函数的单调性与求函数的最值
函数的单调性与最值
函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值 1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |答案：B2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12答案：D3．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])，则函数的最大值为________．答案：21．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝1 x.3．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1f(x)等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是()A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．先递增再递减答案：C2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7]考点一函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－1x＋1D．f(x)＝－|x|解析：选C当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性． 解：法一(定义法)： 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 法二(导数法)：f ′(x )＝a (x 2－1)－2ax 2(x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2.又a >0， 所以f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1,1)上为减函数．[谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤： 取值作差(商)变形确定符号(与1的大小)得出结论(2)导数法，其基本步骤： 求导函数确定符号得出结论考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0. 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．若将[典例引领](1)中的函数变为“y ＝|－x 2＋2x ＋1|”，则结论如何？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 解析：选B 令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18. 因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在R 上单调递减． 所以y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增． 考点三 函数单调性的应用(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. 答案：2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c .角度三：解函数不等式3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)解析：选B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0, 且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log ax ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]． 答案：(2,3][方法归纳]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．(2)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝2－x B ．y ＝x C ．y ＝log 2 xD ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1] C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 4．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6. 答案：65．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．解析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①是幂函数，在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合要求；②中的函数图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移1个单位得到的，函数y ＝log 12x 是(0，＋∞)上的减函数，所以函数y ＝log 12(x ＋1)是(－1，＋∞)上的减函数，故此项符合要求；③中的函数在(－∞，1)上为减函数，(1，＋∞)上为增函数，符合要求；④中的函数在R 上为增函数，不符合要求．2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． 3．函数f (x )＝x1－x在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C 函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x 1－x ＝11－x－1，根据函数y ＝－1x 的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log ax ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13D.⎣⎡⎭⎫17，1解析：选C 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13.此时，log a x 是减函数，符合题意．6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14. 答案：147．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)9．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)， (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在 ⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2， ∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25. 10．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
函数的最值与单调性
函数的最值与单调性函数的最值与单调性对于数学领域来说是非常重要和常见的概念。
在本文中，我将详细介绍函数的最值和单调性，并讨论它们在数学问题中的应用。
一、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
一个函数可能有多个最大值和最小值，也可能没有最大值或最小值。
在求解一个函数的最值时，我们可以通过以下步骤进行：1. 找到函数的定义域。
2. 求解函数的导数，并找到导数为零的点和导数不存在的点。
3. 将这些点代入函数中，得到对应的函数值。
4. 比较这些函数值，找到最大值和最小值。
举例来说，考虑函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1。
首先，我们需要找到函数的定义域。
由于这是一个二次函数，它的定义域是整个实数集。
然后，我们求解 f(x) 的导数 f'(x) = 4x - 3，并找到导数为零的点 x = 3/4。
将这个点代入原函数，得到 f(3/4) = 1/8。
由于这个函数是一个开口向上的抛物线，它的最小值就是 f(3/4) = 1/8。
因此，这个函数的最值是 f(3/4) = 1/8。
另外一个例子是函数 g(x) = sin(x)。
对于这个函数，它的定义域是整个实数集。
由于正弦函数的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 g(x) 的最大值是 1，最小值是 -1。
函数的最值在数学中经常用来确定问题的极限、最优解和最不利情况等。
二、函数的单调性函数的单调性是指函数的增减性质。
一个函数可以是递增的、递减的或是既递增又递减。
要判断一个函数的单调性，我们可以通过以下方法：1. 求解函数的导数。
2. 研究导数的符号。
如果导数在定义域内始终大于零，那么函数是递增的；如果导数在定义域内始终小于零，那么函数是递减的。
如果导数既大于零又小于零，那么函数既递增又递减。
比如考虑函数 h(x) = x^2 - 3x + 2。
我们求解 h(x) 的导数 h'(x) = 2x - 3。
通过分析导数的符号，我们可以发现当 x < 3/2 时，导数为负，说明函数 h(x) 在这个区间上是递减的；当 x > 3/2 时，导数为正，说明函数h(x) 在这个区间上是递增的。
函数单调性和求最小值、最值(知识点及相关练习)
函数单调性和求最小值、最值(知识点及相关练习)知识点1. 函数的单调性：函数在给定定义域内的数值变化趋势2. 单调递增和单调递减：函数随着自变量的增大而递增或递减3. 最小值和最大值：函数在给定定义域内的最小和最大的函数值4. 求最小值和最大值的方法：使用导数和找到驻点或边界点练题1. 判断以下函数的单调性：- $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$- $g(x) = \frac{1}{x}$2. 求以下函数在给定定义域内的最小值和最大值：- $h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, 在$[-1, 3]$的区间内3. 判断以下函数在给定定义域内是否有最小值或最大值：- $k(x) = e^x$, 在$(-\infty, \infty)$的区间内- $l(x) = |x|$, 在$(-\infty, \infty)$的区间内解答1. 判断以下函数的单调性：- $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$$f'(x) = 6x + 2$$f'(x)$是正数，因此$f(x)$在整个实数域内都是单调递增的。
- $g(x) = \frac{1}{x}$$g'(x) = -\frac{1}{x^2}$$g'(x)$在定义域内的值符号不定，因此$g(x)$在定义域内既有单调递增的部分，也有单调递减的部分。
2. 求以下函数在给定定义域内的最小值和最大值：- $h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, 在$[-1, 3]$的区间内首先计算$h'(x)$，并令其等于零求得驻点：$h'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$3x^2 - 12x + 9 = 0$$(x - 1)(x - 3) = 0$得到驻点$x = 1$和$x = 3$然后计算$h(x)$在边界点$x = -1$和$x = 3$处的值：$h(-1) = -8$, $h(3) = 2$比较这些值，最小值为$h(-1) = -8$，最大值为$h(3) = 2$。
3.2 函数的单调性及其极值
函数值比较而言，并不意味着它在函数的整个定义区间内最大或最小，所以，
极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值，上图中,极大值可能比极小
值还要小；
(2)由极值的定义知，函数的极值只能在区间内部取得，不能在区
间的端点处取得。
极值存在的必要条件与充分条件：
问题:哪些点处有可能取得极值呢？ 由图可见：在极值点处如果有切线的话，切线是
y y = f (x)
a x1 O x2
x3 x4
x5 b x
定理 (极值存在的第一充分条件)
设函数 y = f (x) 在 x0 的某个邻域内可导(在 x0 处可以不可导，但必须连续)，则有
(1) 当 x x0 时 ， f ( x) 0 ， 当 x x0 时 ， f ( x) 0 ，
(, 1), 1, 7 , 7 , 2, (2, ). 5 5
(3)列单调极值表如下：
x (-, 1) 1
f (x) +
0
极大
f (x)
值点
1, 7 5
7 5
7 , 2 5
2
-0
+0
极小 值点
非极 值点
(2, + ) +
例 5 求函数 f (x) = (x - 1)2 (x - 2)3 的极值. 解 (1) 定义域为 (- ,+ )
(2) f (x) = (x - 1) (x - 2)2 (5x - 7) 令f (x) = 0 得 f (x) 的驻点：x 1, x 7 , x 2,
5
该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义区间分为四个子区间
例 1 试求函数 f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 – 24x + 4 在区间[0,3]上的最大值和最小值.
