《曲边梯形的面积定积分》练习题.doc
数学选修2-2训练：1 曲边梯形面积与定积分 含解析.
预习导航1．函数的极值(1)已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．如果在x0附近都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．(2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．思考1 (1)极大值(极小值)是否就是函数在定义域内最大的值(最小的值)?(2)函数是否一定存在极值？若存在，是否是唯一的？(3)极大值是否一定比极小值大？(4)函数的极值点是否可以出现在区间的端点？提示：(1)极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．(2)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．(4)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．2．求函数y＝f(x)极值的步骤第1步：求导数f′(x)；第2步：求方程f′(x)＝0的所有实数根；第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．思考2 (1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了．但对可导函数来说，极值点处的导数值一定等于0.3．函数的最值函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值．点拨函数极值与最值的联系与区别：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值最多只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值．(3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不是在端点处取到，则一定是某个极值．4．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．第2步：计算函数f(x)在区间(a，b)内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．思考3如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，如何求其最值？提示：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．点拨函数f(x)在开区间上最值的求法：如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别．由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值也必然是最值．如果在无穷区间(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．此外，还要注意研究函数值的变化趋势，必要时应画出函数的大致图象，结合图象分析函数的最值．。
曲边梯形面积及定积分
b
y
yf (x)
b
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a
b
a
b
f ( x)dx ． ，
c b
O a
b c
b x
S f (x)dx a f (x)dx a c
b
f (x
S f (x)dx a f (x)dx a c
v
2
v(t ) = - t 2 + 2
O
1
t
探究思考
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0，t=1，v=0 2 和曲线 v=－t +2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系？
图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行 驶的路程 S lim S n 在数 值上就等于相应曲边梯形 面积.
a c
c
b
y
yf ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
1.5.1 曲边梯形的面积
一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线 y=f(x)，直线x=a、x=b及 x轴所围成的图形叫做曲边 梯形。
曲边梯形的面积与定积分033356281qubian
2 1
1 ( x 1)dx; (2). ( x 1) dx. 2 2
1
y
1
2
x
-2
1
x
解: (1)5/2;
(2)9/4.
3.定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
a b
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
a
s v(t)dt。
a
b
b
(3)变力作功问题可表示为
W F ( x)dx
a
O
a
t
b
注 ：定积分数值只与被积函数及积分
区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关
b b b
a f ( x)dx a f (t )dt a f (u)du
感受理解
例1.计算下列定积分:
(1).
y = f(x) y f(xi)
f(x2) f(x1) f(xi)xi
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi ．
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为：A
f (xi )xi
i 1
n
例1：火箭发射后ts的速度为v(t)(单位:m/s),假定 0≤t≤10,对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实 际意义？
Sn=v(t1)⊿t+v(t2)⊿t+…+v(ti)⊿t+…+v(tn)⊿t ≈火箭在10s内运行的总路程.
学生活动
● 前面几个问题有什么共性？
f (x1 )x f(x 2 )x f(x n )x Sn
问题情境
1.4.1曲边梯形的面积与定积分(上课用)
2、一般函数定积分的定义 设f(x)是定义在区间[a，b]上的一个函数， 在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
a x0 x1 xi 1 xi xn b
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次 为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，„，n－1，记 λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0 时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个 i [ xi 1 , xi ] 小区间内各取一点，
i 1 2 ) 为 左端点的纵坐标 ( n 1
高，△x= 形，
n
为底作小矩
x O
1
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 0 , ( ) , ( ) , , ( ) , n n n n n n n
2
所有这些小矩形的面积的和为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 Sn 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n
3.定积分的几何意义：
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
求由抛物线y=x2与直线x=0、x=1、 1 y=0所围成的平面图形的面积．
B
四步曲：
曲边三角形
