高中数学必修四正弦余弦函数图像与性质
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正弦、余弦、正切函数图象及其性质
函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。
2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。
当ω＜0时，要特别注意。
如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。
3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
x 10, 3 2 , 0, 2 , 3
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
人教版高中数学必修4A版正弦函数余弦函数的图像课件
（ 3 /2 ，-1），（2 ，0）
五个点：
x
y
0
0
y
π 2
π
3π 2
2π
1
0
-1
0
y=sinx(x∈[0,2π])
0
x
思考：你能根据诱导公式，以正弦函数的图 象为基础，通过适当的变形得到余弦函数的 图象吗？ sin(π/2+x)=cosx
y
y=cosx
y=sinx
0
x
余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平行移动/2个单位长度而得到
y=sinx
x
y=cosx y=-cosx
例1.画出下列函数的图象 (1)y=1+sinx，(x∈[0,2π]) (2)y=-cosx ，(x∈[0,2π]) y
0
1
π 2
π
3π 2
2π
0
-1
0
1
-1
0
-1
0
-1
y=cosx
0 x
从图象变换的角度出发， 利用y=sinx的图象如何得 到y=1+sinx的图象的？
y=f(x)────→y=-f(x)
y=f(x)────→y=-f(-x)
一、复习引入
三角函数线：1、三角函数的一种几何表示法；
2、用有向线段的长度来表示三 角函数值的大小，方向表示三角 函数的符号的一种方法。
一、复习引入
正弦线、余弦线：
设任意角的终边与单位圆相交于点P，过P作X 轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP叫做角的 正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线。
y=-cosx
三、小结
通过本节学习，要了解如何利用单位圆中
的正弦线作正弦函数的图象，并在此基础上由
高中数学必修四《正弦函数、余弦函数的图像》PPT
2
2
-1
3
2
x
2
〖练习 〗 画出函数y=-cosx，x[0, 2]的简
图.
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
0
1
0
-1
y
1
o
2
2
-1
3
2
x
2
y= - cosx，x[0, 2]
归纳与整理
1. 正弦曲线、余弦曲线
几何画法 五点法(画简图)
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
其中“五点法”最常用，要牢记五个关键点的 坐标。
课堂延伸 思考1、你能否从正弦函数、余弦函数 的图象发现函数的哪些性质呢？
思考2、在同一坐标系中画出函数 y=sinx ，x∈[0,2π]与y=cosx ，x∈[0,2π] 的图象，你还能发现什么？
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) 2 ,0)
x
3
0
2
2
2
sinx
0
1
0
-1
0
【正弦函数、余弦函数的图象】
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
正弦函数的图象
关系？
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象 y
-4 -3
正弦函数余弦函数的图像和性质
函数 y sin x, x R 的图象。
y
1_
4 3 2 o
_
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
2
3
正弦曲线
4 x
3.函数 y cos x, x R 的图象:
由诱导公式 y cos x sin( x )可以看出：
余弦函数
y
cos
x,
x
R
与函数
2
y
sin(
x
2
),
x
R
是同一个函数。余弦函数的图象可通过将正弦曲线向左
1 0 1 2 3
y
y x2 2x 3 0 1 0 3
(2) 描点 (3)连线
1
.. 2 1 0 1. 2 x
返回
1.能否用描点法作函数 y sin x, x 0,2 的图象?
只要能够确定该图象上的点 (x,sin x) 的坐标，就可以
x 用描点法作出函数图象。而该图象上点的坐标可通过
的值查三角函数表得到。
故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
3、y 2sin( 1 x ) x∈R
26
解：令 z 1 x ，那么x∈R必须并且只要
26
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
于
z 2
1
x
2
1 (x 4 ) 。所以自变量z只
图象的最高点(
2
,1)
y sin x, x 0,2 图象与x轴的交点(0,0)( ,0) (2 ,0)
图象的最低点(
3 2,
1)
图象的最高点(0,1)(2 ,1)
y cos x, x0,2
y
1_
4 3 2 o
_
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
2
3
正弦曲线
4 x
3.函数 y cos x, x R 的图象:
由诱导公式 y cos x sin( x )可以看出：
余弦函数
y
cos
x,
x
R
与函数
2
y
sin(
x
2
),
x
R
是同一个函数。余弦函数的图象可通过将正弦曲线向左
1 0 1 2 3
y
y x2 2x 3 0 1 0 3
(2) 描点 (3)连线
1
.. 2 1 0 1. 2 x
返回
1.能否用描点法作函数 y sin x, x 0,2 的图象?