求解函数的最值与单调性
求解函数的最值与单调性在数学中，求解函数的最值与单调性是一个常见且重要的问题。
而解决这个问题的方法通常是通过计算函数的导数、确定函数的驻点和区间端点等来进行分析。
本文将详细介绍求解函数最值和单调性的方法和步骤。
一、求解函数的最值求解函数的最值是指确定函数在给定定义域内的最大值和最小值。
下面将介绍求解函数最值的一般步骤：1. 确定定义域：首先需要确定函数的定义域，也就是函数的自变量可以取到的值的范围。
这一步是非常重要的，因为函数的最值只能在定义域内进行求解。
2. 计算导数：接下来，我们需要计算函数的导数。
通过求导可以得到函数的变化率，从而判断函数在各个点上的斜率和趋势。
在这一步中，可以使用一阶导数、二阶导数甚至更高阶导数来分析函数的特性。
3. 确定驻点和区间端点：在计算导数的基础上，我们可以确定函数的驻点和区间端点。
驻点是导数为零或不存在的点，它们可能是函数的极值点。
而区间端点指的是定义域的边界点，同样可能是函数的极值点。
4. 比较函数值：最后，通过比较函数在驻点、区间端点以及定义域的边界点处的函数值，我们可以确定函数的最值。
最大值对应函数的上确界，最小值对应函数的下确界。
二、确定函数的单调性确定函数的单调性是指判断函数在给定定义域内是单调递增还是单调递减。
下面将介绍确定函数单调性的一般步骤：1. 计算导数：首先，我们需要计算函数的导数。
导数可以用来描述函数在各个点的斜率和变化趋势。
通过导数的正负可以确定函数的单调性。
2. 确定定义域：同求解函数最值的步骤一样，首先需要确定函数的定义域。
3. 判断导数的正负：在计算导数的基础上，通过判断导数的正负可以确定函数的单调性。
当导数大于零时，函数在该区间上单调递增；当导数小于零时，函数在该区间上单调递减。
4. 绘制函数曲线：为了更直观地判断函数的单调性，可以绘制函数的曲线图。
根据函数的图像可以更清楚地观察函数的上升和下降趋势。
总结：求解函数的最值与单调性是数学分析中的重要问题。
第二章 2·2函数的单调性与最值
1．函数单调性的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M 称为单调区间．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．(×)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(5)所有的单调函数都有最值．( × )(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( × )1．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1) 答案 A解析 A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 项，函数y ＝2－x ＝(12)x 在R上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误． 2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－6 D ．6 答案 C解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.3．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增答案 B解析 由y ＝ax 在(0，＋∞)上是减函数，知a <0； 由y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，知b <0.∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴x ＝－b2a<0， 又∵y ＝ax 2＋bx 的开口向下，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数．故选B. 4．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝(12)x D ．y ＝x ＋1x(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(3)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________． 答案 (1)A (2)D (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)， ∴在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(3)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．综上，当a >0时，f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增． 引申探究若本题中的函数变为f (x )＝axx 2－1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？解 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1) ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．证明 方法一 任意取x 1>x 2>0，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2.当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0， 有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．方法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－ax2>0，解得x >a 或x <－a (舍)．令f ′(x )<0，则1－ax 2<0，解得－a <x <a .∵x >0，∴0<x <a .故f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．题型二 函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数， f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.所以a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]． 思维升华 求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 答案 (1)2 (2)25解析 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小 例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.命题点2 解不等式例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A ．(8，＋∞) B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 (1)B (2)D解析 (1)2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.(2)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.1．确定抽象函数单调性解函数不等式典例 (12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式． 规范解答(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分] ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数．[6分](2)解 ∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， ∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，[8分] f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)，[10分] ∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1⇒－3<a <2，即a ∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f (x )在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f (M )<f (N )的形式；第三步：(去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x >0时，f (x )>1，构造不出f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f (M )<f (N )的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M 、N 的取值范围，即忽视了f (x )所在的单调区间的约束．[方法与技巧]1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性．3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法． [失误与防范]1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)一、选择题1．下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝x 13C ．y ＝－⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝1x 答案 D解析 y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数；y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数；y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是减函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故y ＝1x 在(0,1)上是减函数．故选D. 2．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 C解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.3．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．b <a <c C ．b <c <a D ．a <b <c 答案 B解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)，即b <a <c .4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1 答案 B解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1， ∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.5．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，34) B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数， 当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.二、填空题6．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________． 答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0， 解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．又因为y ＝t 在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的增区间为[3，＋∞)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又a x －a 是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2. 