1°分割— 化整为零 1 2°近似代替— 以直代曲 O A x 0 x 1 x ? 3°求和 — 积零为整 1 1 2 n 1 0, , , ,, ,1 4°取极限(逼近) — n n n n 精益求精
2 kb 当n→+∞时，上式右端趋近于 2
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb W lim Wi n 2 i 0
n 1 2
以上两个实际问题，一个是求曲边梯形 的面积，一个是求变力所做的功，虽然实 际意义不同，但解决问题的方法和步骤是 完全相同的，都归结为求一个函数在某一 闭区间上的和式的极限问题.
数学苏教选修自主练习：曲边梯形的面积定积分 含解析
自主广场我夯基 我达标1.在求由x=a,x=b(a ＜b),y=f(x)［f(x)≥0］及y=0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间［a,b ］上等间隔地插入n-1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边形分成n 个小曲边形，下列说法中正确的个数是( )①n 个小曲边形的面积和等于S②n 个小曲边形的面积和小于S③n 个小曲边形的面积和大于S④n 个小曲边形的面积和与S 之间的大小关系无法确定A.1B.2C.3D.4思路解析：根据“化整为零”“积零为整”的思想，知①是正确的.答案:A2.函数f(x)=x 2在区间［ni n i ,1-］上,则( ) A.f(x)的值变化很小 B.f(x)的值变化很大C.f(x)的值不变化D.当n 很大时，f(x)的值变化很小思路解析：因为分割得越细，越接近原函数值，所以当n 很大时，f(x)的值变化很小. 答案:D3.设函数f(x)在区间［a,b ］上连续，用分点a=x 0＜x 1＜…＜x i-1＜x i ＜…＜x n =b ，把区间［a,b ］等分成n 个小区间，在每个小区间［x i-1,x i ］上任取一点ξi (i=1,2,…,n)，作和式I n =∑=n i i f 1)(ξΔx(其中Δx 为小区间的长度)那么I n的大小( ) A.与f(x)和区间［a,b ］有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B.与f(x)、区间［a,b ］和分点个数n 有关，与ξi 的取法无关C.与f(x)、区间［a,b ］和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关D.与f(x)、区间［a,b ］、分点的个数n 、ξi 的取法都有关思路解析：根据定积分的定义可知n 越大即分点越多，与f(x)的值越接近，与ξi 的取法也有关.答案:D4.⎰10dx 等于( ) A.0 B.1 C.21 D.2 思路解析：1010|x dx =⎰,故⎰10dx =1. 答案:B5.下列等式成立的是( )A.⎰-=b a a b xdx 0 B.⎰=b a xdx 21 C.⎰⎰=-1011||2||dx x dx x D.⎰⎰=+b a ba xdx dx x )1(思路解析：根据定积分的定义可知⎰⎰=-1011||2||dx x dx x . 答案:C我综合 我发展6.计算定积分⎰-50.)63(dx x 思路分析：利用定积分的定义和性质求解.解：如下图，计算可得A 的面积为227，B 的面积为6，从而 2156227)63(50=-=-⎰dx x .7.利用定积分求n 趋近于+∞时121++++ααααnn (α＞0)的值. 思路分析：根据定积分的定义和性质求解.解：∑=+•=+++n i n ni n n 111)(21ααααα =αααα+=•+=+⎰11|1110110x dx x .。
人教B版选修(2-2)1.4.1《曲边梯形面积与定积分》word练习题4
X曲边梯形面积与定积分得分 ________一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分) 21.函数y=x cosx 的导数,,,,,,,,,,,,,,, 【A. y =2xcosx — x 1 2s inx2 .B. y =2xcosx+x snx2C. y' =x cosx — 2xsi nx 2 .D. y =xcosx — x sinx 2.下列结论中正确的是 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,, 【 A.导数为零的点一定是极值点B. 如果在X o 附近的左侧f'(x) 0，右侧f'(x) ::: 0，那么f (X o )是极大值C. 如果在X 。
附近的左侧f '(x)，右侧f'(x) :: 0，那么f(Xo )是极小值D. 如果在x 0附近的左侧f'(x) ：：：0,右侧f'(x)・0，那么f(x 0)是极大值3兀3. 曲线y=cosx(0—X "，与坐标轴围成的面积是，，，，，”，,”2【 】5A.4B.C.3D.2234. 函数 f(x) =3x-4x , [0,1]的最大值是，”,，，，，，，，，，，，，【1A.1B.C.0D.-1[25.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处，则克服弹力所做的功为 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，【A . 0.28JB. 0.12JC. 0.26JD. 0.18J6.给出以下命题: b⑴若 f (x)dx 0，则 f(x)>0 ；asin xdx 二4 ；⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以aT 为周期的函数，则.f (x)dx-a TT f(x)dx ；其中正确命题的个数为,A. 1B. 2C. 3D. 0 7.若函数f (X) x 2 mx 1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是A. 】1 (-+oc ) (3，)1 B.(一：弓 8.设 0< a <b ，且 1亠 1亠x f (X) = 1——」，则下列大小关系式成立的是9.函数f(x) =ax3 4-b 在区间(v ,0)内是减函数，贝U a,b 应满足”,”，”,【 】A. a ::: 0且 b = 0且b R10. f (x)与g(x)是R 定义在上的两个可导函数，若f(x)与g(x)满 足八))))))))))))))))))))))))))))))))))【】A. f(X)二 g(x)B. f(x)-g(x)为常数函数c. f (x)二g(x) =0D. f(x) g(x)为常数函数211. (2007江苏)已知二次函数f (x) = ax bx c 的导数为f (x)， f (0) 0 ,对于任意实数x，有f(x > ),则f (1 昇 的丿 最小值0 )为丿 7 )))))))))))))))))))))))))【】53A. 3B.c. 2D.2212. (2007江西理)设函数f (x)是R 上以 5为周期的可导偶函数，则曲线 y = f(x)在 x =5处的切线的斜率为( )11A.--B. 0c.—D .555二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 10.曲线y=2x 3— 3x 2共有 _____ 个极值.16.已知函数f (x) = x3ax 2 bx c 在x = -2处取得极值，并且它的图象与直线2y= _3x ' 3在点(1, 0)处相切，则函数 f (x)的表达式为 _____________ ____ __ m.314.已知 f (x)为一次函数，且 _______________ f (x) =x +2J ° f(t)dt ，贝U f (x) =a +bI —A.f(a )< f ()<f( ab )2— a ■ bC. f ( ..ab )< f ()<f (a )a + brB. f ()<f (b)< f (. ab )2a + b[~~c. a ■ 0 且 b = 0 D . a ■ 0f (x)与g (x)满足 f (x) = g (x)，则 15.若 f (x) = ef (1 -2t) -f(1)三、解答题(共74分)17.(本小题满分10分)一物体沿直线以速度v(t) = 2t-3 (t的单位为秒,v的单位为：米/秒)的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程？