B 的单射，且

A B ｜｜＝｜｜＝ｎ，则f 一定是双射。 ４．模20的剩余类加群Z 20共有６个真子群。

５．模7的剩余类环Z 7没有零因子。

６．无零因子的交换环一定是整环。

７．有限群的每个元素的阶一定有限。

二、选择题（每小题２分，共计14分）

３．设R 是一个环下面说法不正确的是 （ ）

（A ）若R 中没有零因子，则一定既没有左零因子也没有右零因子；

（B ）若R 中有零因子，则一定既有左零因子也有右零因子；

(C) 一个环一定有零因子；

(D) R 中若有左零因子也一定有右零因子。

Z Z A B C D ８８４．模８的剩余类加群是循环群，以下是生成元的为（ ）．

．［２］ ．［３］ ．［４］ ．［０］．

S R A R S B R S C S R D S R ５．设是环的子环，以下说法正确的是（ ）．

．若有单位元，则也有单位元 ．若是交换环，则也是交换环

．若有单位元，则也是有单位元　．若无零因子，则也无零因子

21

111111,,G ,A B C D a b c x x a bxc acx xac x bc a a bc c ab b ca -------===６．设和都是群中的元素，且，那么（ ）．

（） （） （） （）A R B R C R D R ７．关于素理想和极大理想，以下说法正确的是（ ）．

．交换环的单位理想一定是素理想 ．交换环的零理想一定是素理想

．交换环的单位理想一定是极大理想　．交换环的极大理想一定是素理想

三、填空题（每小题２分，共计１６分）

A B={A

B １．若集合＝｛２，４，６，８｝，２，３，５，７｝，则＼＝｛ ｝　．

H G G Ｇ２．设Ｇ是群，，若｜｜＝ｍ，｜Ｈ｜＝ｎ，则｜｜＝ Ｈ

． ３．三次对称群3S 中的元素（１２３）生成的子群H ＝ ．

４．在整数环Z 上的一元多项式环Z[x]中，主理想（2）= ．

[]Z Z (ker = ???５．设是环ｘ到整数环的同态：f(x))＝f(0)，则

P P ６．是素数，则阶循环群Ｇ＝（ａ）有 个　生成元．

７．在有理数环Q 中，令T={1，2，3}，则由T 生成的理想（T ）= 。

σ?? ???

１２３４５６７８　８．把置换＝写成互不相交的循环置换的乘积是 ３５２７１４８６Z １２四、设是模１２的剩余类环，回答并计算以下问题：（１９分）

Z Z Z Z Z １２１２１２１２12１２１．是否是整环（ ），是否是域（ ）．（２分）

２．的单位元是（ ），的特征ChZ ＝（ ）．（２分）

３．给出的所有零因子．（５分）

Z Z －１－１

１２１２４．写出下列元素的逆元：［１７］＝ ，　［７］＝ ．　（２分） ５．写出的所有子环，并指出在这些所有的子环中哪一些是的理想，素理想，

极大理想？（８分）

G G G G a b asb a b =?∈ 五、设是一个群，ｓ是中一个固定元素，在中规定：，，Ｇ，证明：（，　）是一个群．（１０分）

1212121122 {|} R A R A R A A a a a A a A R +=+∈∈ 六、设是一个环，，，

证明：，． （１２分）

R []

