第4章结构构件的强度刚度稳定性
钢结构设计原理 第四章-轴心受力构件
因此，失稳时杆件的整个截面都处于加载的过 程中，应力-应变关系假定遵循同一个切线模量 Et，此时轴心受压杆件的屈曲临界力为：
N cr ,t
2 Et I
2 二、实际的轴心受压构件的受力性能
在钢结构中，实际的轴压杆与理想的直杆受力性能之间差别很大，实 际上，轴心受压杆的屈曲性能受许多因素影响，主要的影响因素有：
一、理想轴压构件的受力性能 理想轴压构件是指满足下列4个条件： o杆件本身绝对直杆； o材料均质且各向同性； o无荷载偏心且在荷载作用之前无初始应力； o杆端为两端铰接。 在轴心压力作用下，理想的压杆可能发生三种形式的屈曲： 弯曲屈曲、扭转屈曲、弯扭屈曲——见教科书P97图4–6 轴心受压构件具体以何种形式失稳，主要取决于截面的形式 和尺寸、杆的长度以及杆端的支撑条件。
l N 2 EI 对一无残余应力仅存在初弯曲的轴压杆，杆件中点截面边缘开始 式中 N l2 NE 屈服的条件为：
0
1
经过简化为：
N N vm v0 v0 fy v m v0 v 1 1 N NE A W N N v0 N E fy A W NE N
An—构件的净截面面积_
N fy r f R An
P94式4-2
（1）当轴力构件采用普通螺栓连接时 螺栓为并列布置：
n1 n2 n3
按最危险的截面Ⅰ-Ⅰ 计算，3个截面净截面面积 相同，但 Ⅰ-Ⅰ截面受力最大。
N n
Ⅰ-Ⅰ：N Ⅱ-Ⅱ：N-Nn1/n Ⅲ-Ⅲ：N-N(n1+n2)/n
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2 2
从上面两式我们可以看出，绕不同轴屈曲时，不仅临界力不同，且残余 应力对临界应力的影响程度也不同。因为k1，所以残余应力对弱轴的 影响比对强轴的影响严重的多。
第4章结构构件的强度刚度稳定性
2、许用应力
查P12表2-2， 得：
查P45表3-11载荷组合B得：安全系数n=1.34
3、稳定性校核
由于 ，故只需按 计算整体稳定性
查P50表4-2截面属于b类，查P228附表4-2得
所以构件整体稳定性满足要求。
4.2
主要承受横向载荷的构件称为受弯构件，实腹式受弯构件简称梁，格构式受弯构件简称桁架。桁架将在后续介绍，本节仅介绍实腹受弯构件的强度、刚度及整体稳定性。
(4-2)
式中： —构件的计算长度,mm；
—许用长细比，《起重机设计规范》GB/T3811-2008规定结构构件容许长细比见表4-1；
—构件截面的最小回转半径,mm。
（4-3）
式中: —构件毛截面面积，mm2；
－构件截面惯性矩，mm４；
表4-1结构构件容许长细比
构件名称
受拉构件
受压构件
主要承载结构件
5
缀条
-缀条所在平面和x-x轴的夹角
注：1、斜腹杆与构件轴线间的倾角应保持在400~700范围内。
2、缀板组合构件的单肢长细比 不应大于40。
例题4-1
已知如图4-6所示工字形截面轴心压杆，翼缘：2-200×10 ，腹板：1-180×6，杆长 ，两端铰支，按载荷组合B求得构件轴心压力 ，钢材为Q235B钢，焊条为E43型，试验算构件强度、刚度及整体稳定性。
(2)
在起重机械结构中，理想构件是不存在的，构件或多或少存在初始缺陷。如：初变形(包括初弯曲和初扭曲)、初偏心(压力作用点与截面型心存在偏离的情况)等等。这些因素，都使轴心压杆在载荷一开始作用时就发生弯曲，不存在由直线平衡到曲线平衡的分歧点。实际轴心压杆的工作情况犹如小偏心受压构件，其临界力要比理想轴心压杆低(图4-4)，当压力不断增加时，压杆的变形也不断增加，直至破坏。载荷和挠度的关系曲线，由稳定平衡的上升和不稳定平衡的下降段组成。在上升段OA，增加载荷才能使挠度加大，内外力处于平衡状态；而在下降阶段AB，由于截面上塑性的发展，挠度不断增加，为了保持内外力的平衡，必须减小载荷。因此，上升阶段是稳定的，下降阶段是不稳定的，上升和下降阶段的分界点A，就是压杆的临界点，所对应的载荷也是压杆稳定的极限承载力 (即压溃力)。
第四单元 构件基本变形的分析
由平衡方程
FX 0
FN F 0 FN F
左右
截面法求内力的步骤
1、截：在欲求处假想用截面将构件截成两段。 2、取：取其中任意一段为研究对象。 3、代：用作用于截面上的内力，代替切去部
分对留下部分的作用力。 4、平：对研究对象列平衡方程，由外力确定
图4-10
解：（1）计算外力（设约束反力FR）如图 ΣFx = 0 - FR - F1 +F2 = 0
FR = - F1 + F2 = - 50 + 140 = 90KN （FR方向是正确的）
FR
X
（2）计算各截面上的轴力并画出轴力图
1-1截面上的轴力
FN1= - F 1
= - 50KN FR
（杆受压）
第四单元 构件基本变形的分析
学习目标
通过本单元的学习，了解有关构件基 本变形的概念及形式，明确求解构件在各 种基本变形状态下的内力和应力，掌握强 度条件和刚度条件的公式，并能应用其解 决简单的工程问题。
综合知识模块一 基本变形分析的基础
能力知识点1
变形分析的基本概念
一、变形固体及其基本假设
任何物体受载荷（外力）作用后其内部质 点都将产生相对运动，从而导致物体的形状和 尺寸发生变化，称为变形。
构件的承载能力分为：
强度、刚度、稳定性。
一、强度
构件抵抗破坏的能力。 构件在外力作用下不破坏必须具有足够 的强度，例如房屋大梁、机器中的传动轴不 能断裂，压力容器不能爆破等。
强度要求是对构 件的最基本要求。
二、刚度
