合肥市高三上学期期末数学试卷A卷

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数学名校-安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期教学质量检测(11月)数学试题

A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.如图是函数的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且的面积等于，则下列说法正确的是（）
A.函数的最小正周期为
B.函数图象关于直线对称
C.函数图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D.函数与在上有2个交点
11.已知函数及其导函数的定义域均为R，若，且是奇函数，令，则下列说法正确的是（）
A.函数是奇函数B.
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知幂函数在上单调递减，则 ______.
13.已知，且，则 ________．
14.设函数，下列说法正确的有________．
7.已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8.已知正数x，y满足，则的最小值为（）
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）
18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A取值的范围；
（2）若，求周长的最ຫໍສະໝຸດ 值；（3）若，求的面积．
19.已知函数，其中 .
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（3）讨论函数在上零点的个数.
第一学期高三年级教学质量检测

安徽省合肥市六校联盟2024届高三上学期期末数学试题含答案

合肥市普通高中六校联盟2024届高三第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃=A.{1} B.{12}， C.{0123}，，， D.{10123}-，，，，【答案】C 【解析】【详解】试题分析：集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{1,2,3}A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A.1B.5C.7D.25【答案】B 【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．3.已知向量()()1,3,2a m b ==- ，，且()a b b +⊥，则m =A.−8B.−6C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=- ，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l ⊂α，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.5.若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A.x=26k ππ-（k ∈Z ）B.x=26k ππ+（k ∈Z ）C.x=212k ππ-（k ∈Z ）D.x=212k ππ+（k ∈Z ）【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．6.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7.若2233x y x y ---<-，则（）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为（）A.eB. C. D.2e【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数()f x 的解析式，再利用基本不等式可求得()f x 的最小值.【详解】因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()e e x x f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3e x x f x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知,,a b c ∈R ，则（）A.若0a b >>，则11a b> B.若22ac bc >，则a c b c ->-C.若0a b >>，则a b>> D.若1a b <<，则11a b a b <--【答案】BC 【解析】【分析】由列举法可判断A 项错误；由不等式性质可判断BC 正确；由作差法可判断D 项错误.【详解】对于A ，若0a b >>，令2a =，1b =，则112a =，11b=，11a b <，故A 错误；对于B ，显然20c >，则a b >，则a c b c ->-，故B 正确；对于C ，因为0a b >>1=>，所以a >b >，即a >b >，故C 正确；对于D ，(1)(1)11(1)(1)(1)(1)a b a b b a b aa b a b a b -----==------，因为1a b <<，所以10a -<，10b -<，0b a ->，故0(1)(1)b a a b ->--，即11a ba b >--，故D 错误．故选：BC10.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.1212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.6f x π⎛-⎫⎪⎝⎭为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】首先根据函数的图象求A 的值；然后根据()03f =求ϕ的值；根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和32T π<求出2ω=，从而可求出函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后再逐个判断选项即可.【详解】由图知2A =，由()02sin 3f ϕ==，得3sin 2ϕ=，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=，由233k πωπππ+=+得26k ω=+，又32T ππω<=，所以3ω<，所以2ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故T π=，选项A 正确；又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12x π=为函数的一条对称轴，故选项B 正确；由222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ，()f x 在7,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 错误；2sin 22sin 2663f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，故D 正确.故选：ABD .11.已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l 的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2<d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r =，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.12.已知{}n a 是等差教列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.10a d >B.10a d < C.40dS > D.40dS <【答案】BD 【解析】【分析】由3a ，4a ，8a 成等比数列，求得153a d =-，再求得4S ，从而判断14,a d dS 与0的关系.【详解】由3a ，4a ，8a 成等比数列知，2111(3)(2)(7)a d a d a d +=++，化简得153a d =-，（0d ≠），则21503a d d =-<，故A 错误，B 正确；4152464()633S a d d d d =+=⨯-+=-，故24203dS d =-<，故C 错误，D 正确；故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)yx b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.【解析】【分析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得222431b-=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.14.已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f⎡⎤=⎣⎦，则=a ___________.【答案】2【解析】【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【详解】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2.15.若3sin sin (cos cos )3αββα+=-，且(0,π),(0,π)αβ∈∈，则αβ-=________．【答案】2π3【解析】【分析】由已知，可以和差化积可得2sincos 2sin sin 22322αβαβαββα+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而tan2αβ-=，可求值.【详解】因为(0,π),(0,π)αβ∈∈，所以sin sin 0αβ+>，又3sin sin (cos cos )3αββα+=-，所以cos cos 0βα->，又cos y x =在()0,π上单调递减，所以βα<，则0παβ<-<，所以π022αβ-<<，由已知可得2sin cos 2sin sin 22322αβαβαββα+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan2αβ-=，所以π23αβ-=，所以2π3αβ-=.故答案为：2π3.16.已知90ACB ∠=︒，M 为平面ABC 外一点，M C ，点M 到ACB ∠两边,AC BC ，那么M 到平面ABC 的距离为__________．【答案】1【解析】【分析】通过空间垂直关系的转化，找到点M 在平面ABC 内的射影在ACB ∠的平分线上，利用勾股定理即可得解.【详解】作,MD ME 分别垂直于,AC BC ，MO ⊥平面ABC ，连CO ，知,CD MD CD MO ⊥⊥，=MD OD M ，MD ⊂平面MDO ，MO ⊂平面MDO ，CD \^平面MDO ，OD ⊂平面MDO ，CD OD ∴⊥，又CD DM ⊥，==MD ME M C所以1CD ==，同理1,CE =所以Rt Rt CDO CEO ，则CO 为ACB ∠平分线，45OCD ︒∴∠=，1,OD CD OC ===，又M C ，1MO ∴==．故答案为：1四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-．（1）求角B ；（2）若2b =，ABC ，求ABC 的周长．【答案】（1）π3（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理实现边角互化，求出cos B 的值即得；（2）利用三角形面积公式和余弦定理建立边的关系，整体求得a c +即得.【小问1详解】因()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-，由正弦定理得，()()()a c c a b a b -=+-，化简得：222a c b ac +-=，由余弦定理得，2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因0πB <<，故π3B =.【小问2详解】由ABC 1πsin 23ac =4ac =，由余弦定理，22π2cos 43a c ac +-=，即：224a c ac +-=，从而，222()()316a c a c ac ac +=+-+=，则4a c +=.故ABC 的周长为：42 6.a b c ++=+=18.已知函数()()e 1,R x f x x a a =+∈．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若2()f x x ≥在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2y x=（2）)2e ,∞-⎡+⎣【解析】【分析】（1）由给定条件求出()f x 的导数，进而求得切线斜率即可得解；（2）分离参数得1e x x a -≥，设1()e x x g x -=，利用导数得2max ()(2)e g x g -==，可得a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()()1x f x x e =+，()()e 11x f x x '=++，则(0)2f '=，而(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =；【小问2详解】(0,)∀∈+∞x ，由2()f x x ≥，得1ex x a -≥，设1()e xx g x -=，则2()e x x g x -'=，令2()0e x x g x -'==，得2x =，则()0,2x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()2,x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故2max ()(2)e g x g -==，故2e a -≥,即实数a 的取值范围为)2e ,∞-⎡+⎣.19.如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF 交CD 于点G ，其中2DG DE DF ==，．（1）证明：平面AEF ⊥平面ABCD ；（2）判断母线BC 上是否存在点P ，使得直线PE 与平面AEF 所成的角的正弦值为45，若存在，求CP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）存在，4CP =.【解析】【分析】（1）将面面垂直转化为EF ⊥平面ABCD ，根据圆和圆柱的性质可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量可解.【小问1详解】由题意可知：在下底面圆中，CD 为直径．因为DE DF =，所以G 为弦EF 的中点，且EF CD ⊥．因为,,、EF AD AD CD D AD CD ⊥⋂=⊂平面ABCD ．所以EF ⊥平面ABCD ，因为EF ⊂平面AEF ．所以平面AEF ⊥平面ABCD ．【小问2详解】分别以下底面垂直于DG 的直线、、DG DA 为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系如图所示．因为2DG =，底面圆半径为3，所以EG FG ==．则(0,0,6),2,0),(2,0)A E F -，设(0,6,)(06)P m m <≤．所以6),(6),()AE AF EP m =-=--=- ，设平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =．由00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：260260y z y z ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩即：03x y z =⎧⎨=⎩令1z =则(0,3,1)m =．设直线PE 与平面AEF 所成的角为θ，所以||4sin |cos ,|5||||m EP m EP m EP θ⋅=<>==⋅ ，解得4m =，所以存在点P ，使得直线PE 与平面AEF 所成的角的正弦值为45，CP 的长为4．20.已知函数()22sin cos 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象向右平移π6个单位长度得到()g x 的图象，若π22127g θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ的值．【答案】（1）πT =（2）1114【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得πcos 671θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据6si ππsin n 6θθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦计算可得.【小问1详解】因为()22sin cos 1f x x x x =+-1cos 21x x =-+-132cos 2sin222x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】将函数()f x 图象向右平移π6个单位长度得到()πππ2sin 22sin 22cos 2662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则πππ22cos 22cos 21221267g θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以πcos 671θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,663θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 67θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以6s πin πππππsin sin cos cos sin 66666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111727214=⨯-⨯=.21.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*11,2,N n n n a S a a n ==+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)2nn n n n b a a +-=，求数列{}n b 的前n 项和n T 【答案】（1）n a n=（2）1221n n T n +=-+【解析】【分析】（1）利用1nn n a S S -=-整理可得1n n a a -=-（舍）或11n n a a --=，即可根据数列类型求出通项公式；（2）利用裂项相消法即可求出.【小问1详解】因为22n n n S a a =+，0n a >，当1n =时，11a =，当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，则1n n a a -=-(舍)，或11n n a a --=，所以11n n a a --=时，{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以()111n a n n =+-⨯=；【小问2详解】因为n a n =，所以()11(1)2(1)22211n n n nn n n n n b a a n n n n++--===-++，所以2324311222222222221324311n n n n T n n n ++=-+-+-++=-++ .22.已知函数()ln(1),R f x x a x a =-+∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：对于任意正整数n ，都有11111ln(21)35212n n ++++>+-L ．【答案】22.答案见解析23.证明见详解.【解析】【分析】(1)由1()1x a f x x +-'=+，又()f x 的定义域为(1,)-+∞，讨论1a -与1-的大小关系，即可判定函数的单调性；(2)当1a =时，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()(0)f x f ≥，即()ln 10x x -+≥，对于任意正整数n ，令221x n =-，有()()22ln 1ln 21ln 212121n n n n ⎛⎫>+=+-- ⎪--⎝⎭，即可得证．【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()111a x a f x x x +-'=-=++，若0a ≤，当()1,x ∞∈-+，则()0f x '>，所以()f x 在()1,∞-+上单调递增；若0a >，当()1,1x a ∈--，则()0f x '<，所以()f x 在()1,1a --上单调递减；当()1,x a ∞∈-+，则()0f x '>，所以()f x ()f x 在()1,a ∞-+上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在()1,∞-+上单调递增；当0a >时，()f x 在()1,1a --上单调递减，()f x 在()1,a ∞-+上单调递减.【小问2详解】由(1)知当1a =时，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以，min ()(0)0f x f ==，即当()1,x ∞∈-+时，()ln 10x x -+≥，对于任意正整数n ，令221x n =-，有()()22ln 1ln 21ln 212121n n n n ⎛⎫>+=+-- ⎪--⎝⎭，所以()()11121ln 3ln1ln 5ln 3ln 21ln 213521n n n ⎛⎫++++>-+-+++-- ⎪-⎝⎭ ，即()11121ln 213521n n ⎛⎫++++>+ ⎪-⎝⎭，即11111ln(21)35212n n ++++>+-L .【点睛】关键点点睛：本题的关键是令1a =，用已知函数的单调性构造()ln 10x x -+≥，再令221x n =-,恰当地利用对数求和进行解题．。

