空间直角坐标系分解
空间向量正交分解及坐标表示
x
k i
Q
在i, j所确定的平面上 存在实数x, y, ,
OP OQ zk xi y j zk
二、空间向量基本定理：
如果三个向量 任一向量
p ，存在有序实数组 x, y, z 使得： p xa yb zc
a, b, c
不共面，那么对空间
3.1.4-5 空间向量的正交 分解及其坐标运算
空间直角坐标系. 向量的直角坐标表示及运算.
一、空间向量的坐标分解
给定一个空间坐标系和向量 z 为空间两两垂直的 p ,且设 i, j , k 向量， 由平面向量基本定理有
p
P
O j
y
在OQ, k所确定的平面上, 存在 实数z, 使得OP OQ z k
15 1 1 BE1 DF1 0 0 11 16 4 4
C
D
O
B
y
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4
A
x
15 cos BE1 , DF1 17 17 17 BE1 DF1 4 4
六、例题分析：
例1 已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a, a b
D1 A1 F1 E1 B1
C1
例2 如图,在正方体ABCD-AB1C1D1 1 A1B1 中,B1E1=D1F1= ,求BE1与DF1所 4 成角的余弦值.
A
D C B
例2
B 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中， 1 E1 D1F1 A1B1
4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
空间坐标系
同理，点 A 的坐标是（3，0，2）．
'
典型例题
| 例1 如下图，在长方体OABC D ' A' B 'C '中， OA | 3 | OC | 4 写出四点D’，C，A’，B’的坐标． | OD ' | 2
，
z
D
A
'
'
B'
O B
C'
C y
x
A
解：点B’在平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐 标y同点B的横坐标x与纵坐标y 相同．在xOy平面上，点B 横 坐标x=3，纵坐标y=4；点B’在z轴上的射影是D’，它的竖坐标 与点D’的竖坐标相同，点D’的竖坐标z=2． 所以点B’的坐标是（3，4，2）．
B
y轴上的点横坐标竖坐标为 0 .
z轴上的点横坐标纵坐标为 0 .
二、坐标平面内的点
xOy平面是坐标形如 (x,y,0) 的点构成的
yOz平面是坐标形如 (0,y,z) 的点构成的
xOz平面是坐标形如 (x,0,z) 的点构成的
练一练
空间直角坐标系
OABC—D’A’B’C’是单位正方体．以O为原点，分别以射 线OA,OC, OD’的方向为正方向，以线段OA,OC, OD’的长为单 位长，建立空间直角坐标系O—xyz．试说出正方体的各个顶点 的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（x，y， z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M 在此空 间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z）．其中x 叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的 竖坐标． z
R
M
P
7-1 空间直角坐标系,向量及其线性运算
OM = { x , y , z } 与其终点 的坐标一致. 与其终点M 的坐标一致.
所以要求一个向量的坐标， 所以要求一个向量的坐标 ， 可将其起点移至坐标原点， 可将其起点移至坐标原点 ， 直接求终点的坐标即可. 直接求终点的坐标即可.
o o
z
M( x, y, z) y
x
利用坐标作向量的线性运算 r r r r r 设a = {ax , ay , az }, 即 a = a x i + a y j + a z k ; r r r r r b = bx i + b y j + bz k ; b = {bx , by , bz },
第七章
空间解析几何与向量代数
空间解析几何： 空间解析几何：通过建立空间直角坐标系 把空间几何图形和代数方程联系起来. 把空间几何图形和代数方程联系起来. 向量：既有大小又有方向的量. 向量：既有大小又有方向的量. 本章知识也为讨论多元函数微积分立下几何 基础。 基础。
第七章 七
第一节 空间直角坐标系、 向量及其线性运算
MD = 1 ( b − a) 2
C
b
A
M a B
∴ MA = − 1 ( a + b) MB = − 1 (b − a) 2 2 MC = 1 ( a + b) 2
向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. r r r r 定理: 设向量a ≠ 0，那末向量b 平行于a 的
2
Q M 1 P = x2 − x1 ,
z
R
• M2
M1
平面直角坐标系与空间直角坐标系
平面直角坐标系与空间直角坐标系直角坐标系是数学中常用的坐标系统，用于确定点在平面或空间中的位置。
其中，平面直角坐标系是用来描述平面上的点的位置，而空间直角坐标系则是用来描述三维空间中的点的位置。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
这两条轴相交于原点O，分别向右和上延伸。
在平面直角坐标系中，任意点的位置可以由其在x轴和y轴上的坐标来确定。
标记一个点P在平面直角坐标系上，可以使用一个有序数对(x, y)表示，其中x为点P在x轴上的坐标，y为点P在y轴上的坐标。
例如，若点P的坐标为(3, 4)，则表示点P横坐标为3，纵坐标为4，将点P与(3, 4)这个数对对应起来。
在平面直角坐标系中，直角坐标满足右手定则。
向右和向上的方向分别被定义为正方向，向左和向下的方向分别被定义为负方向。
根据这个规则，可以定义出平移、旋转等运算。
二、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面坐标系的扩展，它由三条互相垂直的轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
这三条轴相交于原点O，在各自的轴上分别向右、上和外延伸。
在空间直角坐标系中，任意点的位置可以由其在x 轴、y轴和z轴上的坐标来确定。
和平面直角坐标系类似，标记一个点P在空间直角坐标系上，可以使用一个有序数组(x, y, z)表示，其中x为点P在x轴上的坐标，y为点P在y轴上的坐标，z为点P在z轴上的坐标。
例如，若点P的坐标为(1, 2, 3)，则表示点P横坐标为1，纵坐标为2，高度为3。
在空间直角坐标系中，同样满足右手定则。
向右、向上和指向观察者外延的方向被定义为正方向，向左、向下和指向观察者内缩的方向被定义为负方向。
这样的定义使得在空间直角坐标系中可以进行平移、旋转、缩放等几何变换。
三、平面直角坐标系与空间直角坐标系的区别与联系平面直角坐标系和空间直角坐标系有许多相似之处，但也存在一些显著的不同。
首先，平面直角坐标系只有两个轴，用来描述平面上的点的位置，而空间直角坐标系有三个轴，用来描述三维空间中的点的位置。
1.3.1 空间直角坐标系(解析版)..