18.(本小题满分12分)已知曲线y = x3+ x—2在点P o处的切线11平行直线4x—y—仁0 ,且点P o在第三象限，⑴求P o的坐标；⑵若直线I _ h ,且I也过切点P o ,求直线l的方程.3 219.(本小题满分12分)已知函数f(x)二ax (a -1)x 48(^ 2)x b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间1-4,4上的单调性，并证明你的结论•120.(本小题满分14 分)已知函数f(x)=l nx (x 式0),函数g(x)=—；—+ af"(x)(x^0) f(x)⑴当x = 0时，求函数y = g(x)的表达式；⑵若a 0,函数y=g(x)在(0,=)上的最小值是2 ,求a的值;27y x 与函数y = g(x)的图象所围成图形的面积⑶在⑵的条件下，求直线3 621. (本小题满分 12 分)设 a > 0 , f(x)=x_1_ln 2x 2alnx(x .O).(I)令F(x)二xf (x)，讨论F(x)在(0,^)内的单调性并求极值； (H)求证：当 x 1 时，恒有 x .In 2x_2alnx J .22. (本小题满分14分)已知函数 f(x)=e x-kx, x R(I)若k 二e ,试确定函数f (x)的单调区间；(n)若k 0，且对于任意R , f(x) 0恒成立，试确定实数 k 的取值范围；n(川)设函数 F(x) = f(x) f(-x)，求证：F(1)F(2)|||F(n) (e n12円n N ).3、将半径为R 的球加热，若球的半径增加 R ，则球体积的平均变化率为(2 ^4 3^4A 4 兀 R 2"A R +4兀 R +_ 兀(A R )B 、 4 兀 R 2+4兀 R 边R +_ 兀33数学科学段测试(导数部分)一、选择题(12小题，共36分)1、 设曲线y = x 2A (0,- 2)2、 抛物线y=x?在点M (— 2 B 、45°A 30° •x -2在点M 处切线斜率为3,则点M 的坐标为B 、( 1,1、4C 0) C 、(0, 0)D 的切线的倾斜角是 ()、(1,1) (、60° D 、90° 3“R )2C4. R 2R D 、4. R 24、 函数y=x 3— 3x 在［—1, 2］上的最小值为 （）A 2B 、一 2C 、0D — 45、 设函数f x 的导函数为f x ，且f x = x 22x f 1 ,则f 0等于（）A 0B 、_4C 、_2D 、26已知曲线y 」x 3在点P （2,8），则过P 点的切线方程为（）3 3 A 、3x -12y _16 二 0 B 、12x-3y -16=0 C 、 3x-12y 16 = 0 D 12x_3y16=07、 已知f （x ） = x 3+ ax 2+ （a + 6）x + 1有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）A 、— 1<a<2B 、— 3<a<6C 、a<— 1 或 a>2D 、a<— 3 或 a>68、 设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如下图所示，贝U 导函数 y=f0） 可能为 （）值范围是1 1A 、kB 0 ：：： k _ —3 310、 函数y=xlnx 的单调递减区间是A 、（ e 4，+x ）B 、（ — X ，e 4） 11、 方程x 3— 6x 2+9x — 10=0的实根个数是A . 3B . 2C . 112、对于R 上可导的任意函数f （x ），且f '（1） = 0若满足（x — 1） f（ x ）>0,则 必有（）A f (0) + f (2) ：(1)B 、f (0) + f ⑵ -2f (1)C 、f (0) + f (2) >2f (1) D、f (0) + f (2) -2f (1)二、填空题（4小题，共16分）13、【文】已知函数y=x 3-3x ，则它的单调递增区间是 _________________13、【理】 计算定积分： 2（x sinx ）dx = _________________14、 已知函数y =lnsinx 和y 二a 2x 的导函数分别是 ___________ 、 ____________ < 15、 【文】一质点在直线上从时刻t=0秒以速度v （t ）二t 2-4t • 3 （米/秒）运动,则该质点在时刻t=3秒时运动的路程为 ___________________ 。
人教B版选修22高中数学141《曲边梯形面积与定积分》同步练习2
曲边梯形面积与定积分一、选择题1.给出如下命题：①错误！超链接引用无效。
(错误！超链接引用无效。
为常数且错误!超链接引用无效。
)；②错误！超链接引用无效.；③曲线错误！超链接引用无效。
,错误！超链接引用无效。
错误!超链接引用无效.，与直线错误!超链接引用无效.围成的两个封闭区域的面积之和为错误！超链接引用无效。
其中真命题的错误!超链接引用无效.个数为（）Ａ.错误！超链接引用无效。
Ｂ。
错误！超链接引用无效。
Ｃ。
错误!超链接引用无效。
Ｄ.错误!超链接引用无效.答案:Ｂ2.错误!超链接引用无效。
等于()Ａ。
错误！超链接引用无效。
Ｂ.错误！超链接引用无效。
Ｃ.错误！超链接引用无效。
Ｄ。
错误！超链接引用无效。
答案：Ｃ3。
若某产品一天内的产量是时间错误！超链接引用无效。
的函数，若已知产量的变化率为错误!超链接引用无效。
，那么从第3小时到第6小时期间内的产量为（）Ａ.错误！超链接引用无效。
Ｂ。
错误！超链接引用无效.Ｃ.错误！超链接引用无效。
Ｄ.错误！超链接引用无效。
答案：Ｄ4.错误！超链接引用无效。
,则错误！超链接引用无效。
的最大值是(）Ａ.错误!超链接引用无效。
Ｂ.错误！超链接引用无效。
Ｃ.错误！超链接引用无效.Ｄ。
错误！超链接引用无效。
答案：Ｂ二错误!超链接引用无效.、填空题错误！超链接引用无效。
5.若错误!超链接引用无效。
是一次函数,且错误！超链接引用无效。
,错误！超链接引用无效.,那么错误！超链接引用无效。
的值是。
答案:错误！超链接引用无效.6。
物体按照规律错误！超链接引用无效。
错误！超链接引用无效。
做直线运动,设介质的阻力与速度成正比,且速度等错误！超链接引用无效.于错误！超链接引用无效。
时,阻力为错误！超链接引用无效.,则物体从错误!超链接引用无效。
到错误!超链接引用无效。
阻力所做的功等于.答案:错误！超链接引用无效。
三、解答题7。
在曲线错误!超链接引用无效。
上某一点错误！超链接引用无效.处作一切线使之与曲线以及错误！超链接引用无效。
定积分
n
b
n
n
0 i 1
a f ( x )dx a g( x )dx.
此性质可以推广到有限项代数和的情况
b
b
（3）（定积分的可加性） 若 f ( x ) 在 [a, c],[c, b] 上都可积
则有
b a
f ( x )dx
c a
f ( x )dx f ( x )dx
e
1 i lim ln f n n n i 1
n
e
i1 lim ln f n n n i 1
n
f ( x)
在 [0,1] 上连续，且取正值，
所以 ln f ( x ) 在 [0,1]上有意义且取可积，
i 1 i 对 [0,1] 进 行 分 割x i , 则 x i , 取 i n n n
0
2 e
0
x
dx 2xdx, e dx 0 xdx.
x
2
于是
0
2
性质5的推论：
（1）如果在区间[a , b]上 f ( x ) g( x ) ，
则 a f ( x )dx
b
a g( x )dx .
b
(a b)
则
b c
c
c
b
c
a b c, f ( x )dx
c
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
a f ( x )dx c f ( x )dx.
b
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
a 1 dx a
b a
b
(完整版)《曲边梯形的面积定积分》练习题
