数学建模例题讲解

1 (a) 0 l (b a) k 0 a
2 2
k 0 (a b) 4 k 2 0l 2 2
3 0 l 2 (a b) 2
不同区域（全局最优一定局部 最优），k=1情况 分三种情况
郊区方案1
(1).0 c 3( z a)

最近两年成绩对比
全国成绩（本科一等奖）
赛区 北京 上海 江苏 山东 四川 广东 河南 2011 2012 17 14 7 9 18 11 18 11 18 17 14 12 12 14
与生源情况没有太多的关联！
江苏赛区成绩（本科）
2011年获全国一等奖学校（11所）：
3队 东南大学 江南大学 2队 南京邮电大学 南京理工大学 南京信息工 程大学 1队 南京大学 河海大学 南京师范大学 江苏 大学 解放军理工大学 南师大泰州学院
（3）
3.l (a b)
2
4 1( y * 0) 2 k
2
3 0 l (a b)
三种可能方案（取决于最优点位置）
4 （）： 1 0 l (b a) 2 1( y* a) k

(2)
(b a)
4 4 4 3.l (a b) 1( y* 0) 1 l ( a b ) 1 k2 2 2 k k
数学建模竞赛：一项以实际问题为背景，以
解决实际问题为目的的大规模基础性创新型
竞赛。它是数学思维、数学逻辑及数学知识 综合应用的竞赛，是数学知识学习的竞赛。

竞赛过程中需要学习许多东西（知识、方法、实现 手段等）。
竞赛倡导有独特的见解和构思、需要有大胆
的猜测，科学的论证，合理 的应用。
竞赛没有固定的模式、没有固定的方法、没
郊区方案3
(3).c

2
3( z 5)
2 2 2
z 0 c a z 0 m l c b z
0 m 2b z 0 2a z d dz 2 c 2 a z 2 2 l c 2 b z 2
B(l , b)
0
0
P( x, y) 2 k 0
一般数学模型（函数极值知识）
( x, y , z ) 0 x 2 ( y a ) 2 0 ( c x ) 2 ( z y ) 2
2 y ( 0 m) (b c) 2 (b z ) 2
解方法，数学上已经可以处理。

最优解的必要条件：
0 x l 0 y a
降维处理（删繁就简 ）
B(l , b)

A(0, a )
P( x, y) A '(0, 2 y a)
Q ( x, 0)
( y ) 0 l (b 2 y a) k 0 y
（最提倡的方法）
删繁就简 降维处理
简化问题的过程是创造性最直接的体现过程；
包括猜测、大胆设想、直接经验积累与应用 、 间接经验的在综合应用等若干手段。

对于一些特殊的问题通常也尽可能地转化为 我们熟知的问题，便于寻找规律
如果没有更好的办法，数值方法也是比较有
效的手段。当然这类方法的创造性往往不够 。 多做一些离散优化问题的建模训练。
B(l , b) B(c, z )
A(0, a)
P( x, y)

一般解法
( x, y ) 0 (| AP | | BP |) k 0 y
0 ( x (a y ) (l x) (b y ) ) k 0 y
2 2 2 2
二元函数求最小值问题，高等数学中有求
三 数学技能的综合训练，数学知识自 主学习 建模过程处处涉及技能训练
建模的一般步骤： 资料查阅、咨询及数据分析等过程； 通过模型假设简化设计问题； 通过模型建立与求解给出数学结果； 通过检验与应用说明模型的有效性与作用。
数模问题来源实际，具有专业特点，具有一
定难度，涉及因素多，需要综合各种因素考 虑问题。 离不开文献查找、阅读理解； 从大量的数据中查找有用信息并正确处理。 成员之间的相互讨论、知识咨询必不可少， 查阅文献能力，阅读能力，数据分析能力，团 结协作能力，沟通能力
讲座内容
数学建模及数学建模竞赛 数学建模竞赛发展过程 数学技能综合训练，体验创新过程 如何撰写数模竞赛论文
一 数学建模及数学建模竞赛

