Bezier曲线与曲面

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（9）积分
3．Bezier曲线的性质
（1）端点性质
a. 曲线端点位置矢量
由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0) =P0 ；当t=1 时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的 特征多边形的 起点、终点重合。
b. 切矢量
因为
，所以当t=0时，P’(0)=n
且
、
、
线的
和
（图3.1.15打上斜
三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶
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点有关。 （3）几何不变性。 （4）对称性。 （5）凸包性。
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3．Bezier曲面片的拼接 如图3.1.16所示，设两张m×n次Bezier曲面片
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提
出的递推算法则要简单的多。
如图3.1.10所示，设 、 、 是一条抛物线上顺序三个不 同的点。
过 和 点的两切线交于点 ，在 点的切线交 和 于和 ，
则如下比例成立：
这是所谓抛物线的三切线定理。
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多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10 次。所以有时
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处 保持一定的连
续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条 件。
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n)
和Qj(j=0,1,..., m)，且令 3.1.13所示，
1.Bezier曲线的升阶
所谓升阶是指保持Bezier曲线的形状与定向不变，增加定 义它的控制 顶点数，也即是提高该Bezier曲线的次数。增加了控制顶点 数，不仅能增 加了对曲线进行形状控制的灵活性，还在构造曲面方面有着 重要的应用。 对于一些由曲线生成曲面的算法，要求那些曲线必须是同次 的。应用升阶 的方法，我们可以把低于最高次数的的曲线提升到最高次 数，而获得同一 的次数。
中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二 级中间顶点
。重复进行下去，直到n级递推得到一个中间顶 点 即为 所求曲线上的点 ，如图3.1.12所示。
3.2.3 Bezier曲线的拼接
几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形 状。这是由
于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的 提高，而高次
因为 （5）递推性。
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein 调和函数线性 组合而成。
因为， （6）导函数
（7）最大值。
在 处达到最大值。
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（8）升阶公式
除变差减小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到 Bezier曲面：
（1）Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的 四个角点，
即
，
，
，
。
（2）Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的 四条边界；
Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一 排顶点有关，
当t=0时， 当t=1时，
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶 导矢只与 （r+1）个相邻点有关，与更远点无关。
将 、 及 、代入曲率公式 得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：
，可以
d. k阶导函数的差分表示 n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义： 例如：
（2）对称性。由控制顶点构造出的新Bezier 曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：
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这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点 处也有相同的 性质。
是定义
控制点， 即为曲线 上具有参数t的点。de Casteljau算 法稳定可靠，
直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的 基本算法和标准
算法。
当n=3时，de casteljau算法递推出的Pki呈直角三角形， 对应结果如
图3.1.11所示。从左向右递推，最右边点P30即为曲线上的 点。
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2.Bezier曲线的降阶
降阶是升阶的逆过程。给定一条由原始控制顶点 定义 的n次Bezier曲线，要求找到一条由新控制顶点 定义的n1次Bezier曲线来逼近原始曲线。
假定 是由 升阶得到，则由升阶公式有：
从这个方程可以导出两个递推公式：
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由此得到Bezier曲线的递推计算公式：
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这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给 定参数下，
求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。上式中： Bezier曲线的
我们现在把两条曲线连接起来。
，如图
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（1）要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn= Q0；
（2）要使它们达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q，Q1 三点共线，
(P1-
P0)，当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，这说明Bezier曲线的起
点和终点处的
切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一
致。
c. 二阶导矢
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曲线升阶后，原控制顶点会发生变化。下面，我们来计算 曲线提升一 阶后的新的控制顶点。
设给定原始控制顶点 线：
，定义了一条n次Bezier曲
增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的新控制顶点为
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即
（3）要使它们达到G2连续的充要条件是：在G1连续的条件 下，并满足
方程
。
我们将 、 和 ， 、 并整理，可以得到：
代入，
选择 和 的值，可以利用该式确定曲线段 的特征多边形顶 点 ，而 顶点 、 已被连续条件所确定。要达到 连续的话，只剩 下顶点 可 以自由选取。
如果从上式的两边都减去 ，则等式右边可以表示为 和
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第三章 几何造型技术
3.2 Bezier曲线与曲面
3.2.1 Bezier曲线的定义和性质
1．定义
给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则 Bezier参数曲
线上各点坐标的插值公式是：
其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次 Bernstein基
分别由控制顶点 和 定义。
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如果要求两曲面片达到 连续，则它们有公共的边界， 即：
于是有
.
如果又要求沿该公共边界达到 连续，则两曲面片在该边 界上有公共
的切平面，因此曲面的法向应当是跨界连续的，即：
（3）凸包性
由于 明
，且
，这一结果说
当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形
各顶点 的加权
平均，权因子依次是 线P(t)在
。在几何图形上，意味着Bezier曲
中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的 凸包之中，
如图3.1.9所示。
（4）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变 化的特性。
的线性组合：
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这表明 、 、 、 和 五点共面，事实上，在接 合点两 条曲线段的曲率相等，主法线方向一致，我们还可以断 定： 和 位于
直线的同一侧。
3.2.4 Bezier曲线的升阶与降阶
个平面图
形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其 特征多边形的
交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier 曲线比其特征
多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折 线更光顺。
（6）仿射不变性。对于任意的仿射变换A：
不 变。
即在仿射变换下， 的形式
3.2.2 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
， 则有：
对上式左边乘以
，得到：
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比较等式两边
项的系数，得到：
化简即得：