1.3空间向量及其运算的坐标表示1．3.1空间直角坐标系知识梳理知识点一空间直角坐标系1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．知识点二空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k .在单位正交基底{i ，j ，k }下与向量OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．知识点三空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )．题型探究题型一、空间中点的位置及坐标特征1．若空间一点()21,1,11M a a +-+在z 轴上，则=a （）A ．1B ．0C ．±1D ．1-【答案】D【详解】因为空间一点()21,1,11M a a +-+在z 轴上，所以21010a a +=⎧⎨-=⎩，解得1a =-；故选：D2．在空间直角坐标系中，点()2,0,3P 位于（）A ．x 轴上B ．y 轴上C ．xOy 平面上D ．xOz 平面上【答案】D【详解】在空间直角坐标系Oxyz 中,点()2,0,3P ，因为坐标中0y =，所以点()2,0,3P 位于xOz 平面上.故选：D.3．已知点A '是点(2,9,6)A 在坐标平面Oxy 内的射影，则点A '的坐标为（）A ．(2,0,0)B ．(0,9,6)C ．(2,0,6)D ．(2,9,0)【答案】D【详解】因为点A '是点(2,9,6)A 在坐标平面Oxy 内的射影，所以A '的竖坐标为0，横、纵坐标与A 点的横、纵坐标相同，所以点A '的坐标为(2,9,0).故选：D4．已知点(),,P x y z ，若点P 在x 轴上，则点P 坐标为___________；若点P 在yOz 平面内，则点P 坐标为___________.若点P 在z 轴上，则点P 坐标为___________；若点P 在xOz 平面内，则点P 坐标为___________.【答案】(),0,0x ()0,,y z ()0,0,z (),0,x z 【详解】若点P 在x 轴上，则点P 坐标为(),0,0x ；若点P 在yOz 平面内，则点P 坐标为()0,,y z ；若点P 在z 轴上，则点P 坐标为()0,0,z ；若点P 在xOz 平面内，则点P 坐标为(),0,x z .故答案为：(),0,0x ；()0,,y z ；()0,0,z ；(),0,x z .题型二、求空间图形上的点的坐标1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，1AD =，12AA =，先建立空间直角坐标系，再求长方体各顶点的坐标.【详解】以点D 为原点，分别以射线DA ､DC ､1DD 为x 轴､y 轴､z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ､()1,0,0A ､()1,3,0B ､()0,3,0C ､()10,0,2D ､()11,0,2A ､()11,3,2B ､()10,3,2C .2．如图所示，在空间直角坐标系中，2BC =，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且90BDC ∠=，30DCB ∠=，则点D 的坐标为（）．A ．13(0)22--，，B ．13(0)22-，，C ．13(0)22-，，D ．13(0)22，，【答案】B【详解】过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，在Rt BDC 中，90BDC ∠=，30DCB ∠=，2BC =，得||1BD =、3CD =，所以3sin 302DE CD =⋅=，所以11cos 60122OE OB BE OB BD =-=-⋅=-=，所以点D 的坐标为13(0)22-，，，故选：B ．3．如图，长方体ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12，点P 为体对角线BD '的中点，则P 点坐标为（）A ．()5,6,5B ．()6,6,5C ．()5,5,6D ．()6,5,5【答案】C【详解】长方体ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12，所以()0,0,12D '，()10,10,0B ，所以对角线BD '的中点P 点坐标为010010012,,222P +++⎛⎫⎪⎝⎭即()5,5,6，故选：C.4．在如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，已知()10,2,2D ，()3,0,0B ，则点1C 的坐标为________．【答案】()3,2,2【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，已知()10,2,2D ，()3,0,0B ，所以3AB =，2AD =，12AA =，所以点1C 的坐标为()3,2,2，故答案为：()3,2,2题型三、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标1．如图，分别求点()2,3,4，()1,2,3-关于各个坐标平面、坐标轴、原点对称的点的坐标．【详解】根据空间直角坐标系的概念，可得：点()2,3,4关于坐标平面,,xOy xOz yOz 的对称点分别为()()()2,3,4,2,3,4,2,3,4---；点()1,2,3-关于坐标平面,,xOy xOz yOz 的对称点分别为()()()1,2,31,2,,,31,2,3----；点()2,3,4关于x 轴、y 轴和z 轴的对称点分别为()()()2,3,4,2,3,4,2,3,4------；点()1,2,3-关于x 轴、y 轴和z 轴的对称点分别为()()()1,2,31,2,,,31,2,3-----；点()2,3,4关于原点O 的对称点分别为()2,3,4---；点()1,2,3-关于原点O 的对称点分别为()1,2,3--.2．已知点(3,2,1)P -，分别写出它关于zOx 平面、x 轴、原点的对称点的坐标．【详解】根据空间直角坐标系的定义，可得：点(3,2,1)P -关于平面zOx 的对称点为1(3,2,1)P ；点(3,2,1)P -关于x 轴的对称点为2(3,2,1)P -；点(3,2,1)P -关于原点的对称点为3(3,2,1)P --.3．（多选）下列各命题正确的是（）A ．点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3B ．点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．点()2,1,3-到平面yOz 的距离为1D ．设{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若324m i j k =-+，则()3,2,4m =-【答案】ABD【详解】对于A ，点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3，所以A 正确，对于B ，点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，点()2,1,3-到平面yOz 的距离为2，所以C 错误，对于D ，由于{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，且324m i j k =-+，所以ۥ，所以D 正确，故选：ABD4．已知()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点是(),7,6A λ'-，则,,v λμ的值为（）A ．2,4,5v λμ=-=-=-B ．2,4,5v λμ==-=-C ．2,10,8v λμ=-==D ．2,10,7v λμ===【答案】D【详解】由题意得：()()27361v λμ⎧=⎪=--⎨⎪-=--+⎩，解得：2107v λμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故选：D.题型四、求空间两点的中点坐标1．在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A -，(5,2,1)B ，则线段AB 的中点坐标是（）A ．(1,1,0)B ．(4,2,2)C ．(2,2,0)D ．(2,1,1)【答案】D【详解】因为点(1,0,1)A -，(5,2,1)B ，所以线段AB 的中点坐标是150211,,222-+++⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1,1.故选：D2．在空间直角坐标系中，记点(1,1,2)M -关于x 轴的对称点为N ，关于yOz 平面的对称点为P ，则线段NP 中点坐标为（）A ．(1,0,0)B ．(1,1,0)--C ．(1,0,1)D ．(0,0,0)【答案】D【详解】依题意，点(1,1,2)M -关于x 轴的对称点的坐标为(1,1,2)N ---，关于yOz 平面的对称点为(1,1,2)P ，所以线段NP 中点坐标为(0,0,0).故选：D3．已知三角形ABC 的三个顶点()()()2,0,00,3,00,0,4A B C ，，，则三角形的重心的坐标为___________.