若当(JORDAN)标准形

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若当标准型求解

• 方法步骤：
由特征值i 对应的线性无关的特征向量的个数确定 J(i) 中 Jordan 块的个数由特征值i 的代数重数确定主对角线元素是的 i 的 Jordan 矩阵J(i ) 的阶数。由特征向量求得的Jordan 链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA
另外，注意的选择。观察上面的公式可以发现
R(( A i I )nj1) N ( A iI )
2 1
例 A
20 2 2
，求可逆矩阵P使得A相似
2 3
2
于Jordan 标准型。
解：可计算A的包含阶数为2和3的两个Jordan块。可计算得：
0 1
00
A2I
0 2
0 3
0
2. 矩阵的化简
方阵A的Jordan 标准形变换矩阵P的求法
• 目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA • 求法与步骤：根据前面的计算求出初等因子组
f ( ) I A ( 1 )k1 ( 2 )k2 ( s )ks
矩阵A和JA的特征值相等
APi Pi Ji( i )
先求二阶Jordan对应的特征向量和广义特征向量。显然取
p1 R(( A 2 I )) N ( A 2 I ), p1 (a,0,b,0,0)T , a 0或b 0
这时
p2 (x, a, z, b / 2, 0)T (x, 0, z, 0, 0)T (0, a, 0， b / 2, 0)T
2
1
g( A ) P 15 23 P1
15
关于Jordan标准形的计算
由于计算涉及的内容偏多，有兴趣或需要的可以参见教材。另外很多定理的证明可参见北京大学出版社出版的<<高等代数>>教材的相关内容即可。

Jordon标准型介绍

§7.8 λ─矩阵介绍
3、在一个线性变换的若当标准形中，主对角线上的元素是的特征多项式的全部根（重根按多数计算）. （1、2、3的证明将在第八章给出）
§7.8 λ─矩阵介绍
附：有时也规定形式为
0 J ( , t ) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 t t
0 0 4 0 0 0
0 0 0 i 1 0
0 0 0 0 i 1
0 J (1,2) 0 0 J (4,1) 0 0 J ( i ,3) i
注：一级若当块就是一级矩阵，从而对角矩阵都是若当形矩阵.
§7.8 λ─矩阵介绍
§7.8 λ─矩阵介绍
2 0 0 0 如： 1 2 0 , 1 0 1 2 0 0
1 1 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0, 0 0

i 0 都是若当块； 1 i
而下面的准对角形则是一个若当形矩阵.
0 1 0 0 0 0
的矩阵为若当(Jordan)块.
§7.8 λ─矩阵介绍
二、若当(Jordan)标准形
1、设是复数域C上n维线性空间的一个线性变换，在V中必存在一组基，使在这组基下的矩阵是若当形矩阵，并是除若当块的排列次序外，该若当形由
唯一决定，称之为的若当标准形.
2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似，并且除若当块的排列次序外，该若当形矩阵由矩阵 A唯一决定，称之为矩阵A的若当标准形.
§7.8 Jordon标准型介绍
一、若当(Jordan)形矩阵
二、若当(Jordan)标准形

高等代数第9章矩阵的标准型 9.6 若当标准型

X 3 1, 0, 0
T
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
0 4 1 P X 1, X 2 , X 3 1 3 0 0 2 0
例 2 求方阵
1 2 6 A 1 0 3 1 1 4
J 0 3 1 0 0 3
或
3 1 0 J 0 3 0 0 0 1
例 2 用矩阵秩的方法求出矩阵
1 0 A 0 0
的Jordan标准形。
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为
矩阵的Jordan标准形定义：称 n 阶矩阵
ai Ji
1 ai
1 1 ai ni ni
为Jordan块。设 J1, J 2 ,, J s 为Jordan块，称准对角形矩阵
J1 J
J2
Js
X 3 2, 0, 1
T
T
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
1 2 2 P X 1, X 2 , X 3 1 1 0 0 1 1
从而有
1 0 0 1 P AP 0 1 1 0 0 1
故 A 的Jordan标准形为
0 0 0 J 0 0 0 0 0 2
或
0 0 0 J 0 2 0 0 0 0
求Jordan标准形的另一种方法：特征矩阵秩的方法. 具体操作步骤：（1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值 A （2）其Jordan标准形的主对角线上都是 i 在主对角线上出的特征值，并且特征值现的次数等于 i 作为特征根的重数。对于每 i ，求出以它为主对角元的各级个特征值 Jordan 块的数目N (i ) ，首先求出

高等代数第八章 6第六节 Jordan标准形的理论推导

1 2 s
(1)
(其中 1,λ2,…,λs可能有相同的，指数k1,k2,…,ks也可其中λ 可能有相同的，指数其中能有相同的). 每一个初等因子能有相同的每一个初等因子 ( λ − λi ) k 对应于一
i
个若当块
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λ0 1 Ji = 0 M 0
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例2 求矩阵
− 1 − 2 6 A = − 1 0 3 − 1 − 1 4
若当标准形. 的若当标准形解先求 -A的初等因子：先求λE- 的初等因子：
0 − λ + 1 − λ2 + 3λ − 2 λ +1 2 − 6 r1-(λ+1)3 +1)r +1) λE − A = 1 λ − 3 → 0 λ −1 −λ +1 1 r2-r3 1 1 λ − 4 λ−4 1
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应该指出，若当形矩阵包括对角矩阵作为特殊应该指出，若当形矩阵包括对角矩阵作为特殊包括对角矩阵情形，那就是由一级若当块构成的若当形矩阵，情形，那就是由一级若当块构成的若当形矩阵，由此即得定理12 复数矩阵与对角矩阵相似的<＝>是A的复数矩阵A与对角矩阵相似相似的＝是的定理初等因子全为一次的. 初等因子全为一次的证明留给大家作练习. 证明留给大家作练习根据若当形的作法可以看出矩阵A的根据若当形的作法，可以看出矩阵的最小多若当形的作法，项式就是就是A的最后一个不变因子d 项式就是的最后一个不变因子 n(x). 因此有定理13 复数矩阵与对角矩阵相似的<＝>是A的复数矩阵A与对角矩阵相似相似的＝是的定理不变因子都没有重根都没有重根. 不变因子都没有重根

