金融经济学第二章
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而U(7.17)=1.97。7.17$就是该赌博的确定性等价财富W*。
风险溢价=期望财富-确定性等价财富
EW1 W *或U E(W ) E U (W )
风险溢价（risk premium）是指风险厌恶者为避免承担风险而 愿意放弃的投资收益。或让一个风险厌恶的投资者参与一项博 彩所必需获得的 风险补偿（risk compensation)。 它与个体的风险厌恶程度有关，与赌局成本的定义不一样，赌 局成本： 0 W * 。 W
U(w)
U(w)
U(w)
图a
w
图b
w
w 图c
2、风险溢价 （1）Markowitz风险溢价 先介绍什么是确定性等价财富。 例：Smith先生现在手头有10$，现在他面临一个 赌博：赌资10$，80%的可能性得5$，20%的可能性得 30$。这个赌博给他带来的效用为
E[U (W )] 0.8U (5) 0.2U (30) 0.8 1.61 0.2 3.40 1.97
1000
2000 3000 4000 5000 6000 7000
0.6
0.55 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30
6.7
8.2 10.0 12.2 15.0 18.6 23.3
-10.0
-10.0 -10.0 -10.0 -10.0 -10.0 -10.0
(1000) 10 1000 (10)
确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换 行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件 发生的可能性。
风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机 问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可 能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认 识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。 不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那 些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并 且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问 题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种 状态发生的概率不清楚。
后期望效用理论：
由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论， 如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的 期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用 的新的解释。
期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价 值判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下 经济主体决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。
对上面式子进行Taylor展开，可以得到
1 2 U '' (W ) z ' 2 U (W )
这就是Pratt-Arrow局部风险溢价测度。
定义绝对风险厌恶
相对风险厌恶
U '' (W ) ARR ' U (W )
RRA W * ARR
例：二次效用函数与指数效用函数：
1、效用函数应该具有的两个性质 （1）如果 x y，那么 U ( x) U ( y。 )
（2）风险资产排序，即： 证明：见P42-43。 一般地 E U (W ) i pU (Wi ) i 效用函数对个人来说是特定的，没有办法对 比两个人的效用函数；群体的效用函数，比如一 个公司，是没有意义的。
即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量， 而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是 递减的。 伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏 的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：
1 E (.) n log 2n 1.39 n 1 2
其中， ＞0为一个确定值。 另外， Crammer（1728）采用幂函数的形式的效用函 数对这一问题进行了分析。假定：
wenku.baidu.com
假设α =0.6和U(0.0)=0，那么
U (1000) (1 )U (1000)
(1 0.6)(10) 6.7 0.6
重复以上过程，可以计算效用函数
损失 赢利 概率(赢) 效用(赢) 效用(输)
效用指数
-1000
-1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000
不确定性下的理性决策原则 数学期望最大化原则 数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各 种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这 一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确 的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确 定情形下的推广。 问题：是否数学期望最大化准则是不最优的不确定性下 的行为决策准则？
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常 常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果 发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概 率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事 件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作 上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的 界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。
u( x) x
则
1 1 x 1 E[u ( x)] p( x)u ( x) x 2 2 2 x 1 x 1 2
x {E[u( x)]} 2.914
2
因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致
不可接受的结果。而贝努利提出的用期望效用取代期望收 益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提 供最终的解决方案。 根据期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的收 益一样好；20%的损失也不一定与2倍的10%损失一样 糟。
在上例中，赌博的风险溢价是10-7.17=2.83$。赌局成本也是 2.83$。
在接下来，我们假定个体都是风险厌恶的，其效用 函数为严格的凹函数（边界效用为正，而且边界 效用递减）。 （2）Pratt-Arrow风险厌恶 公平赌局： E ( z ) 0 ； 风险溢价：
(W , z ), 使得E U (W z ) U W E ( z ) (W , z )
损益
-2000
-3000 -4000
2000
3000 4000
0.75
0.80 0.85
8.2
10.0 12.2
-24.6
-40.0 -69.2
-5000
5000
0.9
15.0
-135.0
C、建立风险厌恶定义
1. 风险态度
例：对下面两种情形，你会选择哪一个？I、确定 能够拿到10$；II、10%的可能获得100$，90% 的可能拿到0$。不同的选择代表不同的风险态 度。 （1）风险厌恶 U E (W ) E U (W ) ，见图a； （2）风险中性 U E (W ) E U (W ) ，见图b； （3）风险爱好 U E (W ) E U (W ) , 见图c；
该游戏的数学期望值：
1 1 1 1 E (.) 1 2 4 n 2n 1 2 4 8 2
但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意 支付的成本（门票）仅为2-3元。 圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何 人们只愿意支付有限的价格？
A.