数学模型：一般指用数学的语言和工具,对 所关心的实际问题的部分信息进行数学描述。 解、结果验证与结果应用的的整个过程。
数学建模：通常指问题的数学描述、模型求
建模竞赛对个人知识要求
初等数学知识
微积分知识
代数知识 （差）微分方程 知识 最优化知识 随机数学知识（数理统计） 数值分析方法 计算机仿真（初步的程序编译） 常用数学软件知识（matlab,lingo等）
一些建模例子
生产计划与管理（1996，优化） 产品参数设计（1997，随机，优化） DNA分类 （2000，代数，数理统计） 三维图象重建（2002，图像处理，优化） 最优的渡河策略（2003，初等数学，优化） 高速公路收费广场优化设置（2003国际赛，优化） 饮酒驾车问题 （2004，常微分方程，优化） 雪道设计 （2011国际赛，微积分，优化）
1 ( y ) (a) 0 l 2 ( z a) 2 k 0 a ( 0 m) (l c) 2 (b z ) 2
郊区方案2
(2). 3( z a) c 3( z a)
0 (a z 3c) 2 2 z ( 0 m) (l c) (b z ) 2 d 0 0 m 2(b z ) 2 2 dz 2 2 (l c) (b z )

二大学生数学建模竞赛发展
起源于1985年的美国大学生数学建模竞赛
，并逐步向其他国家开放； 中国有2，3所学校的几个队1990年首次参 加美赛；1992年已有十几所学校参赛。 1992年由教育部发起全国大学生数学建模 竞赛；1999年分为本专科组竞赛； 2000年首次发起交叉学科数模竞赛（美赛 ）；

在线租赁服务 （2005，数据处理 优化 ） 彩票问题（2004，概率统计 优化） 运输与调度（2003，优化） 公铁查询系统（2006，数据处理 优化） 卫星测控 （2010，初等数学 优化） 重金属污染（2011，偏微分方程 优化） 交巡警平台优化（2011，优化 ） 社会网络（2012国际赛，随机 优化） 太阳能小屋设计（2012，组合优化）
竞赛问题分为： 连续性问题与离散型问题 确定性问题与随机问题 数值分析法与优化 每年两个问题，从中选择一题，题型为上述 分类的组合。优化问题偏重离散优化，大体 上分为随机离散优化问题，确定性离散优化 问题。连续性优化问题近几年已经不常见， 因为这类问题的处理软件较多，许多学生直 接套用。
4 （）： 1 0 l (b a) 2 1( y* a) k
1 (a) 0 l (b a) k 0 a
2 2
(2)
4 4 (b a) 2 1 l (a b) 2 1 k k
2
k 0 (a b) 4 k 0l 2 2
建模过程中经常碰到不熟悉的知识或现
有的数学知识不能解决的问题，需要学 新知识。 建模的方法应有创造性，模型简单，有 一定的新意，能够得到满意的结果。 写出好论文 自主学习能力，创新能力，语言组织能 力 文档处理能力
三 建模案例 ：（2010C题）
某油田计划在铁路线一侧建造两家
炼油厂，同时在铁路线上增建一个 车站，用来运送成品油。 针对方案涉及城、郊两个区域，城区 需要考虑一定的拆迁补偿（见下图）， 设计最优方案。

2
0 ( z y) ( 0 +m)( z b) z ( x c) 2 ( y z ) 2 (l c)2 ( z b)2
同一个区域，不用共用管线
B(l , b) B(c, z ) A(0, a )
A '(0, a)
同一个区域，利用共用管线
2 2
2 0 (2 y a b) d k 0 dy l 2 (b 2 y a)2
ab y* 2 2
kl 4 k2
最优解成立条件
也即
0 y* a
4 4 (b a) 2 1 l (a b) 2 1 k k
2011年，媒体竞赛（以多媒体方式记录数模竞 赛过程）； 数学建模竞赛不是数学竞赛，参赛队同学以 工科为主，且工科同学成绩明显好于理科。 数学建模 竞赛也不是名校学生的竞赛。所有 的同学在同一个舞台竞技，普通学校的成绩 一点也不比名校差。 全国赛，每年九月的第二周周末进行，为期3 天。今年为9月13日至9月16日。
有固定的结果。仅仅借用别人的成果不会取 得好的竞赛成绩，必须在他人成果的基础上 根据问题的本身特点有一定的创新。
数学建模竞赛基本情况：
教育部高教司主办的几项大赛事之一。
２０12年全国2万多队，6万多名大学生参赛。 江苏赛区88所学校，1143队参赛，是全国活
动开展最好的赛区之一。
对个人能力的培养： 竞赛是数学学习的补充与深化，有助于： 了解数学（从抽象到具体，从枯燥到有趣） 认识数学（解决实际问题工具） 促进数学学习方法的转变： 从机械学习向主动学习转变 从被动接受向探索学习转变 从独立学习向团队学习转变 从理解性学习向创新性学习转变