中考压轴函数关系,7.由面积产生的函数关系问题-教师版

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【中考压轴】二次函数背景下的面积问题，一道题全讲明白，你能拿下吗？

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二次函数压轴之面积问题
面积问题涵盖的题型
1.面积最值问题
2.面积倍分关系问题
3.面积比例及最值问题
经典题解析与方法分析
抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，点B（3，0），与y 轴交于点C，直线y＝kx-3，经过点B，C．
(1)求抛物线的解析式
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求PBC面积最大时点P 的坐标；
分析：坐标系背景下的面积问题，主要涉及的方法是面积的求解方法，一般是铅垂法、割补法、平移法，一般铅垂法是通用方法，在解决一些复杂问题时非常实用.
方法简介：铅垂法，一般是求解三角形面积时，找到水平宽和与之对应的铅垂高，其乘积的一增即为三角形的面积.
方法一：铅垂法
点评：设点，再分别求水平宽和铅垂高的表达式，从而得到三角形面积的表达式，通过二次函数的性质求得取最值时的P点坐标方法二:平移法
点评：通过平移至临界位置，面积即可求最值，思路与前面比较新颖，且解决方法比较快捷；
方法三：割补法
点评：割补法思考起来难度不大，但是计算需要一定的耐心，对同学们的计算能力有一定的要求；。

由面积公式产生的函数关系问题

由面积公式产生的函数关系问题1.（2012上海中考）如图8，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ∠=，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD BC ⊥，OE AC ⊥，垂足分别为D 、E 。

（1）当1BC =时，求线段OD 的长；（2）在DOE △中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BD x =，DOE △的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域。

2.（2012松江二模）如图，在∆ABC 中，10AB AC ==，3cos 5B =，点D 在AB 边上（点D 与点A 、B 不重合），DE ∥BC 交AC 边与点E ，点F 在线段EC 上，且14EF AE =，以DE 、EF 为邻边作平行四边形DEFE 联结BG ．（1）当EF FG =时，求∆ADE 的面积；（2）设AE x =，∆DBG 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如果∆DBG 是以DB 为腰的等腰三角形，求AD 的值．OCEDBA3.（2013宝山二模）已知平面直角坐标系xOy （如图7），抛物线c bx x y ++=221经过点)0,3(-A 、)23,0(-C . （1）求该抛物线顶点P 的坐标；（2）求CAP ∠tan 的值；（3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q 的横坐标为t ，当点Q 在第四象限时，用含t 的代数式表示△QAC 的面积.4.（2013长宁二模）△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =︒90.，∠BAC =︒30.，BC=6，∠FDE =︒90，DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //；（3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形.图7图②5.（2013闵行二模）如图，在平行四边形ABCD 中，8AB =，tan 2B =，CE ⊥AB ，垂足为点E （点E 在边AB 上），F 为边AD 的中点，联结EF ，CD ．（1）如图1，当点E 是边AB 的中点时，求线段EF 的长；（2）如图2，设BC x =，△CEF 的面积等于y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当16BC =时，∠EFD 与∠AEF 的度数满足数量关系：EFD k AEF ∠=∠，其中k ≥0，求k 的值．6.（2012河北省中考）如图151-和图152-，在ABC △中，51314cos .13AB BC ABC ===，，∠ 探究：在如图151-，AH BC ⊥于点H ，则AH =_______，AC =_______， ABC △的面积ABC S △=___________．拓展：如图152-，点D 在AC 上（可与点A C ，重合），分别过点A C ，作直线BD 的垂线，垂足为E F ，.设.BD x AE m CF n ===，，（当点D 与点A 重合时，我们认为ABC S △=0.（1）用含x m ，或n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；（2）求()m n +与x 的函数关系式，并求()m n +的最大值和最小值．（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围.发现：请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.AB CDE F（图1）ABC DEF（图2）（第25题图）A BCDEF7.(2012重庆市中考）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3。

由面积公式产生的函数关系问题学案教案

由面积公式产生的函数关系问题【目标导航】1.通过让学生主动探索三角形面积计算公式,经历三角形面积计算公式的探索过程,进一步感受转化的数学思想和方法；2.培养学生从不同角度去多观察、分析、解决问题的发散思维能力，拓宽学生思路，从而使他们灵活运用所学知识．【典例解析】例1.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的动点，∠EPF=45°。