若尔当标准形介绍

都是若尔当块，而
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 0
是一个若尔当形矩阵.
5
一级若尔当块就是一级矩阵,因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵.
因为若尔当形矩阵是下三角形矩阵,所以不难算出,在一个线性变换的若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部根(重根按重数计算).
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11
但 (V ) {0}, 得V {0}, 矛盾. 故 (V )的维数 n.
k
将看成是 (V )上的线性变换, 仍有 k (零变换).
由归纳假设, (V )上有基 1 2 ( 1 ) ( 2 )
t ( t )
(4)
k1 1 ( 1 ), k2 1 ( 2 ), k1 k2 ( ( 1 ) 0) ( ( 2 ) 0)
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2
定义 8 形式为 0 0 0 0 0 0 0 1 J ( , t 1 0 0 0 0 0 0 1 t t 的矩阵称为若尔当(Jordan)块,其中是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如
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15
现在回来证明定理 13 . 因为
Vi { | ( i )ri 0, V }.
所以在 Vi 上有
( i ) .
ri
作
( i ) | Vi ,
则
.
ri
由引理, 有 Vi 的基使τ的矩阵为若尔当形.
§8 若尔当(Jordan)标准形介绍
主要内容

Jordan标准形

由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当
形式为 1 0 J(( ,,tt)) J 0 0 0 0
形矩阵，其一般形状如
Jordan标准形 J1

J2
Js
i ki ki
Jordan标准形
方阵A的Jordan标准形的求解步骤：
（1）求出n阶方阵A的初等因子源自③用初等变换化 E A 为对角矩阵
diag ( f1 ( ), f n ( )) 再将 f1 ( ), f2 ( ),, fn ( ) 分解成互不相同的一次因
式方幂的乘积，即可得A的初等因子.
E - A 和 E - B 等价.
Jordan标准形
定义 1 设A 是复数域 C 上的 n n 矩阵，
则其特征矩阵(E – A)的不变因子、行列式
因子、初等因子分别称为A的不变因子、行
列式因子、初等因子.
推论1 设 A, B 是复数域 C上两个 n n 矩阵，
则下列命题等价：（1）A 和 B 相似. （2）A 和 B 有相同的各级行列式因子. （3）A 和 B 有相同的不变因子.
形矩阵，其一般形状如
Jordan标准形
0 0 0 0 定义 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 tt 0 t t 的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中是复数. 0 0 0 1 1 0
Jordan标准形
方阵A的Jordan标准形的求解步骤：
（1）求出n阶方阵A的初等因子
( 1 )n1 ,( 2 )n2 ,,( s )ns
其中 1 , 2 ,, s可能有相同的，指数 n1 , n2 ,, ns 也可能有相同的，且 n1 n2 ns n （2）写出每个初等因子对应的Jordan块

(完整版)不变子空间、若当、最小多项式(简介)