R R []R ?ｘ七、求实数域上的一元多项式环ｘ的主理想（ｘ），并证明．

（

１５分）（ｘ）1、设?是集合A 到A 的满射，则==)(Im A ?? 。2、

设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则

a 所在的等价类[]=a ｛ ｝。

3、 设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边

的乘法是普通乘法），则仅就结合律、交换律而言， 适合如下运

算律： 。

4、设G =()a 是10阶循环群，则G 的生成元

是 。

5、写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪

集 。

8、设F 是一含有4个元的域，则F 的特征是 。

9、设G =()a 是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件

是 。

10、实数域R 的全部理想是 。

二、选择题（每小题2分，共10分）

2、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G

中固定的常数。那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）

①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-。

3、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果6，那

么G 的阶=G （ ）

①6； ②24； ③10； ④12。

2、群的同态是否具有对称性？

1、=F ｛所有复数bi a +，（b a ,是有理数）｝。证明，F 对于普通加法和乘

法来说是一个域。

2、[]x R 是有理数域R 上一元多项式环，证明[]x R 的理想()x ,2是主理想。

3、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =，又设a 的阶m a =，b 的阶

三、简答题（每小题6分，共30分。下列题正确错误均需说明，

1、设G 是一个循环群，N 是G 的子群，N G 是循环群吗？

n b =，并且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =。

五、计算题：设[]x Z x g x f 6)(),(∈，[][][]253)(3++=x x x f 、

[][][]354)(2

++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。（10分）

A B={A

B １．若集合＝｛２，４，６，８｝，２，３，５，７｝，则＼＝｛ ｝　．

H G G Ｇ２．设Ｇ是群，，若｜｜＝ｍ，｜Ｈ｜＝ｎ，则｜｜＝ ＨG G ∈?∈r

３．是群，ａ，且|a|＝ｍ，则ｒＺ，有ａ＝ ．

G ∈４．在交换群中，ａ,b Ｇ,|a|＝ｍ,|b|＝ｎ,(m,n)=1,则|ab|＝ ．　[]Z Z (ker = ???５．设是环ｘ到整数环的同态：f(x))＝f(0)，则 P P ６．是素数，则阶循环群Ｇ＝（ａ）有 个　生成元．

G ７．若Ｇ＝（ａ）是６阶循环群，则有 个　真子群． σ?? ???

１２３４５６７８８．把置换＝写成互不相交的循环置换的乘积是 ．　３５２７１４８６R R ?∈９．是有单位元１的环，则ａ，主理想（ａ）＝ １０．三次对称群3S 中的元素（１２３）生成的子群H

＝ ．

二、选择题（每小题２分，共计２０分）

Z Z A +1 x C 12x ?????/??

１．以下不是整数集到整数集的映射的是（ ）．

．ｆ：ｘ２ｘ， Ｂ．ｆ：ｘ２ｘ　，

ｘ，　２ｘ２．ｆ：ｘ， Ｄ．ｆ：ｘ．ｘ－２，｜２ S 3H (1), (13)S (23)H A B C D ≤３３２．是次对称群，＝｛ ｝，以下哪一项是左陪集中

的元素（ ）．

．（１） ．（１２３） ．（１３２） ．（１３）

A B C D ３．以下说法不正确的是（ ）．

．整环无零因子 ．整环是交换环

．整环是有单位元环 ．整环中任意非零元可逆

Z Z A B C D ８８４．模８的剩余类加群是循环群，以下是生成元的为（ ）．

．［２］ ．［３］ ．［４］ ．［０］

S R A R S B R S C S R D S R ５．设是环的子环，以下说法正确的是（ ）．

．若有单位元，则也有单位元 ．若是交换环，则也是交换环

．若有单位元，则也是有单位元　．若无零因子，则也无零因

A Q Q

B R Q

C Q Q

D R ∈　６．以下命题正确的是（ ）．

．有理数域的商域是有理数域　．环＝｛３ｋ｜ｋＺ｝的商域是有理数域．实数域的商域是复数域 ．整环中的每一个非零元在它的商域中都有逆元

R R A R R B R R C R R D R R '''''７．设环～，则以下说法正确的是（ ）．

．若是有单位元，则也是有单位元 ．若是交换环，则也是交换环

．若是无零因子，则也是无零因子 ．若是无零因子，则也是无零因子

S S A B (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}B H =(1), (12)(34)}C A D S ４４４４４８．是四次对称群，以下哪一个不是的正规子群（ ）．