⑴求证：△BPE∽△CFP．⑵设BE=x，△PEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．例2.如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点P从点A出发沿AB边由A向B以1cm/秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线BC-CD以2 cm/秒的速度匀速移动．点P、Q同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．连接AQ，交BD于点E．设点P运动时间为x秒．⑴当点Q在线段BC上运动时，点P出发多少时间后，∠BEP=∠BEQ？⑵设△APE的面积为y cm2，AP=x cm，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．例3. 已知某二次函数的图象与x 轴分别相交于点()30A -，和点()10B ，，与y 轴相交于点()03C m -，，其中（m >0），顶点为点D ．⑴求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；⑵如图①，当2m =时，点P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC ∆的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值；⑶如图②，当m 取何值时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与OBC ∆相似？例4.如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．⑴求该二次函数的解析式；⑵设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为；⑶连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C 的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．【挑战自我】1.已知经过原点的抛物线224y x x =-+与x 轴的另一个交点为A ，现将它向右平移m （m>0）个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原抛物线交于点P ．⑴求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状（不要求说明）．⑵在x 轴上是否存在两条长度相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由；⑶设△CDP 的面积为S ，求S 关于m 的关系式．2.已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C ，l 1、l 2分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在l 1、l 2上，顶点F 、G 都在x 轴上，且点G 与点B重合．⑴求△ABC 的面积；⑵求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；⑶若矩形DEFG 从B 点出发，沿x 轴的负方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t (0≤t ≤12)秒，矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．xyOACFDBE。

由面积公式产生的函数关系问题

1. 如图，已知正方形ABCD 与正方形EFGH的边长分别是12O O ，都在直线l 上，AD l ∥，EG 在直线l 上，l 与DC 相交于点M，7ME =-，当正方形EFGH 沿直线 l 以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD 也绕1O 以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．（1）在开始运动前，12O O = ；（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD 停止旋转，这时AE = ，12O O = ；（3）当正方形ABCD 停止旋转后，正方形EFGH 继续向左平移的时间为x 秒，两正方形重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．2．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．第26题图3．如图，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE AB <），连结EG 并延长交DC 于点M ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ，MN 交BD 于点P ．设正方形ABCD 的边长为1。

（1）证明△CMG ≌△NBP ；（2）设BE=x ，四边形MGBN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域。