8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.三、解答题9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．10．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1.(1)求f (1)，f (19)的值； (2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝1易得f (1)＝0.而f (9)＝f (3)＋f (3)＝－1－1＝－2，且f (9)＋f ⎝⎛⎭⎫19＝f (1)＝0，故f ⎝⎛⎭⎫19＝2. (2)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<0， 由f (xy )＝f (x )＋f (y )得f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<f (x 1)， 所以f (x )是减函数．由条件①及(1)的结果得：f [x (2－x )]<f ⎝⎛⎭⎫19，其中0<x <2，由函数f (x )在R 上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x (2－x )>19，0<x <2，由此解得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－223，1＋223. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞) 答案 A解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2. 结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．12．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，ab ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知，得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案 2解析 由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋(2y )2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号． 14．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}， 当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。
函数的单调性与最值点的求解
函数的单调性与最值点的求解函数的单调性与最值点一直是数学中重要的概念和求解方法之一。
函数的单调性描述了函数在定义域内是否呈现递增或递减的趋势，而最值点则指函数在某一范围内取得最大或最小值的点。
本文将介绍函数单调性的概念、判断方法和最值点的求解方法。
一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在其定义域内是否具有递增或递减的趋势。
具体来说，对于函数f(x)，我们可以通过以下方法判断其单调性：1. 导数法：求函数的导数，通过导数的正负来判断函数的单调性。
若导数大于0，则函数递增；若导数小于0，则函数递减。
2. 函数值法：选取函数定义域内的不同取值，计算函数的函数值，通过函数值的大小关系判断函数的单调性。
若函数值递增，则函数递增；若函数值递减，则函数递减。
二、最值点的求解最值点是函数在某一范围内取得最大或最小值的点，通常用于解决优化问题。
以下是求解最值点的常用方法：1. 导数法：求函数的导数，通过导数为0的点来判断极值点。
具体步骤是求解导数为0的方程，找到对应的自变量值，再带入函数中求解函数值。
2. 边界法：对于定义在闭区间上的函数，极值点可能出现在区间的端点上。
因此，需要先计算函数在区间的端点处的函数值，与其他极值点进行比较，找到最值点。
综上所述，通过判断函数的单调性和求解最值点，我们可以更好地了解函数的特性，解决实际问题。
在实际应用中，我们可以结合具体的问题和函数形式选择合适的方法进行分析和求解。
对于更复杂的函数，可能需要借助数值计算或者计算机软件进行求解。
在这些情况下，我们可以使用数值方法，例如二分法、牛顿法等，来近似求解函数的单调性和最值点。
总之，函数的单调性和最值点是数学中重要的概念和求解方法，对于解决实际问题起到关键作用。
通过判断函数的单调性，我们可以了解函数的趋势；通过求解最值点，我们可以找到函数在某一范围内取得最大或最小值的点。
这些方法可以在各个领域的问题中得到应用，并为问题的建模和分析提供支持。
函数的单调性与最值(含例题详解)
函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但 f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5l og y u =为()0,+∞上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >. 故当()12,,x x k ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在(),k +∞上单调递增．当()12,0,x x k ∈时，()()12f x f x >，即函数在()0,k 上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性，故在(),k -∞-单调递增，在(),0k -上单调递减． 综上，函数f (x )在(),k -∞-和(),k +∞上单调递增，在(),0k -和()0,k 上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----， 由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0， f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞) 时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为 f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图 象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区 间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数． 答案：[0，32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4.三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0， 由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时， 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1， 即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值范围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
函数的单调性与最值
1、函数单调性定义：设函数()x f 在区间I 上有定义，如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f <，则称函数()x f 在区间I 上单调递增；如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f >，则称函数()x f 在区间I 上单调递减；单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.2、最值：对于任意的I x ∈,都有()M x f ≤或者()N x f ≥,这个N M 和便是函数()x f 在区间I 上的最大值和最小值.☆平时在做题的过程中，求函数单调区间的时候，各位同学一定要注意区间不要轻易“并”起来，例如对勾函数，如果将它的单调递减区间写成⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ba b ，，00 就是错误的，而应该写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0，a b 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ，0或者写⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0，a b ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b ，0都是可以的. 一、函数单调性的判别方法1. 定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.2. 图像法：如果函数图形能够画出，直接从图像上得到函数的单调性；3. 复合法：复合函数的单调性：“同增异减”；4. 导数法：设函数()x f 在定义域内可导，则：(1) 单调递增，()x f 单调递增()0≥'⇒x f ； (2) 单调递减，()x f 单调递增()0≤'⇒x f ；5. 多个函数在公共定义域上单调性运算规律如下：增函数+增函数=增函数；增函数-减函数=增函数；增函数⨯增函数=增函数（都大于0）；减函数+减函数=减函数；减函数-增函数=减函数；=增函数1减函数，=减函数1增函数.2x 1x 1x 2x ()()x f x f ⇒>'0()()x f x f ⇒<'0恒正或恒负二、分段函数的单调性☆分段函数单调递增（递减）意味着每个分段的区间上函数单调递增（递减）并且在分段点处函数值的大小关系也满足递增（递减）. 三、单调性的等价定义对于定义在D 上的函数()x f ，设1x ，D x ∈2，21x x <，则有： （1）()()()x f x x x f x f ⇔>--02121是D 上的单调递增函数； （2）()()[]()()x f x x x f x f ⇔>-⋅-02121是D 上的单调递增函数； （3）()()()x f x x x f x f ⇔<--02121是D 上的单调递减函数； （4）()()[]()()x f x x x f x f ⇔<-⋅-02121是D 上的单调递减函数.例题1：（2017北京）已知函数()xxx f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313，则()x f （ ）A.是偶函数，且在R 上是增函数；B.是奇函数，且在R 上是增函数；C.是偶函数，且在R 上是减函数；D.是奇函数，且在R 上是减函数；例题2：下列函数中，在区间()∞+，0上为增函数的是 （ ） A.1+=x y B.()21-=x y C.x y -=2 D.()15.0log +=x y 例题3：判断函数12++=x x y 在()+∞-,1上的单调性.例题4：判断函数()12-=x axx f （其中0>a ）在()1,1-上的单调性.例题5：若实数a 满足21--->y y a ()R y ∈恒成立，则函数()()65log 2+-=x x x f a 的单调递减区间为（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,25 B. ()+∞,3 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-25, D.()2,∞-例题6：函数12+-=x xy ，(]1,+∈m m x 的最小值为0，则m 的取值范围是 （ ） A.()2,1 B.()2,1- C.[)2,1 D.[)2,1-例题7：已知函数，若()()⎩⎨⎧-=x a xa x f log 12 在()∞+，0上单调递减，则a 的取值范围为（ ）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,31 D.⎪⎭⎫⎝⎛1,211≥x 1<x例题8：设()()⎩⎨⎧+-=a x a a x f x 43 对任意的21x x ≠，都有()()02121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是（ ）.A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0B.()1,0C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,41 D.()3,0例题9：函数()⎪⎩⎪⎨⎧+-=x aax x x f log 3822，在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）.B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡8521，D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡185，四、函数单调性的应用(1) 已知()x f 是单调函数，若()()21x f x f =，则21x x =.(2) ()x f 是单调递增函数（递减函数），若()()()212121x x x x x f x f ><⇒<.(3) 若函数()x f 的图像关于直线a x =对称，则其对称轴两侧单调性相反；如果函数()x f 的图像关于()0,a 对称，则其对称点两侧单调性相同.0<x 0≥x 1≤x 1>x。