．　＝｛　．｛　

．四次交代群 ．的平凡子群

A R

B R

C R

D R ９．关于素理想和极大理想，以下说法正确的是（ ）．

．交换环的单位理想一定是素理想 ．交换环的零理想一定是素理想

．交换环的单位理想一定是极大理想　．交换环的极大理想一定是素理想

A B C D １０．关于整环，除环，域，以下说法不正确的是（ ）．

．域一定是除环 ．除环中任意非零元的阶数相等

．整环一定是除环 ．有限整环一定是域

三、判断题（每小题２分记１０分）

２．满足消去律的半群一定是群。

３．循环群的子群一定是循环群。

４．两个有限集合A ，B 之间存在双射的充要条件是｜A ｜=｜

B ｜． （ ）

４．整数环的每一个理想都是主理想。 ５．环R 的商域是Ｒ的最小域． （ ）

Z Z Z Z Z Z １２１２１２１２１２12１２三、设是模１２的剩余类环，回答并计算以下问题：（１５分）

１．是否是整环环（ ），是否是域（ ）．（２分）

２．的单位元是（ ），的特征ChZ ＝（ ）．（２分）

３．求出的所有零因子．（３分）

Z Z －１－１

１２１２４．写出下列元素的逆元：［３］＝ ，　［７］＝ ．　（２分）

５．写出的所有子环，并指出在这些所有的子环中哪一些是的理想，主理想，

素理想，极大理想？（６分）G H G N G HN G ?≤≤　四、是群，，　，　证明：．（１０分）

Z Z[]五、证明：在整数环上的一元多项式元环ｘ中，（２，ｘ）是一个极大理想，而（ｘ）不是极大理想．（１０分）

R R []R []R []R []R ?六、求实数域上的一元多项式元环ｘ主理想（ｘ）以及ｘ关于主理想（ｘ）的ｘｘ商环，并证明．（１５分）（ｘ）（ｘ）

1、若集合A 、B 均含有n 个元素，若f 是A 到B 的单射，则f 一定是双射

2、有理数集Q 上的代数运算：a 。b = a + b + ab 适合结合律。

3、设G =（a ）是一个循环群，若|a|= 12，则G 有5个生成元。

4、模12的剩余类加群Z 12共有5个子群。（ ）

5、在剩余类域Z 3中，[2]的逆元是[1]。（ ）

6、模47的剩余类环47Z 没有零因子。（ ）

7、有限群的每个元素的阶一定有限。（ ）

二、单项或多项选择题（每小题2分，共12分）

5、 设σ=（1234），τ=（1243）则στ=（ ）

（A ）（132） (B) (12)(34)

（C ）（1234） （D ）（13）(24)

三、填空题（每小题4分，共40分）设S 3是3次对称群

（1）给出S 3中每个元素的阶：

（2）给出3次交代群A 3={ }

（3）求出S 3中下列元素的逆元：

（12）-1 = ，（123）-1 = ，

（132）-1 =

（4）给出由（123）生成的子群：

（（123））={ }

（5）对于任意σ∈S 3，定义自同态f （σ）=（1）

给出kerf = ，和Imf =

（6）设H={（1），（12）}，给出S 3的关于H 的左陪集分解：

（7）在有理数环Q 中，令T={1，2，3}，则由T 生成的环[T]= ，由

T 生成的理想（T ）= 。

（8）给出剩余类环Z 8的全部零因子：

（9）在整数环Z 上的一元多项式环Z[x]中，主理想（2）= 。

（10）在Z 7[x]中：（[3]x 3+[5]x-[4]）（[4]x 2-x+[3]）=

四、（10分）设H ≤G ，则，则aH = bH 充要条件是aH ∩ bH ≠υ。

R

A a A a a a A A R A R A R }|{)10(2211212121∈∈+=+，证明：，

，是一个环，设分五、 的零因子。

是，则），证明若（分）（）即可。

使得，存在），再充分利用（，使得是可逆元，则存在

提示：若），（中的可逆元

是分）证明（）的剩余类环

是模分）设六、n Z [a]1n a 4 2 1 s 1n m [1][a][b][b][a] 1][10 114(≠=+?===?nt ms t n a Z a n Z n n 1、集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个