不确定性下决策的五个公理
1. 完备性(可比性)：所有选择x和y中，个体要么偏 好x( x y )，要么偏好y( y x )，或者认为x和y 无差异( x ~ y )，即任意两个选择是可以比较的。 2. 传递性(一致性)：如果 x y 和 y z ，那么， z x y 如果 x z ， ~ z ，那么 x ~ z 。 3. 强独立性：设想一个赌博，以概率α 得到x，以概 率1-α 得到z，记为G(x,z:α )，强独立性，即如
期望效用原则
Daniel Bernoulli （1700-1782）是出生于瑞 士名门著名数学家，1725-1733年期间一直在圣彼德堡 科学院研究投币游戏。其在1738 年发表《对机遇性赌博 的 分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理 论”。指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来 作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。而道德期 望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富 人对于财富增加的边际效用是不一样的。
4、可测性：如果 x y z, or , x y z ，那么存在唯 一的α ，使得y~G(x,z;α ) 5、可排序：如果 x y z和 x u z，并且y~G(x,z;α1) 和u~G(x,z;α2) ，那么，如果 1 2 y u ，如果 α 1~α 2，则y~u 。 这五个公理归结起来就是对人的行为作如下假设： 1）个体总是理性的； 2）个体能够面对成千上万个选择能够作出理性的 决策。 另外，还假定个体是贪婪的，即多比少好！
U (W ) aW bW 2 ;W a / 2b 2b d ( ARA) ARA , 0 a 2bW dW 2b d ( RRA) RRA , 0 a / W 2b dW
U (W ) W 1 2 d ( ARA) ARA , 0 W dW d ( RRA) RRA 2, 0 dW
U G( x, y : U (x) 1 U ( y)
例：构造效用函数 任意分配损失$1000的效用是-10，问题：以多大
的概率α 赢$1000和(1-α )输$1000的赌局，与$0.0 的确定性结果等价？ 用数学式子表示为
或者
0 ~ G(10001000: ) , U (0) U (1000 (1 )U (1000 ) )
第二讲 决策理论： 不确定下的效
用函数
本章将介绍投资者所面临的选择目标问题，
主要包括： 投资者对风险资产的偏好问题； 效用函数； 风险厌恶的度量； 用投资回报的均值和方差作为选择目标的参 数，并根据它们之间的相互替换程度绘制出 投资者的等效用曲线
关于风险与不确定性
奈特（Knight.F）《风险、不确定性和利润〉 中关于确定型、风险和不确定性的解释：
B、开发效用函数
基数效用与序数效用 基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的杰文 斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可以 用他从享用或消费过程中所所获得的效用来度量。 对满意程度的这种度量叫做基数效用. 序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托 等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全 可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是 以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而 效用值的大小本身并没有任何意义.