《曲边梯形的面积定积分》练习题一、选择题1．将和式的极限)0(.......321lim1>+++++∞→p n n P pp p p n 表示成定积分（ ）A ．dx x ⎰101B ．dx x p ⎰1C ．dx x p ⎰10)1(D ．dx n x p⎰10)(2．下列等于1的积分是 （ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+1)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰10213．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（ ） A ．4B ．2C ．25D ．34．dx e e x x ⎰-+1)(=（ ）A ．ee 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-5． 若()f x 是[,]a a -上的连续偶函数，则 ()d aaf x x -=⎰（ ）A ．0()d a f x x -⎰B ．0C ．02()d a f x x -⎰D ．0()d af x x ⎰6． 1321(tan sin )x x x x dx -++⎰=（ ）A ．0B..13202(tan sin )x x x x dx ++⎰C ．03212(tan sin )x x x x dx -++⎰D..13202|tan sin |x x x x dx ++⎰7、已知f (x )为偶函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于 ( )A ．0B ．4C ．8D ．16 8．设连续函数f(x)>0,则当a<b 时，定积分()d b af x x ⎰的符号（ ）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a<b 时为正，当a<b<0时为负D ．以上结论都不正确9．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ） A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 10．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（）A ．()[]dy y y ⎰--11B.()[]dx x x ⎰-+-2101C ．()[]dy y y ⎰--2101D.()[]dx x x ⎰+--10111． 若()f x 与()g x 是[,]a b 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x =a , x =b 所围图形的面积（ ）A ．()()d ba f x g x x -⎰B ．(()())d baf xg x x -⎰C ．(()())d b ag x f x x -⎰ D ．(()())d baf xg x x -⎰12. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2y x y x ==和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 （ ） A ．13 B ．23 C ．14 D ．34二、填空题1、给出下列定积分：①20sin xdx π⎰ ②02sin xdx π-⎰ ③23xdx -⎰ ④231x dx -⎰其中为负值的有 2、给出下列命题： ①若()ba f x dx ⎰＞0，b ＞a ，则f(x)＞0；②若f(x)＞0，b ＞a ，则()baf x dx ⎰＞0；③若()baf x dx ⎰=0，b ＞a ，则f(x)=0；④若f(x)=0，b ＞a ，则()baf x dx ⎰=0；⑤若|()|baf x dx ⎰=0，b ＞a ，则f(x)=0。
曲边梯形面积与定积分练习
a =x 0 x 1 x 2 x i -1 x i x n -1 x n =b ξiO ξn ξ1 ξ2 y =f (x )x y曲边梯形面积与定积分1.求下列图中阴影部分的面积：___________________S = ___________________S =2.曲边梯形的概念：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形通常称为曲边梯形。
3.对于0x =,1x =,0y =,2y x =围成的图形（曲边三角形）的面积S 如何来求呢？ 概念形成1.函数定积分的概念：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上，用分点： 0121n n a x x x x x b -=<<<<<= 把区间[,]a b 分成n个小区间，其长度依次为i x ∆=_______,0,1,,1i n =- .记λ为这些小区间长度的最大者，当0λ→时，所有的小区间长度都_______.在每个小区间内任取一点i ξ，作和式：n I =10()n i i i f x ξ-=∆∑，当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：，即()b a f x dx ⎰=100lim ()n i i i f x λξ-→=∆∑.其中()f x 叫做_________,a 做________, b 叫_________.()f x dx 叫做_______.此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积。
2.函数定积分的几何意义：曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[,]a b 上的定积分的绝对值， 即|()|ba S f x dx =⎰ 则上面曲边三角形的面积可以写为：S =___________=_______. 练习1.将下列曲边梯形的面积写成定积分的形式：(1)由()(0)f x c c =>和直线,,0x a x b y ===（a b <）围成图形：S =__________________(2)由曲线sin y x =(02x π≤≤)和直线,02x y π==围成图形:S =__________________(3)由抛物线2()f x x =与直线4y =围成图形：S =__________________(4)由曲线3()f x x =与直线0,1y x ==围成图形：S =__________________2.利用定积分的几何意义求下列定积分并画图：(1)212dx ⎰，（2）b a cdx ⎰(0)c >，(3)42xdx ⎰ （4）422xdx ⎰ 3. 求定积分120(1(1))x x dx ---⎰的值．。
22.1 曲边梯形的面积与定积分
22、定积分22．1 曲边梯形地面积与定积分【知识网络】1．了解定积分地实际背景.2．初步了解定积分地概念，并能根据定积分地意义计算简单地定积分.【典型例题】[例1]<1）已知和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为<）A．B．C．D．<2）下列定积分为1是<）A．B．C．D．<3）求由围成地曲边梯形地面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为<）A．［0，］B．［0，2］C．［1，2］D．［0，1］<4）由y=cosx 及x 轴围成地介于0与2π之间地平面图形地面积，利用定积分应表达为． <5）计算=.[例2]①利用定积分地几何意义，判断下列定积分地值是正是负？ <1）； <2）； <3）．②利用定积分地几何意义，比较下列定积分地大小．，，.[例3]计算下列定积分：；；；. [例4] 利用定积分表示图中四个图形地面积：A ．B.C.D. 2． =<） A ．0B.(1> (2>(3>(4>C． D.3．设连续函数f(x>＞0，则当a＜b时，定积分地符号<）A．一定是正地B．当0<a<b时为正，当a<b<0时为负C．一定是负地D．当0<a<b时为负，当a<b<0时为正4．由直线，及ｘ轴所围成平面图形地面积为<）A． B.C． D.5．和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为.6．曲线，所围成地图形地面积可用定积分表示为．7．计算曲边三角形地面积地过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近.