只要能够确定该图象上的点 (x,sin x) 的坐标，就可以
x 用描点法作出函数图象。而该图象上点的坐标可通过
的值查三角函数表得到。
故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
3、y 2sin( 1 x ) x∈R
26
解：令 z 1 x ，那么x∈R必须并且只要
26
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
于
z 2
1
x
2
1 (x 4 ) 。所以自变量z只
图象的最高点(
2
,1)
y sin x, x 0,2 图象与x轴的交点(0,0)( ,0) (2 ,0)
图象的最低点(
3 2,
1)
图象的最高点(0,1)(2 ,1)
y cos x, x0,2
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦函数、余弦函数的图像和性质
-
图象的最高点 图象的最高点 与x轴的交点 轴的交点
x
1-
( 0 ,1 ) (2π ,1)
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,−1) 图象的最低点
-
应用“ 例1.应用“五点法”作图。 应用 五点法”作图。
π
π
例2.分别利用函数的图像和三角函数 先两种方法，求下列不等式的解集：
1 (1) sin x ≥ ; 2 1 5π (2) cos x ≤ (0 < x ≤ ); 2 2
例3.判断y = cos x + 1, x ∈ [0,2π ]与下列 直线交点的个数： 3 （ ）y = 2; (2) y = ; (3) y = 0. 1 2
图
y
1-
数、 图
数
图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
π
-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
图象的最低点 (32 ,−1 图象的最低点 π )
简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
图象的最高点 图象的最高点 与x轴的交点 轴的交点
x
1-
( 0 ,1 ) (2π ,1)
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,−1) 图象的最低点
-
应用“ 例1.应用“五点法”作图。 应用 五点法”作图。
π
π
例2.分别利用函数的图像和三角函数 先两种方法，求下列不等式的解集：
1 (1) sin x ≥ ; 2 1 5π (2) cos x ≤ (0 < x ≤ ); 2 2
例3.判断y = cos x + 1, x ∈ [0,2π ]与下列 直线交点的个数： 3 （ ）y = 2; (2) y = ; (3) y = 0. 1 2
图
y
1-
数、 图
数
图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
π
-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
图象的最低点 (32 ,−1 图象的最低点 π )
简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
1.4.2正弦函数余弦函数的性质-(必修四-数学-优秀课件)
第15页，共26页。
归纳总结
一般地，函数 y Asin(x )及 y Acos(x ) （其中 A,,为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T 2
若 0 则 T 2
第16页，共26页。
练习. 求下列函数的周期：
(1) y sin 3x, x R;(2) y cos x ;
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cos x(x R)
第25页，共26页。
函数 图形
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
2
5 2
x
定义域 值域
最值
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
单调性
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇偶性
奇函数
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
…
0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2] k],kZ
其值从-1增至1
Байду номын сангаас
减区间为
[
2
+22k，,
33
2
+]2k],kZ
其值从 1减至-1
第20页，共26页。
余弦函数的单调性
高中数学课件-正弦余弦函数的图象和性质
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
y
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
1-
-
-
6
4
-
-
2
o
2
-
-
4
6
-
x
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 ,……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
-
y cos x, x ? R (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点 )
1-
余弦函-1 -数
图象的最高点 (0,1)
与x轴的交点的图(2,1象)
-
6
-
4
-
2 24-3--o119-- 29244--33--92999
-
-
4
-
6
x
-
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3
5
11
2
2
3
6
(
如何作出简图? 有什么性质特征?
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
正弦函数 y sin x, x R 的图象
它们的形状相同，且都夹在两 条平行直线y=1与y=-1之间。 但它们的位置不同，正弦曲线 交y轴于原点，余弦曲线交y轴
于点（0，1）.
1-
-
-
-
-
-
-
6
4
2
o
2
-
4
6
x
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
y
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
1-
-
-
6
4
-
-
2
o
2
-
-
4
6
-
x
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 ,……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
-
y cos x, x ? R (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点 )
1-
余弦函-1 -数
图象的最高点 (0,1)
与x轴的交点的图(2,1象)
-
6
-
4
-
2 24-3--o119-- 29244--33--92999
-
-
4
-
6
x
-
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3
5
11
2
2
3
6
(
如何作出简图? 有什么性质特征?
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
正弦函数 y sin x, x R 的图象
它们的形状相同，且都夹在两 条平行直线y=1与y=-1之间。 但它们的位置不同，正弦曲线 交y轴于原点，余弦曲线交y轴
于点（0，1）.
1-
-
-
-
-
-
-
6
4
2
o
2
-
4
6
x
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
高中数学必修4(1.4.2正弦函数、余弦函数的性质)PPT课件
∴函数 y2sin1x(),x.正弦函数、余弦函数的性质
例1) 3y.求s下in列( x函数的)周期：
3 2) y cos 3x
3) y 3 sin ( 1 x ), x R 一般
35
结论：
函 数 yAsin(x)及 yAcos(x),xR (A,,为 常 数 ,A0,. 0)的 周 期 T2 8
.
15
结论：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶 函数
.
9
正弦、余弦函数的图象和性质
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
.
