3集中量数

（3）加权算术平均数的计算
一家公司打算招聘一名英文翻译,对甲、乙两名应试者进行 了听、说、读、写的英语水平测试。他们的各项成绩（百分制） 如下：
应试者
甲
乙
听 85 73
说 83 80
读 78 85
写 75 82
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、 写成绩按照3：3：2：2的比确定，计算两名应试者的平均成绩 （百分制）.从他们的成绩看，应该录取谁？
找对应数据
练习：求下列一组数据的中位数。 11、6、12、17、14、9、15、10
分别求下列两组数据的中位数。 18、4、5、7、8、12、10 4、5、7、8、10、12、18、19
练习：①求数列5、5、6、10、 12、15、17的中位数。 ②求数列11、11、11、11 、13、13、13、17、17的中位 数。 当一组数据中有重复数值 时中位数的求法。 时中位数的求法。
1. 昨晚你家大多数人在一起用餐吗？ 是：80％；否：20％ 2. 和家人一起用餐对你有多重要？ 非常重要：74％；有点儿：22％；不重要：4％。 3. 当你们一起用餐时，通常持续多久？ 少于半小时：20％；半小时：48％；45分钟：21％；1小 时：8％；多于1小时：2％；不知道：1％。 4. 在最近一周内，你家大多数人有几个晚上在一起用餐？ 0：7％；1：3％；2：7％；3：8％；4：8％；5：13％； 6：8％；7：46％。 命名这四个变量并指出其类型。
集 中 量 数
集中量数
描述统计中呈现资料的主要形式是什么? 描述统计中呈现资料的主要形式是什么
数据的准确特征和相依关系时： 集中量数：数据分布的集中趋势 差异量数：数据分布的离中趋势 相关量数：数据之间的相关关系
第一节 集中量数
一、数据的特点与种类 （一）数据的特点 1. 离散性 2. 变异性 原因：观测对象本身原因； 误差 随机误差 随机误差（大小和方向都不固定， 测量次数增加，正负误差相互抵 消，误差平均值趋向于零） 系统误差（总是使测量结果偏向一 系统误差 边，多次测量求均值不能消除系 统误差） 过失误差 3. 规律性
（2）对次数分布表的计算
k xt = ( f1xc1 + f 2 xc 2 + K+ f k xck ) / n = ∑ fi xci / n i =1
48名学生数学分数算术平均数计算表 名学生数学分数算术平均数计算表 组 别 组中值Xc 次 数f 组中值×频数fX
利用公式计算算术平均数
（2）对频数分布表计算中位数
关键： 关键：
表示中位数所在组的精确下限 表示小于中位数所在组下限的频数总和 表示中位数所在组的精确上限 表示大于中位数所在组上限的频数总和 表示中位数所在组的频数
练习： 48名学生数学分数中位数计算表 分数 4550556065707580859095总和 1 2 0 2 3 8 7 7 7 5 6 48 频 数 累计频数 1 3 3 5 8 16 23 30 37 42 48 计算中位数 Lmd=80
66名学生作文分数的众数统计表 分 数 323538414447505356总 和 频 4 9 20 14 7 5 4 2 1 66 数 利用公式计算众数 Lmo=38 fa=14 fb=9 i=3 M0=38+14×3/(14+9) =39.83
请根据观察估计这66名学生作文分数的粗略众数。 请根据观察估计这 名学生作文分数的粗略众数。 名学生作文分数的粗略众数
50名学生语文分数的众数计算表 分 556065707580859095总 和 数 频 1 3 4 6 19 7 5 3 2 50 数 利用公式计算众数
50名学生语文分数的众数计算表 分 556065707580859095总 和 数 频 1 3 4 6 19 7 5 3 2 50 数 利用公式计算众数 X=78.20 Md=77.89 M0=77.5（粗略众数） =3×77.89-2×78.20 =77.27
（四）几何平均数
1. 概念 几何平均数是几个数值连乘积的N次方根。用 表 示。 如果一组数据按比例递增或递减时，用几何平均数 表示其平均水平。一般用来计算平均发展速度、平均 平均发展速度、 平均发展速度 增长率等统计指标。 增长率等 2. 计算公式