【答案】24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭【详解】设重心坐标为(),,x y z ，由重心坐标公式得200233x ++==，03000441,333y z ++++====.所以重心的坐标为24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭.题型五、空间向量的坐标1．在空间直角坐标系中，已知点()4,3,5A -，()2,1,7B --，则AB =uu u r______．【答案】(6,4,12)--【详解】(24,1(3),75)(6,4,12)AB =------=--故答案为：(6,4,12)--2．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN ，1BA ，1A B uuu r的坐标．【答案】BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B uuu r＝(－1，1，－2)．【详解】由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz ，如图所示．则B (0，1，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，N (1，0，1)，∴BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B uuu r＝(－1，1，－2)．跟踪训练1．设z 为任一实数，则点()2,2,z 表示的图形是（）A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOyD ．与平面xOy 垂直的一直线【答案】D【详解】在空间直角坐标系中画出动点()2,2,z 表示的图形如图所示：故点()2,2,z 表示的图形为与平面xOy 垂直的一直线，故选：D.2．在空间直角坐标系O xyz -中，已知点M 是点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影，则的坐标是（）A ．()3,0,5B ．()0,4,5C ．()3,4,0D ．()0,0,5【答案】C【详解】点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影为()3,4,0，故点M 的坐标是()3,4,0故选：C3．判断正误（1）空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是()0,,b c 的形式．()（2）空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(),0,a c 的形式．()（3）空间直角坐标系中，点()1,3,2关于yOz 平面的对称点为()1,3,2-．()【答案】⨯√√【详解】（1）⨯.空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(),0,0a 的形式.（2）√.在xOz 平面内的点，y 坐标必为0.（3）√.空间直角坐标系中，点(),,a b c 关于yOz 平面的对称点为(),,a b c -.4．（多选）在空间直角坐标系中，下列结论中正确的是（）A ．x 轴上的点坐标可以表示为()0,,b cB ．y 轴上的点坐标可以表示为()0,,0bC ．xOz 平面上的点坐标可以表示为(),0,a cD ．yOz 平面上的点坐标可以表示为()0,,b c 【答案】BCD【详解】x 轴上的点坐标可以表示为(),0,0a ，故A 不正确；y 轴上的点坐标可以表示为()0,,0b 正确；xOz 平面上的点坐标可以表示为(),0,a c 正确；yOz 平面上的点坐标可以表示为()0,,b c 正确．故选：BCD ．5．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标．【详解】依题意得()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0A B C D ()()()()11110,0,2,2,0,2,2,2,2,0,2,2A B C D 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，15AA =，点N 为棱1CC 的中点，以点A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系.求点A ，B ，C ，D ，1A ，1B ，1C ，1D ，及N 的坐标.【详解】由题意，知()0,0,0A .由于点B 在x 轴上，且4AB =，则它的横坐标为4，又它的纵坐标和竖坐标都为0，所以点B 的坐标为()4,0,0.同理可得()0,3,0D ，()10,0,5A .由于点C 在xOy 平面内，则它的竖坐标为0，点C 在x 轴､y 轴上的投影依次为点B ､点D ，又4OB =，3OD =，所以点C 的横坐标和纵坐标依次为4，3，即点C 的坐标为()4,3,0.同理可得()14,0,5B ，()10,3,5D .点1C 在x 轴､y 轴和z 轴上的投影依次为点B ､点D 和点1A ，所以点1C 的坐标为()4,3,5.又N 为1CC 的中点，所以点N 的坐标为443305,,222+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即54,3,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.7．在空间直角坐标系中，分别求点(2,1,4)P -关于x 轴、xOy 平面、坐标原点对称的点的坐标．【详解】点(2,1,4)P -关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，关于xOy 平面对称的点的坐标为()2,1,4--，关于坐标原点对称的点的坐标为()2,1,4--.8．在空间直角坐标系下，点()3,6,2M -关于y 轴对称的点的坐标为（）A ．()3,6,2-B ．()3,6,2---C ．()3,6,2-D ．()3,6,2--【答案】C【详解】关于y 轴对称的点的y 坐标不变，,x z 坐标变为相反数，()3,6,2M ∴-关于y 轴对称的点为()3,6,2-.故选：C.9．空间直角坐标系中，已知点()1,1,1M 关于x 轴的对称点为N ，则点N 的坐标为（）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1-C ．()1,1,1--D ．()1,1,1--【答案】A【详解】因为点()1,1,1M 关于x 轴的对称点为N ，所以()1,1,1N --.故选：A10．在空间直角坐标系下，点()2,6,1M -关于平面yOz 对称的点的坐标为（）A ．()2,6,1B ．()2,6,1-C ．()2,6,1---D ．()2,6,1--【答案】A【详解】点()2,6,1M -关于平面yOz 对称的点的坐标为()2,6,1.故选：A.11．在空间直角坐标系Oxyz 中，点P （1，2，3）关于xOy 平面的对称点坐标是（）A ．(1,2,)3-B ．1,23(,)--C ．(1,2,3)-D ．(1,2,3)--【答案】A【详解】在空间直角坐标系O xyz -,关于xOy 平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数，所以点P 关于平面xOy 对称点是()1,2,3-.故选：A12．在空间直角坐标系O-xyz 中，点(3,2,5)A -关于xoz 平面对称的点的坐标为（）A ．(3,2,5)-B ．(3,2,5)--C ．(3,2,5)D ．(3,2,5)-【答案】C【详解】关于xoz 平面对称的点，y 坐标互为相反数，所以(3,2,5)A -关于xoz 平面对称的点的坐标为(3,2,5).故选：C13．（多选）在空间直角坐标系中，已知点(),,P x y z ，下列叙述正确的是（）A ．点P 关于x 轴对称的点()1,,P x y z --B ．点P 关于y 轴对称的点()2,,P x y z --C ．点P 关于原点对称的点()3,,P x y z ---D ．点P 关于yOz 平面对称的点()4,,P x y z -【答案】ABC【详解】由点(),,P x y z ，对于A ，点P 关于x 轴对称的点()1,,P x y z --，故A 正确；对于B ，点P 关于y 轴对称的点()2,,P x y z --，故B 正确；对于C ，点P 关于原点对称的点()3,,P x y z ---，故C 正确；对于D ，点P 关于yOz 平面对称的点()4,,P x y z -，故D 错误．故选：ABC.14．空间直角坐标系中的两点()()1,2,3,1,0,1P Q -，则线段PQ 的中点M 的坐标为（）A ．()0,2,4B ．()0,1,2C ．()2,2,2D ．()2,2,2---【答案】B【详解】设M 的坐标为(,,)x y z ，则1(1)022*******x y z +-⎧==⎪⎪+⎪==⎨⎪+⎪==⎪⎩即M 的坐标为(0,1,2)，故选：B.15．已知()4,1,3A 、()2,4,3B --，则线段AB 中点的坐标是______.