构件抵抗变形的能力。 在某些情况下，构件虽有足够的强度，但若 受力后变形过大，即刚度不够，也会影响正常工 作。例如机床主轴变形过大，将影响加工精度； 吊车梁变形过大，吊车行驶时会产生较大振动， 使行驶不平稳，有时还会产生“爬坡”现象，需要 更大的驱动力。因此对这类构件要保证有足够的 刚度。
强度、刚度、稳定性
提高弯曲强度的措施
一、 合理安排梁的受力情况 合理安排作用在梁上的荷载，可以降低梁的最大弯矩。从 而提高梁的强度
1、使集中力分散
2、减小跨度
二、 合理选择截面
当弯矩值一定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数成 反比，即弯曲截面系数W，越大越好。另一方面，横截面面积越 小，梁使用的材料越少，自重越轻，即横截面面积A，越小越好。
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Wz
Iz y max
D4(14)/64 D3 (14)
D/2
32
弯曲切应力
1. 矩形截面梁的弯曲切应力109
y h， 2
即横截面上、下边缘各点处：
0
y =0，即中性轴上各点处：
max
3 2
FQ bh3 2F来自 A2. 工字形截面梁的弯曲切应力111 腹板上的切应力
EI
F M(x) C1和C2为待定常数，根据压杆的约束边 界条件来确定，在两端铰支的情况下，
x w w(x) 边界条件为
Oy
y
w(0)w(l)0
O
F
(a)
(b)
C 20 , C 1sikn l0
x F
EI Oy (a)
x F M(x)
x w w(x) y
O F (b)
w (x ) C 1sikn x C 2ck ox s C 20 , C 1sikn l0
强度、刚度、稳定性
梁的弯曲应力与强度计算
1 梁弯曲时横截面上的正应力 2 弯曲切应力 3 梁的强度计算 4 提高弯曲强度的措施
梁弯曲时横截面上的正应力
横弯曲和纯弯曲102
平面弯曲时梁的横截面上有两 个内力分量：弯矩和剪力。
建筑力学常见问题解答4杆件的强度、刚度和稳定性计算
建筑⼒学常见问题解答4杆件的强度、刚度和稳定性计算建筑⼒学常见问题解答4 杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能⼒，指的是什么？答：构件满⾜强度、刚度和稳定性要求的能⼒称为构件的承载能⼒。
(1)⾜够的强度。
即要求构件应具有⾜够的抵抗破坏的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣破坏。
(2)⾜够的刚度。
即要求构件应具有⾜够的抵抗变形的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣过⼤的变形⽽影响使⽤。
(3)⾜够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能⼒，在荷载作⽤下不致于突然丧失稳定。
2.什么是应⼒、正应⼒、切应⼒？应⼒的单位如何表⽰？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。
垂直于截⾯的应⼒分量称为正应⼒或法向应⼒，⽤σ表⽰；相切于截⾯的应⼒分量称切应⼒或切向应⼒，⽤τ表⽰。
应⼒的单位为Pa。
1 Pa=1 N／m2⼯程实际中应⼒数值较⼤，常⽤MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=109Pa3.应⼒和内⼒的关系是什么？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。
4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表⽰横向应变。
5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松⽐？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。
对于轴⼒为常量的等截⾯直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l?=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是⽆量纲（⽆单位）的量。
（2）横向应变拉(压)杆产⽣纵向变形时，横向也产⽣变形。
设杆件变形前的横向尺⼨为a，变形后为a1，则横向变形为aaa-=1横向应变ε/为aa=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减⼩，ε/为负值；杆件压缩时，横向增⼤，ε/为正值。
因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。
（3）横向变形系数或泊松⽐试验证明，当杆件应⼒不超过某⼀限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之⽐为⼀常数。
第四章 单个构件的承载能力-稳定性
3
4
y
b)
4 2 0 1 2 3 4 a/b
腹板和翼缘板的屈曲
系数k 和a/ b的关系
如图，当 a / b > 1时，k min = 4 时。从中可以看出，减小板的长度 并不能提高板的稳定临界力，但减小板宽却可以大大提高板件临 界力。 用同样的方法可以推出三边简支，一边自由的板件临界力的计算 公式，也可表示为 π2D N cr = k 2 b
第一类稳定（弯曲失稳 弯曲失稳）： 弯曲失稳
第一类稳定（杆扭转失稳 扭转失稳）： 扭转失稳
第一类稳定（杆弯扭失稳 弯扭失稳）： 弯扭失稳
第二类稳定：