2.2函数的单调性及其最值
请做演练巩固提升 1
二、求函数的单调区间
【例 2-1】 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2), 有
������(������2)-f(������1) <0,则( ������2-������1
A ).
A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3)
∴
>
.
∴ 0<a≤ .
2
【例 1-2】已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0, 求实数 m 的取值范围.
解:∵ f(x)在(-2,2)上是减函数, ∴ f(m-1)-f(1-2m)>0,得 f(m-1)>f(1-2m). 由 -1 < ������ < 3, -2 < ������-1 < 2, 1 3 - < ������ < ,解得-1<m< 2, ∴ -2 < 1-2m < 2, 即 2 2 2 3 2 m-1 < 1-2m, m< ,
一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变
图 象 描 述 自左向右看图像是
逐渐上升的
自左向右看图像是 逐渐下降的
(2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是 增加的 或 减少的 ,则称 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做 y=f(x)的单调区间.
2 1 2 1
当 x= 时,f(x)min=f
2
1
1 2
= .
2
3
【例 3-2】 已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f 且当 x>1 时,f(x)>0. (1)求 f(1)的值,并判断 f(x)的单调性; (2)若 f(4)=2,求 f(x)在[5,16]上的最大值.
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第2课时 函数的单调性与最值精品课件
3．若函数 y＝ax 与 y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则 y＝ax2
＋bx 在(0，＋∞)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析： ∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a＜0，b＜0，
∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－2ba＜0，
∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数． 答案： B
解析： 要使函数有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，
∴0≤16－4x＜16，即函数y＝ 16－4x的值域为[0,4)．
答案： C
2．(2009·福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋
∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析： 由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
在A中，由f′(x)＝－x12＜0得x在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；
在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函
数；
在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数；
在D中，由f′(x)＝
1 x＋1
且x＋1＞0和f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)
上为减函数． 答案： A
x2＋4x 3．(2009·天津卷)已知函数f(x)＝ 4x－x2
x≥0， x＜0.
若f(2－a2)＞
f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
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函数的单调性与极值、最值
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金融问题
在投资组合理论中，凹凸性可以用来描述投资组合的风险和回报之间的关系。投资者可以根据自己的风 险承受能力和投资目标，选择合适的投资组合策略。
05 函数的拐点
函数拐点定义
函数拐点是指函数图像上凹凸 性发生变化的点，即函数的一 阶导数在该点为零或不存在的 点。
在数学上，函数拐点的定义是 函数在某点的二阶导数为零的 点，即$f''(x)=0$。
最值的求法
代数法
通过求导数、找驻点、判断单调性等方法来求解 最值。
无穷区间法
利用极限的思想，将函数在无穷区间上的最值转 化为有限区间上的最值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值和最小 值。
最值在实际问题中的应用
01
优化问题
在生产、运输、分配等实际问题 中，常常需要通过求解最值来达 到最优解。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如 果任意两点之间的函数值都满足增减性条件，则函数在该 区间内单调。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果在图像上 随着$x$的增大，$y$的值也增大（或减小），则函数在该 区间内单调递增（或递减）。
Hale Waihona Puke 单调性在实际问题中的应用单调性与最值
单调性与优化问题
在解决优化问题时，可以利用函数的单调性来找到最优解。例如，在求解最大值或最小值 问题时，可以利用函数的单调性来确定搜索区间，从而缩小搜索范围，提高求解效率。
02 函数的极值
函数极值的定义
极值点
函数在某点的值比其邻近点的值大或小的点。
极大值
函数在某点的值比其左侧邻近点的值大，比 其右侧邻近点的值小。
第05讲-函数的单调性与最值(解析版)
第05讲-函数的单调性与最值一、考情分析借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．二、知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)上是增函数或是减函数，性，区间M称为单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[微点提醒]1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].三、 经典例题考点一 确定函数的单调性(区间)【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ．()()1212f x f x x x -->0B ．f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)C ．(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0D ．()()2121x x f x f x -->0【答案】B 【解析】试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此()()12120f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0，()()21210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的大小，因此f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)不正确【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数2y x =-的单调递增区间为( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．(,)-∞+∞【答案】A 【分析】由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为y 轴,故可得出其单调增区间. 【详解】∵函数2y x =-, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为y 轴 ∴函数的单调增区间为(],0-∞.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.考点二 求函数的最值【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数()22231x f x x+=+，则()f x 的值域为（ ） A ．(],3-∞ B ．()2,3 C ．(]2,3 D ．[)3,+∞【答案】C 【分析】利用分子分离法化简()f x ，再根据不等式的性质求函数的值域. 【详解】()22222232(1)112111x x f x x x x+++===++++， 又22211110122311x x x +≥⇒<≤⇒<+≤++， ∴()f x 的值域为(]2,3，故选：C.【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( )A ．当2x ≥时，1xx+的最小值为2 B ．当0x >时，2≥ C ．当02x <≤时，1x x-无最大值D ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ 【答案】B 【分析】结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可． 【详解】 对于A ，x +1x 在[2，+∞）上单调增，所以x =2时，1x x +的最小值为52，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，2x x+≥，当且仅当x =1时，等号成立，故B 成立； 对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x =2时，1x x-取得最大值，故C 不成立；对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1lg x＜0，结论不成立；规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 考点三 函数单调性的应用【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,1]-∞ B ．(–],e ∞C ．(01]，D ．(0,]e【答案】B 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数a 的取值范围. 【详解】作出32,1()3,1x e x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩的图象：当1x >时，()f x =x e a e a ->-，当1x ≤时，'2()363(2),f x x x x x =-+=--在(),0-∞上'()0,<f x 在 ()0,1上'()0,f x > 则()f x =323x x -+在(),0-∞上单调递减，在 ()0,1上单调递增，又(0)0f = ∴()0f x ≥，函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则0e a -≥， 即a e ≤，故选：B【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数()11xxe f x e -=+（e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用分离常数的方法，将式子化简，可得()211x f x e =-++，根据单调性以及值域，可得结果. 