§7 不变子空间◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变子空间W ⇔是V 的子空间，且,W ∈∀ξ有W ∈)(ξσ.简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关）2.例子：设)(n V L ∈σ，则下列子空间W 都是σ的不变子空间：1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ.【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V 可分解为若干-σ子空间i W 的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究.2.区别：W |σ与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即σξξσξ=⇒∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ⇒∉无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）设V 可分解为若干个σ-子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21，在每个不变子空间i W 中取基k i i i εεε,,,21 ，s i ,2,1=，并把他们合并为V 的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有准对角形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s A A 1，其中i A ，s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式：S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和：s V V V V ⊕⊕⊕= 21,其中}0)(|{=-∈=ξλσξi r i i E V V .§8 若当（Jordan ）标准形介绍若当（Jordan ）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλ1000010000010000),(t J （λ是复数；注意对角元相同）2. 若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、λ未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵. （若当形矩阵中包括对角矩阵）【问题】若当形矩阵的特征值＝？例1求所有的三阶若当形矩阵.（若当块不计排列顺序）二、主要结论定理13： ))((C V L n ∈∀σ，在V 中必定存在一组基，使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. （这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被σ唯一决定的，它称为σ的若当标准形）若用矩阵来描述，即定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论）三、若当标准形的求法（第八章介绍）【特例】若A 可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00020100030100B ，证明B X =2无解，这里X 为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan 矩阵这个性质，并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.已知Cayley Hamilton -定理：方阵A 的特征多项式是A 的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义：)(x ϕ是方阵A 的最小多项式0)(=⇔A f 且)(x ϕ次数最低、首项系数为1. 例数量矩阵kE 的最小多项式是二、基本性质引理1矩阵A 的最小多项式必唯一. 证法带余除法引理2)(x f 是A 的零化多项式)(x f ⇔是A 的最小多项式)(x ϕ的倍式，即)(|)(x f x ϕ. 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法带余除法例求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A 的最小多项式. 2)1(-x【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？例 k 阶若当块kk a a a J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11的最小多项式是（直接计算，k a x )(-）三、主要结论定理数域P 上矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积. 推论复数域上A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根.例设A 是n 阶幂等矩阵，且秩为r .试求A 的相似标准形，并说明理由；求A E -2. 解法：由A A =2知A 有最小多项式)1()(2-=-=λλλλλg 且无重根，所以A 相似于对角矩阵，且特征值只能是1或0.又r A r =)(，故存在可逆矩阵P 使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001rE AP P .从而 rn r n rA E E E AP P E P A E P ----=-⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-222002)2(11. 矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P 使得1-=PBP A ，于是1-=P PB A k k . 进一步有：当)(x ϕ是多项式时，1)()(-=P B P A ϕϕ.特例：当A 相似于对角矩阵时，由1-=P PB A k k 容易计算方幂kA .2.求Fibonacci 数列通项：)1,0(1012==+=++a a a a a n n n解法用矩阵形式表示递推关系式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+011101110111a a a a a a nn n n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111A 的特征值为2512,1±=λ，对应的特征向量为'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±1,251，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-211λλAP P 由此可求nA ，即得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n a 25125151. 3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？解设最初城市、农村人口分别为00,y x ，第k 年末人口分别为k k y x ,，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00118.01.02.09.0y x y x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--118.01.02.09.0k k k k y x y x 记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8.01.02.09.0A ，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x k k k . 为计算kA ，可考虑把A 相似对角化.特征多项式)7.0)(1(--=-λλλA E .1=λ对应的特征向量为)1,2(1'=α；7.0=λ对应的特征向量为)1,1(2'-=α取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==1112),(21ααP ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2111311P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21117.00011112317.00011k kk P P A令∞→k ，有07.0→k ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→12223121110001111231k A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3132)(1222310000y x y x y x k k 可见当∞→k 时，城市与农村人口比例稳定在1:2.定理7：设A 为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（注意：对角元恰好是A 的全体特征值）（常用于证明题）[证明思路]：利用对称变换的理论，等价于对称变换有n 个特征向量作成标准正交基（见教材）.也可用数学归纳法，将实对称矩阵A 用两次正交相似变换化为对角阵.证明：设σ在n 维欧氏空间V 的标准正交基下的矩阵是A ，则σ是对称变换. 1=n 时，)(αL V =，取V e ∈=αα/1，则V e ∈)(1σ，有11)(ke e =σ，1e 即为所求. 设1-n 时命题成立（含义？），考虑n 的情形.设法把n V 分解成11-+n V V ，才能使用归纳假设：1）σ对称σ−−→−引理有实数特征值1λ（才能保证特征向量)(1R V ∈α，正交矩阵要求实数矩阵）；2）取111/αα=e ，则是实．特征向量.设1V 是)(1e L 的正交补，则1V 是σ-子空间，维数为1-n ，且1|V σ是1V 的对称变换.于是利用归纳假设，1V 有1-n 个特征向量n e e ,,2 标准正交，联合n e e e ,,,21 即为V 的特征向量、标准正交基.另证：直接从矩阵角度证明，数学归纳法：1=n 显然. 设1-n 时命题成立，A 必有实数特征值1λ（特征向量n R ∈1α），取111/αα=e ，则也是实．特征向量.扩充成n R 的标准正交基n e e e ,,,21 ，以它们为列作n 级矩阵1T ，则1T 正交，且),,,(),,,(),,,(1121111112111211111n n n Ae T Ae T e T Ae Ae Ae T e e e A T AT T -----===' λ注意到),,,(),,,(112111112111111n n e T e T e T e e e T T T E -----=== ，故111e T -是E 的第一列，于是11AT T '形如⎪⎭⎫⎝⎛B C 01λ,而A 对称，11AT T '也对称，得0=C ，且B 是1-n 级对称矩阵. 由归纳假设，存在1-n 级正交矩阵Q ，使得),,(2n diag BQ Q λλ ='，取212,001T T T Q T =⎪⎭⎫ ⎝⎛=可得T 是正交矩阵，并且),,(1111n diag Q B Q AT T λλλ ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=' 又AT T AT T 1-='与A 相似，有相同的特征值，于是n λλ,,1 是A 的全部特征值.《欧氏空间》复习一、主要概念 1）内积 2）长度 3）夹角 4）正交 5）度量矩阵 6）标准正交基7）正交矩阵 8）正交变换 9）正交补 10）对称变换 11）最小二乘法二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角；证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证！先正交化再单位化，反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（可验证！注意区别第五、七章的方法）7.利用正交线性替换化实二次型为标准形. *8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积？欧氏空间的哪些概念与内积有关？（长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补） 2.内积与标准正交基有何联系？ 3.标准正交基有何作用？ 4.如何构造子空间的正交补？5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点？6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别？四、例题选讲 ◎ A 正定1>+⇒E A证1：A 正定⇒特征值E A i +⇒>0λ的特征值11>+i λ 于是1111)1()1)(1(21=⋅>+++=+ n E A λλλ 证2：A 正定⇒0),,,(11>=-i n diag AT T λλλ1111)1()1)(1()1,,1(),,(1211111=⋅>+++=++=+=+--- TT T Tdiag E T Tdiag E A n n n λλλλλλλ《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断二、复习依据作业（习题集）、例题、课外提高三、各章主线 1.线性空间线性空间……定义、线性运算、基、维数、坐标子空间……两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和同构……构造、判定、意义 2.线性变换线性变换……验证（定义）、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间特征值与特征向量……证明、求法（可验证）、结论、对角化判定及求可逆矩阵C 值域与核……基、维数、两者维数关系 3.Jordan 标准形不变因子初等因子 Jordan 标准形4.欧氏空间（注意：涉及的概念都与内积有关）内积……验证(四条公理）、长度、夹角、标准正交基（求法，可验证）正交变换……判定、不变性、正交矩阵（可验证）对称变换……判定、特征值、对角化（求正交矩阵[可验证].区别第5章方法）四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系：……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间（通过基）、欧氏空间（通过标准正交基）3.可验证的几种计算类型特征值（迹）、特征向量（代入方程组）、标准正交基（两两正交、长度为1）、'）正交矩阵（行[或列]向量组标准正交，或EAA=3、大、中、小队长标志要求各队长必须每天佩戴，以身作则，不得违纪，如有违纪现。