试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成地曲边三角形地面积.<下列公式可供使用：12+22+…+n2=）8．求由曲线与所围地图形地面积.9．计算，其中,10．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x>=kx<k是正地常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所做地功.22、定积分22．1 曲边梯形地面积与定积分A组若是上地连续偶函数，则1．）<A．B．0C．D．2．变速直线运动地物体地速度为v(t>，初始t=0时所在位置为，则当秒末它所在地位置为< ）A．B．C．D．3．由直线，及ｘ轴所围成平面图形地面积为<）A．B．C．D．4．设且，，给出下列结论：①A＞0；②B＞0；③；④.其中所有正确地结论有.5．设函数f (x>地图象与直线x =a, x =b及x轴所围成图形地面积称为函数f(x>在[a，b]上地面积.已知函数y＝sinnx在[0，]<n∈N*）上地面积为.①y＝sin3x在[0,]上地面积为；②y＝sin<3x－π）＋1在[，]上地面积为.6．求由曲线与所围地图形地面积.7．试根据定积分地定义说明下列两个事实：①；②.8．物体按规律<m）作直线运动，设介质地阻力与速度成正比，且速度等于10<m/s）时阻力为2<N），求物体从x=0到x=2阻力所做地功地积分表达式．22、定积分22．1 曲边梯形地面积与定积分B组1．如果1kg力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，则力所作地功为）<A．0.18kg·m D．0.28kg·mC．0.12kg·mB．0.26kg·m2．<已知b＞a，下列值：，，||地大小关系为）A．||≥≥B.≥||≥C．= ||=D．= ||≥3．若与是上地两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x=a, x=b所围图形地面积<）A．B．C．D．4．给出下列命题：①若＞0，b＞a，则f(x>＞0；②若f(x>＞0，b＞a，则＞0；③若=0，b＞a，则f(x>=0；④若f(x>=0，b＞a，则=0；⑤若=0，b＞a，则f(x>=0.其中所有正确命题地序号为.5．给出下列定积分：①②③④其中为负值地有.6．求由曲线所围图形地面积. 7．计算：.8．试问下面地结论是否成立？若函数f(x>在区间[a，b]上是单调增函数，则.若成立，请证明之；若不成立，请说明理由.参考答案22．1 曲边梯形地面积与定积分【典型例题】[例1]<1）B．<2）C．B.3．<4）或.<5）.提示：这是求单位圆落在第一象限内部分地面积. [例2]①<1）正 (2>正 (3>负.②≥≥.[例3](1>； (2>；(3>0 ；(4>0.[例4](1>；(2>；(3>；(4>．【课内练习】C.1．2．A.提示：被积函数为奇函数，且积分区间又关于原点对称，利用定积分地几何意义知，面积地代数和为0.3． A.4． C.5．.6．.7．.提示：请参看教材P42~44.8． 6.9． 6.10．可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：.22．1 曲边梯形地面积与定积分A组C.1．B.2．3．C.①③④.4．①；②.5．6．.7．定积分地定义实质反映了计算地过程，也就是：分割；以直代曲；作和；逼近.可尝试用这四步进行说明或证明.8．变力作功公式中，F(x>是用x表示地，而此题中只有x对t地关系式，故首先将F表示出来．依题意得：F＝kv，但这不是x地函数，应将v用x表示．∵v=x＇=8t，而，∴．另外，此题F是与物体运动方向相反地，∴．B组A.1．B.2．A.3．②④⑤.4．②③.5．.6．2π.提示：问题即求上半圆地面积.7．结论成立.说明可按照定积分地定义进行.8．个人收集整理-仅供参考申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.11 / 11。
人教B版选修22高中数学141《曲边梯形面积与定积分》同步练习4
曲边梯形面积与定积分得分一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分）1、函数y=x2co sx的导数为…………………………………………………………………【】A、y′=2x co sx－x2s i nxB、y′=2x co sx+x2s i nxC、y′=x2co sx－2xs i nxD、y′=x co sx－x2s i nx2、下列结论中正确的是……………………………………………………………………【】A、导数为零的点一定是极值点…………………………………………………………【】B、如果在错误！超链接引用无效.附近的左侧错误！超链接引用无效。
，右侧错误！超链接引用无效。
，那么错误！超链接引用无效。
是极大值C、如果在错误！超链接引用无效.附近的左侧错误！超链接引用无效.,右侧错误!超链接引用无效。
,那么错误！超链接引用无效.是极小值D、如果在错误!超链接引用无效。
附近的左侧错误！超链接引用无效。
，右侧错误!超链接引用无效。
，那么错误！超链接引用无效。
是极大值3、曲线错误！超链接引用无效。
与坐标轴围成的面积是…………………………………【】A、4B、错误！超链接引用无效。
C、3D、24、函数错误!超链接引用无效.,错误!超链接引用无效.的最大值是…………………………………………【】A、1B、错误！超链接引用无效。
C、0 错误！超链接引用无效。
D、-15、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处,则克服弹力所做的功为…………………………………………………………【】A 、0、28J B、0、12J C、0、26J D、0、18J6、给出以下命题:⑴若错误！超链接引用无效。
，则f(x)>0; ⑵错误!超链接引用无效。
;⑶f （x)的原函数为F(x）,且F（x）是以T为周期的函数，则错误！超链接引用无效。
；其中正确命题的个数为…【】A、1B、2C、3D、07、若函数错误！超链接引用无效.是R上的单调函数，则实数m的取值范围是………【】A、错误!超链接引用无效。
数学苏教选修优化训练：曲边梯形的面积 定积分 含解析
1.5 定积分1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 定积分5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.在求由x=a,x=b(a<b),y=f(x)［f(x)≥0］及y=0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间［a,b ］上等间隔地插入n-1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边形分成n 个小曲边形，下列说法中正确的个数是…（ ） ①n 个小曲边形的面积和等于S ②n 个小曲边形的面积和小于S ③n 个小曲边形的面积和大于S④n 个小曲边形的面积和与S 之间的大小关系无法确定A.1B.2C.3D.4 答案：A解析:根据“化整为零”“积零为整”的思想，知①是正确的. 2.函数f(x)=x 2在区间［n i 1-,ni］上,则（ ） A.f(x)的值变化很小 B.f(x)的值变化很大C.f(x)的值不变化D.当n 很大时，f(x)的值变化很小 答案：D解析:因为分割得越细，越接近原函数值，所以当n 很大时，f(x)的值变化很小. 3.定积分的性质 (1)⎰ba kf (x)dx=____________⎰bax f )(dx.(2)⎰±ba x fx f )]()([21dx=⎰baf 1(x)dx____________.(3)⎰bax f )(dx=⎰cax f )(dx+____________(a<c<b).答案：(1)k· (2)±⎰baf 2(x)dx(3)⎰bax f )(dx10分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.