【答案】31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】已知()4,1,3A 、()2,4,3B --，则线段AB 中点的坐标是31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.16．如图PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点，并且1==PA AB ．试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN的坐标．【答案】11(0,,)22MN =【详解】因为1==PA AB ，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 是两两垂直的单位向量．设123e e AB AD AP e ===，，，以123{e e }e ，，为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，连接AC ．如图所示，因为1111()2222MN MA AP PN AB AP PC AB AP PA AC ++=-++=-+=++23111111()e 222222AB AP PA AB AD AD AP e =-++++=+=+所以11(0)22MN =，，．17．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB 的坐标为____，1DC 的坐标为____，1B D 的坐标为_______．【答案】(1,0,0)(1,0,1)(1,1,1)--【详解】如题图示，11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1),(1,1,1)A B D B C ，∴(1,0,0)(0,0,0)(1,0,0)AB =-=，1(1,1,1)(0,1,0)(1,0,1)DC =-=，1(0,1,0)(1,0,1)(1,1,1)B D =-=--.故答案为：(1,0,0)，(1,0,1)，(1,1,1)--.18．（多选）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 的边长为2，三棱柱的高为111,,BC B C 的中点分别为1,D D ，以D 为原点，分别以1,,DC DA DD 的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（）A ．()10,3,1A B ．()11,0,1CC ．()10,3,1AD =-D ．()13,3,1B A =-【答案】ABC【详解】在等边ABC 中，2,1AB BD ==，所以3AD =，则()()()1110,3,0,0,3,1,1,0,1,)(0,0,1A A C D ，()11,0,1B -，则()()110,3,1,1,3,1AD B A =-=-.故选：ABC高分突破1．点()1,2,3P -在坐标平面Oxy 内的射影的坐标为（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3---C ．()1,2,0D ．()0,0,3-【答案】C【详解】在空间直角坐标系中，可得点()1,2,3P -在坐标平面Oxy 内的射影的坐标为()1,2,0．故选：C.2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AD =，4DC =，12DD =，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则点1B 的空间直角坐标为（）A ．()4,3,2B ．()2,4,3C ．()3,4,2D ．()3,2,4【答案】C【详解】横坐标为点1B 到坐标面yDz 的距离，纵坐标为点1B 到坐标面xDz 的距离，竖坐标为点1B 到坐标面xDy 的距离，因为3AD =，4DC =，12DD =，所以点1B 的空间直角坐标为()3,4,2.故选：C.3．已知空间向量(1,2,3)a =-，则向量a 在坐标平面xOz 上的投影向量是（）A ．(0,1,2)-B ．(1,2,0)-C ．(0,2,3)D ．(1,0,3)-【答案】D【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(1,2,3)A =-在坐标平面xOz 上的投影坐标，纵坐标为0，横坐标与竖坐标不变．所以空间向量(1,2,3)a =-在坐标平面xOz 上的投影向量是：(1,0,3)-，故选：D.4．在空间直角坐标系中，点()2,1,2M -和点()2,1,2N --的位置关系是（）A ．关于x 轴对称B ．关于z 轴对称C ．关于xOz 平面对称D ．关于yOz 平面对称【答案】C【详解】在空间直角坐标系中，点()2,1,2M -和点()2,1,2N --两点x 坐标，z 坐标相同，y 坐标相反，所以()2,1,2M -和点()2,1,2N --关于xOz 平面对称，故选：C.5．若点()(),,0P x y z xyz ≠关于xOy 的对称点为A ，关于z 轴的对称点为B ，则A ､B 两点的对称是（）A ．关于xOy 平面对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于坐标原点对称【答案】D【详解】点(),,P x y z 关于xOy 的对称点为(),,A x y z -，关于z 轴的对称点为(),,B x y z --，显然,A B 两点关于坐标原点对称.故选：D .6．笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1C ．()1,1,1-D ．()1,1,1---【答案】B【详解】由图可知，点(1,1,1)A --，所以点A 关于x 轴对称的点的坐标为(1,1,1).故选：B.7．在空间直角坐标系O xyz -，点()1,2,5A -关于平面yoz 对称的点B 为（）A ．()1,2,5--B ．()1,2,5--C ．()1,2,5---D ．()1,2,5-【答案】B【详解】关于平面yoz 对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相同，故选：B8．向量(1,2,0),(1,0,6)OA OB ==-，其中C 为线段AB 的中点，则点C 的坐标为（）A ．(0,2,6)B ．(2,2,6)--C ．(0,1,3)D ．(1,1,3)--【答案】C【详解】∵(1,2,0),(1,0,6)OA OB ==-，∴由中点坐标公式可得，线段AB 的中点C 的坐标为()0,1,3.故选：C .9．在空间直角坐标系中，点(1,4,3)P -与点Q (3,2,5)-关于点M 对称，则点M 的坐标为（）A ．(4,2,2)B ．(2,1,2)-C ．(2,1,1)D ．(4,1,2)-【答案】C【详解】因为(1,4,3)P -与点Q (3,2,5)-，M 为PQ 的中点，所以由中点公式可知M 的坐标为()2,1,1．故选：C10．已知点1M ，2M 分别与点(1,2,3)M -关于x 轴和z 轴对称，则12M M =（）A ．(2,0,6)-B ．(2,0,6)-C ．(0,4,6)-D ．(0,4,6)-【答案】A【详解】依题意，点(1,2,3)M -关于x 轴对称点1(1,2,3)M -，关于z 轴对称点2(1,2,3)M -，所以12(2,0,6)M M =-.故选：A11．（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则（）A ．点1C 的坐标为（2，0，2）B ．()12,2,2C A =--C ．1BD 的中点坐标为（1，1，1）D ．点1B 关于y 轴的对称点为（－2，2，－2）【答案】BCD【详解】根据题意可知点1C 的坐标为(0,2,2)，故A 错误；由空间直角坐标系可知：1(2,0,0),(2,2,2)A C A =--,故B 正确；由空间直角坐标系可知：1(2,2,0),(0,0,2)B D ,故1BD 的中点坐标为（1，1，1），故C 正确；点1B 坐标为(2,2,2)，关于于y 轴的对称点为（－2，2，－2），故D 正确，故选：BCD12．（多选）已知四边形ABCD 的顶点分别是()312A -，，，()121B -，，，()113C --，，，()353D -，，，那么以下说法中正确的是（）A ．()233AB =--，，B ．A 点关于 x 轴的对称点为()312-，，C ．AC 的中点坐标为()201--，，D ．D 点关于xOy 面的对称点为()353--，，【答案】ABD【详解】由于四边形ABCD 的顶点分别是(3A ，1-，2)，(1B ，2，1)-，(1C -，1，3)-，(3D ，5-，3)，对于A :(2,3,3)AB =--，故A 正确；对于B ：点A 关于x 轴对称的点的坐标为(3，1，2)-，故B 正确；对于C :AC 的中点坐标为(1，0，1)2-，故C 错误；对于D ：点D 关于xOy 面的对称点为(3，5-，3)-，故D 正确；故选：ABD ．13．点(),,P a b c 到坐标平面yOz 的距离是______.【答案】a【详解】由已知可得点(),,P a b c 到坐标平面yOz 的距离是a .故答案为：a .14．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为()2,4,3-，过P 作xOz 平面的垂线，垂足为Q ，则Q 点的坐标为______．