安徽省合肥市六校联盟2025届数学高三上期末检测模拟试题含解析

安徽省合肥市六校联盟2025届数学高三上期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（）A ．32B ．32-C ．12D ．12- 2．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（）A ．15B ．120C ．112D ．3404．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a = ） A ．{}a A ⊆ B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉5．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（） A ．()()(0)f a b f ab f +>>B ．()(0)()f a b f f ab +>>C ．()()(0)f ab f a b f >+>D ．()(0)()f ab f f a b >>+6．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元7．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A ．B ．C ．D ． 8．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-9．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A ．8B ．7C ．6D ．410．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（）． A ．i B ．i - C ．1i + D ．1i -11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A 31B 21C 51-D ．21212．已知i 为虚数单位，若复数12i 12i z +=+-，则z = A ．9i 5+ B ．1i -C ．1i +D ．i - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届安徽省合肥市合肥一中、合肥六中数学高三第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届安徽省合肥市合肥一中、合肥六中数学高三第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（）A ．98B ．78C ．12D ．62562．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥3．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B4．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}AB x x =-<<5．已知函数()ln xf x x =，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221kx e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（） A ．2e B ．eC ．24e D ．21e 6．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个8．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2sin 2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变10．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（）A ．若m α且n α，则m nB ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n11．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（）A ．4510B ．4510-C ．32-D ．3210-12．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（）A ．3B ．5C ．62D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年合肥市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题含解析

2024年合肥市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．1-B ．2C ．7D ．82．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦3．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1BCD4．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π5．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–206．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（）A ．264- B ．264+ C ．624- D ．622+ 7．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>8．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（） A ．43B ．916C ．34D ．1699．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（） A ．5B ．3C ．32D ．210．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}11．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（） A ．12B ．32C ．12±D ．32±12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（） A ．14B ．154C ．265D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