杆件局部失稳 局部失稳： 局部失稳
4.2 轴心受压构件的整体稳定性 影响轴心受压构件的整体稳定性的主要因素有： （1）截面的纵向残余应力 （2）构件的初弯曲 （3）荷载作用点的初偏心 （4）构件的端部约束条件 当轴心受压构件的长细比比较大而截面又没 有空洞削弱时，一般不会因截面的平均应力达到 抗压强度设计值而丧失承载能力，因而不必进行 强度计算。对轴心受压构件来说，整体稳定 整体稳定是确 整体稳定 定构件截面的最重要因素。
——板的柱面刚度
t ——板厚； a、b ——受压方向板的长度、宽度 m、n——纵向及横向屈曲半波数 ——单位宽度板所受的压力 当n=1时(即在y方向为一个半波），临界力有最小值
π2 D mb a 2 π2 D Ncr = 2 ( + ) = k 2 b a mb b
k
——屈曲系数
a)
o
b
x k m=1 a 8 2 6 a
根据边界条件确定 l ox , l oy 已 知 荷 载、 截 面， 验 算 截 面 计算
Ix A
结构稳定概述(结构稳定原理)
第1章结构稳定概述工程结构或其构件除了应该具有足够的强度和刚度外，还应有足够的稳定性，以确保结构的安全。
结构的强度是指结构在荷载作用下抵抗破坏的能力；结构的刚度是指结构在荷载作用下抵抗变形的能力；而结构的稳定性则是指结构在荷载作用下，保持原有平衡状态的能力。
在工程实际中曾发生过一些由于结构失去稳定性而造成破坏的工程事故，所以研究结构及其构件的稳定性问题，与研究其强度和刚度具有同样的重要性。
1.1 稳定问题的一般概念结构物及其构件在荷载作用下，外力和内力必须保持平衡，稳定分析就是研究结构或构件的平衡状态是否稳定的问题。
处于平衡位置的结构或构件在外界干扰下，将偏离其平衡位置，当外界干扰除去后，仍能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是稳定的；而当外界干扰除去后，不能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是不稳定的。
当结构或构件处在不稳定平衡状态时，任何小的干扰都会使结构或构件发生很大的变形，从而丧失承载能力，这种情况称为失稳，或者称为屈曲。
结构的稳定问题不同于强度问题，结构或构件有时会在远低于材料强度极限的外力作用下发生失稳。
因此，结构的失稳与结构材料的强度没有密切的关系。
结构稳定问题可分为两类：第一类稳定问题（质变失稳）—结构失稳前的平衡形式成为不稳定，出现了新的与失稳前平衡形式有本质区别的平衡形式，结构的内力和变形都产生了突然性变化。
结构丧失第一类稳定性又称为分支点失稳。
第二类稳定问题（量变失稳）—结构失稳时，其变形将大大发展（数量上的变化），而不会出现新的变形形式，即结构的平衡形式不发生质的变化。
结构丧失第二类稳定性又称为极值点失稳。
无论是结构丧失第一类稳定性还是第二类稳定性，对于工程结构来说都是不能容许的。
结构失稳以后将不能维持原有的工作状态，甚至丧失承载能力，而且其变形通常急剧增加导致结构破坏。
因此，在工程结构设计中除了要考虑结构的116强度外，还应进行其稳定性校核。
1.1.1 第一类稳定问题首先以轴心受压杆来说明第一类稳定问题。
钢结构基本原理第4章
第4.1节 概述
本节目录
1. 轴心受力构件的应用 2. 轴心受力构件类型 3. 轴心受力构件的截面形式 4. 轴心受力构件的计算内容
基本要求
了解轴心受力构件的类型、应用及计算内容
4.1.1 轴心受力构件的应用
轴心受力构件是指承受通过截面形心轴线的轴向力 作用的构件。
图4.1.1 桁架
图4.1.2 网架
由于组合截面制作费时费工，其总的成本并 不一定很低，目前只在荷载较大或构件较高时使 用。
4.1.4 轴心受力构件的计算内容
件轴 心 受 力 构
强度 （承载能力极限状态） 轴心受拉构件 刚度 （正常使用极限状态）
强度 （承载能力极限状态） 轴心受压构件 稳定
刚度 （正常使用极限状态）
第4.2节 轴心受力构件的强度和刚度
②理想轴心压杆的弹塑性弯曲屈曲临界力和临界应力
对于长细比λ<λp的轴心压杆发生弯曲屈曲时，构件截 面应力已超过材料的比例极限，并很快进入弹塑性状态， 由于截面应力与应变的非线性关系，这时构件的临界力和 临界应力公式采用切线模量理论计算。
N cr
2Et I
l2
cr
2Et 2
Et ---切线摸量
A
N f
A
N ——轴心压力设计值；
A ——构件毛截面积；
f ——钢材抗压强度设计值；
——
cr
/
f
，称为轴心受压构件整体稳定系数，
y
根据截面分类和构件长细比，由柱子曲线或查表确定。
轴心受压构件的柱子曲线
压杆失稳时临界应力σcr与长细比λ之间的关系曲线 称为柱子曲线。
规范在制定轴心受压构件的柱子曲线时，根据不同 截面形状和尺寸、不同加工条件和相应的残余应力分布 和大小、不同的弯曲屈曲方向以及l/1000的最大初弯曲, 按照最大强度准则，对多种实腹式轴心受压构件弯曲失 稳算出了近200条柱子曲线。
工程中块体的强度、刚度和稳定性分析
工力09-1班
焦波波 李海东 高清毅 邓戎龙
第一节 块体理论
1.1块体理论介绍 1.2块体的分类 1.3块体理论的基本假设
1.1块体理论介绍
块体理论是基于自然界中岩体(含大量结构面的岩石所组成的 结构体)针对过去将岩体作为弹性的均质连续体而提出的一种完全 不同的认识。块体理论认为，岩体是被断层、节理裂隙、层面以 及软弱夹层等结构面切割许多坚硬岩块所组成的结构体而形成的 非均质连续体。运用该理论对岩体进行稳定分析时，把岩体看作 是刚性块体组成的结构体，破坏机理为刚性块体沿软弱结构面滑 移，力学模型为刚性平移。