【答案】()2,0,3Q 【详解】由于垂足Q 在xOz 平面内，可设(),0,x z ，因为PQ ⊥平面xOz ，所以,P Q 两点的横坐标和竖坐标相等，故()2,0,3Q ，故答案为：()2,0,3Q .15．在空间直角坐标系中，点()1,4,2M --在xOz 平面上的射影的坐标是______，点M 关于原点对称的点的坐标是______．【答案】()1,0,2--()1,4,2-【详解】点()1,4,2M --在xOz 平面上的射影的坐标是()1,0,2--，点()1,4,2M --关于原点对称的点的坐标是()1,4,2-，故答案为：()1,0,2--，()1,4,2-16．若点()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点为(),5,6A λ'-，则λ=___________，μ=___________，=v ___________.【答案】287【详解】点()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点为()2,3,1v μ--，又其坐标为(),5,6λ-，故可得2,8,7v λμ===.故答案为：2；8；7.17．在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，下列叙述中，正确的序号是_______.①点P 关于x 轴的对称点是1(,,)P x y z -②点P 关于yOz 平面的对称点是2(,,)P x y z --③点P 关于y 轴的对称点是3(,,)P x y z -④点P 关于原点的对称点是4(,,)P x y z ---【答案】④【详解】①点P 关于x 轴的对称点的坐标是(x ，y -，)z -，故①错误；②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是(x -，y ，)z ，则②错误；③点P 关于y 轴的对称点的坐标是(x -，y ，)z -，则③错误；④点P 关于原点的对称点的坐标是(x -，y -，)z -，故④正确，故正确的序号是④.故答案为：④.18．已知()3,1,2a =-，a 的起点坐标是()2,0,5-，则a 的终点坐标为______．【答案】()5,1,3--【详解】设a 的终点坐标为(),,x y z ，由题可得：()()2,,53,1,2x y z -+=-，故可得5,1,3x y z ==-=-，即a 的终点坐标为()5,1,3--.故答案为：()5,1,3--.19．已知(357)A -，，、(243)B -，，，设点A 、B 在yOz 平面上的射影分别为1A 、1B ，则向量11A B 的坐标为________．【答案】(0110)-，，【详解】点(357)A -，，、(243)B -，，在yOz 平面上的射影分别为1(057)A -，，、1(043)B ，，，∴向量11A B 的坐标为(0110)-，，．故答案为：(0110)-，，.20．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，若3PA =，1AB =，2AC =，先建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)若点D 在线段PC 上靠近点P 的三等分点，求点D 的坐标.【详解】(1)因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AC ⊥，PA AB ⊥，又因为AB AC ⊥，所以建立以点A 为原点，以射线AB 、AC 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴的空间直角坐标系，如图所示：因为3PA =，1AB =，2AC =，所以()0,0,0A 、()1,0,0B 、()0,2,0C 、()0,0,3P ；(2)若D 点在线段PC 上靠近P 点的三等分点，所以2CD DP =，设点D 的坐标为(),,x y z ，则020*******,1230232,12x y z +⋅⎧==⎪+⎪+⋅⎪==⎨+⎪+⋅⎪==⎪+⎩所以20,,23D ⎛⎫⎪⎝⎭.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 4=，3AD =，15AA =，N 为棱1CC 的中点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）求点1111,,,,,,,A B C D A B C D 的坐标；（2）求点N 的坐标．【详解】（1）D 为坐标原点，则()0,0,0D ，点A 在x 轴的正半轴上，且3AD =，()3,0,0A ∴，同理可得：()0,4,0C ，()10,0,5D ．点B 在坐标平面xOy 内，BC CD ⊥，BA AD ⊥，()3,4,0B ∴，同理可得：()13,0,5A ，()10,4,5C ，与B 的坐标相比，点1B 的坐标中只有z 坐标不同，115BB AA ==，()13,4,5B ∴．综上所述：()3,0,0A ，()3,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()13,0,5A ，()13,4,5B ，()10,4,5C ，()10,0,5D .（2）由（1）知：()0,4,0C ，()10,4,5C ，则1CC 的中点N 为004405,,222+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即50,4,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．如图，正方体OABC D A B C ''''-的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C D ''，D A ''，A A '，AB ，BC ，CC '的中点，写出正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标．【答案】0,,2a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a H a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a I a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,2a J a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】因为正方体OABC D A B C ''''-的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C D ''，D A ''，A A '，AB ，BC ，CC '的中点所以0,,2a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a H a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a I a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,2a J a ⎛⎫ ⎪⎝⎭23．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，若3PA =，2AB =，2AC =，建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)若点Q 是PC 的中点，求点Q 坐标；(3)若点M 在线段PC 上移动，写出点M 坐标.【详解】(1)在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，则射线,,AB AC AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AC AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，所以(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,3)P .(2)由（1）知，点Q 是PC 中点，则3(0,1,)2Q .(3)由（1）知，点M 在线段PC 上移动，则点M 的横坐标为0，设其纵坐标为t (02)t ≤≤，其竖坐标z ，当M 与A 不重合时，23,3322z t z t -==-，当M 与A 重合时，z =3满足上式，因此332z t =-，所以点3(0,,3)(02)2M t t t -≤≤.。
1.2空间直角坐标系-向量的坐标表示
例 8 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到 点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
设空间两点A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 ), 则点A与点B之间的距离| AB | 就是 向量AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)的模. 即:| AB || AB |
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
