不定积分典型例题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不定积分典型例题
一、直接积分法
直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式. 例1、求 dx x x x ∫−
)1
1(2
解 原式＝ C x x dx x x ++=−∫−41
47
4
54
3474
)(
例2、求 dx e e x x ∫++11
3
解 原式＝ C x e e dx e e x x
x x ++−=+−∫222
1)1( 例3、求 dx x
x ∫
2
2cos sin 1
解 原式 ∫∫∫+=+=dx x dx x dx x x x x 222222sin 1
cos 1cos sin cos sin C x x +−=cot tan 例4、 ∫dx x
2
cos 2 解 原式＝ C x x dx x ++=+∫
2
sin 2cos 1 例5、 dx x
x ∫+2
2
1 解 原式∫∫+−=+−+=dx x dx x x )11
1(11122
2C x x +−=arctan 注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.
二、第一类换元积分法(凑微分法)
C x G C
u G du
u g dx
x x g dx x f u
x ++==
==∫∫∫=)]([)()()(')]([)()(ϕϕϕϕ还原
求出
令凑成
在上述过程中，关键的一步是从被积函数)(x f 中选取适当的部分作为
)('x ϕ，与dx 一起凑成 )(x ϕ的微分 du x d =)(ϕ且 ∫du u g )(易求.
例1、求 ∫
dx x
x
cos tan 解 原式＝ ∫∫
−=x x x
d dx x x x cos cos cos cos cos sin C x
x d x +=−=−∫cos 2cos )(cos 23 例2、求 ∫
−dx x
x x 2
arcsin
解 原式)()
(1arcsin 211arcsin 2
x d x x dx x
x
x ∫
∫
−=⋅
−=
C x x d x +==∫2)(arcsin )(arcsin arcsin 2
注
)(21
x d dx x
= 例3、求 ∫
−−dx x
x 2
491
解 原式∫∫−−+−=−)49()49(8
1)2(3)2(212212
22x d x x x d
C x x x x x d +−+=−+−=
∫
222
494132arcsin 214941)3
2
(1)
32(21
例4、求 ∫+⋅
+dx x
x x 2
211tan
解 原式＝ C x x d x ++−=++∫|1cos |ln 11tan 222
例5、求 dx x x x ∫
−−1
2
解 原式＝ ∫∫∫−+=−−−+dx x x dx x dx x x x x x 1)
1()1(2
222
2 C x x x d x x +−+=−−+=∫23
232
23)1(3
13)1(1213
例6、求 ∫
+dx x
tan 11
解 原式＝ ∫∫
+−+
=+dx x
x x
x dx x x x sin cos sin cos 1(21cos sin cos C x x x x x d x x x +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=
∫|)sin cos |ln (2
1)sin (cos sin cos 121 例7、求 ∫
−+−dx x
x
x 11ln 112 解 原式＝
C x
x x x d x x +−+=−+−+∫11ln 41)11(ln 11ln 212 例8、求 ∫
+dx e x
1
1
解 原式＝ ∫∫∫
+−=+−+dx e e dx dx e e e x x x x
x 111 C e x e d e
dx x
x x
++−=++−=∫∫
)1ln()1(11
例9、求 ∫
−+dx e e x
x 1
解 原式＝ C e e d e dx e e x x x x x +=+=+∫∫arctan )()
(11
12
2 例10、求 ∫
+dx x
x
sin 1sin
解 原式＝ ∫∫∫−−=+−dx x
x
dx dx x 2
cos sin 1)sin 111( dx x
x
dx x x ∫
∫+−=22cos sin cos 1C x x x ++−=sec tan 例11、求 ∫
−x
x dx
ln 32
解 原式 )(ln )ln 32(2
1x d x −∫−=
C x x d x +−+−⋅
−=−−−=∫−21
2
1)ln 32(1
2
11
31)ln 32()31()ln 32( C x +−−
=ln 323
2
例 12、求 ∫
+dx x
b x a 2222cos sin 1
解 原式＝ ∫
∫+=
+)tan ()tan (111)(tan tan 12222x b
a
d
x b
a a
b x d x
a b C x b
a
ab +=
)tan arctan(1 例13、求 ∫++dx x x 1
1
6
4