设函数f(x)在区间［a,b ］上连续，用分点a=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =b ，把区间［a,b ］等分成n 个小区间，在每个小区间［x i-1,x i ］上任取一点ξi (i=1,2,…,n)，作和式I n =∑=ni if 1)(ξΔx(其中Δx 为小区间的长度)那么I n 的大小（ ）A.与f(x)和区间［a,b ］有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B.与f(x)、区间［a,b ］和分点个数n 有关，与ξi 的取法无关C.与f(x)、区间［a,b ］和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关D.与f(x)、区间［a,b ］、分点的个数n 、ξi 的取法都有关 答案：D解析:根据定积分的定义可知n 越大即分点越多，与f(x)的值越接近，与ξi 的取法也有关.2.⎰1dx ∫10dx 等于（ ）A.0B.1C.21D.2 答案：B 解析:⎰1dx =x 10,故⎰1dx =1.3.下列等式成立的是（ ） A.⎰baxdx 0=b-a B.⎰baxdx =21C.⎰-11||x dx=2⎰10||x dx D.⎰+bax )1(dx=⎰b axdx答案：C解析:根据定积分的定义可知⎰-11||x dx=2⎰1||x dx.4.当n 很大时，函数f(x)=x 2在区间［n i 1-,ni］上的值，可以用____________近似代替（ ） A.f(n 1) B.f(n 2) C.f(ni) D.f(0)答案：C 5.定积分⎰bax f )(dx 的大小（ ）A.与f(x)和积分区间［a,b ］有关，与ξi 的取法无关B.与f(x)有关，与区间［a,b ］以及ξi 的取法无关C.与f(x)以及ξi 的取法有关，与区间［a,b ］无关D.与f(x)、区间［a,b ］和ξi 的取法都有关 答案：A 6.证明⎰+b a x g x f )]()([dx=⎰bax f )(dx+⎰bax f )(dx.证明:⎰+b ax g x f )]()([dx=nab g f ni i i -+∑=1)]()([ξξ =∞→n lim∑=-+ni i i nab g f 1)]()([ξξ =])()([lim 11∑∑==∞→-+-n i i ni i n n a b g n a b f ξξ=∑∑==∞→∞→-+-n i i ni n i n n a b g n a b f 11)(lim )(limξξ=⎰bax f )(dx+⎰bax g )(dx.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后） 1.下列结论中成立的个数是（ ）①⎰103x dx=∑=ni n i 133·n 1 ②⎰103x dx=∑=∞→-n i m n i 13)1(lim ·n 1 ③⎰103x dx=∞→m lim ∑=ni n i 13)(·n 1A.0B.1C.2D.3答案：C2.下列等式成立的个数是（ ） ①⎰bax f )(dx=∑=ni f 1(ξi )n a b - ②⎰b a x f )(dx=∞→m lim f(ξi )nab - ③⎰b a x f )(dx=∞→m lim∑=ni f1(ξi )nab - A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 3.已知⎰bax f )(dx=6,则⎰bax f )(6dx 等于（ ）A.6B.6（b-a ）C.36D.不确定 答案：C 4.已知⎰31)(x f dx=56,则（ ）A.⎰21)(x f dx=28 B.⎰32)(x f dx=28C.⎰21)(2x f dx=56 D.⎰21)(x f dx+∫32f(x)dx=56答案：D 5.计算⎰1031x 2dx.解:⎰1031x 2dx=⎰10231x dx=∑=∞→ni n n i 12)(lim 31·n 1=36)12)(1(lim 31nn n n n ++∞→=91. 6.求抛物线y=x 2与直线x=0,x=1,y=0所围成的平面图形的面积S. 解:（1）分割在区间［0，1］上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n 个小区间：［0，n 1］,［n 1,n2］,…, ［nn 1-,1］, 记第i 个区间为［n i 1-,n i ］(i=1,2,…,n),其长度为Δx=n i n i 1--=n1. 分别过上述n-1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔS 1,ΔS 2,…,ΔS n .S=∑=∆ni iS1.(2)近似代替记f(x)=x 2.当n 很大，即Δx 很小时，在区间［n i 1-,ni］上，可以认为f （x ）=x 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点n i 1-处的函数值f(ni 1-)，就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样，在区间［n i 1-,ni］上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部小范围内“以直代曲”，则有 ΔS i ≈ΔS i ′=f(n i 1-)Δx=(ni 1-)2·Δx =(n i 1-)2·n1(i=1,2,…,n).① （3）求和 由①，得S n =∑=∆n i iS 1'=∑=ni f 1(n i 1-)Δx=∑=-ni n i 12)1(·n 1 =［0·n 1+(n 1)2·n 1+…+(n n 1-)2·n1］ =31n［12+22+…+（n-1）2］ =6)12()1(13--n n n n =31(1n 1-)(1n21-). 从而得到S 的近似值 S≈S n =31(1n 1-)(1n21-). (4)取极限分别将区间［0，1］等分成8，16，20,…等份，可以看到，随着n 的不断增大，即Δx 越来越小时，S n =31(1n 1-)·(1n21-)越来越趋向于S,从而有 S=∞→n lim S n =∞→n lim∑=ni n 11f(n i 1-) =∞→n lim31(1n 1-)(1n 21-)=31. 7.某物体做变速直线运动，设该物体在时刻t 的速度为v(t)=7-t 2,试计算这个物体在0≤t≤1这段时间内运动的路程s.解:s=∞→n lim ∑=ni v 1(n i 1-)Δt=∞→n limn n i ni 1)]1(7[1∑=--=∞→n lim ［76)12()1(13---n n n n ］=731-=320. 8.利用定积分的定义，计算⎰10xdx 的值.解：(1)分割：在区间［0，1］上等间隔地插入n-1个分点，把区间［0，1］等分成n 个小区间［n i 1-,ni］(i=1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx=x i -x i-1=n i -n i 1-=n1.(2)近似代替、求和： 取ξi =ni(i=1,2,…,n),则 ⎰1xdx ≈S n=∑=ni f 1(n i)·Δx=∑=ni n i 1·n1 =∑=ni i n121=1i=21n·2)1(+n n =n n 21+. (3)取极限：⎰1xdx =∞→n lim S n =∞→n limn n 21+=21.。
高二数学曲边梯形面积与定积分2(201911)
定积分的一般定义是相当的,并且ξi可都取为每
个小区间的左端点或都取为右端点.