中考数学复习典型题型专题讲解第10讲---由面积产生的函数关系问题

中考数学复习典型题型专题讲解第10讲由面积产生的函数关系问题例1 上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cos A＝14，点P是边AB上的动点，以P A为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为2，求AP的长．图1 备用图思路点拨1．△PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距．2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C的半径等于1，公共弦MN2，那么△CMN是等腰直角三角形．在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（⊙P的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝4，cos A＝14，所以AB＝16，BC＝415设弦AD对应的弦心距为PE，那么AE＝14AP＝14x，PE15AP15．所以y ＝S △PCD ＝12CD PE ⋅＝1115(4)224x x -⨯＝21515162x x -+．定义域是0＜x ＜8．（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF ＝PE ．因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ．由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m ＝44154+415⨯＝302157-．此时AE ＝3021547--＝21527-，AP ＝4AE ＝81587-．图2 图3（3）如图4，设⊙C 与⊙P 的公共弦为MN ，MN 与CP 交于点G ．由于CM ＝CN ＝1，MN ＝2，所以△CMN 是等腰直角三角形，CG ＝NG ＝2．如图5，作CH ⊥AB 于H ，由AC ＝4，那么AH ＝1，CH 2＝15．所以CP ＝22CH PH +＝215(1)x +-．因此PG ＝2215(1)x +--（如图4）．如图4，在Rt △PNG 中，由勾股定理，得222222(15(1))()22x x =+--+．整理，得2x 2－64x ＋257＝0．解得132510x -=，232+510x =（舍去）．图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF ，得151(16)4x x =-．解得8158x -=．例2黄冈市中考第25题如图1，在四边形OABC 中，AB //OC ，BC ⊥x 轴于点C ，A (1,－1)，B (3,－1)，动点P 从O 出发，沿着x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P 作PQ 垂直于直线OA ，垂足为Q ．设点P 移动的时间为t 秒（0＜t ＜2），△OPQ 与四边形OABC 重叠部分的面积为S ．（1）求经过O 、A 、B 三点的抛物线的解析式，并确定顶点M 的坐标；（2）用含t 的代数式表示点P 、Q 的坐标；（3）如果将△OPQ 绕着点P 按逆时针方向旋转90°，是否存在t ，使得△OPQ 的顶点O 或Q 在抛物线上？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S 与t 的函数关系式．图1思路点拨1．△OPQ 在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．2．试探取不同位置的点P ，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．满分解答（1）由A (1,－1)、B (3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x ＝1，点O 关于直线x ＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点A (1,－1)，得－3a ＝－1．解得13a =．所以2114(4)(2)333y x x x =-=--．顶点M 的坐标为4(2,)3-．（2）△OPQ 是等腰直角三角形，P (2t , 0)，Q (t ,－t )．（3）旋转后，点O ′的坐标为(2t ,－2t )，点Q ′的坐标为(3t ,－t )．将O ′(2t ,－2t )代入1(4)3y x x =-，得122(24)3t t t -=⨯-．解得12t =．将Q ′(3t ,－t )代入1(4)3y x x =-，得13(34)3t t t -=⨯-．解得t ＝1．因此，当12t =时，点O ′落在抛物线上（如图2）；当t ＝1时，点Q ′落在抛物线上（如图3）．图2 图3（4）①如图4，当0＜t ≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ ．此时S ＝t 2． ②如图5，当1＜t ≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPF A ．此时AF ＝2t －2．此时S ＝1(222)1212t t t +-⨯=-．图4 图5③如图6，当1.5＜t ＜2时，重叠部分是五边形OCEF A ．此时CE ＝CP ＝2t －3．所以BE ＝BF ＝1－(2t －3)＝4－2t ．所以S ＝221111(32)1(42)28222t t t +⨯--=-+-．图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l 与t 之间有怎样的函数关系？如图4，(22)l t =+．如图5，4222l t =-+ 如图6，(42)22l t =-+．例3 菏泽市中考第21题如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)．由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8．因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--．（2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝45．当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．图2 图3②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．由于S △APQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=，所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+．所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？” 除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况．这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4例4广东省中考第22题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方． 2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)．所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACBS AE S AB∆∆=．而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ，所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB∆∆==⨯=⨯=．m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE m ADAEm-==．因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADES CD m S ADm∆∆-==．所以22291191981()222228CDE m S m m m m m∆-=⨯=-+=--+．当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818．此时E 是AB 的中点，92BE =．如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以313sin 13B =在Rt △BEH 中，93132713sin 2EH BE B =⋅==．当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例5 河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2图3 图4答案探究 AH ＝12，AC ＝15，S △ABC ＝84．拓展（1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ．（2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x+=．由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14．所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．（3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14．发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565．例6 淮安市中考第28题如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．（1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？图1思路点拨 1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t =．所以24S t =． ②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-．于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-， 211422233NHQ S NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭． ③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =．如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =．图8 图9【强化训练】1.（巴中31）在平面直角坐标系中，二次函数)0(42≠-+=a bx ax y 的图像与x 轴交于A （-2，0）、C （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D.（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图2，点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中0>m ，0<n ），连结PB 、PD 、BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标.2．（临清市模拟25）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c+=2经过A（-3，y+axbx0）、B（1，0）、C（0，3），顶点为D，点P是线段AD上的一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E.（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果点P的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，求出点P'的坐标，并判断点P'是否在该抛物线上.。

挑战2024数学中考压轴题由面积产生的函数关系问题

挑战2024数学中考压轴题由面积产生的函数关系问题1.问题描述：一个长方形的长是宽的2倍，面积为A。

如果将宽减小1，长增加1，面积会变为多少？解析：设长方形的宽为x，所以长为2x。

面积A为x*2x=2x^2、当宽减小1，也就是x-1，长增加1，也就是2x+1，新的面积为(2x+1)*(x-1)=2x^2-x-(x-1)=2x^2-2所以将宽减小1，长增加1后，面积会变为2x^2-22.问题描述：一个正方形的边长为x，面积为A。

如果将边长增加2，面积会变为多少？解析：设正方形的边长为x，面积A为x*x=x^2、当边长增加2，也就是x+2，新的面积为(x+2)*(x+2)=x^2+4x+4所以将边长增加2后，面积会变为x^2+4x+43.问题描述：一个圆的半径为r，面积为A。

如果将半径减小1，面积会变为多少？解析：设圆的半径为r，面积A为π*r^2、当半径减小1，也就是r-1，新的面积为π*(r-1)^2=π*(r^2-2r+1)=A-2πr+π。