数学代数方法T矩阵若儿当标准型

1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.
（即初等变换不改变－矩阵的秩与行列式因子）
2）若矩阵 A( ) 的标准形为
d1( )
O
D(
)
dr ( )
0
O
0
其中 d1( ),L dr ( ) 为首1多项式，且
di ( ) di1( ), i 1,2,L r 1,
行列式因子的定义：
设 A为(一) 个阶 n矩阵,对于任意的正整数
k
1 k r必A有(非) 零的阶子式k，的全A部() 阶子式的k首
一最大公因子称为的阶行A(列)式因k子。记为:
Dk ()
规定: D0( ) 1
显然，如果 rank( A()) r ，则行列式因子一共有r 个
例1 求
3、在一个线性变换的若当标准形中，主对角线上的元素是的特征多项式的全部根（重根按多数
计算）.
λ－矩阵的概念 λ－矩阵的秩可逆λ－矩阵
λ－矩阵的概念
定义：
设P是一个数域，是一个文字，P[]是多项式环，若矩阵A的元素是的多项式，即 P[] 的元素，则称A为 ―矩阵，并把A写成 A( ).
例用初等变换化λ―矩阵为标准形.
1 2 1
A( )
2
1 2 3 1 2
解：
1 2 1 1
A(
)
[31 ]
1
2
2 3 1
0 1
1 2 1 1
[1,3 ]
0 1
2 3 1
1 2 1 3 2
行列式因子
1. 定义：
设－矩阵 A( )的秩为 r ，对于正整数 k，1 k r, A( )中必有非零的 k 级子式， A( )中全部 k级子式的首项系数为1的最大公因式 Dk ( ), 称为 A( ) 的

方阵的若当标准型(最简洁版)

的m阶方阵称为m阶Jordan J d 快，其中是复数。当是某一矩阵A的特征值时，称Jm ( ) 为A 的特征值的Jordan块。
例6.
1 1 0 J 3 ( 1) ) 0 1 1 0 0 1
1 2 i 0 0 0 0 1 2 i 0 0 0 0 1 2 i 0 0 0 0 1 2 i
Dk 1 ( )k det Tk Dk 1 ( ) Aij ( j 1, 2, k ) 从而：
而Dk ( )是A( ) 的所有的k 阶子式中首一的最大公因式，所以： D ( ) D ( )
k 1 k
定义3 设 A( )为 n 阶矩阵, D ( ) 是 A( ) 的 k k 阶行列式因子,则称: Dk ( ) dk k 1,2, , n A( ) 为的不变因子 Dk 1 ( ) 定理3 任意一个非零秩为 r 的n阶 A( )阵都等价于一个对角矩阵，即：
d 1 ( ) 1, d 2 ( ) , d 3 ( ) ( 1)
为不变因子
d 2 ( 1 ) ( 2 ) ( s )
e21 e22
d1 ( 1 )e11 ( 2 )e12 ( s )e1 s
f ( )与 g ( )分别是 A( ) 与 B( )的 k 级行列式因子．
下证 f ( ) g ( ) 以下分三种情形：
定理2 设 A( )为n 阶矩阵, Dk ( ) 是 A( ) 的 k 阶行列式因子,则: Dk 1 ( ) Dk ( ) 证明设 Tk ( t ij )k k 为 A( )的任意一个 k 阶子矩阵，则有：det Tk t11 A11 t12 A12 t1k A1k 其中，A1 j 为 t1 j 的代数余子式。显然

第六章线性变换及若当标准形

又对于任意的v??有????????2121???????????mm??????但对任意的j有ommj??????????2211????因此mmm????????????kerkerker212211????????故omm?????????2211????也即???2211mm?????????所以mv???imimim21?????
91
（1）充分条件定理 11 若数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换有 n 个不同的特征值，则可对角化。定理 12 若数域 P 上 n 阶矩阵 A 的特征多项式 f ( ) 有 n 个单根，则 A 可对角化。（2）充要条件关于线性变换：定理 13 数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换可对角化的充要条件是有 n 个线性无关的特征向量。定理 14 数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换可对角化的充要条件是 V 可以分解成不同特征值的特征子空间的直和：
的属于特征值 i 的线性无关的特征向量， i 1,2,, s ，则 11 , 12 , , 1k ,
1
21 , 22 , , 2 k ,, s1 , s 2 , , sk 线性无关。
2i s
6．特殊矩阵的特征值（1）上（下）三角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素；（2）幂零矩阵的特征值全为零；（3）幂等矩阵的特征值全是 0 或 1；（4）（5）（6）（7）对合矩阵的特征值全是 1 或 1 ；实对称矩阵的特征值全为实数；实反对称矩阵的特征值是 0 或纯虚数；正交矩阵的特征值的模为 1。
92
1
E A 的所有不同的根，即 A 的所有特
第三步：将上述每一个齐次线性方程组的基础解系作为矩阵 P 的列向量，则 P 是可逆矩阵，且 P AP 为对角矩阵。