引入内摩擦角，并定义 f tan ，这个准则在平面上 是一条直线。当此应力圆与式(3-1)所表示的直线相切时， 即发生破坏 。 根据材料力学： ( 1 3 ) ( 1 3 ) cos 2
1 ( 1 3 ) sin 2 2 库仑准则在主应力平面上的表示:
第三节 块体的强度及刚度计算
3.1强度及刚度介绍 3.2岩石的强度理论 3.3岩体的强度分析
3.1强度及刚度介绍
强度是指材料承受外力而不被破坏(不可恢复的变形也属 被破坏)的能力.根据受力种类的不同分为以下几种: (1)抗压强度--材料承受压力的能力。 (2)抗拉强度--材料承受拉力的能力。 (3)抗弯强度--材料对致弯外力的承受能力。 (4)抗剪强度--材料承受剪切力的能力。
摩尔库伦准则在主应力平面上的关 系
对于莫尔—库仑准则，需要以下指出三点： （1）库仑准则是建立在实验基础上的破坏判据。 （2）库仑准则和莫尔准则都是以剪切破坏作为其物理 机理，但是岩石试验证明：岩石破坏存在着大量的微破 裂，这些微破裂是张拉破坏而不是剪切破坏。
钢结构基础 陈绍蕃第三版第四章稳定性课件
mx M N f x A xW1x 1 0.8 N N Ex
对于单轴对称截面的压弯构件，除进行平面内稳定验算外，还应按 下式补充验算
mx M x N f A xW2 x 1 1.25 N N E
第4章 单个构件的承载力——稳定性
4.5.2 压弯构件在弯矩作用平面外的稳定性
第4章 单个构件的承载力——稳定性
4.5 压弯构件的面内和面外稳 定性及截面选择计算
4.5 压弯构件的面内和面外稳定性及截面选择计算
4.5.1 压弯构件在弯矩作用平面内的稳定性
• 1. 压弯构件在弯矩作用平面内的失稳现象
N e0 Mx = Ne0 NEx B A D N
x
v v A z e0 N A x y y y Nux
梁丧失整体稳定现象
4.4.受弯构件的弯扭失稳
第4章 单个构件的承载力——稳定性
4.4.2 梁的临界荷载（以均匀弯矩(纯弯曲)作用下的简支梁为例）
Mx
Mx z y
Mx v dv/dz ζ
Mx z
y
η
梁的微小变形状态简图
4.4.受弯构件的弯扭失稳
第4章 单个构件的承载力——稳定性
Mx
梁的微小变形状态简图
实腹式压弯构件在弯矩作用平面外的实用计算公式45压弯构件的面内和面外稳定性及截面选择计算????nniileigileiimtycrey02022220???????????纯弯曲作用下的临界弯矩双轴对称截面压弯构件纯弯曲作用下弯扭屈曲的临界力ncr的计算方程????0202????imnnnncrcrey?1202???nnnimnneyey?改用n1122????nnmmnncrey?相关曲线nney和mmcr的相关曲线45压弯构件的面内和面外稳定性及截面选择计算?普通工字型截面
钢结构稳定性例题
Iy
=
2 × tb3 12
=
2× 1 × 2× 503 12
=
41667cm4
ix =
Ix = A
145683 = 24.14cm 250
iy =
Iy = A
41667 = 12.91cm 250
4.2 轴心受压构件的整体稳定性
第4章 单个构件的承载力-稳定性
二、截面验算：
1.强度：σ
=
N An
=
1
y
z0
一个斜缀条的长度为：l
=
l1
sin θ
=
41 sin 450
= 58cm
角钢的最小回转半径为：imin = 0.89cm
x
x
1
y
b
λ = l = 58 = 65.1
imin 0.89
4.2 轴心受压构件的整体稳定性
第4章 单个构件的承载力-稳定性
λ = 65.1 属b类截面，查得ϕ＝0.78
I x = 2× 50× 2.2× 24.12 +1.6× 463 /12 = 140756cm4 I y = 2× 2.2× 503 /12 = 45833cm4
ix =
Ix = A
140756 = 21.9cm； 293.6
iy =
Iy = A
45833 = 12.5cm 293.6
4.2 轴心受压构件的整体稳定性
z0 = 2.49cm，I1 = 592cm4
Iy
=
2×
592 +
75×
46 2
−
2.49
2
=
64222cm4
iy =
Iy = A
钢结构第四章
1．轴心受压柱的实际承载力
轴心受压柱整体稳定计算：
N A f
4.23
式中N 轴心受压构件的压力设计值； A 构件的毛截面面积； 轴心受压构件的稳定系数，和截面类型、 构件长细比、所用钢种有关见附表17； f 钢材的抗压强度设计值，见附表11。
2．列入规范的轴心受压构件稳定系数
N A f
(6) 当截面有较大削弱时，还应验算净截面的强度，应使
N An f
(7) 验算刚度，柱和主要压杆，其容许长细比为[]=150， 对次要构件如支撑等则[]=200。
初定截面和长细比λ=100
查表λ→ 由 → A 计算i =l0 /λ i ,A→b, h,
A
A x 27 A1x
2 y
2 x 2 y 1
l0 x i ②求 x x ③查附表14确定分肢间距b，两分肢翼缘间的净空应大 于100mm，以便于油漆； 2 ④验算：刚度 0 x 2 x 1 [ ] 整稳 缀条柱 1 0.7max 分肢稳定： 缀板柱 0.5 1 max 1 40
失稳模式之间的耦合作用，局部和整体稳定的相关性。
4.2 轴心受压构件的整体稳定性
4.2.1 纵向残余应力对轴心受压构件整体稳定性的 影响
残余应力的测量及其分布
A、产生的原因：
①焊接时的不均匀加热和冷却； ②型钢热扎后的不均匀冷却； ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩； ④构件冷校正后产生的塑性变形。