【详解】因为()11211x x x x e e f x e e -+-==-++ 所以()211xf x e =-++， 可知y=x e 是递增的函数，所以2y=1x e +为递减的函数， 则()211x f x e =-++是递减的函数，且0,1x x e >>所以1112,012xxe e +><<+ 则21101x e -<-+<+，所以A 正确 故选：A【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[- D．39[]16- 【答案】A 【解析】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x --=-+≤-x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ．规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”. [思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式. [易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.四、 课时作业1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数()([1,5])y f x x =∈-的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[1,1]-B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[1,5]-【答案】B 【分析】根据递减区间的性质分析即可. 【详解】由图像可得,函数在[1,3]内单调递减.2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．||y x = B ．1y x =-+ C ．23y x x =- D ．2y x=【答案】A 【分析】根据四个函数解析式，依次判断即可得解. 【详解】对于A ，||y x =在(),0-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增，所以A 正确； 对于B ，1y x =-+在R 内单调递减，所以在(0,)+∞内也单调递减，所以B 错误； 对于C ，23y x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以在(0,)+∞内单调递增错误，即C 错误； 对于D ，2y x=在在(0,)+∞内也单调递减，所以D 错误. 综上可知，A 为正确选项，故选：A.3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数性质可得3y x =-，1y x=，24y x =-+在0,1不是增函数，在区间0,1上，y x x ==是增函数. 【详解】()0,1x ∈时， y x x ==，所以y x =在0,1上是增函数；13,y x y x=-=在0,1上均是减函数； 24y x =-+是开口向下以0x =为对称轴的抛物线，所以24y x =-+在在0,1上是减函数，所以A 正确．故选：A4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =- B ．1y x=-C ．1y x =-D ．2yx x【答案】B 【分析】A 选项讲0x >的表达式写出易判断；B 选项注意改变单调性的两个因素：取倒数和加负号，易判断；C 选项一次函数看斜率正负，易判断；D 选项二次函数看对称轴，易判断。
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。
函数的单调性最值(含例题详解)
函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值 M 为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________.解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C 2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________． 答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5l og y u =为()0,+∞上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________． 解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >. 故当()12,,x x k ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在(),k +∞上单调递增．当()12,0,x x k ∈时，()()12f x f x >，即函数在()0,k 上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性，故在(),k -∞-单调递增，在(),0k -上单调递减． 综上，函数f (x )在(),k -∞-和(),k +∞上单调递增，在(),0k -和()0,k 上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2x x －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----， 由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选 B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞) 时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．答案：[0，32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4.三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0， 由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2. 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时， 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f(x)在[－1,1]上单调递增．(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴112111121111xxxx⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x<－1.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
高一数学函数的单调性与最值
§2.2函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数；对∀x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在D 上是增函数．减函数类似．2．写出函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．(×)题组二教材改编2.如图是函数y ＝f (x )，x ∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是()A ．f (x )在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B ．f (x )在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C ．f (x )在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D ．当直线y ＝t 与f (x )的图象有三个交点时－1<t <2答案C3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.题组三易错自纠5．函数f(x)＝12log(－2x2＋x)的单调增区间是________；f(x)的值域是________．答案14，[3，＋∞)6．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．答案[－1,1)解析2≤a＋1≤2，2≤2a≤2，＋1>2a，解得－1≤a<1.7．设函数f(x)x≥1，是单调函数．则a的取值范围是________；若f(x)的值域是R，则a＝________.答案(0,2]2解析当x≥1时，f(x)＝x2＋1x＝x＋1x，则f′(x)＝1－1x2≥0恒成立，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝2，当x<1时，f(x)＝ax，由于f(x)是单调函数，∴f(x)＝ax在(－∞，1)上也单调递增，且ax≤2恒成立，>0，≤2，故a的取值范围为(0,2]，∵当x≥1时，f(x)≥2，由f(x)的值域是R，可得当x＝1时，ax＝2，故a＝2.确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1(1)(2019·郴州质检)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是() A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.(2)设函数f(x)1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．答案[0,1)解析由题意知g(x)x2，x>1，0，x＝1，－x2，x<1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．命题点2判断或证明函数的单调性例2讨论函数f(x)＝axx－1(a>0)在(－∞，1)上的单调性．解方法一∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，f(x)＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1f(x1)－f(x2)＝a 1＋1x1－11＋1x2－1＝a(x2－x1)(x1－1)(x2－1)，由于x1<x2<1，∴x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，1)上单调递减．方法二f ′(x )＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2，∵(x －1)2>0，a >0，∴f ′(x )<0，故a >0时，f (x )在(－∞，1)上是减函数．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．跟踪训练1(1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝12xB ．y ＝2－xC ．y ＝12log x D ．y ＝1x答案A解析y ＝12x ＝x ，y ＝2－x，y ＝12log x ，y ＝1x 的图象如图所示．由图象知，只有y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增．(2)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )的大致图象(如图所示)，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．(3)函数f (x )＝110log (6x 2＋x －1)的单调增区间为________．答案解析由6x 2＋x －1>0得，f (x )|x <－12或x >13由复合函数单调性知f (x )的增区间即y ＝6x 2＋x －1的减区间(定义域内)，∴f (x )∞函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(1)若函数f (x )＝x 2，设a ＝log 54，b ＝15log 13，c ＝152，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (c )>f (a )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )答案D解析因为函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，而0<15log 13＝log 53<log 54<1<152，所以f (b )<f (a )<f (c )．