矩阵论3-3.方阵的若当标准型

2 1 0 1 0 0 λ +λ ≅ 3 2 3 2 ≅ 0 −λ − λ + λ −λ 0 −λ − λ + λ −λ 0 −λ4 − λ3 − λ −λ2 0 −λ4 − λ3 − λ −λ2
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B ( λ ) = P ( λ ) A( λ )Q ( λ )
行列式因子的定义：矩阵, 设 A(λ )为一个 n 阶 λ 矩阵,对于任意的正整数 k 阶子式， A 1 ≤ k ≤ r A( λ ) 必有非零的 k 阶子式， (λ) 的全部 k 阶行列式因子。子式的首一最大公因子称为 A( λ ) 的k 阶行列式因子。规定: 规定 D0 (λ) = 1 记为: 记为: D (λ) 显然，显然，如果 rank ( A(λ )) = r ，则行列式因子一共有r 个例1 求
λ ( λ + 1) A( λ ) =
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λ
2 ( λ + 1)
λ ( λ + 1) A( λ ) =
λ
2 ( λ + 1)
≅ ≅
λ ( λ + 1) λ λ ( λ + 1) 2 λ ( λ + 1) λ λ −λ ( λ + 2) 1
k
1− λ A(λ ) = λ 1 + λ 2
λ λ 的各阶行列式因子。 λ −λ 的各阶行列式因子。 λ 2 −λ 2
2
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若当标准型

都是若当块.
第六章线性空间
例7.8.1 以下若当形矩阵是由哪几个若当块组成?
1 1 0 A= 0 0 0
解:
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 1 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
, A3
1 0 其中 A1 = J (1, 2) = , 1 1 0 0 A3 = J (0, 2) = 1 0
§7.8 若当(Jordan)标准形介绍
§7.8 若当(Jordan)标准形介绍
一,若当(Jordan)形矩阵二,若当(Jordan)标准形
第六章线性空间
一,若当(Jordan)形矩阵
λ 1 定义1 形如 J ( λ , t ) = 0 0 0 0 0 1 0 0 0
λ
0 0
λ
1
0 0 的矩阵称为 0 λ t ×t
为若当(Jordan)块.
第六章线性空间
λ
1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 λ t ×t
�
A1 A=
A2
i 0 A2 = J ( i , 2) = , 1 i
第六章线性空间
二,若当(Jordan)标准形
对于复数域上线性空间V上的线性变换 σ 来说,可以在V中找到一个基,使 σ 在这个基下的矩阵为若当形,这就是下面的定理,它回答了前面提出的问题. 定理7.8.1 设 σ 是C上n维线性空间V的一个线性变换,在V 中必存在一个基,使 σ 在这个基下的矩阵是若当形矩阵,且这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外,是由 σ 唯一决定的,这个矩阵称为 σ 的若当标准形. 这个结论用矩阵的语言可叙述为: 定理7.8. 1′ 每个n阶复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似, 这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外被矩阵A唯一确定,它称为A的若干标准形.

6、若尔当标准形的理论推导

A 的初等因子为 , , 2 .
0 0 0 0 0 0. 故 A的若尔当标准形为 0 0 2
§8.6 若尔当标准形的理论推导
例2 已知12级矩阵A的不变因子为
1,1,
9个
,1,( 1) ,( 1) 1 , 1 1 ( 2 1)2
, ( s )ks .
ki ( ) , i 1,2, , s J 证： i i 的初等因子是 1 1 等价. E J i 与矩阵 1 ki i
E J1 E J2 E J 于是
块完全被它的级数与主对角线上的元素 0 所刻划，而
这两个数都反应在它的初等因子 ( 0 )n 上. 因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.从而, 若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排序外被它的初等因子唯一确定.
§8.6 若尔当标准形的理论推导
三、若尔当标准形存在定理
1、
（定理10）每一个复矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，且这个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形.
一、若尔当块的初等因子
0 1 若尔当块 J 0 0 0
0
0 0
n
0
0 0 0 0 0 0 1 0 nn
的初等因子是 0 .
§8.6 若尔当标准形的理论推导
证：
0 0 1 0 E J0 0 0 0 0 0 0 1 0 nn 0 0 0 0
由不变因子与初等因子的关系知，
k1 k2 d n ( ) ( ) , ( ) , 1 2

若当(Jordan)标准形介绍

1 1 0 A = 0 1 0 0 0 1
• 矩阵
• 的最小多项式是: (x-1)2 的最小多项式是: (x-
1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 矩阵A = 与矩阵B = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 的最小多项式都是( x − 1) 2 ( x − 2).
1