合肥市高三上学期期末数学试卷(理科)A卷(测试)

合肥市高三上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高三上·双流期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）在中，“”是“为直角三角形”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件3. （2分）已知向量， =（1，m）， =（3，﹣2），且（ + ）∥ ，则m=（）A .B .C . ﹣8D . 84. （2分）(2017·绵阳模拟) 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A .B .C . 4D . 35. （2分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB . α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC . m⊥α，m⊥n⇒n∥αD . m∥n，n⊥α⇒m⊥α6. （2分）为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A . 向左平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向右平移个长度单位7. （2分） (2017高三下·武邑期中) 《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A . 18B . 20C . 21D . 258. （2分）在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（）A . 2B .C .D .二、填空题． (共7题；共8分)9. （2分）(2016·浙江理) 已知a＞b＞1，若logab+logba= ，ab=ba ，则a=________，b=________．10. （1分）(2018·辽宁模拟) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比 ________．11. （1分） (2016高一上·启东期末) 设函数f（x）= ，则f（f（2））=________．12. （1分） (2019高一上·忻州月考) 已知是上的奇函数,对都有成立,若 ,则 ________．13. （1分） (2016高一上·东海期中) 设方程x2﹣mx+1=0两根为α，β，且0＜α＜1，1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．14. （1分） (2018高二上·牡丹江期中) 已知抛物线，作直线，与抛物线交于两点，为坐标原点且，并且已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于两点，且，则的最小值为________15. （1分） (2017高一下·长春期末) 如图所示，正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于________．三、解答题． (共5题；共45分)16. （5分） (2017高二上·玉溪期末) 已知△ABC的周长为 +1，且sinA+sinB= sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为 sinC，求角C的度数．17. （5分）(2017·泰安模拟) 如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别为CB1、CD1、AB的中点．（Ⅰ）求证：FG∥面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣C的余弦值．18. （10分） (2017高一上·长春期中) 已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．19. （10分） (2016高二上·邗江期中) 已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标．20. （15分） (2017高三上·蓟县期末) 已知数列{an}的前n项和，数列{bn}的前n项和为Bn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{cn}的前n项和Cn；（3）证明：．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题． (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题． (共5题；共45分) 16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。