故选D.(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |＋1(m ∈R )为偶函数．记a ＝f (log 22)，b ＝f (log 24)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |＋1(m ∈R )为偶函数，∴m ＝0，∴f (x )＝2|x |＋1，∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )是减函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数．∵a ＝f (log 22)＝f (1)，b ＝f (log 24)＝f (2)，c ＝f (2m )＝f (0)，∴a ，b ，c 的大小关系为c <a <b .命题点2求函数的最值例4(1)函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)(2020·深圳模拟)函数y ＝x 2＋4x 2＋5的最大值为________．答案25解析令x 2＋4＝t ，则t ≥2，∴x 2＝t 2－4，∴y ＝tt 2＋1＝1t ＋1t，设h (t )＝t ＋1t ，则h (t )在[2，＋∞)上为增函数，∴h (t )min ＝h (2)＝52，∴y ≤152＝25(x ＝0时取等号)．即y 最大值为25.命题点3解函数不等式例5(1)已知函数f (x )＝3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案(－2,1)解析根据函数f (x )的图象可知，f (x )是定义在R 上的增函数．∴2－x 2>x ，∴－2<x <1.(2)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是______________．答案(－5，－2)∪(2，5)解析因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得，f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5.命题点4求参数的取值范围例6(1)已知f (x )a －1)x ＋4a ，x ＜1，a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)C.17，D.17，答案C解析由f (x )a －1＜0，＜a ＜1.3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13，∴实数a 的取值范围是17，(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)已知函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案(1,2)解析设u ＝2－ax ，∵a >0且a ≠1，∴函数u在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y＝log a u在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，－a×1>0，－a×0>0，得a<2.综上得1<a<2.思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)(2019·唐山模拟)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f f(1)的实数x 的取值范围是________．答案(－1,0)∪(0,1)解析因为f(x)在R上为减函数，且f f(1)，所以1|x|>1，即0<|x|<1，所以0<x<1或－1<x<0.(2)函数f(x)x≥1，x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.(3)已知函数y＝12log(6－ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．答案[4,5)解析设u＝6－ax＋x2，∵y ＝12log u 为减函数，∴函数u 在[1,2]上是减函数，∵u ＝6－ax ＋x 2，对称轴为x ＝a2，∴a2≥2，且u >0在[1,2]上恒成立．≥4，－2a ＋4>0，解得4≤a <5，∴实数a 的取值范围是[4,5)．1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝1－1x －1()A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减答案B解析f (x )图象可由y ＝－1x图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．3．(2019·沧州七校联考)函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是() A．(3，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)答案A解析＋1>0，－3>0，即x>3，f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5(x＋1)(x－3)，x>3，令t＝(x＋1)(x－3)，则t在[3，＋∞)上单调递增，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是() A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]答案D解析因为f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数，所以a>0，所以0<a≤1.5．已知函数f(x)＝x|x＋2|，则f(x)的单调递减区间为() A．[－2,0]B．[－2,1] C．[－2，－1]D．[－2，＋∞)答案C解析由于f(x)＝x|x＋2|2＋2x，x≥－2，x2－2x，x<－2，当x≥－2时，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，显然，f(x)在[－2，－1]上单调递减；当x<－2时，y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，显然，f(x)在(－∞，－2)上单调递增．综上可知，f(x)的单调递减区间是[－2，－1]．6．(2020·青岛模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x2－2x＋a)<f(x ＋1)对任意的x∈[－1,2]恒成立，则实数a的取值范围为()B．(－∞，－3)C ．(－3，＋∞)答案D 解析依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝＝134，因此a >134，故选D.7．(多选)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则()A ．πe <3eB ．3e －2π<3πe －2C ．log πe<log 3eD ．πlog 3e>3log πe答案CD解析已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，∴π>3>e>2，>1，πe >3e ，故A 错误；∵0<3π<1,0<e －2<1，－2>3π，∴3e －2π>3πe －2，故B 错误；∵π>3，∴log πe<log 3e ，故C 正确；由π>3，可得log 3e>log πe ，则πlog 3e>3log πe ，故D 正确．8．函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．答案(－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析由于y x 2＋2x ＋1，x ≥0，x 2－2x ＋1，x <0，即y (x －1)＋2，x ≥0，(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．9．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－14，0.10．(2019·福州质检)如果函数f (x )＝(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是________．答案32，2解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在R 上是增函数．2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，211．试判断函数f (x )＝x 3－1x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．证明方法一设0<x 1<x 2，f (x )＝x 3－1x＝x 2－1x ，f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 221x 1－1x 2(x 1－x 2x 1＋x 2＋1x 1x 2∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．方法二f′(x)＝2x＋1 x2 .当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)若f(1)＝－23，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0得f(0)＝0，令y＝－x得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在R上是奇函数．(2)证明在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．(3)解∵f(x)是R上的减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3)，而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.13．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析由题意可得，存在正数x使a>x成立．令f(x)＝x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a>－1时，存在正数x使原不等式成立．14．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.15．(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝2021x －2021－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知函数f (x )＝＋a x－a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定实数a 的取值范围．解(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.①当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；②当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；③当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg ＋a x－[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝lg ＋a x －[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．设h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)，则h (x )＝3x －x 2＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.即实数a 的取值范围是(2，＋∞)．。
函数的单调性与最值课件共20张PPT
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－ －fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区 间 D 上单 调递 增
(减).