条件： 。

5、写出三次对称群3S 的子群()()(){}132,123,1=H 的一

切右陪集 。

9、有理数环Q 的全部理想

是 。

11、含2p （p 为素数）个元的域F 的特征是 。

二、简答题（先说出结论，后简述理由）（每小题5分，共30分）

1、若群G 的每一个元都适合方程e x =2，G 是不是交换群？

3、设N 是正整数集，N b a ∈?,规定b a aRb ?，请问R 是不是N 的元间的等价关系？

6、设R 是一个有单位元的环，μ是R 的一个理想且1∈μ，由此能否判定

μ=R ？

三、证明题（每小题10分，共40分）

2、[]x R 是整数环R 上一元多项式环，证明在[]x R 中()x n ,是极大理想的充要条件是n 是一个素数。

3、R 是由所有复数bi a +（Z b a ∈,）所作成的环，证明()i R +1是一个

域。

4、设群G 与群G 同态，N 是G 的一个不变子群，N 是N 的逆象，证明

N G N G ?。

四、计算题（6分）

假定R 是模8的剩余类环，在[]x R 里把乘积

[][][]()[][]()3445323+--+x x x x 计算出来。

1、集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个

条件： 。53S 的子群()()(){}132,123,1=H 的一切

右陪集 。

9、含2p （p 为素数）个元的域F 的特征是 。

二、单项选择题（每题2分，共10分）

2、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

三、简答题（先说出结论，后简述理由）（每小题6分，共30分）

1、若群G 的每一个元都适合方程e x =2

，G 是不是交换群？

5、设R 是一个有单位元的环，μ是R 的一个理想且1∈μ，由此能否判定

μ=R ？

四、证明题（每小题10分，共30分）

3、R 是由所有复数bi a +（Z b a ∈,）所作成的环，证明()i R +1是一个

域。

一、判断题（每小题2分，共14分）

1．两个有限集合A ，B 之间存在双射的充要条件是｜A ｜=｜

B ｜． （ ）

2．满足消去律的半群一定是群。

4．整数环的每一个理想都是主理想。

5．在剩余类环Z 5中，[2]的逆元是[1]。

６．环R 的商域是Ｒ的最小扩

域． （ ）

７．无限群的每个元素的阶一定是无限阶的。

二、选择题（每小题2分，共１４分）

Z Z A +1 x C 12x ?????/?? １．以下不是整数集到整数集的映射的是（ ）．

．ｆ：ｘ２ｘ， Ｂ．ｆ：ｘ２ｘ　，

ｘ，　２ｘ２．ｆ：ｘ， Ｄ．ｆ：ｘ．ｘ－２， ｜２

S 3H (1), (13)S (23)H A B C D ≤３３２．是次对称群，＝｛ ｝，以下哪一项是左陪集中

的元素（ ）．

．（１） ．（１２３） ．（１３２） ．（１３）３．以下说法不正确的是（ ）．

A B ．整环无零因子 ．整环是交换环　

C D ．整环是有单位元环 ．整环中任意非零元可逆

A Q Q

B R Q

C Q Q

D R ∈　５．以下四个命题除了（ ）都是正确的．

．有理数域的商域是有理数域　

．环＝｛３ｋ｜ｋＺ｝的商域是有理数域．实数域的商域是复数域

．整环中的每一个非零元在它的商域中都有逆元

S S A B (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}B H =(1), (12)(34)}C A D S ４４４４４6．是四次对称群，以下哪一个不是的正规子群（ ）．

．　＝｛　．｛　

．四次交代群 ．的平凡子群A B C D ７．关于整环，除环，域，以下说法不正确的是（ ）．

．域一定是除环 ．除环中任意非零元的阶数（对加法）相等

．整环一定是除环 ．有限整环一定是域

三、填空题（每小题２分，共１６分）

A B={

B A 若集合＝｛２，４，６，８｝，２，３，５，７｝，则＼＝｛ ｝　．

G G ∈?∈r ２．是群，ａ，且|a|＝ｍ，则ｒＺ，有|ａ|＝ ．

G G ker = ?∈设f 是群的自同态，ｅ是的单位元，ａＧ，ｆ（ａ）＝ｅ，则ｆ ４．G 若Ｇ＝（ａ）是６阶循环群，则有 个　真子群．

５．在有理数环Q 中，令T={1，2，3}，则由T 生成的环[T]= ． ６．设σ=（1324），τ=（1243），则στ= ．

R R ?∈是有单位元１的环，则ａ，主理想（ａ）＝ ８．在Z 7[x]中：（[3]x 3+[5]x-[4]）（[4]x 2-x+[3]）= ．

四、设S 3是三次对称群，回答并计算下列问题：（１９分）

（1） 给出S 3中每个元素的阶：（４分）

（2）给出由（１３２）生成的子群：（２分）（

（１３２））={ }

（3）求出S 3中下列元素的逆元：（３分）

－１（１３）＝ ，－１（１２３）＝

，－１（１３２）＝

；（4）给出S 3的所有真子群以及正规子群： （５）设{(1), (13)}Ｈ＝，给出S 3关于H 的左陪集分解和右陪集分解：

G H G N G N H G ≤

≤ 五、是群，，　，　证明：．（１０分） Z Z[]Z[]六、求整数环上的一元多项式元环ｘ的理想（２，ｘ），并证明（２，ｘ）

是ｘ的一个极大理想．（１２分） (1 10[]1 [][b][][b][1] m n 1 s 1 2 Z a Z a Z a a t m s nt Z ?===?+=ｐｐｐｐ七、１５分）设ｐ是素数，是模ｐ的剩余类环，

）（分）证明是中的可逆元（，ｐ），并写出的所有可逆元。

提示：若是可逆元，则存在使得，

再充分利用（，）存在，使得即可。

）（５分）证明是无零因子环．（利用零因子的定义）

1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。

3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。

7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

二、单项选择题

2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b

a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；

③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，

b a b a -= 。

8、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ） ①若a 是零元，则b 是零元； ②若a 是单位元，则b 是单位元； ③若a 不是零因子，则b 不是零因子；④若2R 是不交换的，则1R 不交换。