果 x ~ y ，那么 G( x, z : ) ~ G( y, z : ) 。
完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。
传递性保证了消费者在不同商品之间选好的首尾一贯 性。
独立性味着如果将两个抽奖与第三个抽奖放在一起考 虑，则前两者的偏好顺序独立于特定的第三个抽奖。 独立性公理是不确定性环境下决策理论的核心，它提供 了把不确定性嵌入决策模型的基本结构。通过该假设，消 费者将复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个独立 部分，整个决策行为仅由其不同的部分来决定。
典型案例：圣彼德堡悖论（Saint Petersbury Paradox） 考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以 得到1元，第一次反面，第二次正面得 2 元，前两次反 面，第三次正面得 4 元，„„如果前 n-1 次都是反面， 第 n 次出现正面得 元。问：游戏的参加应先付多 2 n1 少钱，才能使这场赌博是“公平”的？
在这种形式下，容易验证个体的风险容忍系数为其初始 财富的线性函数。
1 1 T (W ) ( )W RA (W ) 1
几种常用的效用函数
金融经济学理论有时需要对个体的偏好做出某种假 设。其中，常用的一个假设是个体具有线性的风险容忍系 数（linear risk tolerance），满足这一假设的VNM效用 函数具有LRT形式：
1 W u (W ) ( ) , 0, 1, 1 1
风险溢价=期望财富-确定性等价财富
EW1 W *或U E(W ) E U (W )
风险溢价（risk premium）是指风险厌恶者为避免承担风险而 愿意放弃的投资收益。或让一个风险厌恶的投资者参与一项博 彩所必需获得的 风险补偿（risk compensation)。 它与个体的风险厌恶程度有关，与赌局成本的定义不一样，赌 局成本： 0 W * 。 W
U(w)
U(w)
U(w)
图a
w
图b
w
w 图c
2、风险溢价 （1）Markowitz风险溢价 先介绍什么是确定性等价财富。 例：Smith先生现在手头有10$，现在他面临一个 赌博：赌资10$，80%的可能性得5$，20%的可能性得 30$。这个赌博给他带来的效用为
E[U (W )] 0.8U (5) 0.2U (30) 0.8 1.61 0.2 3.40 1.97
1000
2000 3000 4000 5000 6000 7000
0.6
0.55 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30
6.7
8.2 10.0 12.2 15.0 18.6 23.3
-10.0
-10.0 -10.0 -10.0 -10.0 -10.0 -10.0
(1000) 10 1000 (10)
确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换 行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件 发生的可能性。
风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机 问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可 能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认 识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。 不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那 些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并 且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问 题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种 状态发生的概率不清楚。
后期望效用理论：
由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论， 如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的 期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用 的新的解释。
期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价 值判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下 经济主体决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。
对上面式子进行Taylor展开，可以得到
1 2 U '' (W ) z ' 2 U (W )
这就是Pratt-Arrow局部风险溢价测度。
定义绝对风险厌恶
相对风险厌恶
U '' (W ) ARR ' U (W )
RRA W * ARR
例：二次效用函数与指数效用函数：
1、效用函数应该具有的两个性质 （1）如果 x y，那么 U ( x) U ( y。 )
（2）风险资产排序，即： 证明：见P42-43。 一般地 E U (W ) i pU (Wi ) i 效用函数对个人来说是特定的，没有办法对 比两个人的效用函数；群体的效用函数，比如一 个公司，是没有意义的。
即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量， 而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是 递减的。 伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏 的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：
1 E (.) n log 2n 1.39 n 1 2
其中， ＞0为一个确定值。 另外， Crammer（1728）采用幂函数的形式的效用函 数对这一问题进行了分析。假定：
wenku.baidu.com
假设α =0.6和U(0.0)=0，那么
U (1000) (1 )U (1000)
(1 0.6)(10) 6.7 0.6
重复以上过程，可以计算效用函数
损失 赢利 概率(赢) 效用(赢) 效用(输)
效用指数
-1000
-1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000
不确定性下的理性决策原则 数学期望最大化原则 数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各 种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这 一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确 的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确 定情形下的推广。 问题：是否数学期望最大化准则是不最优的不确定性下 的行为决策准则？
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常 常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果 发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概 率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事 件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作 上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的 界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。
u( x) x
则
1 1 x 1 E[u ( x)] p( x)u ( x) x 2 2 2 x 1 x 1 2
x {E[u( x)]} 2.914
2
因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致
不可接受的结果。而贝努利提出的用期望效用取代期望收 益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提 供最终的解决方案。 根据期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的收 益一样好；20%的损失也不一定与2倍的10%损失一样 糟。
在上例中，赌博的风险溢价是10-7.17=2.83$。赌局成本也是 2.83$。
在接下来，我们假定个体都是风险厌恶的，其效用 函数为严格的凹函数（边界效用为正，而且边界 效用递减）。 （2）Pratt-Arrow风险厌恶 公平赌局： E ( z ) 0 ； 风险溢价：
(W , z ), 使得E U (W z ) U W E ( z ) (W , z )
损益
-2000
-3000 -4000
2000
3000 4000
0.75
0.80 0.85
8.2
10.0 12.2
-24.6
-40.0 -69.2
-5000
5000
0.9
15.0
-135.0
C、建立风险厌恶定义
1. 风险态度
例：对下面两种情形，你会选择哪一个？I、确定 能够拿到10$；II、10%的可能获得100$，90% 的可能拿到0$。不同的选择代表不同的风险态 度。 （1）风险厌恶 U E (W ) E U (W ) ，见图a； （2）风险中性 U E (W ) E U (W ) ，见图b； （3）风险爱好 U E (W ) E U (W ) , 见图c；
该游戏的数学期望值：
1 1 1 1 E (.) 1 2 4 n 2n 1 2 4 8 2
但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意 支付的成本（门票）仅为2-3元。 圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何 人们只愿意支付有限的价格？
A.