0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0
矩阵A与B的最小多项式相同但它们的特征值不同(特征多项式不同),从而A和B不是相似矩阵
引理3.设A是一个准对角矩阵
A1 A= A 2
如果A1的最小多项式是g1(x),A2的最小多项式是g2(x),则A的最小多项式是g1(x)和 g2(x)的最小公倍式[g1(x),g2(x)]. 推论: 推论:准对角矩阵的最小多项式是个块矩阵最小多项式的最小公倍式. 阵最小多项式的最小公倍式.
用最小多项式判断一个矩阵能否对角化的问题引理1.矩阵A的最小多项式是唯一的. 引理1.矩阵A的最小多项式是唯一的. 1.矩阵证明: d(x)与g(x)都是矩阵A 证明:设d(x)与g(x)都是矩阵A的最小多项都是矩阵 g(x)且 |d(x),从而式,则d(x)| g(x)且g(x) |d(x),从而 d(x)= g(x). 引理2.设是矩阵A的最小多项式, 引理2.设g(x)是矩阵A的最小多项式,那么 2. 为根的充分必要条件是g( f(x)以A为根的充分必要条件是g(x)整除 f(x).
关于约旦形矩阵的主要结论: 关于约旦形矩阵的主要结论:
设A是复数域上n维线性空间V的线性变换. 是复数域上n维线性空间V的线性变换. 中必定存在一组基, 在V中必定存在一组基,使A在这组基下的矩阵是若当形矩阵,并且这Jordan Jordan形矩阵矩阵是若当形矩阵,并且这Jordan形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外,是被A Jordan块的排列次序外除去其中Jordan块的排列次序外,是被A 唯一决定的-称为矩阵A Jordan标准形标准形. 唯一决定的-称为矩阵A的Jordan标准形.

若尔当标准形

若尔当标准形若尔当标准形（Jordan Canonical Form）是线性代数中重要的概念之一，用于描述矩阵的性质和变换的几何意义。

若一个矩阵可以通过相似变换转化为若尔当标准形，即变成由若干大小不等的若尔当块组成的特殊矩阵形式，那么这个矩阵的许多性质如特征值、特征向量、迹、行列式等都可以通过对若尔当块的分析得出。

若尔当块具有如下形式：$$。

J = \begin{pmatrix}。

\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\。

0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\。

0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\。

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\。

0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda 。

\end{pmatrix}。

+ \begin{pmatrix}。

0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\。

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\。

0 & 0 & 0 & \cdots & 0 。

\end{pmatrix}。

$$。

其中 $\lambda$ 为矩阵的特征值，$J$ 中对角线上都是 $\lambda$，其余元素为 $1$ 或 $0$。

若尔当块的大小为特征值的代数重数，若一个特征值的代数重数为 $k$，那么该特征值所对应的若尔当块大小为$k\times k$。

8.6若尔当标准型

步骤1 求 E- A 的初等因子；
步骤2 写出每一个初等因子对应的若尔当块；步骤3 得出矩阵A的若尔当标准形.
例 1 设 12 级矩阵A的不变因子是
1, 1, … , 1 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 ( + 1 ) ,
9个
( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 .
由此即得， E - J0 的初等因子为 ( - 0)n . 证毕
引理2
设
J1
J
J2
是一个若尔当形矩阵，
J s
i
1
0
i
0 0
0 0
其中
Ji
0
1 0
0
0
0
1
i
(i 1,2,, s).
则J的初等因子为
( 1)k1 , ( 2 )k2 , , ( s )ks .
证明既然 Ji 的初等因子是
( 1)k1 , ( 2 )k2 , , ( s )ks
因为 J 与 A 有相同的初等因子，所以它们相似. 如果另一若尔当形矩阵 J 与 A 相似，那么 J
与 A 就有相同的初等因子，因此 J 与 J 除了其中
若尔当块排列的次序外是相同的, 由此即得唯一性.
证毕
说明
求矩阵A的Jordan标准形的步骤
1
i ki ki
并且 1 , 2 , … s 中有一些可以相等.
例如
2 1 0
0 2 1
0 0 2
,
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0
0 0 0
,
1i
0i
都是若尔当块，而
1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

