金融经济学第二章

在这种形式下，容易验证个体的风险容忍系数为其初始 财富的线性函数。
1 1 T (W ) ( )W RA (W ) 1
典型案例：圣彼德堡悖论（Saint Petersbury Paradox） 考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以 得到1元，第一次反面，第二次正面得 2 元，前两次反 面，第三次正面得 4 元，„„如果前 n-1 次都是反面， 第 n 次出现正面得 元。问：游戏的参加应先付多 2 n1 少钱，才能使这场赌博是“公平”的？
4、可测性：如果 x y z, or , x y z ，那么存在唯 一的α ，使得y~G(x,z;α ) 5、可排序：如果 x y z和 x u z，并且y~G(x,z;α1) 和u~G(x,z;α2) ，那么，如果 1 2 y u ，如果 α 1~α 2，则y~u 。 这五个公理归结起来就是对人的行为作如下假设： 1）个体总是理性的； 2）个体能够面对成千上万个选择能够作出理性的 决策。 另外，还假定个体是贪婪的，即多比少好！
损益
-2000
-3000 -4000
2000
3000 4000
0.75
0.80 0.85
8.2
10.0 12.2
-24.6
-40.0 -69.2来自-500050000.9
15.0
-135.0
C、建立风险厌恶定义
1. 风险态度
例：对下面两种情形，你会选择哪一个？I、确定 能够拿到10$；II、10%的可能获得100$，90% 的可能拿到0$。不同的选择代表不同的风险态 度。 （1）风险厌恶 U E (W ) E U (W ) ，见图a； （2）风险中性 U E (W ) E U (W ) ，见图b； （3）风险爱好 U E (W ) E U (W ) , 见图c；
u( x) x
则
1 1 x 1 E[u ( x)] p( x)u ( x) x 2 2 2 x 1 x 1 2

x {E[u( x)]} 2.914
2
因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致
不可接受的结果。而贝努利提出的用期望效用取代期望收 益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提 供最终的解决方案。 根据期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的收 益一样好；20%的损失也不一定与2倍的10%损失一样 糟。
对上面式子进行Taylor展开，可以得到
1 2 U '' (W ) z ' 2 U (W )
这就是Pratt-Arrow局部风险溢价测度。
定义绝对风险厌恶
相对风险厌恶
U '' (W ) ARR ' U (W )
RRA W * ARR
例：二次效用函数与指数效用函数：
期望效用原则
Daniel Bernoulli （1700-1782）是出生于瑞 士名门著名数学家，1725-1733年期间一直在圣彼德堡 科学院研究投币游戏。其在1738 年发表《对机遇性赌博 的 分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理 论”。指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来 作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。而道德期 望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富 人对于财富增加的边际效用是不一样的。
U(w)
U(w)
U(w)
图a
w
图b
w
w 图c
2、风险溢价 （1）Markowitz风险溢价 先介绍什么是确定性等价财富。 例：Smith先生现在手头有10$，现在他面临一个 赌博：赌资10$，80%的可能性得5$，20%的可能性得 30$。这个赌博给他带来的效用为
E[U (W )] 0.8U (5) 0.2U (30) 0.8 1.61 0.2 3.40 1.97
A.
不确定性下决策的五个公理
1. 完备性(可比性)：所有选择x和y中，个体要么偏 好x( x y )，要么偏好y( y x )，或者认为x和y 无差异( x ~ y )，即任意两个选择是可以比较的。 2. 传递性(一致性)：如果 x y 和 y z ，那么， z x y 如果 x z ， ~ z ，那么 x ~ z 。 3. 强独立性：设想一个赌博，以概率α 得到x，以概 率1-α 得到z，记为G(x,z:α )，强独立性，即如
1、效用函数应该具有的两个性质 （1）如果 x y，那么 U ( x) U ( y。 )
（2）风险资产排序，即： 证明：见P42-43。 一般地 E U (W ) i pU (Wi ) i 效用函数对个人来说是特定的，没有办法对 比两个人的效用函数；群体的效用函数，比如一 个公司，是没有意义的。
即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量， 而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是 递减的。 伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏 的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：
1 E (.) n log 2n 1.39 n 1 2

其中， ＞0为一个确定值。 另外， Crammer（1728）采用幂函数的形式的效用函 数对这一问题进行了分析。假定：
B、开发效用函数
基数效用与序数效用 基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的杰文 斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可以 用他从享用或消费过程中所所获得的效用来度量。 对满意程度的这种度量叫做基数效用. 序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托 等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全 可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是 以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而 效用值的大小本身并没有任何意义.
该游戏的数学期望值：
1 1 1 1 E (.) 1 2 4 n 2n 1 2 4 8 2
但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意 支付的成本（门票）仅为2-3元。 圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何 人们只愿意支付有限的价格？
确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换 行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件 发生的可能性。
风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机 问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可 能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认 识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。 不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那 些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并 且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问 题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种 状态发生的概率不清楚。
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常 常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果 发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概 率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事 件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作 上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的 界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。
果 x ~ y ，那么 G( x, z : ) ~ G( y, z : ) 。
完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。
传递性保证了消费者在不同商品之间选好的首尾一贯 性。
独立性味着如果将两个抽奖与第三个抽奖放在一起考 虑，则前两者的偏好顺序独立于特定的第三个抽奖。 独立性公理是不确定性环境下决策理论的核心，它提供 了把不确定性嵌入决策模型的基本结构。通过该假设，消 费者将复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个独立 部分，整个决策行为仅由其不同的部分来决定。
第二讲 决策理论： 不确定下的效
用函数
本章将介绍投资者所面临的选择目标问题，
主要包括： 投资者对风险资产的偏好问题； 效用函数； 风险厌恶的度量； 用投资回报的均值和方差作为选择目标的参 数，并根据它们之间的相互替换程度绘制出 投资者的等效用曲线
关于风险与不确定性
奈特（Knight.F）《风险、不确定性和利润〉 中关于确定型、风险和不确定性的解释：
不确定性下的理性决策原则 数学期望最大化原则 数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各 种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这 一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确 的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确 定情形下的推广。 问题：是否数学期望最大化准则是不最优的不确定性下 的行为决策准则？
后期望效用理论：
由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论， 如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的 期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用 的新的解释。
期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价 值判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下 经济主体决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。
而U(7.17)=1.97。7.17$就是该赌博的确定性等价财富W*。
风险溢价=期望财富-确定性等价财富
EW1 W *或U E(W ) E U (W )
风险溢价（risk premium）是指风险厌恶者为避免承担风险而 愿意放弃的投资收益。或让一个风险厌恶的投资者参与一项博 彩所必需获得的 风险补偿（risk compensation)。 它与个体的风险厌恶程度有关，与赌局成本的定义不一样，赌 局成本： 0 W * 。 W
假设α =0.6和U(0.0)=0，那么
U (1000) (1 )U (1000)

(1 0.6)(10) 6.7 0.6
重复以上过程，可以计算效用函数
损失 赢利 概率(赢) 效用(赢) 效用(输)
效用指数
-1000
-1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000
1000
2000 3000 4000 5000 6000 7000