所以将半径减小1后，面积会变为A-2πr+π。

4.问题描述：一个直角三角形的两个直角边分别为x和2x，面积为A。

如果将直角边x减小2，面积会变为多少？解析：设直角三角形的直角边x为a，另一个直角边2x为b。

面积A为0.5*a*b=0.5*a*2a=a^2当直角边x减小2，也就是a-2，新的面积为0.5*(a-2)*2a=2a^2-4a。

所以将直角边x减小2后，面积会变为2a^2-4a。

5.问题描述：一个等边三角形的边长为x，面积为A。

如果将边长增加3，面积会变为多少？解析：设等边三角形的边长为x，面积A为√3*(x/2)^2=(x^2*√3)/4当边长增加3，也就是x+3，新的面积为√3*((x+3)/2)^2=((x+3)^2*√3)/4所以将边长增加3后，面积会变为((x+3)^2*√3)/46.问题描述：一个梯形的上底为x，下底为2x，高为h，面积为A。

2021年中考数学压轴题讲次13 由面积产生的函数关系问题(教师版)

专题13 由面积产生的函数关系问题模块一：直接利用面积公式构造函数关系式1、常见几何图形面积公式：（1）三角形面积公式：12⨯⨯底高；（2）平行四边形面积公式：⨯底高；（3）梯形面积公式：1+2⨯⨯（上底下底）高；（4）圆的面积公式：2rπ．2、解题思路：（1）先确定所求面积的几何图形的形状；（2）确定求面积时所需的线段，并且添加必要的辅助线；（3）根据题意利用相似或锐角三角比或勾股定理等方法分别表示出线段的长，某些线段是含有未知数的代数式；（4）根据面积公式求出解析式，并根据题意确定定义域．例题1..（2020金山二模）如图，在△ABC中，△C=90°，AC=6，BC=8，P是线段BC上任意一点，以点P为圆心，PB为半径的圆与线段AB相交于点Q（点Q与点A、B不重合），△CPQ的角平分线与AC相交于点D．（1）如果DQ=PB，求证：四边形BQDP是平行四边形；（2）设PB=x，△DPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△ADQ是以DQ为腰的等腰三角形，求PB的长．解析：（1）证明：△PB=PQ，∴∠B=∠PQB，∴∠CPQ=∠B+∠PQB=2∠PBQ，--------（1分）∵PD平分△CPQ，∴△DPQ=∠CPD=12∠CPQ=∠PQB=∠B，∴DP∥BQ，-----------（1分）∵DQ=PB，PB=PQ，∴QD=QP，∴∠QPD=∠QDP，∴∠CPD=∠QDP，∴DQ∥PB，（1分）∴四边形BQDP是平行四边形-------------------------------------------------------------------（1分）（2）作PE⊥BQ，QF⊥DP，垂足分别为E、F，∵DP∥BQ，PE⊥BQ，QF⊥DP，∴PE=QF，∵在△ABC中，△C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，sinB=35，在△BEP中，△BEP=90°，∴PE=PB·sinB=35x，---------------------------------------------（1分）∵DP∥BQ，∴CP DPBC AB=，∴8810x DP-=，∴5104DP x=-，---------------------（1分）∴15310245y x x⎛⎫=⋅-⋅⎪⎝⎭，即2338y x x=-+（254x<<）.--------------------------（2分）（3）∵PE⊥BQ，∴BE=EQ=45x，∴AQ=8105x-，∵DP ∥BQ ，∴BP AD BC AC =，∴86x AD =，∴34AD x =，---------------------------------（1分）在△ABC 中，cosA =35，如果DQ =DA ，作DM ⊥AQ ，垂足为M ，则1184=10=52255AM AQ x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在△AMD 中，△AMD =90°，cos AM AD A =⋅，4335554x x -=⨯，解得4x =，-------------------------------------------------------------------（2分）如果DQ =QA ，作QN ⊥AD ，垂足为N ，则1133=2248AN AD x x =⨯=，在△ANQ 中，△ANQ =90°，cos AN AQ A =⋅，33810855x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，解得40089x =，----------------------------------------------------------（2分）综上所述，如果△ADQ 是以DQ 为腰的等腰三角形，PB 的长为4或者40089．-------（1分）例题2.（2020崇明二模）如图，已知正方形ABCD 中，BC ＝4，AC 、BD 相交于点O ，过点A 作射线AM ⊥AC ，点E 是射线AM 上一点，联结OE 交AB 边于点F ．以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，联结DH ．（1）求证：△HDO ≌△EAO ；（2）设BF ＝x ，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG ，当△AEG 是等腰三角形时，求BF 的长．【整体分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD＝90°，AO＝OD，∠EOH＝90°，OE＝OH，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，根据等腰直角三角形的性质得到AN＝BN＝ON＝AB ＝2，根据勾股定理得到OF＝＝＝，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P③当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ ⊥AE于Q，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．