立体几何中的折叠专题

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一、解答题（本大题共20小题，共240.0分）

1. 如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，E 为BC 的中点，

F 为线段AD 上的一点，且AF =3

2.现将四边形ABEF 沿直线EF 翻折，使翻折后的二面角

的余弦值为2

3．

(1)求证：；

(2)求直线与平面ECDF 所成角的大小．

【答案】(1)证明：连接AC 交EF 于M 点， 由平面几何知识可得AC = ，EF = 5

2

，

以及AM

MC =FM

ME =3

2，则有AM =3 5

5，MC =

2 55

，MF =

3 510

，

故有AM 2+MF 2=AF 2，则AC ⊥EF ， 于是，， 而，故EF ⊥平面， 而平面，故． (2)解：由(1)知，二面角的 平面角就是， 即cos ∠A′MC =2

3， 根据余弦定理，可求得， 因为，所以

，

而

，可知平面ECDF ， 因此，就是直线与平面ECDF 所成的角． 由于， 故直线

与平面ECDF 所成的角为π

4．

【解析】(1)连接AC 交EF 于M 点，由平面几何知识可得AC = ，EF = 5

2

，以及AM

MC =FM

ME =3

2，经过计算可得：

AM 2+MF 2=AF 2，则AC ⊥EF ，再利用线面垂直的判定与性质即可证明． (2)由(1)知，二面角

的平面角就是

，即cos ∠A′MC =2

3，根据余弦定理，可求得

，利用

，可得，可知平面ECDF，即可得出就是直线与平面ECDF所成

的角．

本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、空间角、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2.如图△ABC为正三角形，且BC=CD=2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折

(1)若点A的射影在BD，求AD的长；

(2)若点A的射影在△BCD内，且AB与面ACD所成的角的正弦值为222

11

，求AD的长．

【答案】解：(1)过A作AE⊥BD交BD于E，则AE⊥平面BCD．

取BC中点O，连接AO，OE，

∵AE⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，

∴AE⊥BC，

△ABC是正三角形，∴BC⊥AO，

又AE∩AO=A，AE，AO⊂平面AOE，

∴BC⊥平面AOE，∴BC⊥OE．

又BC⊥CD，O为BC的中点，∴E为BD的中点．

∵BC=CD=2，∴OE=1

2

CD=1，AO=3，BD=22，

∴DE=2，AE= AO2−OE2=2．

∴AD= AE2+DE2=2．

(2)以O为原点，以BC为x轴，以BE为y轴，

以平面BCD的过O的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设二面角D−BC−A为θ，则A(0，3cosθ，3sinθ)，B(−1，0，0)，C(1，0，0)，D(1，2，0)．

∴BA=(1，3cosθ，3sinθ)，CD=(0，2，0)，CA=(−1，3cosθ，3sinθ)，

设平面ACD的法向量为n=(x，y，z)，则n⋅CD=0 n⋅CA=0

．

∴2y=0

−x+3cosθy+3sinθz=0，令

z=1得n=(3sinθ，0，1)．

∴cos=3sin

2⋅ 3sin2θ+1=222

11

.解得sinθ=22

3

．

∴A(0，3

3，26

3

)，又D(1，2，0)．

∴|AD|=(3

3(26

3

)=43

3

．

【解析】(1)过A作AE⊥BD交BD于E，则AE⊥平面BCD，证明BC⊥平面AOE得出E为BD的中点，利用勾股定理计算|AD|；

(2)以O为原点建立空间坐标系，设二面角D−BC−A为θ，用θ表示出A的坐标，求出BA和平面ACD的法向量n，令|cos|=222

11

得出sinθ，从而得出A点坐标，代入两点间的距离公式求出|AD|．

本题考查了空间角及空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题．

3.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD=2AB=4，将△ABD沿BD折到△A′BD的位置，使平面

A′BD⊥平面CBD．

(Ⅰ)求证：CD⊥A′B；

(Ⅱ)试在线段A′C上确定一点P，使得二面角P−BD−C的大小为45∘．

【答案】证明：(I)证法一：在△ABC中，由余弦定理得BD2=AB2+

AD2−2AB⋅AD cos A=4+4+8cos C，

在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cos C=

16+4−16cos C

由上述两式可知，BD=2，cos C=1

2

(3分)

∴BD⊥CD(4分)

又∵面面CBD，面面CBD=BD，

∴CD⊥面分)

面分)

解：(II)法一：存在.P为上靠近的三等分点.(7分)

取BD的中点O，连接

又∵平面A′BD⊥平面平面CBD，(8分)

∴平面平面BCD，

过点P作PQ⊥OC于Q，则PQ⊥平面BCD，过点Q作QH⊥BD于H，连接PH．

则QH是PH在平面BDC的射影，故PH⊥BD，

所以，∠PHQ为二面角P−BD−C的平面角，(10分)

P为上靠近的三等分点，

∴PQ=2

3，OQ

OC

=1

3

，∴HQ=1

3

DC=2

3

，∴∠PHD=45∘．

∴二面角P−BD−C的大小为45∘.(12分)

证明：(Ⅰ)证法一：在等腰梯形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E，

过点D作DF⊥BC于F，则AE//DF，∴EF=AD=2，

又∵在等腰梯形ABCD中，Rt△ABE≌Rt△DCF且BC=4∴BE=FC=1∴cos C=1

2

D(2分)

在△BCD中，BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cos C=42+22−2×4×2×1

2

=12，

∴BD2+CD2=BC2，∴CD⊥BD，(4分)

又∵平面平面CBD，

面面CBD=BD∴CD⊥平面分分)

(Ⅱ)解法二：由(Ⅰ)知CD⊥BD，CD⊥平面A′BD．

以D为坐标原点，以DB的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.(7分)则D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，

取BD的中点O，连接