5 6 x
5 6 x
10
正弦、余弦函数的奇偶性
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
.
6
例：求下列函数的周期 ( 1 ) y 3 cx ,o x R s( 2 ) y s2 x i ,x n R ( 3 ) y 2 s1 i x n ) 26 解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
人教版高中数学正弦函数、余弦函数的图像(共21张PPT)教育课件
0
1
0
-1
0
y=-sin x
0
-1
0
1
0
描点得y=-sin x的图象
y y=sin x x∈[0,2π]
1
． ． ．π
0
2
-y1=-sin x x∈[0,2π]
． ． 3
2
2π
x
(2) 列表:
x
0
2
y=sin x
0
1
3
2
2
0
-1
0
y=1+sin x
1
2
1
0
1
描点得y=1+sin x的图象 y=1+sin x x∈[0,2π] y
图象的最低点(
3
2,
1)
图象的最高点(0,1) (2,1)
y co x ,x s0 ,2
图象与x轴的交点(
2
,0)
(
3 2
,0)
图象的最低点(,1)
三、例题分析
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
解 (1)列表:
x
0
3
2
2
2
y=sin x
y
1
4
3
2
7
5
3
2
2
2
0
2
2
-1
2
3 2
3
4
5
7
x
2
2
y=sin x, x∈R
3.函数 ycox,sxR的图象:
由诱导公式 ycoxssinx () 可以看出：
(优秀经典)1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件新人教A版必修4
③用___光__滑__的__曲__线___顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图． y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向__左____、__右____平行移动(每次 2π 个单位长度)， 就可以得到正弦函数 y＝sinx，x∈R 的图象．
3．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫 做_正__弦_____曲线和余__弦______曲线． (2)图象：如图所示．
[解析] (1)列表
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
sinx－1
－1
0
－1
－2
－1
描点，连线，如图
(2)列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
2＋cosx
3
2
1
2
3
描点连线，如图
『规律总结』 用“五点法”画函数 y＝Asinx＋b(A≠0)或 y＝Acosx＋b(A≠0)
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝ cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分 对称到x轴的上方．如图(2)所示．
『规律总结』 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本 例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的 图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于 y轴对称．
3．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫 做_正__弦_____曲线和余__弦______曲线． (2)图象：如图所示．
[解析] (1)列表
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
sinx－1
－1
0
－1
－2
－1
描点，连线，如图
(2)列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
2＋cosx
3
2
1
2
3
描点连线，如图
『规律总结』 用“五点法”画函数 y＝Asinx＋b(A≠0)或 y＝Acosx＋b(A≠0)
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝ cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分 对称到x轴的上方．如图(2)所示．
『规律总结』 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本 例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的 图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于 y轴对称．
6.1(3)正弦函数和余弦函数的图像和性质
2、一般地，函数 y=asinx+bcosx可以 化简为:
(3) y 3 sin x cos x
(4) y 2 sin x 3 sin x 2 (5) y sin x 3 sin x cos x
y a b sin x
2 2
3、换元法
4、降次公式法
2
三、例题与练习
例1 、 求函数 y 2 sin(3x )的最大值和最小值， 3 并求使其取得最大值、 最小值的x的集合． 2k 解：当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymin 2 3 2k 7 当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymax 2 2k 7 取得最大值的x的集合是{x x ，k Z }； 3 18 2k 取得最小值的x的集合是{x x ，k Z }． 3 18
6 并求使其取得最大 值和最小值的x的集合． 解：当2 x 2k 即x k (k Z )时，ymin 2
6 12 5 ymax 4 当2 x 2k 即x k (k Z )时， 6 12 5 取得最大值的x的集合是{x x k ，k Z }； 12 取得最小值的x的集合是{x x k
ex1、求y 1 3 cos(2 x
)的最大值和最小值，
12
，k Z }．
例2、 求下列函数的值域． 2 2 (1) y sin x cos x (2) y sin x cos x
1、将函数化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) 的形式即可求出函 数的最值或值域．
(3) y 3 sin x cos x
(4) y 2 sin x 3 sin x 2 (5) y sin x 3 sin x cos x
y a b sin x
2 2
3、换元法
4、降次公式法
2
三、例题与练习
例1 、 求函数 y 2 sin(3x )的最大值和最小值， 3 并求使其取得最大值、 最小值的x的集合． 2k 解：当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymin 2 3 2k 7 当3x 2k 即x (k Z )时， 3 2 3 18 ymax 2 2k 7 取得最大值的x的集合是{x x ，k Z }； 3 18 2k 取得最小值的x的集合是{x x ，k Z }． 3 18
6 并求使其取得最大 值和最小值的x的集合． 解：当2 x 2k 即x k (k Z )时，ymin 2
6 12 5 ymax 4 当2 x 2k 即x k (k Z )时， 6 12 5 取得最大值的x的集合是{x x k ，k Z }； 12 取得最小值的x的集合是{x x k
ex1、求y 1 3 cos(2 x
)的最大值和最小值，
12
，k Z }．
例2、 求下列函数的值域． 2 2 (1) y sin x cos x (2) y sin x cos x
1、将函数化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) 的形式即可求出函 数的最值或值域．
人教A版高中数学必修四课件正弦余弦函数的图象和性质3.ppt
2 时 ，y取 得
最
小
值 －1
2
余弦函数y=cosx的图象 y
-
1-
-
6
4
-
-
2
o
2
-
-
4
6
-
x
-1-
当且仅当x＝2k时，y取得最大值1 当且仅当x＝2k 时，y取得最小值 1
例1、 不 求 值 ， 比 较 下 列 各式 的 大 小 。
（1）sin（ ） 和sin（ ） ；
18
10
（2）co（s 23 ） 和co（s 17 ） ；
23
(4)求f (x) sin（1 x ）, x 0，2 的值域。
23
练习
1、 比 较 大 小 ：
（1）sin（ 54 ）与sin（ 63 ）
7
8
（2）cos 4， cos 5 ， sin 7
4
6
2、 求 函 数y 4 sin(2 x )， 当x [0， ]
4 时 的 单 调 增 区 间.