【满分解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，AO＝OD，∵四边形OEGH是正方形，∴∠EOH＝90°，OE＝OH，∴∠AOE＝∠DOH，∴△HDO≌△EAO（SAS）；（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，则AN＝BN＝ON＝AB＝2，∵BF＝x，∴AF＝4﹣x，∴FN＝2﹣x，∴OF＝＝＝，∴EF＝y﹣，∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴，∴＝，∴；（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，则AE＝OE，∵∠EAO＝90°，∴这种情况不存在；②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE，∴∠P AE＝∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴＝，∵AE＝AG，∴PE＝y＝，AE＝＝，∴＝，解得：x＝2，②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE＝∠EAO＝90°，∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，∴∠EGQ＝∠AEO，∵GE＝OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴EQ＝AO＝2，∴AE＝2EQ＝4＝，∴x＝，∴BF＝2或．例3.如图，Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，BC = 6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC = 8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若12DEEF=，设AC x=，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若23DEEF=，且点G恰好落在Rt ABC∆的边上，求AC的长．【解析】（1）如图， ∵152AD AB == ∴315544DE FG ==⨯=，33154544416BG FG ==⨯= ∴453551616DG =-=， ∴154DE =，3516EF =；（2）过点D 作DH AC ⊥于点H ，从而3DH =．易得DHE ∆∽ECF ∆，由12DE EF =，可得26EC DH ==，162EH x =-．所以22223(6)64524x x DE x =+-=-+． ∴22212902x y DE EF DE x =⋅==-+．（3）由题意，点G 可以在边BC 或者AB 上．①如左图，若点G 在边BC 上，由3DE =，得92EF =， ∴29AC EF ==； ②如右图，若点G 在边AB 上．记AD DB a ==，矩形边长2DE b =，3EF b =，由ADE ∆∽FGB ∆，可得AD FG DE GB =，即223a b b a b=-，∴22340a ab b --=，解得：4a b =，即2AD DE =．∵ADE ∆∽FGB ∆，∴2AC BC =，∴12AC =．综上，AC 的值为9或12．【总结】本题主要考查相似的综合运用，解题时注意进行分析．例4.如图，已知在ABC∆中，AB = AC = 6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD = 2，联结CD交AH于点E．（1）如图1，如果AE = AD，求AH的长；（2）如图2，A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交线段AH于点F．设点P为边BC 上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF．设DF = x，ABC∆的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【解析】（1）过点H作HG // CD，交AB于点G．∵AB = AC，AH⊥BC，∴BH = CH．又∵HG // CD，AB = 6，AD = 2，∴DG = BG = 2．又∵HG // CD，∴AE = EH = 2．∴AH = 4；（2）联结AP，设BP = t．∵以点P为圆心，BP为半径的圆与A外切，∴2=+．AP t∵以点P为圆心，CP为半径的圆与A内切，∴2=-．AP PC∴4PC t =+．∴24BC t =+．∴122BH BC t ==+．∴2HP =．在Rt ABH ∆中，222AH AB BH =-，在Rt APH ∆中，222AH AP HP =-，可得22226(2)(2)2t t -+=+-．解得：2t =±（负值舍去），∴BC =．另解：联结AP ，设BP = a ，BC = b ．∵以点P 为圆心，BP 为半径的圆与A 外切，∴2AP a =+．∵以点P 为圆心，CP 为半径的圆与A 内切，∴2AP PC =-．∴22a b a +=--．即24b a =+．①在Rt APH ∆中，222AH AP HP =-，在Rt BCH ∆中，222AH AC CH =-，可得22211(2)()36()22a b a b +--=-，即：4320a ab +-=．②把方程①代入方程②得24160a a +-=解得：2a =±（负值舍去）∴BC b ==；（3）过点B 作BM // DF ，交AH 的延长线于点M ．∵BM // DF ，AB = 6，AD = 2，DF = x ，∴13AD AF DF AB AM BM ===．即：3BM x =，AM = 6．设HM k =．在Rt ABH ∆中，222BH AB AH =-，在Rt BHM ∆中，222BH BM MH =-，∴22226(6)(3)k x k --=-，即234k x =，∴2223(3)()4BH x x =-，2364AH x =-．∴322BC BH ==∴21133(6)2224y BC AH x =⋅=⨯-，∴y 关于x 的函数解析式为：y =0x <）．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，包含比例线段的运用、两圆相切的考察以及面积与变量的函数关系式，注意方法的运用及辅助线的合理添加．例5.