复习回顾
图象 描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性 变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
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函数的单调性与最值复习:按照列表、描点、连线等步骤画出函数2x y =的图像、图像在y 轴的右侧部分就是上升的,当在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值也随着增大,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时,有1y <2y 、这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上就是增函数、图像在y 轴的左侧部分就是下降的,当x 在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值反而随着减小,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时,有12y y <。
这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上就是减函数、1.函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上就是增函数或减函数,那么称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间.注意:(1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性;(3)函数的单调性就是对某个区间而言的,它就是一个局部概念。
(4)若函数()f x 在其定义内的两个区间A 、B 上都就是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为()f x 在区间A B 上就是增(减)函数、 例如1()f x x=在区间(,0)-∞上就是减函数,在区间(0,)+∞上也就是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞上就是减函数、(3)用定义法判断函数的单调性:①定义域取值;任取x 1,x 2∈D,且x 1<x 2; ②作差;作差f (x 1)－f (x 2);③变形;通常就是因式分解与配方; ④定符号;即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负⑤下结论.指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性例1 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上就是减函数、证明:设1x ,2x 就是(0,+∞)上的任意两个实数,且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞),得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于就是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上就是减函数、练习:讨论函数21)(x x f -=在[-1,0]的单调性、在[-1,0]上任取x 1,x 2且x 1<x 2则2111)(x x f -=,2221)(x x f -= 从而)(1x f -2221211)(x x x f ---== 2221222111)1()1(xx x x -+----=222112122221212211))((11xx x x x x xx x x -+--+=-+--∵21x x < ∴012>-x x 另外,恒有0112221>+++x x ∵-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f )(1x f <)(2x f ∴ 在[-1,0]上f (x )为增函数2、基本函数的单调性例:讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性、解:∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=,对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内就是增函数;若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内就是减函数,在[a,2]内就是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内就是减函数、3、判断函数的单调性的常见结论①设任意x 1,x 2∈[a ,b ],且x 1＜x 2,那么()()210f x f x ->⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;()()210f x f x -<⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.②设任意x 1,x 2∈[a ,b ],那么()()21210f x f x x x ->-⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;()()21210f x f x x x -<-⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.③ (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.例:求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间、4、 关于分段函数的单调性(1)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上就是增函数, ()h x 在区间[],c d 上就是增函数,则()f x 在区间[][],,a b c d 上不一定就是增函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d 上一定就是增函数,需补充条件: ()()g b h c ≤(2)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上就是减函数, ()h x 在区间[],c d 上就是减函数,则()f x 在区间[][],,a b c d 上不一定就是减函数,若使得()f x 在区间[][],,a bc d 上一定就是减函数,需补充条件: ()()g b h c ≥例:已知函数()(0)(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<⎨-+≥⎩＝若对任意x 1,x 2,都有()()21210f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围就是( )A.(0,14] B.(0,1) C.[14,1) D.(0,3)5.函数的最值例:f(x)＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________;f(x)max ＝________、6、利用函数的单调性求最值例题:已知函数f (x )对于任意x ,y ∈R ,总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ),且当x ＞0时,f (x )＜0,f (1)＝－23、(1)求证:f (x )在R 上就是减函数; (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值与最小值.(1)证明:令0x y ==,则(0)0f =;再令y x =-,则应有()()f x f x -=-,从而在R 上任取12x x >,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-、1212,0.x x x x >∴->又0x >时,()0f x <,从而12()0f x x -<,即12()()f x f x <,由定义可知函数()f x 在R 上的减函数、 (2)函数()f x 就是R 上的减函数,()f x ∴在区间[3,3]-上也就是减函数、从而可知在区间[3,3]-上,(3)f -最大,(3)f 最小、2(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)3()2,3f f f f f f f =+=++==⨯-=-(3)(3) 2.f f ∴-=-=即()f x 在[3,3]-上的最大值为2,最小值为－2、练习:已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f (yx)＝f (x )－f (y )、,且当x ＞1时,f(x)＜0、 (1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2、(1)f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。
(2)当0 < y < x 时,x/y > 1,所以f(x) - f(y) = f(x/y) < 0 。
故f 单调减。