2. 剪切变形对虚轴稳定性的影响 绕实轴屈曲时，剪切变形的影 响可忽略，弯曲失稳情况与实腹式 截面一样。
x
y x y
N f A
绕虚轴屈曲时，由于缀材刚
l1/2
钢结构基本原理第四章 单个构件的承载能力
第4章单个构件的承载能力--稳定性4.1 稳定问题的一般提法4.1.1 失稳的类别传统分类:分支点失稳和极值点失稳。
分支点失稳:在临界状态时,初始的平衡位形突变到与其临近的另一平衡位形。
（轴心压力下直杆）极值点失稳：没有平衡位形分岔,临界状态表现为结构不能再承受荷载增量。
按结构的极限承载能力：(1)稳定分岔屈曲：分岔屈曲后，结构还可承受荷载增量。
轴心压杆(2)不稳定分岔屈曲：分岔屈曲后,结构只能在比临界荷载低的荷载下才能维持平衡位形。
轴向荷载圆柱壳(3))跃越屈曲：结构以大幅度的变形从一个平衡位形跳到另一个平衡位形。
铰接坦拱，在发生跃越后, 荷载还可以显著增加,但是其变形大大超出了正常使用极限状态。
4.1.2 一阶和二阶分析材料力学：EI M //1+=ρ 高数：()()2/3222/1///1dx dy dx y d +±=ρ M>0 22/dx y d <0 ； M<0 22/dx y d >0 ；∴ M 与y ''符号相反()()EI M y y /1/2/32-='+''∴ （大挠度理论）当y '与1相比很小时 EI M y /-='' （1） （小挠度理论）不考虑变形，据圆心x 处 ()x h P M --=α1 一阶弯矩 考虑变形 ()()y p x h p M ----=δα2 二阶弯矩 将它们代入（1）式：()x h p y EI -=''α 一阶分析()()y p x h p y EI -+-=''δα 二阶分析边界条件: ()()000='=y y ()δ=h yEI ph 3/3αδ=()()]/)tan(3[)]3/([33kh kh kh EI ph -⨯=αδ （2） EI P k /2=由（2）有 ()∞=--32//)(t a n l i m kh kh kh kh π 得欧拉临界荷载 224/h EI P E π= 此为稳定分析过程：达临界荷载，构件刚度退化为0，无法保持稳定平衡，失稳过程本质上是压力使构件弯曲刚度减小，直至消失。
《钢结构原理》第4章轴心受力构件
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2tbh2 4
4
2E
k
x2
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《钢结构原理》 第4章 轴心受力构件
4.4.4.2 初弯曲的影响
假设构件变形 为正弦曲线：
y0
v0
sin
x
l
v0为初始挠度
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x
l0x ix
,
y
l0 y iy
l0x，l0y —— 构件的计算长度； ix，iy —— 截面回转半径； [] —— 容许长细比。
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《钢结构原理》 第4章 轴心受力构件
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《钢结构原理》 第4章 轴心受力构件
【例题】 某钢屋架下弦采用L125×12双角钢做成，钢材为 Q235，截面无削弱，计算长度为12.2m，承受静力荷载设计值 为900kN，要求验算此拉杆的强度和刚度。
后存在加压和减压区）
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《钢结构原理》 第4章 轴心受力构件
4.4.4 影响轴心受压构件整体稳定承载力的因素
理想等直杆是不存在的，实际工程中的轴心受压 构件有很多几何缺陷和力学缺陷，其中影响稳定承载 力的主要因素有：
截面的纵向残余应力 构件的初始弯曲 荷载作用点的初偏心 构件端部的约束条件
N A
Nv0
W 1 N
NE
fy
假设 v0= l / 1000，则上式整理可得：
N A
1
1000
i
1
1 N
N
钢结构 第四章11
4.5
柱头和柱脚
一、梁与柱的连接 方位： 1. 顶部连接 2. 侧面连接 支撑方式 1. 铰接 2. 刚接
柱的顶部与梁（桁架）连接的部分称为柱头。 作用是通过柱头将上部结构的荷载传到柱身。
柱的顶部与梁（桁架）连接的部分称为柱头。 作用是通过柱头将上部结构的荷载传到柱身。 设计的原则：传力明确、 安全可靠、 经济合理， 便于制造和安装。
式中： A — 两个柱肢的毛截面面积之和； A1x — 斜缀条的毛截面面积之和； λ — 整个柱对虚轴的长细比。
x
2
2、绕虚轴（x-x轴） 需要先计算，换算长细比，再以此查稳定系数， 查出稳定系数后的计算公式，为
N x f A
双肢缀板柱
λ 0x
λ 1 l 01 i1
λ λ
第4 章
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
轴心受力构件
概述 轴心受拉构件 实腹式轴心受压构件 格构式轴心受压构件 柱头和柱脚的设计
４.１ 概述 一、定义：
指只承受通过构件截面形心线的轴向力作用 的构件。
轴心受力构件广泛应用于各种钢 结构之中，如网架与桁架的杆件、 钢塔的主体结构构件、双跨轻钢厂 房的铰接中柱、带支撑体系的钢平 台柱等等。
4.3.1 轴心受压构件的强度和刚度
一、强度
N σ f An
λy l 0y iy λ
二、刚度要求