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无与师道比 用人之大要也 帝还京师 十五年卒 燧率军营二垒间 已而定州刺史杨政义以州降孝忠 弘正以新与镇人战 定二军间不百里 其言虚诬 廷凑入 陈谏以为管 进退甚详 进度支郎中 恐死道路 中丞奈何负天子 承训遂围宿州 江淮转运 卫州汲人 使河 四夷闻之 避贤者路 俄而泾师 乱 益治军 曹翔退保兖州 还屯河中 出为朔方 "燧曰 镐引兵压镇境而屯 "无乃参迫卿为之邪？愬曰 太和中 贷死流汀州 德宗始立 今之营筑 择名臣节度太原者代裴度 忻州营 访近属归之 无为群凶得之 秀实怒曰 韦保衡劾承训讨贼逗挠 永王璘署晏右职 叔度为人佻侻 勋籍城中兵 逻司传噪盗杀宰相 皆用材显 芃厚遇之 以魏博听命 故能成 功 王智兴讨李同捷未克 俾立功以间晟 帝待之益厚 内外悉考中上 追还兵仗以待 恶之 未几 少以吏干进 准即奏晏与朱泚书 与张通儒入长安 请从初议为定 与诸君真反矣 并家属将吏三百馀人皆遇害 瑊亲与结赞盟 裴度轻出观兵沱口 六年 是时 无敢犯者 以家阀擢累义昌 曰 以佶充诸 道盐铁轻货钱物使 燧募厮役 岭南之俗 数遣人问方镇所便 无状 玄宗始闻乱 掠人畜 湖二州 无使小人参焉；利无遗入 不萌于心 因杀奭 旗铠矛戟亘三十里 复无功 字廷硕 卒夺其兵 兵力衰单 不听 兴元初 功高而志益下 补陆浑主簿 字务元 再转中书舍人 履尚清鲠 家富不赀 祖余庆 贯其左肩 固辞 补河南府参军事 "顾浑瑊曰 然猜阻忮忍 常如与巽对 积薪于廷曰 奏擢试光禄少卿 子仪为太尉 或劝畜姬媵 迪简亦危 流落凡十六年 滋至治 "百官肃然 假令纵实犯法 历右拾遗 珂 下诏褒美其门闾 贞元初 太平之治犹可致 二人齐名 改检校兵部 字元贞 元平断一指自誓 辞日 会愬疾甚 推李朅主后务 令诜 惜乎 省守陴万人 日膳裁豆〈豆昔〉而已 何可望邪？亦句检案牍簿书如公府 乃就馆 令宰相宣进止 楚之无极 欧宗 乃合朱克融共围之 朕酂侯也 迁右拾遗 万荣死 皆真卿始招起之 知可以破贼也 不获 "令悦得过者斩 调太原府参军事 亦次渭南 以最 迁寿州刺史 谥曰恭 擢明经 "公等得无有姻故冗食者 宰相李逢吉右璠 谥曰献武 汉衿喉 能以臣事公乎？不及私 扬州大恐 京师嚣然 群臣皆贺 公卿邀请旁午 以治异等 而绛独无有 真卿立朝正色 子茂昭 献《审官六议》 赵宗儒 然循其名 分司东都 燧苦赞 累迁检校左散骑常侍 从仆固 怀恩平史朝义 若付受有状 由是始定袭蔡之谋矣 《书》 布所至 公卿相顾 人无犯者 为成就之 非勇也；绛以为言 得兵万人 怀光勇于斗 "古者天子曰万乘 节度使梁宰欲逗留观变 固求节度 与王廷凑唇齿 易其杂货 奴婢告主 故贬为州司马 "贼孱甚 果可败国 年七十四 正己卒 开元中提 众纳款 又按格令 迁抚 李晟谓虏不可与盟 入为左金吾卫大将军 字子玄 赐服金紫 而事月进 佖无不从 以制策异等授右拾遗 吾与武俊少相狎 郢间 卖而市谷入汝 阴欲乘衅 惟宦官 "应制而来者 延州沙陀部苦边吏贪 兼门下侍郎 上书行在 兵部郎中 阅三十战 祖母入见 "乃以中书侍郎为 凤翔 "赖祖宗神灵 许佶 帝榜其颜以宠之 作机桥 为衙内兵马使 勋度 "乃禽以献 悦夜走魏州 乃屯兵鞠场以俟裴度 下迁刺史 闽人未知学 勋伐家子 让曰 "杞矍然下拜 未有诏 茂昭本名升云 "相与泣诸朝 吾惧祸 王没诺干 而滂刚决 冀角死生 其与存者有几 五奏乃听 并使罢之 信其然 乎 谥曰昭 可减徭赋半 凤翔右袤泾 而映以为尚书左丞 监军诡夺其兵 徐议所宜 筑重城绝内外援 任则当久 身佩安危而气不少衰者 奚能抗一切之制云 "因追复右丞 宪诚死 乐寿 濛贬朗州刺史 "唐安之葬 帝竦听 "是时贾谊以为措火积薪下 不然 "贼方安袁公之宽 欲治行 穆宗立 乃谢曰 天下以为冤 时阉人袁思艺日宣诏至中书 虽然 法令严 俄而窦参当国 魏博节度使史宪诚遣其弟入赵 营构华广 归之朝 " 党项破射雕军洛源镇 乃徙饷道自颍入汴 帝又诏将军宋威与淮南并力 虏皆指目歆艳 字伯苍 盖以大制小 浑瑊 命给事中齐映起之 间道归平原 十余年乃定 乱生于放肆 获军粮 遂擢晏子执经为太常博士 甘露之变 "故检劾出纳 不三日 以久疾 曾祖仁本 又赈给近侥幸 以裨用度 拜良弼为都知兵马使；兼侍御史 其有口舌者 因言奸慝可诛状 北河之间六百里 或言元平虽屈贼 李公分众守之 "旻之来 诏徙岭西南道 倾私财葬之 改义成军 为子茂和聘其女 我 不应违 将其兵 可制其合从 山南西道盐铁转运隶宏 勋释甲服垢襦脱 帝闻流涕 至太子詹事 欲城原州 赉问优缛 皆如结赞计云 会以狄兼谟为拾遗 孟宝 又俾神策三将军莫仁擢等隶之 异时使者多私赍 上意不下宣 孝忠时 山南西道安抚大使 "帝然之 在予其曷敢怠？"我自朝廷来 "使我为 军候 名震一时 "晟秉义挺忠 董重质得罪被斥 始 以子颇为质 分滂关内 迁户部 戒曰 弘正遣子布以兵三千进战 吾兄也 尔父子宁 乃作遗表 敕有司一切苛止 是可否在锜 五也 "退者斩 且言因降受节 有材武 露布上 拜给事中 不为宗庙羞 质妻子 初 为位哭之 宏固不可 进营仓口 元和 末 此近于贤矣 则正人也 屯任山 必容称其服 今安国有碑 故眷礼信任异它相 兼御史中丞 故至哗扰 "卿告朕以人所难言者 赀储荡然 推处最殿分明 斩贼将李钦凑等 军国皆仰晏 军何以战 当时亦不能尽信于君 今下臣述职以朝 使骑鸣鼙角 搜逮所遗 久之 以播迁未克也 采访使韦陟器之 非李祐无与成功者 湟供军案 约救火则乱 恢武功 阳怒曰 见羸卒若将燔聚者 元和初 军中尝分曹习射 宿鄙人刘洪者 承宗弟也 署以为将 以谏议大夫郑云逵为行军司马 所居修行里 禄山反 徙饶 加检校尚书右仆射 晏常以羡补乏 人视之 有风节 岁输始至 待军毕发 弟昇璘薄王武俊为人 何诏云 今先斩公矣 且君子难进易退 不若留之以分其力 怀光屯咸阳凡八旬 乃称翊圣 屯滕 刑部 诸军继至 每战 取祸之道也 忠嗣怒 胁还府 弘文 长官以白宰相 数止晟无西 穆宗遽召布 帝乃拜承训检校尚书右仆射 则号令齐一 至 声振贼中 恐后有功者踵以为利 及临大节 悦闻 生彰 齐 能者任之 瑊曳车塞门 谓翰林学士陆贽曰 故藉之以告师道而窃其赏 "《春秋》 及为仆射 "帝恻然 "以公功 皆内出制 诏绛募兵千人往赴 连属一舍 但诛其客 游民多从之 累迁吏部郎中 徙河阳三城 得大酋浪息曩 承嗣见其军整严 会雨 不勺饮至七日 吏请所向 斥卖车骑 辞曰 秀实为 营田官 王卒 与太守颜真卿相结 何以报之？于陵使谕曰 "揆曰 请还其妻子 河中抵京师三百里 顺宗立 约十日粮 吴房拔 "及平至 拔石堡城 密为贼守 扫隋季荒茀 "进吏部侍郎 曰"吾祖罢魏州 文祖所为也 不许 试有司 迁陇州大推府果毅 或有言者 室无妓媵 吐蕃因之数犯边 始 泗二州 隶其军 "召吾来 斩首五百 诏出度支钱五千万偿其财 而名与岱 放兵大掠 改国子祭酒 隆于故旧 李宝臣 "能诛乱者 率魏博 京官考使 "有言太过者 脩器械 王者爱人 淮南馆驿等使 弘立走 宜以孟元阳为泽潞 贼遣韩朝晹诱之 居上元 马相如 "秀实严警备 获马五百 鼓角声相闻 奏言 进 中书舍人 绛上言 明日 燧请诏武俊击朱滔 大破之 斥宫女之希御者 由是兖 李泌荐之 勒兵以俟 谋曰 不数十日 优容众也 "将出凿凶门 使布总亲兵 "揆至蕃 德宗立 不之避 诚陛下焦心销志求济时之略 佖督骑继之 "若等闻颜常山否？志胆沈果 "奴曰 舍右金吾次 镒按验当免官 杀之 帝 问政治之要 绛遂遇害 号有谋 韩游瑰之兵合 陆据 谏官崔戎等列绛冤 愬平蔡 初 刺史选官部送京师 各勒兵以通蜀 晟能办胜邪？国家之利 为河中晋绛慈隰节度使 嗣业与诸将围之 岁在己巳秋九月 汴将李灵耀反 擢济沂州刺史 同节度副使 李光弼镇太原 居常怫郁不自聊 国兵休 盐铁转 运之委藏也 "魏征以直言致太宗于尧舜上 揆曰 请斥禁钱百五十万缗赐其军 诏赠元澄宁州刺史 和敬在色 再迁吏部尚书
高中数学第一章导数及其应用曲边梯形面积与定积分课后训练新人教B版
1.4.1 曲边梯形面积与定积分课后训练1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值，可以用下列中的哪一项来近似代替( )．A ．1()f n B ．2()f n C ．()if n D ．f (0)2．下列等式成立的是( )．A ．ba ⎰0d x ＝b －aB ．1d 2b a x x =⎰C ．11-⎰|x |d x ＝210⎰|x |d xD ．ba ⎰(x ＋1)d x ＝b a ⎰x d x3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形(如图)的面积是()．A ．20⎰(x 2－1)d xB ．2201d x x (-)⎰C ．20⎰|x 2－1|d xD ．11-⎰(x 2－1)d x ＋21⎰(x 2－1)d x4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S 1＝__________(图①)；(2)S 2＝__________(图②)；(3)S 3＝__________(图③)．5．不用计算，根据图形，用大于、小于号连接下列各式：(1)10⎰x d x ________10⎰x 2d x (图①)； (2)10⎰x d x ________21⎰x d x (图②)．6．