安徽省合肥市2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题含解析

2022-2023学年度第一学期高三年级期末联考数学（答案在最后）本试卷共4页，22题。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A B =，{}1,2,3,4A B =，则（）A.2A ∈，2B ∉B.3A ∈，3B ∈C.4A ∈，4B ∉D.5A ∉，5B ∉2.已知i 为虚数单位，复数z 满足2i z z +=，则z 的虚部为（） A.1-B.2-C.1D.23.2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Qatar 2022）是第二十二届国际足联世界杯足球赛，在当地时间2022年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场举行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办.由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况，下列对1-11月份说法错误的是（）A.有5个月平均气温在30℃以上B.有4个月平均降水量为0mmC.7月份平均气温最高D.3月份平均降水量最高4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差不为0，若510S S =，则（） A.50S =B.80S =C.150S =D.170S =5.一般地，声音大小用声强级I L （单位：dB ）表示，其计算公式为：1210lg 10I I L -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中I 为声强（单位：)2W /m .若某种物体的发出的声强为1025W /m -，其声强级约为（lg 20.30≈）（） A.50dBB.55dBC.60dBD.70dB6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为11A B ，11B C 的中点，过M ，N 的平面截正方体所得截面为四边形，则该截面最大面积为（） A.22 B.25310D.927.已知222:O x y r +=，直线2:23l x y r +=，若l 与O 相离，则（）A.点(2,3)P 在l 上B.点(2,3)P 在O 上 C.点(2,3)P 在O 内 D.点(2,3)P 在O 外8.已知函数()e (sin cos )xf x x x =+在区间(2,0)π-内有两个极值点1x ，2x 且12x x <，则（） A.12x x π+=B.()f x 在区间()12,x x 上单调递增C.()()120f x f x +>D.()()121f x f x -<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.在ABC △中，已知32A C π==，3CD DB =，则（）A.AB AC BC +=B.2AC AD =C.1344AD AB AC =+ D.AD BC ⊥10.已知121326a b ++==，则（） A.1a b <<B.1b a <<C.12ab >D.2a b +>11.已知抛物线E 的焦点为F ，顶点为O ，过F 做两条互相垂直的直线1l ，2l ，它们分别与E 相交于A ，B 和C ，D ，则（） A.AOB ∠为锐角B.COD ∠为钝角C.OA OB OC OD ⋅=⋅D.FA FB FC FD ⋅=⋅12.已知球O 的表面积为36π，三棱锥P ABC -的顶点都在球面上，该棱锥体积取最大值时，下列结论正确的是（） A.32PA =B.26AB =C.PA PB ⊥，PB PC ⊥D.PA BC ⊥，PB AC ⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.社区从甲乙等5名志愿者中随机选3名到A 地参加服务工作，则甲乙都入选的概率为_____. 14.已知函数()2sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象过点(0,1)-，则8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 15.已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，P 为C 上一点满足123F PF π∠=，则C 的离心率取值范围是_____.16.已知函数1()ln f x x x=+，过点(0,)m 有两条直线与曲线()y f x =相切，则实数m 的取值范围是_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，等比数列{}n b 满足211b a =-，321b a =-. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求满足(410)n m T S n =<≤的所有数对(,)n m . 18.（12分）为落实国家全民健身计划，提高居民身体素质和健康水平，某电视台每周制作一期“天天健身”节目，时长60分钟，每天固定时间播放.为调查该节目收视情况，从收看观众中随机抽取150名，将其观看日平均时间（单位：分）为样本进行统计，作出频率分布直方图如图.（1）请估计该节目收看观众的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）在选取的150位观众中，男女人数相同，规定：观看平均时间不低于30分钟为满意，低于30分钟为不满意.据统计有48位男士满意，请列出22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“满意度与性别有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K K ≥ 0.100.05 0.0100K2.7063.841 6.63519.（12分）在ABC △中，点D 在BC 上，满足AD BC =，sin sin AD BAC AB B ⋅∠=⋅. （1）求证：AB ，AD ，AC 成等比数列；（2）若2BD DC =，求cos B . 20.（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -3，底面是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是BC ，1AA 的中点，DE BC ⊥.（1）求证：侧面11BCC B 是矩形；（2）若1DE AA ⊥，求直线1AA 与平面11AC D 所成角的余弦值. 21.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是1，记点P 的轨迹为C .（1）求证：曲线C 是双曲线的一部分；（2）设直线l 与C 相切，与其渐近线分别相交于M ，N 两点，求证：OMN △的面积为定值. 22.（12分）已知函数1()e x f x x=+. （1）求()f x 的导函数()f x '的单调区间；（2）若方程()()f x ax a =∈R 有三个实数根1x ，2x ，3x ，且12301x x x <<<<，求实数a 的取值范围.高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.D 【解析】由已知选D.2.A 【解析】设i z a b =+，则2222(2)a b a b ++=+，故1b =-，故选A. 3.D 【解析】由图可知，选D.4.C 【解析】由已知得80a =，故158150S a ==，故选C.5.A 【解析】由已知得1012510lg 10(1210lg5)10(210lg 2)5010I L --⎛⎫==⨯-=⨯+≈ ⎪⎝⎭，故选A.6.D 【解析】最大面积的截面四边形为等腰梯形MNCA ，其中2MN =，22AC =5AM CN ==，高为13252h =-=132922)222⋅=，所以选D. 7.C 【解析】由已知：圆心到直线的距离大于半径，即不妨设0r >213r >，故13r OP >=，故选C. 8.D 【解析】由()2cos 0xf x e x '==，故132x π=-，22x π=-，所以122x x π+=；由3,22x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()0f x '<，所以()f x 在区间()12,x x 上单调递减；()321f x e π-=，()22f x eπ-=-，所以()()322120f x f x eeππ--+=-<，()()322121f x f x eeππ---=+<，故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ABD 【解析】由已知AB AC AB AC CB BC +=-==；131444AD AC BC AB AC =+=+；234AD AB AB ⋅=，214AD AC AC ⋅=，因为223AC AB =，所以AD AB AD AC ⋅=⋅；故()0AD AB AC ⋅-=，即AD BC ⊥，所以2AC AD =.故选ABD.10.AD 【解析】3log 2a =，4log 3b =，故01a <<，01b <<，12ab =.22a b ab +>=，223333334log 2log 2log 4log 8log 2log 41log 322a b +⎛⎫⎛⎫==<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a b <<.故选AD. 11.BC 【解析】设抛物线E 方程为22(0)y px p =>，1:2p l y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立得2220ky py kp --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122p y y k +=，212y y p =-.()212212121223044y y OA OB x x y y y y p p ⋅=+=+=-<，故AOB ∠为钝角.所以21:2p l y x k ⎛⎫=--⎪⎝⎭，与抛物线联立得2220y pky p +-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则342y y pk +=-，234y y p =-.同理可得234OC OD p ⋅=-，故COD ∠为钝角，所以212121222111122p p OA OB OC OD FA FB x x y y y y p k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅=--+=+=-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2223434341122p p FC FD x x y y k y y p k ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故1k ≠±时，FA FB FC FD ⋅≠⋅.所以选BC.12.BD 【解析】由已知设球O 的半径为R ，则2436R ππ=，所以3R =.设底面ABC 的外接圆心为1O ，可知当ABC △为正三角形时，其面积最大.设正三角形ABC 的底面边长为a ，1OO d =，三棱锥的高为h .则22393a d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，故()2239a d =-.所以三棱锥的体积：()222313133(3)279334344V a h a d d d d ≤⋅≤⋅+=+--.令232793M d d d =+--，由3(1)(3)0M d d '=--+=，得1d =.因为[)0,3d ∈，故当1d =时，M 取最大值，即三棱锥的体积取的最大值.此时可求得：6a =即26AB BC AC ===26PA PB PC ===.三棱锥P ABC -为正四面体，故PA BC ⊥，PB AC ⊥，故选BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.310【解析】甲入选的概率为1335310C P C ==. 