如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB = 90°，点C 是AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）在DOE ∆中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（2）设BD = x ，DOE ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．【解析】（1）存在．DE 的长保持不变．连接DE （如图一）．∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴12DE BA =．在Rt AOB ∆中，222AB OB OA =+，∴AB ==DE （2）连接OC ，过点D 作DF OE ⊥于点F （如图二）．∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OA OB OC ==，∴BOD COD ∠=∠，EOC EOA ∠=∠， ∵90AOB BOD COD EOC EOA ∠=∠+∠+∠+∠=，∴45DOE EOC DOC ∠=∠+∠=．∵OD ⊥BC ，BD = x ，2OB =，∴DO =∵DF OE ⊥，45DOE ∠=，∴DF OF =．∴EF =．∴11())22y OF EF DF =⋅+⋅=⋅，即y(0x <<．【总结】本题主要考查在圆的背景下的综合运用，包含了垂径定理、勾股定理及中位线的性图一DOEC BA图二DOF E C BA质，综合性较强，难度中等，做题时要细心一些，注意理解相关概念．模块二：利用割补法构造函数关系式1、解题思路：（1）判断所求面积的几何图形的形状，可能是一个非规则的图形，也可能是规则图形，但无法确切表示出相应的线段长；（2）通过添加辅助线（通常是做坐标轴的垂线），将所求图形的面积转化为几个规则几何图形（通常为梯形和三角形）的和或者差；（3）根据题意利用相似或锐角三角比或勾股定理等方法分别表示出所需线段的长，某些线段可能是含有未知数的代数式；（4）根据面积公式列出等式，从而求出解析式，并根据题意确定定义域．例1.如图，已知抛物线234y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），直线y x b =+与抛物线交于A 、C 两点，点P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为x ，PAC ∆的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并指出PAC ∆的面积最大时，点P 的位置．【解析】分别过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ．∵抛物线234y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴(10)A -，，(40)B ，． ∵直线y = x + b 经过A 点，∴代入(1,0)A -，得直线解析式为：1y x =+．∵直线y = x + b 与抛物线234y x x =-++交于点C ，∴(34)C ，．∴3OE =，4CE =．设2(,34)P x x x -++，则OF x =，234PF x x =-++．∵APCPAFAECPCEF SS SS=+-梯形，∴111=)222S CE PF EF AF PF CE AE ⋅+⋅+⋅⋅-⋅⋅(22111=434)(3)(1)(34)44222x x x x x x ⋅-++⋅-+⋅+⋅-++-⋅⋅( 2=246x x -++2=2(1)8x --+．∴当1x =时，PAC ∆的面积最大，最大值为8，此时点P 的坐标为(16)，．【总结】本题比较基础，主要考查二次函数背景下的点的坐标的确定，通过解析式求出交点坐标，然后再利用割补法求出几何图形的面积．例2.如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，3cos 5B =，点D 在AB 边上（点D 与点A ，B 不重合），DE // BC 交AC 边于点E ，点F 在线段EC 上，且14EF AE =，以DE 、EF 为邻边作平行四边形DEFG ，联结BG ．（1）当EF = FC 时，求ADE ∆的面积；（2）设AE = x ，DBG ∆的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．【解析】（1）过点A 作AH BC ⊥，分别交DE 、GF 于点M 、N （如下图）．∵AH BC ⊥，53cos =B ，AB = AC = 10，∴8=6AH BH =，．∴2=12BC BH =． ∴111284822ABC S BC AH ∆=⋅⋅=⨯⨯=．∵AE EF 41=，EF = FC ，∴23AE AC =． ∵DE // BC ，∴22439ADE ABC S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴643ADE S ∆=．（2）∵DE // BC ，∴AE AM DE AC AH BC ==，14MN EF AM AE ==．∵AE = x ，AC = 10，812AH BC ==，， ∴4655AM x DE x ==，．∴1145MN AM x ==． ∴485MH AH AM x =-=-，418855NH AH AM MN x x x =--=--=-．∵BDG DEFGDBCE BCFG S S SS ∆=--梯形梯形，∴11()()22y DE BC MH DE MN GF BC NH =⋅+⋅-⋅-⋅+⋅1646116(12)(8)(12)(8)2555525x x x x x x =⋅+⋅--⋅-⋅+⋅-， ∴236255y x x =-+（08x <≤）．【总结】本题主要考查等腰三角形背景下的面积问题，相对比较基础，第（1）问利用相似性质求出三角形的面积，第（2）问则要利用割补法确定面积，通过此题要对面积问题的求解方法进行归纳总结．1.如图，在Rt ABC ∆中，∠ACB = 90°，AC = 4，1cos 4A =，点P 是边AB 上的动点，以P A 为半径作P ．若P 与AC 边的另一个交点为D ，设AP = x ，PCD ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域．【解析】作PM AC ⊥于M （如图）．在Rt PAM ∆中，cos 4x AM AP A =⋅=，∴PM ==．PA PD =，PM AD ⊥，22x AD AM ∴==，42x CD AC AD ∴=-=-，211(4)222PCDx SCD PM x x ∴=⋅⋅=⋅-=．