若π20⎰cos x d x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________．7．利用定积分的几何意义计算20⎰(2x ＋1)d x . 8．利用定义计算定积分10⎰(x 2＋2)d x .参考答案1.答案：C 任一函数在1,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值均可以用ifn⎛⎫⎪⎝⎭近似代替．2.答案：C3.答案：C4.答案：(1)ππ3⎰sin x d x(2)2241d2x x-⎰(3)1924()dx x--⎰5.答案：(1)＞(2)＜6.答案：2 由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sin x，x[0，π]的图象与x轴围成的图形的面积等于g(x)＝cos x，xπ0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象与x轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.7.答案：分析：通过数形结合思想求曲边形的面积，相当于求f(x)在区间[a，b]上的定积分(或定积分的绝对值)．解：如图，所求定积分为阴影部分的面积，且面积为12×(1＋5)×2＝6 ∴2⎰(2x＋1)d x＝6.8.答案：分析：按照由定义求定积分的步骤求解即可．解：把区间[0,1]分成n等份，分点和小区间的长度分别为x i＝in(i＝1，2，…，n－1)，Δx i＝1n(i＝1,2，…，n)，取ξi＝in(i＝1,2，…，n)，作积分和()1ni iif xξ=∆∑＝21(2)ni iixξ=∆∑＋＝2112niin n=⎡⎤⎛⎫+⋅⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑＝1023112iin=+∑＝3116n⋅n(n＋1)(2n＋1)＋2＝11112+26n n⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∵λ＝1n，当λ→0时，n→＋∞，∴1⎰(x2＋2)d x＝()limni inif xξ→∞=∆∑＝limn→∞11112+26n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝13＋2＝73.。
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《曲边梯形的面积定积分》练习题
一、选择题
1p 2 p 3 p ....... n p
0) 表示成定积分（
1．将和式的极限lim n P 1 ( p ）n
1 1 1 p 1 1 p 1 x p
A ．dx
B ．x dx C．( ) dx D．( ) dx
0 x 0 0 x 0 n 2．下列等于 1 的积分是（）
1 xdx 1 1
A ．
B ．( x 1)dx C．1dx
0 0 0
3．曲线y cos x, x
3
] 与坐标周围成的面积（）
[ 0,
2
5
D． 1
1
dx
0 2
A ．4
B ． 2 C．
2 1
e x )dx =（
4．(e x ）
A ．e 1
B ． 2e
2 e
C．
e
5．若 f (x) 是 [ a, a ] 上的连续偶函数，则a
f ( x)dx （
a
D． 3
D．e
）
1
e
f (x)dx B ． 0 C． 2 0
A ． f ( x)dx
a a
1
tan x x 2 sin x)dx =（
6．( x3 ）
1
A ．0
1
( x3 tan x B.. 2
C．2 0 tan x x2 sin x) dx 1 | x3 tan x ( x3 D.. 2
1 0
6 6
a
D．0 f ( x)dx
x2 sin x)dx
x2 sin x | dx
7、已知 f(x)为偶函数且f(x)dx＝ 8，则f(x)dx 等于 ( )
0 6
A ．0
B ． 4 C． 8 D． 16
b
8．设连续函数 f(x)>0, 则当 a<b 时，定积分 f ( x)dx 的符号（）
a
A ．一定是正的
B ．一定是负的
C．当 0<a<b 时为正，当 a<b<0 时为负 D．以上结论都不正确
9．求由y e x , x 2, y 1 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）
A ．［ 0， e2］
B ．［0， 2］C．［ 1， 2］D．［ 0，1］
10．由直线y x, yx 1
），及ｘ轴所围成平面图形的面积为（
1 1
A．C．0
1
2
1 y y dy B.
2 x 1 x dx
1 y y dy 1 x 1 dx
D. x
11．若 f (x) 与 g( x) 是 [ a, b] 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x=a, x=b 所围图形的面积（）
A ．b
f (x)
g ( x) dx B．
b
g (x))dx a
( f (x)
a
C．b
f (x))dx
b
g ( x))dx ( g( x) D．( f ( x)
a a
12. 如图所示，在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内，曲线y x2和曲线 y x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形 AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）
A ．1
B．
2 1
D ．
3 3 3
C．
4
4
二、填空题
1、给出下列定积分：
2 sin xdx ②0 2 2
3 dx
①sin xdx ③ xdx ④x
2
3 1
其中为负值的有
2、给出下列命题：
①若b
f ( x) dx ＞0，b＞a，则f(x)＞0；a
②若 f(x) ＞ 0， b＞ a，则b
f (x)dx ＞0；a
③若b
f ( x) dx =0，b＞a，则f(x)=0；a
④若 f(x)=0 ， b＞ a，则b
f ( x)dx =0；a
⑤若b
| f (x) | dx =0，b＞a，则f(x)=0。
a
其中所有正确命题的序号为
3、设f ( x) h( x) 0 a x b, 且h( x)dx A ，g (x)dx B ，给出下列结论：
b c
g( x) 0, b x c. a b
c
f (x)dx A B c
B 。
① A ＞ 0；②B ＞ 0；③
a ；④| f ( x) | dx A
a
其中所有正确的结论有。
2 2x |dx =__
4、计算定积分：
| 3 ________
1
5、曲线 y x 2 , x 0, y 1 ，所围成的图形的面积可用定积分表示为
．
6、由 y
cos x 及 x 轴围成的介于 0 与 2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为
x － 1，x ≤ 0，
1
f (x)dx
7、设 f ( x ) ＝
, 则 -1
2
x ＋ 6，x >0.
ax 2
1
≤ 1 ，则 x 0 的值为
8、设函数 f (x)
c(a 0) ，若 f ( x)dx f (x 0 ) ， 0 ≤ x 0
1 x 2
dx =
9、计算
1 0
10、计算
2
4
x 2 dx =
2
三、计算与解答题 1、计算下列定积分的值
1
1
(1)
( x 1)dx
；
2
3
2 (3) cos xdx ；
3 2
)dx ；
（ 5）
(4x x
1
（7）
2
( x sin x)dx ；
(2)
4 (x 3)dx ；
1
(4) 2
x 3
dx 。
2
2
5
dx ；
（6） (x 1)
1
（ 8） 2 cos 2 xdx ；
2
2、利用定积分表示图中四个图形的面积：
y
y
y
y
y=(x-1) 2
- 1
2
y = x
2
Y=2
y = x
–
O
2
x
a
b x
a x –1
2
x
1
(1)
(2)
(3) (4)
3．求由曲线y x 1 与 x 1, x 3, y 0 所围的图形的面积.
2 2x, 0 x 1,
4．计算0 f ( x)dx ，其中 , f (x)
5,
1 x 2.
1
x)dx 的值。
5、计算：定积分( 1 ( x 1)2
6、求曲线y x3x22x 与 x 轴所围成的图形的面积。