62-()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以622sin 8462f πππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 15.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，11PF r =，22PF r =，则122r r a +=，由余弦定理得22212124r r r r c +-=，故()221243r r a c =-，因为2212122r r r r +≥，即22121212r r r r r r +-≥，故()222443c a c ≥-，解得12e ≥，由01e <<，所以C 的离心率取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16.(ln 2,)+∞【解析】由1()ln f x x x =+，21()x f x x -'=，设切点为0001,ln x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线方程为：()00020011ln x y x x x x x ⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭，故0021ln m x x =-+有两根.令2()1ln g x x x =-+，22()x g x x -'=，()g x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增.因为min ()ln 2g x =，故实数m 的取值范围是(ln 2,)+∞.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解】（1）由21n a n =+，所以13a =，25a =，故22b =，34b =. 所以等比数列{}n b 的公比为322b q b ==，…………2分故11b =，所以12n n b -=，即等比数列{}n b 的通项公式为12n n b -=…………4分（2）由已知得：(321)(2)2m m mS m m ++==+由（1）可知122112nn n T -==--…………6分由(410)n m T S n =<≤，所以21(2)nm m -=+即222121(2)n n m m ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故221nm =-…………8分因为m 正整数，410n <≤，所以6n =，3217m =-=，8n =，42115m =-=，10n =，52131m =-=故满足条件所有数对为(6,7)，(8,15)，(10,31).………………10分18.【解】（1）由频率分布直方图可知：样本数据在[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率分别为：0.1，0.12，0.16，0.28，0.20，0.14.………3分故调查表平均值为：50.1150.12250.16350.28450.20550.14⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.5 1.849.897.732.8=+++++=所以该节目收看观众的平均时间为32.8分钟.………6分（2）由（1）可知观看平均时间不低于30分钟的频率为：0.280.200.140.62++=所以观看平均时间不低于30分的样本数为：1500.6293⨯=.……8分由已知可得22⨯列联表如下：不满意满意总计男 27 48 75 女 30 45 75 总计5793150……10分22150(30482745)1500.2547 2.70675759357589K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为“满意度与性别有关”.………12分 19.【解】（1）在ABC △中，由正弦定理得：sin sin BC ACBAC B=∠①…………2分由已知得：sin sin AD BAC AB B ⋅∠=⋅②由①②联立得：AD BC AB AC ⋅=⋅ 因为AD BC =，所以2AD AB AC =⋅. 故AB ，AD ，AC 成等比数列.…………4分（2）在ABC △中，记A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，故AD BC a ==.由（1）知：2a bc =③ 在ABD △中，设ADB α∠=，由已知得23BD a =，由余弦定理得222244cos 93c a a a α=+-④…………6分在ACD △中，设ADC πα∠=-，由已知得13CD a =，由余弦定理得222212cos 93b a a a α=++⑤由⑤+④2⨯整理得：2221123c b a +=⑥…………8分由③⑥联立整理得：2261130b bc c -+= 解得：32b c =或13b c = 当13b c =时，可求得3a =，所以a b c +<故舍去.…………10分当32b c =时，可求得62a c =，在ABC △中由余弦定理得222222239624cos 22462c c ca cb B ac c +-+-===⋅. 综上：6cos B =…………12分 20.【解】（1）连接AD ，由已知ABC △为等边三角形，所以AD BC ⊥. 由已知DE BC ⊥，所以BC ⊥平面ADE ，…………2分又1AA ⊂平面ADE ，1BC AA ⊥. 因为11AA BB ∥，所以1BC BB ⊥，又侧面11BCC B 为平行四边形，所以侧面11BCC B 是矩形.……4分（2）取AD 中点O ，连接1OA .由已知得13AA AD ==. 因为1DE AA ⊥，所以13A D AD ==1ADA △是等边三角形. 故1A O AD ⊥，由（1）可知1A O BC ⊥，所以1A O ⊥平面ABC .……6分以O 为原点，以OD ，1OA 所在直线为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图. 故30,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，130,0,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1332AA ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，11(13,0)AC AC ==-，1330,2DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则110AC n ⋅=，10DA n ⋅=.故3030x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取3x =，3y =1z =，则3,1)n =…………9分直线1AA 与平面11AC D 所成角为α，则11139sin cos ,133AA n AA n AA n α⋅====⋅…………11分故2130cos 1sin αα=-=所以直线1AA 与平面11AC D 130.…………12分 21.【解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，由已知得2x ≠±，则直线AP ，BP 的斜率分别为：2AP y k x =+，2BP yk x =-…………2分由已知122y yx x ⋅=+-，化简得224x y -=. 故曲线C 的方程为：224(0)x y y -=≠ 所以曲线C 是除去顶点的双曲线.…………4分（2）设直线l 与C 相切的切点坐标为()()000,0x y y ≠，斜率为k 则直线l 的方程为：()00y y k x x -=-，与224x y -=联立整理得：()()()22200001240k x k y kx x y kx ------=由已知21k ≠，且上方程有两个相等的实数根，故()()()2222000044140ky kx k y kx ⎡⎤-+--+=⎣⎦化简得：()22200004240x k x y k y --++=①…………6分又22004x y -=，即22004x y -=，22004y x +=②由①②得，222000020y k x y k x -+=，即()2000y k x -=，所以0x k y =故直线l 的方程为：004x x y y -=…………8分双曲线C 的两条渐近线方程为y x =，y x =-，所以OMN △为直角三角形.不妨设004x x y y -=与y x =交点为M ，解得000044,M x y x y ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，同理，设004x x y y -=与y x =-交点为N ，解得000044,N x y x y ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.…………10分可求得：0042OM x y =-，0042ON x y =+，所以OMN △的面积2200000011424216422S OM ON x y x y x y ====+-- 故OMN △的面积为定值.…………12分22.【解】（1）函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，21()x f x e x '=- 记()()g x f x '=，则33322()x x x e g x e x x+'=+=.…………2分当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞上单调递增.…………3分当(,0)x ∈-∞时，记3()2x x x e ϕ=+，2()(3)xx x x e ϕ'=+. 所以(,3)x ∈-∞-时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减；(3,0)x ∈-时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增.()x ϕ的极小值为33(3)20e ϕ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故()0x ϕ>. 故()0g x '<，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减.综上：故()f x '在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减.……5分（2）令1()()x F x f x ax e ax x =-=+-，21()()x F x f x a e a x''=-=-- 问题等价于()F x 有三个零点1x ，2x ，3x ，12301x x x <<<<当0a ≤时，因为0x >，故()0F x >，此时()F x 在(0,)+∞无零点；……6分当0a >时，由（1）可知()F x '在(0,)+∞上单调递增.由指数函数性质可知：0x →，()F x '→-∞；x →+∞，()F x '→+∞故存在00x >，使得()00F x '=.()00,x x ∈，()0F x '<，()F x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()0F x '>，()F x 单调递增.①若1a e =+，则(1)10F e a =+-=，不符合题意；……8分 ②若01a e <<+，(1)10F e a =+->.当01x ≥时，(0,1)x ∈，()0F x >，不符合题意.当01x <时，(1,)x ∈+∞，()0F x >，不符合题意.……9分③若1a e >+，则(1)10F e a =+-<，(1)10F e a '=--<，所以01x >. 又0x →，()F x →+∞；x →+∞，()F x →+∞，故存在2301x x <<<，使得()()230F x F x ==.……10分此时当0x <时，()10xF x e a a '<-<-<，故()F x 在(,0)-∞上单调递减，由1(1)10F e a --=-+>，11110a a F e a e e a --⎛⎫-=-+<-< ⎪⎝⎭ 故存在10x <，使得()10F x =所以当1a e >+时，()F x 有三个零点1x ，2x ，3x ，12301x x x <<<<. 综上：实数a 的取值范围是(1,)e ++∞，……12分。