例4 在空间直角坐标系中，指出下列各
点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
解答： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
例 6 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 )为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为
两部分AM 、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
解 设 M( x, y, z)为直线上的点， z
B
AM {x x1, y y1, z z1} A M
非零向量
a
的方向角： 、
、
z
a M1M2 (ax , ay , az )
高数空间解析几何学空间直角坐标系
实例 一 物 体 在 常 力 F 作 用 下 沿 直 线 从 点 M 移 动 1 到 点 M 2 ， 以 s 表 示 位 移 ， 则 力F 所 作 的 功 为 (其 中 为 F 与 s 的 夹 角 ) W | F || s | cos
定义 向 量 a 与 b 的 数 量 积 为 a b a b | a || b | cos b
坐标面上的点 A , B , C ,
z
R ( 0 ,0 , z )
O ( 0 ,0 ,0 )
B (0, y , z )
C ( x,o, z)
M ( x, y, z)
o
Q ( 0 , y ,0 )
y
x
P ( x ,0 ,0 )
A ( x , y ,0 )
3
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )为 空 间 两 点
x1
P1 P 2
x1 2
1 2
x 2,
cos cos
y0
P1 P 2
y0 2 z3 2
2 2
y
2,
z3
P1 P 2
(2,
1 2
z 4, z 2,
2 , 2 ).
21
P2 的 坐 标 为 ( 2 , 2 , 4 ),
四、两向量的数量积
注. 减法 a b a ( b )
b
a
ab ab
b
b
c
a
b c a ( b ) a b
空间各种直角坐标系
本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。
这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用如下图所示：（二）大地坐标系大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
地面点的高程和国家高程基准(1)绝对高程。
地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。
过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程系”(Huanghai height system1956水准原点高程为72.289m)。
后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。
国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。
它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。
在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。
(2)相对高程。
地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。
在图l—5中，地面点A和B的相对高程分别为H'A和H'B。
(3)高差。
地面上任意两点的高程(绝对高程或相对高程)之差称为高差。
空间直角坐标系
(0+4) +(01) +(z 7) = (30) +(50) +(2 z)
2 2 2 2 2
2
所以
14 z = 9
14 ，故所求的点的坐标为M（0，0，9 ） 故所求的点的坐标为M
设A，B中点坐标为 ( x 中 ， y 中 ， z 中） 故有 ， 中点坐标为
x中 4+3 1 1+ 5 72 5 = = ， y中 = = 3， z 中 = = 2 2 2 2 2
A
B
D
E
C
=ba
1 1 1 1 BD = BC = (b a ), EC = BC = (b a ) 3 3 3 3
从△ABD及△AEC中可得 ABD及 AEC中可得
AD = AB + BD, AE = AC + CE = AC EC
所以
AD 1 1 (b + 2 a ) = a + (b a ) = 3 3
b
a+b a
或三角形法则： 或三角形法则：
b a+b a b
运算律 交换律 结合律 a+b=b+a （a+b）+c=a+（b+c） ） （ ）
（3）向量的减法 ） 与向量a模相等而方向相反的向量称为 模相等而方向相反的向量称为a ★负向量： 负向量： 与向量 模相等而方向相反的向量称为 负向量， 记作-a。 的负向量， 记作 。 向量a减去向量 ，可以看成向量a加上向量 加上向量b的负 向量 减去向量b，可以看成向量 加上向量 的负 减去向量 向量-b， 向量 ，即a-b=a+（-b）。 （ ）。 如图所示
b a-bห้องสมุดไป่ตู้
空间直角坐标系与空间直角坐标的表示
空间直角坐标系与空间直角坐标的表示在数学中，空间直角坐标系是一种用于描述三维空间中点位置的坐标系统。
它基于三个相互垂直的坐标轴，通常用x、y和z来表示，这三条坐标轴将空间划分为三个相互垂直的平面。
本文将介绍空间直角坐标系以及如何使用坐标系表示三维空间中的点。
一、空间直角坐标系的定义与特点空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的。
通常情况下，我们将这三个坐标轴分别命名为x轴、y轴和z轴。
这三个坐标轴在空间中相交于一个点，这个点被称为坐标原点（0,0,0）。
x轴与y轴的交点定义为平面上的原点（0,0），x轴正方向与y轴正方向的夹角定义为正方向，即逆时针方向。
空间直角坐标系的特点如下：1. 三个坐标轴互相垂直，且共面，形成一个立方体。
2. 原点坐标为（0,0,0），表示三个坐标轴的交点。
3. 经过原点的平面称为底面，垂直于z轴的平面称为水平面。
这两个平面与坐标轴固定相对。
二、空间直角坐标的表示方法在空间直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序的三元组(x,y,z)。
根据点在坐标系中的位置，可以确定这个三元组的值。
以空间中的点P为例，假设它的坐标为(x,y,z)。
x表示点P到yoz平面的有向距离，当点P在x轴的负方向时，x值为负；y表示点P到xoz平面的有向距离，当点P在y轴的负方向时，y值为负；z表示点P 到xoy平面的有向距离，当点P在z轴的负方向时，z值为负。
在表示一个点的坐标过程中，我们需要关注一些特殊情况：1. 点在坐标轴上：当点P在x轴上时，其坐标为(0,y,z)；当点P在y 轴上时，其坐标为(x,0,z)；当点P在z轴上时，其坐标为(x,y,0)。
2. 坐标值为负数：当点P位于坐标轴的负方向时，对应坐标值为负数。
3. 特殊位置：坐标原点处的点坐标为(0,0,0)，表示坐标轴交点。
使用空间直角坐标系的表示方法，我们可以清楚地描述三维空间中的点的位置关系。
这对于几何图形的表示、运动的研究以及计算机图形学等领域都具有重要的意义。
空间向量的正交分解及其坐标表示坐标运算
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OQ OM MQ 1 OA 1 MN 1 OA 1 (ON OM）
23
2 3O
1 OA 1 (ON 1 OA)
23 2 1 OA 1 1 (OB OC)
M
3 32
Q
1 OA 1 OB 1 OC 36 6
A
P
C
B
N
练习 2.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、b 、c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
（1）当 cos a , b 1时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时， a b 。
思考：当0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时， 夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R) ; a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( ;R)
a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 . a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
a, b, c都叫做基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道 a,b,c不共面，还应明确：
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间 的一个基底.