不确定性下决策的五个公理
1. 完备性(可比性)：所有选择x和y中，个体要么偏 好x( x y )，要么偏好y( y x )，或者认为x和y 无差异( x ~ y )，即任意两个选择是可以比较的。 2. 传递性(一致性)：如果 x y 和 y z ，那么， z x y 如果 x z ， ~ z ，那么 x ~ z 。 3. 强独立性：设想一个赌博，以概率α 得到x，以概 率1-α 得到z，记为G(x,z:α )，强独立性，即如
期望效用原则
Daniel Bernoulli （1700-1782）是出生于瑞 士名门著名数学家，1725-1733年期间一直在圣彼德堡 科学院研究投币游戏。其在1738 年发表《对机遇性赌博 的 分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理 论”。指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来 作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。而道德期 望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富 人对于财富增加的边际效用是不一样的。
4、可测性：如果 x y z, or , x y z ，那么存在唯 一的α ，使得y~G(x,z;α ) 5、可排序：如果 x y z和 x u z，并且y~G(x,z;α1) 和u~G(x,z;α2) ，那么，如果 1 2 y u ，如果 α 1~α 2，则y~u 。 这五个公理归结起来就是对人的行为作如下假设： 1）个体总是理性的； 2）个体能够面对成千上万个选择能够作出理性的 决策。 另外，还假定个体是贪婪的，即多比少好！
U (W ) aW bW 2 ;W a / 2b 2b d ( ARA) ARA , 0 a 2bW dW 2b d ( RRA) RRA , 0 a / W 2b dW
U (W ) W 1 2 d ( ARA) ARA , 0 W dW d ( RRA) RRA 2, 0 dW
U G( x, y : U (x) 1 U ( y)
例：构造效用函数 任意分配损失$1000的效用是-10，问题：以多大
的概率α 赢$1000和(1-α )输$1000的赌局，与$0.0 的确定性结果等价？ 用数学式子表示为
或者
0 ~ G(10001000: ) , U (0) U (1000 (1 )U (1000 ) )
第二讲 决策理论： 不确定下的效
用函数
本章将介绍投资者所面临的选择目标问题，
主要包括： 投资者对风险资产的偏好问题； 效用函数； 风险厌恶的度量； 用投资回报的均值和方差作为选择目标的参 数，并根据它们之间的相互替换程度绘制出 投资者的等效用曲线
关于风险与不确定性
奈特（Knight.F）《风险、不确定性和利润〉 中关于确定型、风险和不确定性的解释：
B、开发效用函数
基数效用与序数效用 基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的杰文 斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可以 用他从享用或消费过程中所所获得的效用来度量。 对满意程度的这种度量叫做基数效用. 序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托 等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全 可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是 以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而 效用值的大小本身并没有任何意义.
果 x ~ y ，那么 G( x, z : ) ~ G( y, z : ) 。
完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。
传递性保证了消费者在不同商品之间选好的首尾一贯 性。
独立性味着如果将两个抽奖与第三个抽奖放在一起考 虑，则前两者的偏好顺序独立于特定的第三个抽奖。 独立性公理是不确定性环境下决策理论的核心，它提供 了把不确定性嵌入决策模型的基本结构。通过该假设，消 费者将复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个独立 部分，整个决策行为仅由其不同的部分来决定。
典型案例：圣彼德堡悖论（Saint Petersbury Paradox） 考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以 得到1元，第一次反面，第二次正面得 2 元，前两次反 面，第三次正面得 4 元，„„如果前 n-1 次都是反面， 第 n 次出现正面得 元。问：游戏的参加应先付多 2 n1 少钱，才能使这场赌博是“公平”的？
在这种形式下，容易验证个体的风险容忍系数为其初始 财富的线性函数。
1 1 T (W ) ( )W RA (W ) 1
几种常用的效用函数
金融经济学理论有时需要对个体的偏好做出某种假 设。其中，常用的一个假设是个体具有线性的风险容忍系 数（linear risk tolerance），满足这一假设的VNM效用 函数具有LRT形式：
1 W u (W ) ( ) , 0, 1, 1 1