2024学年安徽省合肥市第一中学数学高三上期末质量检测试题含解析

2024学年安徽省合肥市第一中学数学高三上期末质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y xy =+=，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．83B ．3C ．113D ．43．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A ．2B ．2C ．1D ．34．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A ．2223S S ，且B ．2223S S ，且C ．2223S S ，且D ．2223S S ∈∈，且 5．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．中，如果，则的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（） A ．21B ．22C ．11D ．128．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝上，则直线AF 被C 截得的弦长为（） A ．919B ．1009C ．1189D ．12799．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 210．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（）.A ．33B ．72C ．3D ．711．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（）A ．30B ．312C ．152D ．6212．已知3ln 3a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省合肥市2023-2024学年高三上学期期末考试数学含解析

合肥2024届高三上学期期末质量检测卷数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后﹐用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数3i2ia +-的实部与虚部相等，则实数a 的值为A ．1B ．3C ．1-D ．3-2．已知集合{}1,2,3A =，{}2B x a x a=<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是A ．(,-∞B ．(,-∞C ．()D ．(),-∞+∞3．如图为2021～2022年中国十大行业人工智能应用渗透率，则下列说法错误的是A ．2021年与2022年人工智能应用渗透率最低的行业都是教育B ．与2021年相比，2022年人工智能应用渗透率增长最快的是金融行业C ．2021年十大行业人工智能应用渗透率的极差为56%D ．2022年十大行业人工智能应用渗透率的中位数是42.5%4．求值：sin 202sin80cos202sin10︒︒︒-=︒A ．3B ．2C ．1D ．25．已知抛物线1C ：24y x =与抛物线2C ：24x y =，则A ．过1C 与2C 焦点的直线方程为4x y +=B ．1C 与2C 只有1个公共点C ．与x 轴平行的直线与1C 及2C 最多有3个交点D ．不存在直线与1C 和2C 都相切6．若将()ln ln ln y x y x =+-确定的两个变量y 与x 之间的关系看成()y f x =，则函数()y f x =的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中1320cm O O =，122cm O O =，16cm AB =，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：3π≈，铜的密度为8.963g /cm ）A ．1kgB ．2kgC ．3kgD ．0.5kg8．若数列{}n a 满足：当222222k k k k n -++≤≤时，221k n a k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（*k N ∈），则数列{}n a 的前28项和为A ．2048B ．2046C ．4608D ．4606二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

安徽合肥市数学高三上期末经典测试题(含答案解析)