3、求函数y 2sin（ x）的单调增区间。
4
小结
1、判断函数的单调性，可利用定义、可观察图象， 还可考虑复合函数的单调性。 2、利用函数的单调性判断三角函数值的大小
方法：可利用诱导公式将角转化到三 角函数 的同一个单调区间内
5
4
（3）cos4和cos 5 ；
4 （4）s in1和 s in 2
例 2、(1)求函数 f ( x) sin（1 x ）的单调增区间；
23
(2)求函数 f ( x) sin（1 x ）, x 0，2 的单调增区间
23
(3)求f (x) sin（1 x ）的最值及相应的x的集合；
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2
32
5
6
O1
7
6
4
3
3
2
y
Байду номын сангаас
终点连结起来
3
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
●
2 0 2 5
●
x
11
6 32 3 6
●
●
5
6
-1
●
●
●
3
终边相同角的三角函数值相等
即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y sin x (x [0, 2 ]) 利用图象平移
y sin x, x R
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
二、余弦函数y=cosx的图象
y
余弦曲线
1
x
-1
y cos x sin( x)
2
余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移
2
个单位长度而得到．
正弦曲线：y sin x x R y
正弦函数、余弦函数的图象
X
温故
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
-1
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有 向线段！
一、正弦函数y=sinx的图象
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描点：用光滑曲线 将这些正弦线的
x
用“五点法”画出函数y= cosx，x[0, 2]的简图
令2x=X用整体替换思想
用“五点法”画出函数 y= cos2x，x[0, 2]的简图：
练习： 画出函数y= cos2x，x[0, 2]的简图：
x
0
4
2x
0
2
2
3 4
3
2
2
cos2x 1
0
-1
0
1
y
y= cos2x，x[0, 2]
1
o
2
1-
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 y cos x, x [0, 2 ] 的图象上, 起关键作用的点有：
最高点：
(0,1) (2 ,1)
最低点： ( , 1)
与x轴的交点： ( 2 , 0)
(3 , 0)
2
用五点法画出正弦函数、余弦函数在[0, 2]的简图
课后作业：用“五点法”作下面函数的图象。 1、y=sin(x+1), x∈ [ 0,2π] 2、y=2sinx, x ∈[ 0,2π] 3、y=cos2x, x ∈[ 0,2π]
关键是把“五点”找准，并想一想 找 “五点”有什么规律？
2
-1
3
2
x
2
正弦、余弦函数的图象
几何画法
小 1. 正弦曲线、余弦曲线 五点法 结
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
思考：观察正弦曲线、余弦曲线，你能从图像上发现它们的性质吗？ （如定义域、值域、单调性？）
正弦、余弦函数的图象
1
-1
正弦曲 线
x
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦曲线：y cos x
y
xR
1
形状完全一样 只是位置不同
-1
x
余弦曲 线
三、正、余弦函数的简图
y
y sin x x [0, 2 ]
1-
五点画图法
-
-1
o
6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点：
( ,1) 2
最低点：
(
3
2
,1)
与x轴的交点： (0, 0) ( , 0)
在精度要求不 高的情况下， 我们可以利用 这5个点画出
(2 ,0)函数的简图。
y
y cos x x [0, 2 ]
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
例1 用“五点法”画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图 ：
x
0
sinx
0
1+sinx 1
y 2 1
o
2
2
-1
3
2
2
1
0
-1
2
1
0
y=1+sinx，x[0, 2]
3
2
2
2
0 1
步骤： 1.列表 2.描点 3.连线