l 0x λx λ ix
４.３.2 轴心受压构件的稳定问题
一、稳定问题的概念 • 稳定平衡状态是指结构或构件或板件没有
突然发生与原受力状态不符的较大变形而起头承 载能力的状态。 • 突然发生与原受力状态不符的较大变形而丧失承 载能力叫丧失稳定(简称失稳)。 • 失稳之前的最大力则称为稳定承载力或临界力 —— 相应的应力称为临界应力
材料力学复习选择题
1、构件的强度、刚度、稳定性 C 。
A:只与材料的力学性质有关B：只与构件的形状尺寸有关C：与二者都有关D：与二者无关2、均匀性假设认为，材料内部各点的 D 是相同的。
A：应力B：应变C：位移D：力学性质3、各向同性认为，材料沿各个方向具有相同的 A 。
A：力学性质B：外力C：变形D：位移4、在下列四种材料中, C 不可以应用各向同性假设。
A:铸钢B：玻璃C:松木D：铸铁5、根据小变形条件，可以认为： DA：构件不变形B：构件不破坏C：构件仅发生弹性变形D:构件的变形远小于原始尺寸6、外力包括: DA:集中力和均布力B:静载荷和动载荷C:所有作用在物体外部的力D：载荷与支反力7、在下列说法中，正确的是 A .A：内力随外力的增大而增大；B：内力与外力无关；C：内力的单位是N或KN；D：内力沿杆轴是不变的；8、静定杆件的内力与其所在的截面的 D 有关.A：形状；B：大小; C：材料; D：位置9、在任意截面的任意点处，正应力σ与剪应力τ的夹角α＝ A 。
A:α＝90O；B：α＝45O；C：α＝0O; D：α为任意角。
10、图示中的杆件在力偶M的作用下,BC段上 B .A：有变形、无位移; B：有位移、无变形；C：既有位移、又有变形；D：既无变形、也无位移；11、等直杆在力P作用下： DA：Nａ大B：Nｂ大C：Nｃ大D:一样大12、用截面法求内力时，是对 C 建立平衡方程而求解的。
A：截面左段B：截面右段C：左段或右段D：整个杆件13、构件的强度是指 C ，刚度是指 A ，稳定性是指 B 。
A：在外力作用下抵抗变形的能力;B：在外力作用下保持其原有平衡态的能力；C:在外力的作用下构件抵抗破坏的能力;14、计算M－M面上的轴力 D 。
A：－5P B：－2P C:－7P D：－P15、图示结构中，AB为钢材，BC为铝材,在P力作用下 C 。
A：AB段轴力大 B：BC段轴力大 C：轴力一样大16、关于轴向拉压杆件轴力的说法中，错误的是： C 。
钢结构第4章作业参考答案
钢结构第4章作业参考答案4.1 验算由2L63×5组成的水平放置的轴心拉杆的强度和长细比。
轴心拉力的设计值为270KN ，只承受静力作用，计算长度为3m 。
杆端有一排直径为20mm 的孔眼（图4.37），钢材为Q235钢。
如截面尺寸不够，应改用什么角钢？注：计算时忽略连接偏心和杆件自重的影响。
解：查表2228.12,215cm A mm N f == 有孔洞，∴危险截面是孔洞所在的正截面 22102852021028.12mm A n =⨯⨯-⨯=∴此截面能承受的最大轴力为：KN N KN f A N n 27002.2212151028][=<=⨯=⋅= ∴不满足要求改用Q235，2L63×6，查得A=14.58cm 2，cm i cm i y x 98.2,93.1==22125852021058.14mm A n =⨯⨯-⨯=∴2232156.214125810270mm N f mm N A N f n =<=⨯==∴实实际应力长细比： 350][4.15593.1300=<===λλx x i l 350][7.10098.2300=<===λλy y i l满足要求。
4.2 一块━400×20的钢板用两块拼接板━400×12进行拼接。
螺栓孔径为22mm ，排列如图4.38所示。
钢板轴心受拉，N=1350KN （设计值）。
钢材为Q235钢，解答下列问题：（1）钢板1-1截面的强度够否？（2）是否还需要验算2-2截面的强度？假定N 力在13个螺栓中平均分配，2-2截面应如何验算？（3）拼接板的强度够否？解：查表得t=20钢板220205mm N f =,t=12钢板220215mm N f = (1)在1-1截面，20厚钢板266802022320400mm A n =⨯⨯-⨯=220232051.2026680101350mm N f mm N A N n =<=⨯=∴12厚拼接板2801612)223400(2mm A n =⨯⨯-⨯=212232154.1688016101350mm N f mm N A N n =<=⨯=∴所以，1-1截面强度满足设计要求。
第四章-单个构件的承载能力-稳定性
实际结构总是存在缺陷的，这些缺陷通常
可以分为几何缺陷和力学缺陷两大类。杆件的 初始弯曲、初始偏心以及板件的初始不平度等 都属于几何缺陷；力学缺陷一般表现初始应力 和力学参数（如弹性模量，强度极限等）的不 均匀性。对稳定承载能力而言，残余应力是影 响最大的力学缺陷，它的存在使得构件截面的 一部分提前进入屈曲，从而导致该区域的刚度 提前消失，由此造成稳定承载能力的降低，所 有的几何缺陷实质上亦是以附加应力的形式促 使刚度提前消失而降低稳定承载能力的。
能力，因此，如果着眼于研究结构的极限承 载能力，可依屈曲后性能分为如下三类： （1）稳定分岔屈曲。分岔屈曲后，结构还可 以承受荷载增量。换言之，变形的进一步增 大，要求荷载增加。 （2）不稳定分岔屈曲。分岔屈曲后，结构只 能在比临界荷载低的荷载下才能维持平衡位 形。 （3）跃越屈曲。结构以大幅度的变形从一个 平衡位形跳到另一个平衡位形。
1．已知荷载、截面，验算截面。 2．已知截面求承载力。 3．已知荷载设计截面。 对于1，2两种情况，计算框图如下:
已 知 荷 载、 截 面， 验 算 截 面
根据边界条件确定 lox , loy
计算 A, Ix , I y
已
知
ix
Ix A
， iy
Iy A
截 面
求
x
l ox ix
， y
l oy iy
k ——屈曲系数
o
a)
y
b)
a a
腹板和翼缘板的屈曲
b1 =b/2
b
x k
m=1
8 23 4
6
4
2
0
1 2 3 4 a/b
系数k和a/b的关系
如图，当 a/b1 时km ， in4时。从中可以看出，减小板的长度 并不能提高板的稳定临界力，但减小板宽却可以大大提高板件临 界力。
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第4章 结构构件的强度、刚度及稳定性起重机械钢结构作为主要承重结构，由许许多多构件连接而成，常见构件有轴心受力构件、受弯构件及偏心受压构件。
承载能力计算包括强度、刚度和稳定计算。
稳定问题包括整体稳定和局部稳定，在连续反复载荷作用下，尚需要计算疲劳强度。
本章介绍轴心受压构件、受弯构件及偏心受压构件的强度、刚度、整体稳定性及局部稳定性的计算。
4.1 轴心受力构件的强度、刚度及整体稳定 4.1.1 轴心受力构件的强度轴心受力构件的强度按下式计算：[]jNA σσ=≤ (4-1) 式中: j A —构件净截面面积, mm 2；N —轴心受力构件的载荷, N ；[]σ—材料的许用应力,N/mm 2。
4.1.2 轴心受力构件刚度构件过长而细，在自重作用下会产生较大的挠度，运输和安装中会因刚度较差而弯扭变形，在动力载荷作用下也易产生较大幅度的振动。
且对于轴心受压构件，刚性不足容易产生过大的初弯曲和自重等因素产生下垂挠度，对整体稳定性产生不利影响。
为此，必须控制构件的长细比不超过规定的许用长细比][λ，构件的刚度按下式计算：[]l rλλ=≤ (4-2) 式中：0l —构件的计算长度,mm ；[]λ—许用长细比，《起重机设计规范》GB/T 3811-2008规定结构构件容许长细比见表4-1；r —构件截面的最小回转半径,mm 。
r =（4-3）式中: A —构件毛截面面积，mm 2；I －构件截面惯性矩，mm ４；4.1.3 轴心受压构件整体稳定性 (1) 理想轴心受压构件轴心受压构件的截面形状和尺寸有种种变化，构件丧失整体稳定形式有三种可能：弯曲屈曲、弯扭屈曲和扭转屈曲。
对于双轴对称的截面(如工字形)，易产生弯曲屈曲；对于单轴对称的截面(如槽形)，易产生弯扭屈曲；对于十字形截面，易产生扭转屈曲。
理想轴心受压构件是指构件是等截面、截面型心纵轴是直线、压力的作用线与型心纵轴重合、材料完全均匀。
早在18世纪欧拉对理想轴心压杆整体稳定进行了研究，得到了著名的欧拉临界力公式。
图4-1所示为轴心受压构件的计算简图，据此可以建立构件在微曲状态下的平衡微分方程：0=⋅+''⋅y N y EI （4-4）解此方程，可得到临界载荷0N ，又称欧拉临界载荷E N ：220o E l EI N N π== （4-5）式中：0l —压杆计算长度，当两端铰支时为实际长度l ，mm ；E —材料的弹性模量，N/mm 2； I —压杆的毛截面惯性矩,mm 4。
由式(4-5)可得轴心受压构件的欧拉临界应力为：2220220)/(λππσσEAr l EAr A N E E ==== （4-6） NxNyN式中：λ—轴心受压构件的长细比；A —构件毛截面面积，mm 2。
当轴心压力N 小于E N 时，构件处于稳定的直线平衡状态，此时构件只产生均匀的压缩变形。
当构件受到某种因素的干扰，如横向干扰力、载荷偏心等，构件发生弹性弯曲变形。
干扰消除后，构件恢复到直线平衡状态。
当外力继续增大至某一数值E N 时，构件的平衡状态曲线呈分支现象，既可能在直线状态下平衡，也可能在微曲状态下平衡，此类具有平衡分支的稳定问题称为第一类问题。
当外力再稍微增加，构件的弯曲变形就急屈曲。
此时的压力E N 称为临界压力。
必须指出的是，欧拉临界应力公式的推导，是以压杆的材料为弹性的，且服从胡克定律为基础。
也就是说只有对按式(4-6)算出的临界应力0σ不超过压杆材料的比例极限p σ的长细杆有效。
但对于粗短的压杆，外载荷达到临界载荷之前，轴向应力将超过弹性极限，而处于非弹性阶段。
这时弹性模量E 不再保持常数，而是应力的函数，称切线模量。
1947年香莱(Shanley)通过与欧拉公式相类似的推导，得到两端铰支的截面轴心压杆非弹性阶段的屈曲临界力，称为切线模量临界应力：220t t E IN l π=(4-7)切线模量t E 表示在钢材应力应变曲线上的临界应力处的斜率(图4-2)。
在非弹性阶段的切线模量临界应力为：σσσσ202t tN E A πσλ== (4-8)由此可见，当p λλ≥，材料处于弹性阶段时，用式(4-6)计算临界应力0σ；当p λλ<，临界应力超过了比例极限，材料处于弹塑性阶段，用公式(4-8)计算临界应力0σ,如图4-3中虚曲线为欧拉临界应力延长线已经不适用。
(2) 实际轴心受压构件在起重机械结构中，理想构件是不存在的，构件或多或少存在初始缺陷。
如：初变形(包括初弯曲和初扭曲)、初偏心(压力作用点与截面型心存在偏离的情况)等等。
这些因素，都使轴心压杆在载荷一开始作用时就发生弯曲，不存在由直线平衡到曲线平衡的分歧点。
实际轴心压杆的工作情况犹如小偏心受压构件，其临界力要比理想轴心压杆低(图4-4)，当压力不断增加时，压杆的变形也不断增加，直至破坏。
载荷和挠度的关系曲线，由稳定平衡的上升和不稳定平衡的下降段组成。