一、选择题1．下列结论正确的是（） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D<a b <2．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数3．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（） A ．163B ．13C ．2D ．44．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．115．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=A ．110B ．100C ．55D ．06．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +a n ＝2，则S 5的值等于（）A ．1516B ．3116 C ．3132 D ．6332 7．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（） A ．15B ．16C ．17D ．148．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．1 B．1 C ．＋2D ．29．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是（） A ．24B ．48C ．60D ．8410．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．1511．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（） A ．223+B ．31+C ．232-D ．31-12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（） A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<13．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a =，7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（） A ．17B ．3C ．15D ．15214．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 15．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S二、填空题16．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．17．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________18．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___19．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积S =，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =，且tan C =，则ABC △的面积S 的最大值为__________．20．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______ 21．观察下列的数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …… ……设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________．22．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.23．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________24．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．25．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________. 三、解答题26．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x 万元，满足31km x =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2020年该产品的利润y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 27．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且2222cos cos b c a ac C c A +-=+.（1）求A ；（2）在ABC ∆中，3BC =，D 为边AC 的中点，E 为AB 边上一点，且DE AC ⊥，62DE =，求ABC ∆的面积. 28．在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .29．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。

2024-2025学年安徽省合肥一中高三上学期质量检测数学试题及答案

第1⻚/共4⻚合肥⼀中2024—2025学年第⼀学期⾼三年级教学质量检测数学学科试卷时⻓：120分钟分值：150分⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.若，则（）A.或 B.或C.D.3.已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（）A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数在上单调，则a 的取值范围是（）A.B.C.D.5.在中，内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知的外接圆半径为1，且，则的⾯积是（）A.B. C.1 D.26.已知⼀个正整数，且N 的15次⽅根仍是⼀个整数，则这个数15次⽅根为（）．（参考数据：）A.3B.4C.5D.67.已知函数，，若，使得，则实数a 的取值范围是（）A.B.第2⻚/共4⻚C.D.8.已知正数x ，y 满⾜，则的最⼩值为（）A.1B.2C.3D.4⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于x 的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最⼤值为 C.的最⼩值为D.的最⼩值为10.如图是函数的部分图象，A 是图象的⼀个最⾼点，D 是图象与y 轴的交点，B ，C 是图象与x 轴的交点，且的⾯积等于，则下列说法正确的是（）A.函数的最⼩正周期为B.函数图象关于直线对称C.函数图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到D.函数与在上有2个交点11.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若，且是奇函数，令，则下列说法正确的是（）第3⻚/共4⻚A.函数是奇函数B.CD.三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．12.已知幂函数在上单调递减，则______.13.已知，且，则________．14.设函数，下列说法正确的有________．①函数的⼀个周期为；②函数的值域是③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；④当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点．四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.已知命题“”为假命题，命题“在上为增函数”为真命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A .（1）求集合；（2）设集合，若是必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16.已知函数．（1）若的图象在点处的切线经过点，求；（2）若是的两个不同极值点，且，求实数a 的取值范围．17.已知定义域为的函数满⾜对任意，都有（1）求证：是奇函数；第4⻚/共4⻚（2）当时，．若关于x 的不等在上恒成⽴，求a 的取值范围．18.记的内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求A 取值的范围；（2）若，求周⻓的最⼤值；（3）若，求的⾯积．19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线⽅程；（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极⼤值还是极⼩值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数在上零点的个数.第1⻚/共22⻚合肥⼀中2024—2025学年第⼀学期⾼三年级教学质量检测数学学科试卷时⻓：120分钟分值：150分⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，将集合化简，再结合交集的运算，即可得到结果.【详解】或，，所以，故选：C 2.若，则（）A.或 B.或C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据，将原式上下同时除以，化简求解即可.【详解】根据题意可知，所以，若，则，与⽭盾故，将其上下同时除以，可得，化简可得，解之得或.故选：B第2⻚/共22⻚3.已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由是奇函数确定的取值范围，即可判断.【详解】由为奇函数，可得：，即，即恒成⽴，即恒成⽴，即恒成⽴，解得，所以是函数为奇函数的充分不必要条件.故选：A 4.函数在上单调，则a 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利⽤导数求得其导函数并使其恒⼤于0，再根据分段函数单调性得出不等式即可.【详解】由题意可知时，，时，；第3⻚/共22⻚⼜因为，所以在上单调递增，因此可得时，恒成⽴，可得，⼜，可得；综上可得a 的取值范围是.故选：D 5.在中，内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知的外接圆半径为1，且，则的⾯积是（）A.B. C.1 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利⽤余弦定理求出，利⽤三⻆恒等变换求出，再利⽤正弦定理及三⻆形⾯积公式计算得解.【详解】在中，由及余弦定理，得，解得，⼜，则，由，得，整理得，即，两边平⽅得，⼜，，则，即，由正弦定理得，所以的⾯积是.故选：C6.已知⼀个正整数，且N 的15次⽅根仍是⼀个整数，则这个数15次⽅根为（）．（参考数据：）第4⻚/共22⻚A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】设这个15次⽅根为，则，利⽤对数的运算性质求即可．【详解】设这个15次⽅根为，则，其中且，故，，,，故，，，由于,故．故选：C ．7.已知函数，，若，使得，则实数a 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利⽤导函数证明在区间上单调递增，从⽽得出的值域；同理得出的单调区间和值域，由题意可知，这两个函数值域需要有交集，得出不等式组，从⽽得出范围.【详解】，∴时，，∴在区间上单调递增，∴当时，，令，则，令，则，∵，∴时，，∴单调递增，∴，∴在上单调递增，第5⻚/共22⻚∴，由题意可知，∴.故选：B8.已知正数x ，y 满⾜，则的最⼩值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】应⽤三⻆换元，令，且，结合已知、平⽅关系、和⻆正弦公式得，进⽽有，最后利⽤基本不等式“1”的代换求⽬标式最⼩值.【详解】，由，得，令，且，所以，有，即，故，所以，则，当且仅当，即时取等号，第6⻚/共22⻚所以的最⼩值为1.故选：A【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三⻆函数的性质，应⽤三⻆换元将已知等式化为是关键.⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于x 的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最⼤值为 C.的最⼩值为D.的最⼩值为【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合⼆次不等式与⼆次⽅程的关系可得，然后结合基本不等式的乘“1”法可判断C ，利⽤向量的性质可求解B ，根据⼆次函数的性质可判断D ．【详解】因为关于的不等式，的解集为,所以，所以，，所以，A 错误；因为，，所以，当且仅当时取等号，故，由于设，由于，故，当且仅当时等号成⽴，故B 正确；第7⻚/共22⻚，当且仅当，即时取等号，C 正确；，当且仅当时取等号，故最⼩值为，D 错误．故选：BC ．10.如图是函数的部分图象，A 是图象的⼀个最⾼点，D 是图象与y 轴的交点，B ，C 是图象与x 轴的交点，且的⾯积等于，则下列说法正确的是（）A.函数的最⼩正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到D.函数与在上有2个交点【答案】ABC 【解析】【分析】根据部分图像求出的表达式，再由函数图像平移及正弦函数性质可判断各项.【详解】设的最⼩正周期为，第8⻚/共22⻚由图像可知，，即，可得，故A 正确；且，所以，解得，⼜因为图像过点，可得，即，且，可得，所以.对于选项B ：因为，为最⼩值，所以函数的图象关于直线对称，故B 正确；对于选项C ：将的图象向右平移个单位⻓度，得到，所以函数的图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到，故C 正确；对于选项D ：注意到，在同⼀坐标系内，分别作出函数与在上的图象，由图象可知：函数与在上有3个交点，故D 错误；故选：ABC.11.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若，且是奇第9⻚/共22⻚函数，令，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数B.C.D.【答案】BCD 【解析】【分析】把已知等式中换成，再移项变形可得A 错误；求导令可得，再由是奇函数，再求导可得B 正确；由奇函数的性质得到①，在令，可得，再由已知等式得到④，进⽽得到，然后可得C 正确；由原函数和导函数的奇偶性可得，进⽽可得D 正确；【详解】对于A ，因为，把换成，则，移项化简可得，即，为偶函数，故A 错误；对于B ，由A 中求导可得，令，可得，⼜是奇函数，即，求导可得，即，令，则，所以，故B 正确；对于C ，由B 中可得，①由A 中，②把①中换成可得，③由②③可得，所以:第10⻚/共22⻚故C 正确；对于D ，由B 中，⼜由可得，即，所以所以令可得；令可得；，所以，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题C 选项的关键在于理解抽象复合函数求导，原函数为奇函数则导函数为偶函数这⼀性质，再利⽤函数的奇偶性解答.三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．12.已知幂函数在上单调递减，则______.【答案】【解析】【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数.【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或.当时，为增函数，不符合题意；当时，在单调递减，符合题意.故答案为:.第11⻚/共22⻚13.已知，且，则________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利⽤同⻆公式求出，再利⽤和差⻆的余弦公式求出即可.【详解】由，得，，由，得，，由，得，即，则，因此，所以.故答案为：14.设函数，下列说法正确的有________．①函数的⼀个周期为；②函数的值域是③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；④当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点．【答案】①④【解析】【分析】利⽤函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断①；采⽤三⻆代换，利⽤导数判断函数单调性，利⽤函数单调性求解函数值域，判断②；利⽤，结合两点间距离公式可判断③；结合解，根据解的情况判断④，即得答案.第12⻚/共22⻚【详解】对于①，，，故是函数的⼀个周期，①正确；对于②，，需满⾜，即，令，，则即为，当时，在上单调递增，则；当时，，（，故）此时在上单调递减，则，综上，的值域是，②错误；对于③，由②知，，当时，满⾜此条件下的图象上的点到的距离；当时，,满⾜此条件下的图象上的点到的距离第13⻚/共22⻚，当且仅当且时等号成⽴，⽽时，或，满⾜此条件的x 与⽭盾，即等号取不到，故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误；对于④，由②的分析可知，则，即，⼜，故当且仅当时，，即当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点，④正确．故答案为：①④【点睛】关键点点睛：对于函数，先求出定义域，再采⽤换元法令，，得函数，利⽤单调性求其值域.四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.已知命题“”为假命题，命题“在上为增函数”为真命题，设实数a 所有取值构成的集合为A .（1）求集合；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）或（2）或【解析】第14⻚/共22⻚【分析】（1）由：“，”为假命题时，可转化为关于的⼀元⼆次⽅程⽆解，然后利⽤判别式即可，命题q 可利⽤对勾函数的性质求解，取交集即可得a 的取值范围，则集合A 可求，再结合补集运算可得答案；（2）由是的必要不充分条件可得B，然后分为空集和⾮空集两种情况讨论即可.【⼩问1详解】因为命题为假命题，所以关于的⼀元⼆次⽅程⽆解，即，解得，因为命题q 为真命题，当时，在上为增函数，满⾜题意；当时，结合对勾函数的性质可知在上单调递减，不满⾜题意；故集合，所以或；【⼩问2详解】由是的必要不充分条件，则B，当时，，解得，此时满⾜B，当时，则或，解得或，综上所述，的取值范围是或.16.已知函数．（1）若的图象在点处的切线经过点，求；（2）若是的两个不同极值点，且，求实数a 的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】第15⻚/共22⻚【分析】（1）求出函数的导数，利⽤导数的⼏何意义求出切线⽅程即可求解作答.（2）利⽤极值点的意义，结合⻙达定理、根的判别式列出不等式，求解作答.【⼩问1详解】函数，求导得，则，，于是函数的图象在点处的切线⽅程为，即，⽽切线过点，则，整理可得，解得或，所以或【⼩问2详解】由（1）知，⽅程，即有两个不等实根，则，解得，且，于是，由，得，解得，因此，所以实数的取值范围是.17.已知定义域为的函数满⾜对任意，都有（1）求证：是奇函数；（2）当时，．若关于x 的不等在上恒成⽴，求a 的取值范围．【答案】（1）证明⻅解析第16⻚/共22⻚（2）【解析】【分析】（1）利⽤赋值法，先求出及的值，再证明即可；（2）由题意得，构造函数，得出的奇偶性及在上的单调性，继⽽可得，结合题意可得，令，利⽤导数求出在上的最⼤值即可求解.【⼩问1详解】证明：令，得，即，令，得，即，令，，所以是奇函数.【⼩问2详解】，，且，所以，令，因，所以，则，设，则，所以，因为，所以在上是减函数，第17⻚/共22⻚，所以为偶函数，所以在上恒成⽴，即或，即或（负值，舍去），令，即，，令，解得，所以，，单调递增，所以，所以.故的取值范围是.18.记的内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求A 取值的范围；（2）若，求周⻓的最⼤值；（3）若，求的⾯积．【答案】（1）；（2）6；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意利⽤正弦定理结合三⻆恒等变换分析可得，在利⽤余弦定理结合基本不等式分析运算即可；（2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算；（3）根据题意结合正弦定理可求得，利⽤正弦定理以及⾯积公式分析运算.【⼩问1详解】第18⻚/共22⻚由题设，所以，，⼜，则，根据正弦边⻆关系，易得，则，⼜，则，当且仅当时取等号，所以，结合，可得；【⼩问2详解】由（1）有，⼜，⼜，则，所以，当且仅当取等号，所以周⻓的最⼤值6.【⼩问3详解】由，且，所以，⽽，则，由，显然，故，即，结合，可得，由，⽽，由，整理得，可得（负值舍），第19⻚/共22⻚所以，故.19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线⽅程；（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极⼤值还是极⼩值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数在上零点的个数.【答案】（1）；（2）答案⻅解析；（3）答案⻅解析.【解析】【分析】（1）求出、，利⽤点斜式可得出所求切线的⽅程；（2）对实数的取值进⾏分类讨论，分析导数在上的符号变化，由此可得出结论；（3）对实数的取值进⾏分类讨论，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】（1）当时，，则，所以，，，所以，曲线在点处的切线⽅程为，即；（2），设，则对任意的恒成⽴，故在上单调递减.所以，，当时，.①若，即时，由零点存在定理可知，存在，使得，第20⻚/共22⻚当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，在处取得极⼤值，不存在极⼩值；②若，则，对任意的恒成⽴，此时，函数在上单调递增，此时函数⽆极值.综上所述，当时，函数有极⼤值，⽆极⼩值；当时，函数⽆极值；（3）分以下情况讨论：①若，函数在上单调递增，则，此时，函数在上⽆零点；②若，由（2）可知，由零点存在定理可知，存在，使得，且函数在上单调递增，在上单调递减.从⽽有，设，则对任意的恒成⽴，从⽽当增⼤时，也增⼤.（i ）若，此时，此时函数在上单调递减，若，可得或（舍去）.此时函数在上⽆零点；第21⻚/共22⻚若，可得，此时函数在上有且只有⼀个零点.当时，，，此时函数在上只有⼀个零点；（ii ）当时，此时，此时函数在上单调递增，在上单调递减.，，所以，，设，则对任意恒成⽴，所以，函数在上单调递增，所以，，若，即，即，此时函数在上⽆零点；若，即，即时，此时函数在上有且只有⼀个零点.综上所述，当时，函数在上⽆零点；当时，函数在上有且只有⼀个零点.【点睛】⽅法点睛：利⽤导数解决函数零点问题的⽅法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的⽅法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的⼯具作⽤，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应⽤；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；第22⻚/共22⻚（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.。