)标准形

第九章若当（）标准形Jordan习题 9.11. 解：（1）1；（2）3.2.解：（1）因可逆.则)(,01)(λλA A ≠−=;111)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−=−λλλλA（2）)(λA 不可逆；（3）因可逆.则)(,06)(λλA A ≠−=.310031213101)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=−λλλA习题 9.2解：（1）矩阵的行列式因子43210312D D λλλλ==−−, , 从而32103.12d d λλλ==−−, λ∴ 标准形为 320.0103λλλλ⎡⎤⎢⎥−−⎣⎦(2) 222221001010λλλλλλλ0.0λλλλλ−⎡⎤⎡⎢⎥⎢−→→⎢⎥⎢⎢⎥⎢+−+⎣⎦⎣"⎤⎥⎥⎥⎦λ⎤⎥⎥⎥⎥⎦()()()222001(3)001.0011λλλλλλλ⎡⎤⎡⎢⎥⎢+→→+⎢⎥⎢⎢⎥⎢++⎢⎥⎢⎣⎦⎣"()()()()22222210001000(4).1010010λλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦"22222323232123100(5)4353234010.42100λλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+−−+−1⎡⎤⎢⎥⎢⎥+−−+−→→−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−−−−−+⎣⎦⎣⎦"()()21000013020100023604200100(6)260000.01000110000010122330λλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦"习题 9.31．解：1) 中有一个二阶子式为1. 12020100λλλ−−⎡⎤⎢⎥−⎢−⎢⎥⎣⎦2−⎥,所以，，而 211,1D D ==3(2)λ=−3D 则于是. 31231,(2).d d d λ===−2) 因为此矩阵有一个三阶子式为1−，所以4321231,2345,D D D λλλλ====++++4而 D所以，.12341,d d d d ====4322345λλλλ++++ 3) (1) 当0β≠时，224D λαββλαλαββλαλαβ++⎡⎤==+⎣⎦−++2（+）－在λ−矩阵中有一个三阶子式()10120β.λαβλλαβ+=−++α=∵()()432,11D D βλα+=∴故该λ−矩阵的不变因子为1231d d d ===,()2224d λαβ⎡⎤=++⎣⎦.(2)0β= 时()()4243211D D D λαλα=+=+==，，，1.D()()224123431D d d d d D λαλα∴===+==+，，4) 此矩阵左上角有一个3阶子式为1.()4321411,D D D D λ2∴====+，而()4123412d d d d λ∴====+，5) 由于四个非零的三阶子式：()()()()()()121112λλλλλλ+++－，－－，()()()()()()12221λλλλλλ+++－，－－2互素，故31D =.于是121D D ==，又()()2241D λλ=－－4，所以，不变因子为()()2212341,14d d d d λλ====−−2.证明：由于()A λ的左下角有一个1n −阶子式等于非零常数()1n −-1，故()1n D λ−=1，从而，而121n d d d −==="=1()()11n n n A a a f λλλ−=+++="λ故()111.n n n n n d D fa a a λλλλ−−===++++"n3．证明：E A λ−与T E A λ−对应的k 阶子式互为转置，因而对应的阶子式相等，这样，k E A λ−与T E A λ−有相同的各阶行列式因子，从而有相同的不变因子，故A 与相似. T A习题9.4解：1) 设原矩阵为A ，则121E A λλλλ−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥+⎣⎦-20-=002211D =，二阶子式122222λλ−=+，()21λ+与()(12101λλλλ−=−−−)2互素. ()()()()2311D D E A λλλλλ12∴==−−+＝,−()()()123111d d d λλλ∴===−+−,2，从而A 的初等因子为1,2λλλ+−-1,.2) 设原矩阵为A ，则377E A λλλλ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦-16-16-=566811D =，二阶子式()5723168λλ+=−−与(161616676λλ−−)=++互素， ()()223113D D λλ∴==−+,.A 的初等因子为()21.λλ−+3，3) 原矩阵的特征矩阵()()()[]12111123113165205E A λλλλλλλλ+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+−−+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎯⎯⎯⎯→−+−⎯⎯⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦0-8-=-3-6202−01λ+.()()()()1101013250211λλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→+−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−++⎢⎥⎣⎦⎣⎦+12-2-620 ()()()223223100010001X λλ+⎡⎤⎣⎦+⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎯⎯⎯⎯→−+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦A ∴的初等因子为()21,1.λλ++4) 原矩阵的特征矩阵为()341020101001E A λλλλλ0.⎡⎤−⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦−⎢⎥⎣⎦-52-=2-111A ∴的初等因子为()31.λ− 5) 原矩阵的特征矩阵为353E A λλλλ−⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥−⎣⎦-73-=2-241011,D =二阶子式2545410λλ+=−−与73352λλ−1=−−+−互素，11,D ∴= ()()2311D E A λλλ=−=−+ ()()212311d d d λλ1,∴===−+,从而初等因子为1,,.i i λλλ+－－ 6) 原矩阵的特征矩阵为[]1 211333422E -A λλλλλλλ−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎯⎯⎯→+−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1264−−−−⎣⎦⎣⎦1-2=-3-6-22()()22321120000022λλλλλλλλλ+⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎡⎢⎥⎢−+⎯⎯⎯⎯→−+⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣00=020-2⎤⎥⎥⎥⎦()1.2λλλ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥−⎣⎦000000 A ∴的初等因子是 2.λλλ，，－7) 原矩阵的特征矩阵[]1 31133222E -A λλλλλλλ−−⎡⎤⎡⎢⎥⎢+⎯⎯⎯→−+⎢⎥⎢⎢⎥⎢−−⎣⎦⎣－－11=3-32211332⎤⎥⎥⎥⎦000. 221130300λλλλλλλ⎡⎤⎡⎢⎥⎢→→⎢⎥⎢⎢⎥⎢−+⎣⎦⎣0000⎤⎥⎥⎥⎦A ∴的初等因子为2.λλ，8) 原矩阵的特征矩阵[][]131241334724E -A λλλλλλλ+−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−⎯⎯⎯→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−+⎣⎦⎣⎦-2 -10=4-73-117710−−−0⎤⎥+⎥⎥⎦2211035101401422240224λλλλλλλλλ−⎡⎤⎡⎢⎥⎢→−−+→−⎢⎥⎢⎢⎥⎢−−+−−+⎣⎦⎣0000()311.2λ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦000000A ∴的初等因子为()3.λ-29) 原矩阵的特征矩阵[]12186831021410E -A λλλλλλλ−−⎡⎤⎡⎢⎥⎢−⎯⎯⎯→−−⎢⎥⎢⎢⎥⎢+−⎣⎦⎣-3-3=1-6-2143⎤⎥⎥⎥+⎦()()12322222110836301461062220212λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎛⎞+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎡⎤⎣⎦0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→−+−−⎯⎯⎯⎯→−+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦0000()2100010.001λλ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦A ∴的初等因子为()21.λλ+，10) 原矩阵的特征矩阵81911E -A λλλλ−⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥−⎣⎦-3014=6-9623()31213D D E A λλ==−−−+＝－6且,08λ8.33308D λλ∴=+−，从而3123130d d d λλ==+＝－,设()()()3123083λλλλλλλλ+－＝－－－，则A 的初等因子为12λλλλ−−，，3.λλ−用“卡当”公式可以解得1λ2λω＝1λω+＝习题 9.5解：根据习题9.4中所求出的各初等因子，可得它们的若当标准形：))13112121⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣－－；； 1⎤⎥⎥⎥⎦⎤⎥⎥⎥⎦00000;⎤⎥⎥⎥⎦;⎤⎥⎥⎥⎦.))11314111111⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣－－；－；))1056002i i ⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢−⎣⎦⎣;))027********⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣;))1230911011λλλ⎡⎤⎡⎢⎥⎢−⎢⎥⎢⎢⎥⎢−⎣⎦⎣; ⎤⎥⎥⎥⎦。