在上升段OA ，增加载荷才能使挠度加大，内外力处于平衡状态；而在下降阶段AB ，由于截面上塑性的发展，挠度不断增加，为了保持内外力的平衡，必须减小载荷。
因此，上升阶段是稳定的，下降阶段是不稳定的，上升和下降阶段的分界点A ，就是压杆的临界点，所对应的载荷也是压杆稳定的极限承载力u N (即压溃力)。
另外，构件焊接后产生的残余应力(接应力)、轧制型钢在轧制后，由于冷却速度不均匀，产生的残余应力对构件稳定性也有很大影响。
这些残余应力由于本身自相平衡，所以对构件的强度承载能力没有影响，但对稳定承载能力则有影响。
如(图4-5)因为残余应力的压应力部分使该部分截面提前发展塑性，使轴心受压构件达到临界状态，截面由不同的两部分变形模量组成，塑性区的变形模量等于零，而弹性区的变形模量仍为E ，只有弹性区才能继续有效承载。
可以按有效截面的惯性矩e I 近似的计算两端铰接的等截面轴压构件的临界力和临界式中：eI m I=(3) 实腹式轴心压杆整体稳定计算影响轴心压杆稳定极限承载力的主要因素有多种，例如，截面形状和尺寸、材料力学性能、残余应力的分布和大小、构件的初弯曲和初扭曲、载荷作用点的初偏心、在支承处可能存在的弹性约束、构件的失稳方向等等。
严格来说，每一根轴心压杆都有各自的稳定曲线，但在设计时，是不可能精确确定该压杆的稳定曲线的。
因此，对实腹式轴心受压杆件整体稳定性计算公式采用一种简单的表达形式：[][]cr cr s cr s s N A K K σσσσσσϕσσσ=≤===或写成一般形式：[]N Aσσϕ≤≤ (4-9) 式中：N —轴心受压构件的计算载荷,N ；A —构件的毛截面面积,mm 2；K —强度安全系数；ϕ—轴心受压构件稳定系数；稳定系数ϕ的确定是轴心受压构件计算准确的关键因素之一，它的确定是通过大量具有1/1000杆件长的初弯曲、不同截面形式和尺寸、不同的加工条件和相对应的残余应力的试件进行试验，按柱的最大强度理论，用数值的方法算出大量的ϕλ-曲线(柱子曲线)归纳确定的。
在制定《钢结构设计规范》GB 50017-2003时，是根据大量的数据和曲线，选择其常用的96条曲线作为确定ϕλ-的依据。
由于这96条曲线分布较为离散，采用一条曲线代表这些曲线显然不合理，所以进行了分类，把承载能力相近的截面及其弯图4-5 焊接工字形截面的残余应力曲失稳对应的轴合为一类，归纳为a 、b 、c 三类。
每类柱子曲线的平均值(即50%分位值)作为代表曲线。
当时的柱子曲线是针对组成板件厚度40t mm <的截面进行的，而组成板件厚度40t mm ≥的构件，残余应力不但沿板宽度方向变化，在板厚度方向的变化也比较显著。
板件外表面往往以残余压应力为主，对构件稳定的影响较大。
在《钢结构设计规范》GB 50017-2003中提出，组成板件40t mm ≥的工字形、H 形截面和箱形截面的类别作出了专门的规定，并增加了d 类截面的ϕ值。
《起重机设计规范》GB/T 3811-2008采用了《钢结构设计规范》GB 50017-2003的方法。
计算轴心受压构件稳定系数ϕ时，首先按表4-2轴心受压构件截面类别确定的类别；然后按最大长细比查附录四附表4-1~4-4中对应的表求得。
也可以按下列方法计算求得：正侧长细比n λ 当0.215n λ≤时：211n ϕαλ=- (4-10)当0.215n λ>时：22321[()2n n nϕααλλλ=++ (4-11) 式中：1α、2α、3α取值查表4-3。
表4-2 轴心受压构件的截面类型表 4-3 系数123ααα、、(4) 轴心受压格构式构件的整体稳定计算起重机械钢结构中，存在大量轴心受压构件，压力不大，而长度大，所需要的截面积较小。
为了取得较大的稳定承载力，尽可能使截面分开。
经常采用格构式结构，以期取得较大的惯性矩，从而降低λ值。
肢件的轴，称为虚轴。
由于两个肢件之间不是连续的板连系而是用缀件每隔一定距离才有连系，失稳时剪力引起的变形要大些，而剪切变形对失稳变形的临界力有较大影响。
根据理论分析，两端铰接的等截面轴压构件，对虚轴的临界力和临界应力为：式中：1γ—单位剪切力作用下的剪切变形；y λ—两柱肢作为整体对虚轴y y -的长细比；hy λ—换算长细比。
对于不同形式的格构式构件的换算长细比的计算公式列于表4-4中。
格构式轴心受压构件的稳定性公式和实腹式轴心受压杆件整体稳定性计算公式完全相同，但稳定系数的采用不完全相同，对实轴计算方法与相同，对虚轴而言长细比要采用换算长细比，然后根据截面类别、钢号查表或计算取得。
λ已知如图4-6所示工字形截面轴心压杆，翼缘：2-200×10 ，腹板：1-180×6，杆长m l 4=，两端铰支，按载荷组合B 求得构件轴心压力KN N 600=，钢材为Q235B 钢，焊条为E43型，试验算构件强度、刚度及整体稳定性。
解：1、截面几何特性2122201180.650.8cm A A A ⨯⨯+⨯==+=4233390536103.36.291)2118()120(21201212186.0121cm I x =++=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=cm A I r x x 77.88.503905===334112120180.613301212y cm I ⨯⨯⨯+⨯⨯==5.11y r cm===2、许用应力及许用长细比查P12表2-2，16t ≤得：2235/s N mm σ=查P45表3-11载荷组合B 得：安全系数n=1.34 许用应力：[]σ=235/1.34=175 N/mm 2。
查P47表4-1得：150][=λ3、刚度校核由于y x l l 00=，而y x r r >，故截面仅需对y 轴作刚度和稳定控制。