2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共50分。

每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝（） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}2．若复数z 满足i •z ＝3﹣4i ，则|z |＝（） A ．1B ．5C ．7D ．253．已知向量a →=（1，m ），b →=（3，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝（） A ．﹣8B ．﹣6C ．6D ．84．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，1在同一平面”是“m ，n ，1两两相交”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A ．x =kπ2−π6（k ∈Z ） B ．x =kπ2+π6（k ∈Z ）C ．x =kπ2−π12（k ∈Z ） D ．x =kπ2+π12（k ∈Z ） 6．函数y ＝x cos x +sin x 在区间[﹣π，π]上的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7．若2x ﹣2y ＜3﹣x ﹣3﹣y ，则（） A ．ln （y ﹣x +1）＞0 B ．ln （y ﹣x +1）＜0 C ．ln |x ﹣y |＞0D ．ln |x ﹣y |＜08．已知函数f （x ）的定义域为R ，y ＝f （x ）+e x 是偶函数，y ＝f （x ）﹣3e x 是奇函数，则f （x ）的最小值为（） A ．eB ．2√2C ．2√3D ．2e二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．已知a ，b ，c ∈R ，则（） A ．若a ＞b ＞0，则1a ＞1bB ．若ac 2＞bc 2，则a ﹣c ＞b ﹣cC ．若a ＞b ＞0，则a ＞√ab ＞bD ．若a ＜b ＜1，则a a−1＜bb−110．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f(π12+x)=f(π12−x)C ．f （x ）在[π2，π]上单调递增D ．f(x −π6)为奇函数11．已知直线l ：ax +by ﹣r 2＝0与圆C ：x 2+y 2＝r 2，点A （a ，b ），则下列说法正确的是（） A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切 B ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切D ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离12．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（） A ．a 1d ＞0B ．a 1d ＜0C ．dS 4＞0D ．dS 4＜0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．14．已知a ∈R ，函数f （x ）={x 2−4，x ＞2|x −3|+a ，x ≤2，若f [f （√6）]＝3，则a ＝．15．若sinα+sinβ=√33(cosβ−cosα)，则α﹣β的值是．16．已知∠ACB =90°，M 为平面ABC 外一点，MC =√3，点M 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为√2，那么M 到平面ABC 的距离为．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足（a ﹣c ）sin C ＝（a +b ）（sin A ﹣sin B ）．（1）求角B ；（2）若b ＝2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长． 18．（12分）已知函数f （x ）＝x （ae x +1），a ∈R ．（1）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）≥x 2在（0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围．19．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF 交CD 于点G ，其中DG ＝2，DE ＝DF ．（1）证明：平面AEF ⊥平面ABCD ；（2）判断母线BC 上是否存在点P ，使得直线PE 与平面AEF 所成的角的正弦值为45，若存在，求CP的长；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数f(x)=2sin 2x +2√3sinxcosx −1．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）将函数f （x ）图象向右平移π6个单位长度得到g （x ）的图象，若g(θ2+π12)=−27，θ∈(0，π2)，求sin θ的值．21．（12分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n =a n 2+a n ，n ∈N +．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =(n−1)2na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣aln（1+x），a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：对于任意正整数n，都有1+13+15+⋯+12n−1＞12ln（2n+1）．2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共50分。

2022-2023学年安徽省合肥市肥东县综合高中高三上学期期末考试数学试题

2022-2023学年安徽省合肥市肥东县综合高中高三上学期期末考试数学试题1.设全集，集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2.已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D ．3.已知函数f （x ）=，若不等式f （ax-1）<f（x-2）在[3，4]上有解，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（- ，）C．（0，）D．（- ，）4.设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（）A．（－1，1）B．C．D．（2，4）5.设.则的大小关系是（）A．B．C．D．6.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知数列的前n项和为，，，则（）A．414 B．406 C．403 D．3938.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A．B．C．D．9.(多选题) 已知函数图象上两相邻最高点的距离为，把的图象沿轴向左平移个单位得到函数的图象，则（）A．在上是增函数B．是的一个对称中心C．是奇函数D．在上的值域为10.如图，已知正方体的梭长为，为正方形底面内的一动点，则下列结论正确的有（）A ．三棱雉的体积为定值B．存在点，使得C ．若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段D．若点是的中点，点是的中点，过作平面平面，则平面截正方体的截面周长为11.已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（）A．若直线CA的斜率为，BD的斜率，则B．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形C．取值范围为D．周长的最大值为12.已知函数，以下结论不正确的是（）A．时，若，则B．时，的图像与直线有两个交点C．是在上单调递增的必要不充分条件D．时，有5个零点13.古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BAD=1：1：，AC=4，则△ABD面积的最大值为________．14.已知圆，直线，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为________15.三星堆古遗址位于四川省广汉市西北的鸭子河南岸，是迄今在西南地区发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古蜀文化遗址．青铜太阳轮是三星堆出土器物中最具神秘色彩的器物之一，该文物中央凸起，周围均匀分布了五个芒条，现将该太阳轮的中心记为点，相邻的两个芒条与圆轮交于、两点，如图，某考古工作人员为了估计该太阳轮的圆轮周长，现测得、两点间的距离约为，则太阳轮的圆轮周长约为______．（参考数据：，）．16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于x 的方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围为______________.17.记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若的面积是，，求b．19.已知．（I）求的最小正周期和单调递增区间；（II）当时，若，求x的取值范围．20.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．（1）求证：（2）求AC与PD所成角的余弦值．21.双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．(1)求双曲线的方程；(2)过点且斜率为的直线，与双曲线交于不同的，两点，若，求直线的方程．22.已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若，且当时，函数恰好有两个极值点，求实数的取值范围．。

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