10、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（ ）

①()()()F I I E I E :::=； ②()()()I E F I E F :::=； ③()()()I F F E F I :::=； ④()()()F I I E F E :::=。

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有

=?A B 。

2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则

()[]=-a f f 1 。

3、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A 。

4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。

5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

6、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π 。

7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 。

8、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I R 是一个域当且仅当I 是 。

9、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如

果 。

10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如

果 。

四、改错题1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么 0≠S 。

4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那么必有'd d =。

5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n

n a a a αα 。

五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）

1、给出下列四个四元置换

???

? ??=????

??=???? ??=???? ??=341

2432

1,4312432

1

,34214321

,432143214321ππππ组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及1

4

131211,,,----ππππ

和G 的所有子群。

2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈。如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算

)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。

六、证明题（每小题10分，共40分）

2、设R 为实数集，0,,≠∈?a R b a ，

令R x b ax x R R f b a ∈?+→,,:),( ，将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈?=a R b a f G b a ，试证明：

对于变换普通的乘法，G 作成一个群。

3、设1I 和2I 为环R 的两个理想，试证21I I 和

{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的理想。

4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子。

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，

1.设A=R （实数域）， B=R+（正实数域）:a →10 a a ∈A 则 是从A 到B 的

A.满射而非单射

B.单射而非满射

C.一一映射

D.既非单射也非满射

2.设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的

一个子集 的同态满射的是( )。

A.x →10x

B.x →2x

C.x →|x|

D.x →-x

3.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 中与元（1 2

3）不能交换的元的个数是A.1 B.2 C.3 D.4

4.整数环Z 中，可逆元的个数是( )。A.1个 B.2个 C.4个 D.无限个

5.剩余类加群Z 18的子群有( )。A.3个 B.6个 C.9个 D.12个

二、填空题(每空3分，共27分)

1.设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.

2.n 次对称群Sn 的阶是____________.

3.一个有限非可换群至少含有____________个元素.

4.设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有____________个.

5.除环的理想共有____________个.

6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是____________.

7.设I 是唯一分解环，则I ［x ］与唯一分解环的关系是____________.

8.在 , i+3, π2, e-3中，____________是有理数域Q 上的代数元.

9. + 在Q 上的极小多项式是____________.

三、解答题(第1、2小题各12分，第3小题10分，共34分)

1.设G 是6阶循环群，找出G 的全部生成元，并找出G 的所有子群.

2.求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？

3.设Z 是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z 的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z 的理想吗？为什么？

四、证明题(每小题8分，共24分)

1.设a 、b 是群G 的元素，a 的阶为2，b 的阶为3，且ab=ba ，证明ab 的阶是6.

2.证明：在n 阶群G 中每个元都满足x n = e.

3.设A= ??????????∈????

??Z c b a c b a ,,0 关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明A 1=??

????????∈???? ??Z x x 000 是A 的子环，找出A 到A 的一个同态满射f,求f 的核N.

二、简答题（先说出结论，后简述理由）（每小题6分，共30分）

1、设A 是实数集，规定A 的元间的一个关系如下：

0,,≥?∈?ab aRb A b a 。问R 是不是A 的元间的等价关系？

4、模47的剩余类47Z 有没有零因子？

四、证明题（每小题10分，共30分）

五、计算题：设[]x Z x g x f 6)(),(∈，[][][]253)(3++=x x x f 、

[][][]354)(2

++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。（10分）

3、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。

8、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如 果 。

10、实数域R 的全部理想是 。

11、模8的剩余类环的全部零因子是 。

二、简答题（先说出结论，后简述理由）（每小题6分，共36分）

3、有限群的每个元的阶是否都有限？

5、含有n （n 为某个大于1的正整数）个元数集S 关于普通加法和乘法是否作成一个环？

三、证明题（每小题10分，共30分）

3、设环R 与环R 同态，?是同态满射，μ是R 的一个不变子群，μ是N 在?之下的逆象，证明：μμR R ?。

3、设R 是Z 上的二阶矩阵环，μ是元素均为偶数的二阶矩阵构成的集合。证明μ是R 的理想，并最简形式写出剩余类环μR 的全部元。（10分）

4、设G 是一个循环群，N 是G 的子群，证明N G 也是循环群。（8分）

5、设N M ,都是群G 的不变子群，且N M ?。证明商群N G M G 与 同态。

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