2(08)y x ∴=+<≤．【总结】本题比较基础，主要考查垂径定理和勾股定理的综合运用，注意常见辅助线的添加． 2.如图，已知抛物线2222y x tx t =-+-的顶点A 在第四象限，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，C 是线段AB 上一点（不与点A 、B 重合），过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点P ．（1）若点C 的横坐标为1，且是线段AB 的中点，求点P 的坐标；（2）若直线AP 交y 轴负半轴于点E ，且AC = CP ，求四边形OEPD 的面积S 关于t 的函数关系式，并写出定义域．【解析】（1）∵22222()2y x tx t x t =-+-=--，∴(2)A t -，． ∵点C 的横坐标为1，且是线段AB 的中点，∴2t =， ∴2(2)2y x =--， ∴(11)P -，；（2）根据题意，设(2)(0)C x x t -<<，，2(()2)P x x t --，．则AC t x =-，2()PC x t =-．∵AC PC =，∴2()x t t x -=-． ∵x t <，∴1t x -=，即1x t =-，∴1AC PC ==． ∵DC // y 轴，∴PC AC EB AB=，∴EB AB t ==， ∴2OE t =-． ∴2111()(3)(1)23222S OE DP OD t t t t =+⋅=--=-+-(12)t <<．【总结】本题比较基础，解题思路也比较简单，计算时细心一些． 3.如图，已知抛物线222433y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，E 是线段AB 上的一个动点，EF // AC 交BC 于F ．设AE 的长为x ，EOF ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．【解析】当点E 在线段OA 上时，过点F 作FG x ⊥轴于点G （如图1）．∵抛物线222433y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，∴(2,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C ．∵AE x =，∴2OE x =-．∵FG x ⊥轴，∴FG // OC ．又∵EF // AC ，∴FG BF BEOC BC BA==． ∴545FG x -=，∴445FG x =-． ∴2114214(2)(4)422555y OE FG x x x x =⋅⋅=⋅-⋅-=-+(02x ≤≤)．当点E 在线段OB 上时，过点F 作FH x ⊥轴于点H （如图2）．同理，可得：2OE x =-．∵FH // OC ，EF // AC ，∴FH BF BEOC BC BA==．即545FH x -=．∴445FG x =-． ∴2114214(2)(4)422555y OE FH x x x x =⋅⋅=⋅-⋅-=-+-（25x <≤）．【总结】本题主要考查二次函数背景下的三角形的面积问题，注意进行分类讨论． 4.已知Rt ABC ∆中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4．点D 在AB 边上，设AD 的长为x ．（1）如图1，如果内接矩形DBFG 的面积为y ，DG // BC ，求y 关于x 的函数关系式；（2）如图2，如果内接矩形DEFG 的面积为S ，DE // AC ，求S 关于x 的函数关系式；（3）当y 和S 分别取得最大值时，请说明点D 的位置．【解析】（1）∵DG // BC ，∴DG AD BC AB =，∵AB = 3，BC = 4，AD x =，∴43DG x =． ∴244(3)433y DB DG x x x x =⋅=-⋅=-+；（2）∵DEFG 是ABC ∆的内接矩形，DE // AC ，∴DG AC ⊥．∵sin BC DG A AC AD ==，又5AC ==，∴45DG x =． ∵DE //AC ，∴DE BD AC AB =，∴553DE x =-．∴2544(5)4353S DE DG x x x x =⋅=-⋅=-+；（3）∵224434()3332y S x x x ==-+=--+，∴当32x =时，面积最大，即当点D 是AB 的中点时，y 和S 均取得最大值，最大值为3．【总结】本题主要考查三角形背景下的面积问题，注意利用相似三角形的性质进行求解，最后一问则是将问题转化为二次函数的最值问题．5.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC = 12 cm ，BD = 16 cm ，动点P 在线段AB 上，由B 向A 运动，速度为1 cm/s ．动点Q 在线段OD 上，由D 向O 运动，速度为1 cm/s ．过点Q 作直线EF ⊥BD 交AD 于E ，交CD 于F ，联结PF ，设运动时间为t (s)（08t <<），问：（1）何时四边形APFD 为平行四边形？求出相应的t 的值；（2）设四边形APFE 的面积为y (cm 2)，求出y 与t 的函数关系式．【解析】（1）∵菱形ABCD ，AC = 12，BD = 16，∴68OA OB OD AC BD ===⊥，，，∴10AB =．∴10AP AB BP t =-=-．∵EF // AC ，∴EF DQ AC OD =，即128EF t =，∴32EF t =．∵菱形ABCD ，BD 为对角线，EF ⊥BD ，∴1324QF EF t ==．∴54DF t =．∵APFD 为平行四边形，∴AP QF =．即5104t t -=，∴409t =．即当409t =时，四边形APFD 为平行四边形；（2）过点C 作CG AB ⊥于点G （如图）．∵1=2ABCD S AC BD GC AB ⋅⋅=⋅菱形，∴1112164822===105AC BD GC AB ⋅⋅⨯⨯．Q G DOP FEBA∵EF // AC，∴QF DQ DFOC OD DC==，即6810QF t DF==，∴34QF t=，54DF t=．∴32EF t=．∵11()22DEFAPFE APFDS S S DF AP CG EF DQ∆=-=⋅+⋅-⋅⋅四边形梯形，∴154813(10)24522y t t t t=⋅+-⋅-⋅⋅2364845t t=-++．【总结】本题主要考察菱形背景下的动点结合问题，注意利用相关性质进行求解．。