（2 ） 由于可视0为与任意一个非零向量共线, 与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共 面,就隐含着它们都不是 0 .
空间直角坐标系
若
P( x1 , y1 , z1 ), Q( x2 , y2 , z2 ).
2 2 2
则 | PQ |= ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) + (z2 z1 ) .
b 如果非零向量 a = ( x1 , y1 , z1 ), = ( x2 , y2 , z2 )夹角为 θ .
则 cosθ =
b = ( x2 , y2 , z2 ). 则
a b = ( x1 i + y1 j + z1 k) ( x2 i + y2 j + z2 k) 2 2 2 = ( x1 x2 )i + ( y1 y2 ) j + (z1z2 )k + ( x1 y2 + x2 y1 )(i j) + ( x1z2 + x2z1 )(i k) + ( y1z2 + y2z1 )( j k)
∵ i = j = k = 1, i j = i k = j k = 0.
2 2 2
∴ a b = x1 x2 + y1 y2 + z1z2 .
2 2 2 2 特别地, 特别地, | a | = a a = x1 + y1 + z1 , | a |= x1 + y1 + z1 .
2 2 2
y
PQ = OQ OP = ( x2 i + y2 j + z2 k) ( x1 i + y1 j + z1 k)
= ( x2 x1 )i + ( y2 y1 ) j + (z2 z1 )k
= ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ).
有了向量的坐标表示后, 有了向量的坐标表示后,向量的运算可以转化为其坐标的 运算. 运算.如: = ( x1 , y1 , z1 ), a
空间直角坐标系
3.数量积不满足消去律
1.下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
②若 a b k
,则 a
k b
③ ( a b) c a (b c )
2 ,ab 2 , 2. 已知 a 2 2 , b 2 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.
角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、
DC的中点。求下列向量的数量积：
A F E D G C
(1) AB AC;(2) AD BD; (3)GF AC ;(4) EF BC.
4.如图，在空间四边形 ABCD 中，B AB 2 ， BC 3 ， BD 2 3 ， CD 3 ， ABD 30 ， ABC 60 ， 求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
D' A' O B' z C'
A C 与 D B 相交于点P
写出点P的坐标。
C y x A
B
中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 平面：P1 P2 的中点 ( , ) 2 2
类比
猜想
x1 x2 y1 y2 z1 z2 空间：P1 P2 的中点 ( , , ) 2 2 2
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 3 3 的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？ 2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
预备知识
数轴Ox上的点M
M x
空间直角坐标系与矢量的坐标表达式
（ 3） 3a 2b (3 2 2 3)i (3 3 2 (1)) j (3 4 2 (2))k 12 i 7 j 8 k .
Higher- mathematics ( II )
19 - 13
Monday, October 15, 2018
M
S
由于 OS OP OQ , SM OR 因此 , a OP OQ OR
Higher- mathematics ( II )
19 - 8
o
x
P a 1
Q
a2
y
Monday, October 15, 2018
三、矢量在直角坐标系中的分解式
设i , j , k分 别 是 Ox轴 、Oy轴 、Oz轴 正 向 的 单 位 矢 量 ， 由 于M的 坐 标 为 (a1 , a2 , a3 ), 因 此 OP a1i , OQ a2 j , OR a3 k
S
a2 y Q
x
19 - 10
P
Higher- mathematics ( II )
Monday, October 15, 2018
由 a OM a1i a2 j a3k 得 a OM a1 a2 a3
2 2 2
Hale Waihona Puke 为了表示矢量 a 的方向，我们把矢量 a 与 Ox 轴、 Oy 轴、
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
2 2
z
R
M1
M2
Q
o x
2
P
N
y
大学解析几何第四版分解
.
bc
将平行四边形一投一转
(a+b)c=(a c)+(b c)
b
c
a b
a
S=|a b|
h
4. 混合积的几何意义
h
a
c
a b
b
4. 混合积的几何意义
.
h
a
c
a b
b
4. 混合积的几何意义
.
其混合积 [abc] = 0
三矢 a, b, c共面
因此，
x
z
y
0
母线
F( x,y )=0
6. 一般柱面 F(y, z)=0
a
b
z
x
y
o
7. 椭圆柱面
z
x
y = 0
y
o
8. 双曲柱面
z
x
y
o
9. 抛物柱面
曲线 C
C
y
z
o
绕 z轴
10. 旋转面的方程
曲线 C
x
C
y
z
o
绕 z轴
10. 旋转面的方程
曲线 C
旋转一周得旋转曲面 S
C
S
M
N
z
P
y
z
o
绕 z轴
f (y1, z1)=0
主 目 录( 1— 30 )
28
29
30
.