注意： 注意：几何平均数多次开根，计算比较困难，可采用 两边取对数法。
5. 离差平方和最小。 离差平方和最小。
算术平均数的优缺点
1. 优点 :
–反应灵敏 反应灵敏 –计算简单、严密 计算简单、 计算简单 –概念明了，简洁 概念明了， 概念明了 –适合于进一步的代数运算 适合于进一步的代数运算 –较少受抽样变动的影响 较少受抽样变动的影响
缺点： 2. 缺点：
–易受极端数据的影响（修剪平均 易受极端数据的影响（ 易受极端数据的影响 数） –出现模糊数据时，无法计算平均 出现模糊数据时， 出现模糊数据时 常用中位数） 数（常用中位数）
3. 几何平均数在教育中的应用 如果已知初期量和末期量可以用公式 求平均发展速度。 求平均发展速度。 而平均增长率 则
。
年教职工人数如下表， 例：我国普通中学1994—1995年教职工人数如下表， 我国普通中学 年教职工人数如下表 求年平均增长率。 求年平均增长率。
我国普通中学教职工人数统计表 年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 教职工人数（万人） 教职工人数（万人） 逐年发展速度 419.07 429.48 442.44 454.09 462.13 475.36 —— 1.025 1.030 1.026 1.018 1.029
甲的成绩为
乙的成绩为
显然甲的成绩比乙高，所以从成绩看，应该录取甲。 显然甲的成绩比乙高，所以从成绩看，应该录取甲。
如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、 说、读、写成绩按照2:2:3:3的比确定，计算两名应 试者的平均成绩（百分制）.从他们的成绩看，应该 录取谁？
某年级五个班的语文考试成绩如下，求 该年级语文平均成绩。
年某小学的教学设备数见下表， 例：1995—1999年某小学的教学设备数见下表，求 年某小学的教学设备数见下表 年平均增长率。若按此比率增加， 年平均增长率。若按此比率增加，2001年该小学的 年该小学的 教学设备数是多少？ 教学设备数是多少？
1995—1999年某小学教学设备数统计表 年某小学教学设备数统计表 年份 教学设备 1995 56 1996 78 1997 93 1998 110 1999 125
某年级语文平均成绩统计表 班级 一班 二班 三班 四班 五班 人数 45 48 52 54 55 平均成绩 94.2 93.5 92.7 95.2 91.6
（四）算术平均数的性质 1. 常数的算术平均数； 常数的算术平均数；
2. 加减常数； 加减常数；
3. 乘上常数； 乘上常数；
4. 离差之和为零； 离差之和为零；
2、算术平均数的计算方法 （1）对原始数据计算
某售货小组5个人，某天的销售额分别为520 520元 600元 例：某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480 750元 440元 求平均每人日销售额。 元、750元、440元，求平均每人日销售额。
∑X X=
n
520 + 600 + 480 + 750 + 440 = 5 2790 = = 558(元) 5
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算术平均数、中位数、 算术平均数、中位数、众数三者的关系
M0 X 正态
Md
M0
Md X 正偏态
X
Md M0 负偏态
当数据分布呈正态时，三者合一； 当数据分布呈正偏态时， 当数据分布呈负偏态时， ，且 ，且
练习：一组数据2、3、5、6、7、10、10、 14、15，求其算数平均数、中位数和众数
。
平均数是一个平衡点，是一组数据的重心，使 平均数 数轴保持平衡，即其两侧的力矩是相等的。 中位数只是使其两侧的数据个数相同。 中位数 众数只是这组数据中次数出现最多的数。 众数
（二）数据的种类 1. 按数据的获得方式，可分为计数数据和测量 数据； 2. 按数据从属变量的测量水平，可分为称名变 量，顺序变量，等距变量和比率变量； 3. 按数据的分布形式，可分为离散变量和连续 变量；
案例：一起用餐：仍然十分重要 1991年1月6日《民主和记事》杂志介绍了纽约 时报关于人们今天对与家人一起用餐的态度的一项 民意调查结果，如下：