(3)f(3) = -1,f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3),f(9) = -2而 f(｜x ｜)＜-2 = f(9),且f(x)单调减,所以| x | > 9, x ＞9或x ＜-97、导数与函数的单调性(1)导数的几何意义:函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率就是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-(2)函数的导数与函数的单调性的关系:设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内/y >0,那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数;如果在这个区间内/y <0,那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。
(3)几种常见函数的导数①'C 0=;②1')(-=n n nxx ;③xx e e =')(;④xx 1)(ln '=(4)导数的运算法则①'''()u v u v ±=±、 ②'''()uv u v uv =+、 ③'''2()(0)u u v uv v v v -=≠、8、 求可导函数的单调区间的一般步骤与方法:①确定函数()f x 的定义域; ②计算导数'()f x ,③令'()0f x >,解此不等式,求出递增区间; 令'()f x <0,解此不等式,求出递增区间;例:函数32()31f x x x =-+就是减函数的区间为( ) (Ａ)(2,)+∞ (Ｂ)(,2)-∞ (Ｃ)(,0)-∞ (Ｄ)(0,2) 答案:D解析:22'36,360,0 2.y x x x x x =--<<<令解得练习:(1)函数x x x f ln 2)(2-=的单调减区间就是__________、答案:]1,0(解析:首先考虑定义域0)1(222)(),,0(2≥-=-='∞+xx x x x f 由及0>x 知10≤<x ,(2)求函数()(0)bf x x b x=+>的单调区间,并绘出图像。
解: 函数定义域为).)((11)(,022b x b x xx b x f x +-=-='≠令0)(>'x f ,得b x >或b x -<.∴函数)(x f 的单调递增区间为),(b --∞与),(+∞b ; 令0)(<'x f ,得b x b <<-且0≠x ,∴函数)(x f 的单调递减区间就是)0,(b -与),0(b .基础练习:1、 在区间)0,(-∞上为增函数的就是( ) A.1=yB.21+-=xxyC.122---=x x yD.21x y +=答案:B 提示:A 为常函数, C 在(,1)-∞-上就是增函数,在(1,0)-上就是减函数,而D 在区间)0,(-∞上为减函数、2、 在区间(0,＋∞)上不就是增函数的函数就是 ( )A.y =2x ＋1B.y =3x 2＋1C.y =x2D.y =2x 2＋x ＋1答案:C3、 函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2,＋∞］上就是增函数,在区间(－∞,－2)上就是减函数,则f (1)等于 ( )A.－7B.1C.17D.25答案:D4、 已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上就是增函数,则a 的范围就是( ) A. 2a ≤- B.2a ≥- C.6-≥a D.6-≤a 答案:B 提示:对称轴2,24,2x a a a =--≤≥-、5、函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次就是( )A.]1,(],0,(-∞-∞ B.),1[],0,(+∞-∞C.]1,(),,0[-∞+∞D 、 ),1[),,0[+∞+∞答案:D 6、 函数)(x f 在),(b a 与),(d c 都就是增函数,若),(),,(21d c x b a x ∈∈,且21x x <那么( ) A.)()(21x f x f < B.)()(21x f x f > C.)()(21x f x f = D.无法确定答案:D7、 函数f (x )在区间(－2,3)上就是增函数,则y =f (x ＋5)的递增区间就是 ( )A.(3,8)B.(－7,－2)C.(－2,3)D.(0,5)答案:B8、 已知函数f (x )在区间[a ,b ]上单调,且f (a )f (b )＜0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]内( ) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根 答案:A9、 已知函数()(0)(3)1(0)x a x f x a x a x ⎧<⎨++-≥⎩＝若对任意x 1,x 2,都有()()21210f x f x x x ->-成立,则实数a 的取值范围就是( )A.(1,)+∞B.(3,)-+∞C.[2,)+∞D.(1,2)答案:C10、设x 1,x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题:①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0; ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0; ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0;④f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0、其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________、(填序号)11、函数y =的递减区间就是答案:(-∞,-3) 提示:借助复合函数的单调性加以判断、12、已知函数y ＝f (x )在R 上就是减函数,A (0,－2)、B (－3,2)在其图象上,则不等式－2<f (x )<2的解集为______________________、综合练习:1、已知函数f (x )就是R 上的增函数,A(0,－1)、B(3,1)就是其图像上的两点,那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集就是 ( ) A.(－1,2) B.(1,4) C.(－∞,－1)∪[4,＋∞) D.(－∞,－1)∪[2,＋∞)2、 已知函数f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围就是 ( ) A 、(－1,1)B 、(0,1)C 、(－1,0)∪(0,1)D 、(－∞,－1)∪(1,＋∞)3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4xx ≥04x －x 2x <0、若f (2－a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围就是( )A.(－∞,－1)∪(2,＋∞)B.(－1,2)C.(－2,1)D.(－∞,－2)∪(1,＋∞)解析:f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4x ≥04x －x 2＝－(x －2)2＋4x <0由f (x )的图象可知f (x )在(－∞,＋∞)上就是单调递增函数,由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ,即a 2＋a －2<0,解得－2<a <1、故选C 、4、已知)(x f 在实数集上就是减函数,若0≤+b a ,则下列正确的就是( ) A.)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+ B. )()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C.)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+ D.)()()()(b f a f b f a f -+-≥+答案:D 提示:0,,a b a b b a +≤∴≤-≤-且)(x f 在实数集上就是减函数,从而知()(),()()f a f b f b f a ≥-≥-,从而选D 、5、 f (x )就是定义在(0,+∞)上的增函数,且f (yx)＝f (x )－f (y )、 (1)求f (1)的值;(2)若f (2)＝1,解不等式f (x +3)－f (x1)＜2、 【解】(1)令0y x =≠,从而得f (1)=()()0f x f x -=;(2)∵4(2)()(4)(2)2f f f f ==-,(4)2(2)2f f ∴==.因为f (x )就是定义在(0,+∞)上的增函数,所以原不等式f(x+3)－(x 1)＜f(4)⇔23010(3)(4)x x f x x f +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩ ⇔2301034x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩解得41x -<<.从而原不等式的解集为(4,1).-6、 函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时,f(x)＞1、 (1)求证:f(x)就是R 上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3、函数的单调性与求函数的最值(1)设x1,x2∈R ,且x1＜x2, 则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1、 f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0、∴f(x2)＞f(x1)、即f(x)就是R 上的增函数、(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴原不等式可化为f(232m m --)＜f(2), ∵f(x)就是R 上的增函数,∴232m m --＜2, 解:4m 3-1＜＜ 、。