八个卦限
z
y
x
0
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
y
x
0
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
y
x
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅳ
空间直角坐标系
y x
z
P135 例2
o
y
x
.如图，在长方体OABC DABC 中， 3，OC 4， OA OD 2，写出D、C、A、B四点的坐标. 136练习2
A ' C '与B ' D '的
A'
z
D' 2
交点P的坐标
C'
P
B' 4
3
o
C
y
x
A
1、在空间直角坐标系中描出下列
关于谁对称谁不变
1.空间点P ( x , y , z )关于：
( x , y _____ (2) y轴对称的点P2的坐标为 _______, z ) ；
( x, y, z ) (1) x轴对称的点P1的坐标为 ____________ ；
( x, y, z ) (3) z轴对称的点P3的坐标为 ____________ ；
(-1,-3,0) C1 • (2,-2,0) B1
1
O
•
1
• B•
x
1
• A(1,4,1) y •
A1(1,4,0)
(2,-2,-1)
对称点
横坐标相反， 纵坐标不变。
y
P2 (-x0 ,y0)
y0
P (x0,y0) x0 x
-x0
O
P3 (-x0 , -y0) -y0
横坐标相反， 纵坐标相反。
P1 (x0 , -y0)
2.正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为a，侧棱长为 2a .
z
试建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标.
C1 A1 C A x x B B1
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4.3.1 空间直角坐标系
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
说课流程
说教材
说教法 学法
说教学 过程
说作业 设计
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
一、说教材
一 教材内容 二 教学地位与作用 三 教学目标 四 教学的重难点
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
空间直角坐 标系的建立以 及空间点的刻 画，空间直角 坐标是在学生 已经学过的二 维的平面直角 坐标系的基础 上的推广。
y
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
练习.在空间直角坐标中作出点P（3，-2，4）
解：先确定Q的坐标（3，-2，0）， 再判断点P的z坐标为正数，且为4，
z
所以可以确定P的坐标，如图.
P(3,-2,4)
空间直角坐标系
-2
y
O
Q(3,-32,0)
x
2020年10月9日星期五
如图，有一个棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1， 以点 D 为 坐标原点，分别以射线 DA，DC，DD1 的 方向为正方向，以线段 DA，DC， DD1 的长度为单位 长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴，从而建立起 一 个空间直角坐标系 Oxyz.一只小蚂蚁从点 A 出发，不 返回地沿着棱 爬行了 2 个单位长．请用坐标表示小蚂 蚁现在爬到了什么位置．
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
课堂小结
通过本堂课的学习 你学会了… … 你体会到… … 你掌握了哪些技能… …
再由老师做系统的总结这节课学习 的新内容。
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
布置作业
1、（必做题 ） 习题4.3 A组1、2. 2、（选做题）求M(1,1,2)关于坐标轴对称的点的坐标，
空间直角坐标系
学习空间直角 坐标系的相关 知识，可以为 学习空间两点 距离公式以及 为将来用坐标 法来研究空间 几何对象打下
良好的基础。
2020年10月9日星期五
教学目标
知识 了解空间直角坐标系建立的必要性；掌握空间 与 点的坐标的确定方法和过程；会用空间直角坐
技能 标系刻画点的位置。
过程 经历探索由平面直角坐标系到空间直角坐标系 与 的建立过程，使得学生掌握一定的类比推理的
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
空间直角坐标系中点的坐标
解决问题 如何确定房间内电灯的准确位置？
B
A
M
5米 Q
P
4米
3米 N
建立合适的 空间直角坐标系系
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
例1：写出以下几个点的坐标表示
所求点 原点O X轴上A点 Y轴上B点 Z轴上C点 XOY面内D点 YOZ面内E点 ZOX面内F点
垂面法
设点M是空间的一个点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴 和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R．
设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x，y和z， 那么点M就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）．
z
R
B
A
M
Q
P N
空间直角坐标系
R
O
P
x
M
Qy
2020年10月9日星期五
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
新知建立
1、空间直角坐标系的建立
墙
墙 地面
z
D'
A'
C' B'
O
Cy
A
B
x
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
2、空间直角坐标系的画法 原点 坐标轴方向 单位长度
z
o
1350
y x
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
3、用空间直角坐标系刻画点的位置
学法分析
➢ 先学后教，以学生 动手为中心，以探 究为主线，采用“ 合作探究式学习法 ”进行学习。
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
三、说教学程序
新知构建，问题解决
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
1、创设情境，提出问题
问题1：如何确定地面上凳子的位置？ 问题2：如何确定电灯位置？
墙 墙
新课改明确提出：数学教学是数学活动 的教学，是教师与学生之间交往互动与 共同发展的过程。这里，让学生自己经 历数学变化的过程，使其对新知识的理 解更加深刻，并且强调了数学教学是一 种活动，在这样的教学活动中，学生与 教材及老师产生交互作用，有助于学生 的数学知识与技能，情感态度和思维品 质的形成。
关于平面 xoy对称的点的坐标.
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
方法 能力。
情感态 通过类比数学思想方法探究新知识，使感受新 度与 旧知识的联系和研究事物从低维到高维的一般
价值观10月9日星期五
教学重点 教学难点
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
二、教法与学法
教法分析
➢ 采用类比教学法； ➢ 使用“问题探究”
、 “动手启发”教 学模式，分层次教 学。
坐标形式
（0,0,0） （2,0,0） （0,3,0） （0,0,1） （3,1,0） （0,2,3） （1,0,2）
空间直角坐标系
z
•E
F •1• C
B
O•
1
y
•A1• D
x
2020年10月9日星期五
学生总结规律
(1)坐标轴上的点:
z
•E
F •1• C
O•
1
•A1• D
x
B (2)坐标平面内的点:
地面
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
2、回顾旧识，引导探究
教师带领学生回顾数轴、平面直角坐标系的相关 知识。
y
0
墙
x
墙 地面
空间直角坐标系
2020年10月9日星期五
2、引导探究，探索新知
平面直角坐标系是由
两条原点重合，并且相互 垂直的数轴组成的。
墙
墙 地面
空间直角坐标系是由
三条原点重合，并且两两 相互垂直的数轴组成的。