约当标准形

其中：
⎡λ i ⎢ Ji = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1 λi
⎤ ⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ λi ⎦
叫做约当形矩阵，Ji叫做约当块。当J1 = [λ1]，J2 = [λ2]，…，Js = [λs]都是一阶约当块时，J为对角阵，所以对角阵为约当阵的特例。 A和约当形矩阵相似，即存在可逆阵P，使得
⎡J1 ⎢ P −1AP = J = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
−1 0 0 ⎤ 0 ⎤ ⎡1 ⎡ 0 ≅ ⎢(λ − 1) 2 0 0 ⎥ 0 ⎥ ≅ ⎢0 (λ − 1) 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢8λ − 28 0 λ + 2⎥ ⎢0 8λ − 28 λ + 2⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 ⎡1 ≅ ⎢0 (λ − 1) 2 ⎢ ⎢0 − 44 ⎣ 0 ⎤ ⎡1 0 ⎢ 0 ⎥ ≅ ⎢0 0 ⎥ λ + 2⎥ ⎢0 − 44 ⎦ ⎣ 0 ⎤ 1 (λ + 2)(λ − 1) 2 ⎥ ⎥ 44 ⎥ λ+2 ⎦
⎡a 1 0 ⎤ ⎢0 a 1 ⎥ J=⎢ ⎥ ⎢0 0 a ⎥ ⎣ ⎦
的特征矩阵J(λ)=λE − J的不变因子。
解 [方法1] 根据(8)式及(9)式dk(λ)=Ak(λ)/Ak-1(λ) 求不变因子。先把 −1 0⎤ ⎡λ − a J (λ ) = (λ E − J ) = ⎢ 0 λ − a − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 λ − a⎥ ⎣ ⎦ 的所有的一阶、二阶子式及三阶子式求出来，然后容易求得它们的最高公因式分别为： J1(λ)=1，J2(λ)=1，J3(λ)=(λ−a)3，于是得J(λ)的不变因子： d1(λ)=J1(λ)=1，d2(λ)=J2(λ)/J1(λ)， d3(λ)=J3(λ)/J2(λ)=(λ−a)3。
⎡1 1 0⎤ ⎢0 1 0 ⎥ A~J=⎢ ⎥ ⎢0 0 2 ⎥ ⎦ ⎣

若当标准型求解

N ((A 2 I)) {(x,0, y,0,0)T | x, y C}
先求二阶Jordan对应的特征向量和广义特征向量。显然取
p1 R(( A 2 I )) N ( A 2 I ), p1 (a,0,b,0,0)T , a 0或b 0
这时
p2 (x, a, z, b / 2, 0)T (x, 0, z, 0, 0)T (0, a, 0， b / 2, 0)T

1

1
0
Jordan 标准形(续)
定理1.29. 设矩阵A为复数域C的矩阵，特征多项式的分解
存在，则存在非奇异矩阵P使得 P1AP= J. （注：其中P不唯一.）
定理1.30 (基本定理) 每个n阶复矩阵A都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除去其中Jordan块的排列次序外，是由A唯一确定的。
很明显前一个向量属于N(A-2I)，因此可以去除的。再由 ( A 2 I ) p5 p4
p5 ( x, 0, z, 0, c / 6)T ( x, 0, z, 0, 0)T (0, 0, 0, 0, c / 6)T
很明显前一个向量属于N(A-2I)，因此可以去除的。
综合前面的两步可得
Jordan 标准形
我们称
其中
若当标准型的基本性质：
• 任意矩阵A若当标准型J可以写成 J=D+R的形式, 那么 DR= R D 证明：由于D和R为相同划分的块对角矩阵，因此乘积对应的块等于相应块的乘积，而D中相应分块为单位单位矩阵的数乘，即
因此结论成立.
1
=
i

0 1

若当(JORDAN)标准形

若当标准型求解

Jordon标准型介绍

高等代数 第9章矩阵的标准型 9.6 若当标准型

高等代数第八章 6第六节 Jordan标准形的理论推导

若尔当标准形介绍

Jordan标准形

(完整版)不变子空间、若当、最小多项式(简介)

数学代数方法T矩阵若儿当标准型

方阵的若当标准型(最简洁版)

第六章线性变换及若当标准形

矩阵论3-3.方阵的若当标准型

若当标准型

6、若尔当标准形的理论推导

若当(Jordan)标准形介绍

若尔当标准形

8.6若尔当标准型

)标准形

约当标准形

若当标准型求解

高等代数第9章矩阵的标准型 9.6 若当标准型