众数的特点：
计算时不需要每个数据都加入 运算，较少受极端数据的影响，反 应不灵敏；众数不能做进一步的代 数运算。 但在以下情况经常也用到众数 ：①快速粗略寻找一组数据代表值 ；②一组数据出现不同质的情况， 可用众数表示典型情况；③次数分 布中有极端数据时，除了用中位数 ，也用众数；④用平均数与众数之 差可粗略估计次数分布的形态。
计算和应用平均数的原则
1. 同质性原则
各科考试难易程度不同时，计 算总平均分；研究某团体中人们 的个人收入，常因有极值的情况 而掩盖真实情况。
2. 平均数与标准差、方差相结 合的原则
（二）中位数
1、概念 一组按大小顺序排列的数据中，居中间位置对应 的数据值即为中位数，用符号 表示。 2、中位数的计算方法 （1）对原始数据计算中位数 步骤：数据排序 计算中位数位深
（三）众数
1、概念 理论众数：频数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。 粗略众数：一组数据中频数出现的最多的那个数。 众数用M0表示。 2、众数的计算方法 （1）用观察法直接寻找粗略众数 例：2、4、3、6、4、5、4 （2）用公式求理论众数的近似值 A 皮尔逊的经验法（频数分布呈正态或接近正态时）
例：现有一组实验观测数据如下，计算他们的平均 数。 25 27 28 27 25 29 30 34 32 33
可用估计平均数法
X = AM +
x' ∑ n
x ' = X i − AM
AM为估计平均数；n为数据个数。 Xi
x'
25 27 28 27 25 29 30 34 32 33 -3 -1 0 -1 -3 1 2 6 4 5
二、集中量数
描述数据的典型水平和集中趋势 常用的集中量数：算术平均数、中位数、众数、 几何平均数、调和平均数。
（一）算术平均数
1、概念p36 总体算术平均数用µ表示；样本算术平均数用 X 表示。
X 1 + X 2 + LL + X n = X= n
∑X
i =1
n
i
n
i
个单位的
式中：X 为算术平均数；n 为总体单位总数；X i 为第 式中： 为算术平均数； 为总体单位总数； 标志值。 标志值。
（五）调和平均数 1. 概念 调和平均数是一组数据倒数的算术平均数的倒数， 也称为倒数平均数。用 表示。 2. 在教育上的应用 调和平均数在教育方面主要用来求学习速度 学习速度（如： 学习速度 阅读速度、解题速度、识字速度等） 页书， 例：一名学生阅读2页书，读前一页时的速度折合为 一名学生阅读 页书 每小时20页 读后一页时的速度折合为每小时40页 每小时 页，读后一页时的速度折合为每小时 页， 问该生平均每小时的阅读速度为多少？ 问该生平均每小时的阅读速度为多少？
45— 50— 55— 60— 65— 70— 75— 80— 85— 90— 95— 合 计
47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5 77.5 82.5 87.5 92.5 97.5
1 2 0 2 3 8 7 7 7 5 6 48
47.5 105 0 125 202.5 580 542.5 577.5 612.5 462.5 585 3840
n1=23
=79.5+(48/2 -23) ×5/7 =80.21
n2=18
请按照由大向小中位数计算公式求48名学生数学分数的中位数。 请按照由大向小中位数计算公式求 名学生数学分数的中位数。 名学生数学分数的中位数
课本41页例题 中位数的优缺点： 中位数的优缺点：
①优点：计算简单，容易理解； 当有极端数据或有个别数据不 清晰时常用中位数。 ②缺点：不是每个数据都加入计 算，反映不灵敏，极端值的变 化对中位数不产生影响；受抽 样影响大，不如平均数稳定； 不能作进一步的代数运算。
66名学生作文分数的众数统计表 分 数 323538414447505356总 和 频 4 9 20 14 7 5 4 2 1 66 数 利用公式计算众数
B当频数分布呈偏态，即众数所在组以上各组频数总和 与以下各组频数总和相差较多时，可以采用金氏公式计 算众数，以进行比率调整。
表示众数所在组的下限 表示大于众数所在组上限的那个相邻组的频数 表示小于众数所在组下限的那个相邻组的频数 表示组距