中考数学复习典型题型专题讲解第10讲---由面积产生的函数关系问题

与面积有关的函数关系问题

与面积有关的函数关系问题函数关系是指一个函数的关系如何受其他函数的影响。

在数学中，函数关系是用来描述两个或多个函数之间的关系或互动机制。

以下我将阐述面积(Area)与函数关系的关系。

首先，我们要明确的是，面积和函数之间的关系是由函数与物理状况定义的。

一般来说，函数与物理状况之间的关系可以表示为：F(H) = A，其中F(H)表示函数，H表示物理状况，A表示面积。

也就是说，面积取决于函数与物理状况的关系，函数与物理状况又决定了物体的性质，而物品的性质又决定面积。

比如，如果我们要求一个圆形物体的面积，我们可以用以下函数来描述它的特征：f (x) = x*3.14，其中x表示圆的半径，3.14是圆周率。

根据此，我们可以得到关于院子面积和半径的函数关系：A = x2* 3.14，其中x是圆的半径，A表示面积。

在这里，我们可以看到，函数与物理状况之间的关系显而易见：函数决定了物理状况，而物理状况又决定了面积。

同样，任何几何体都有自己的函数与物理状况之间的关系，从而形成一种函数与面积之间的关系。

比如，一个平行四边形的面积可以表示为A = a*b，其中a和b分别表示平行四边形的两边长度。

可以看出，函数与物理状况之间的关系又决定了物理状况，而物理状况又决定面积。

总之，有许多要求求面积的情况，其中函数与物理状况之间的关系是重要的。

函数关系可以表示为F(H) = A，其中F(H)是表示函数的物理状况的函数，H表示函数的物理状况，A表示面积。

所以，函数与物理状况之间的关系又决定了物理状况，而物理状况又决定面积。

2018年中考压轴题汇编《由面积产生的函数关系问题》含答案

2.2 由面积产生的函数关系问题例1 2018上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cos A＝14，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为2，求AP的长．图1 备用图例2 2017黄冈市中考第25题如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P 从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5 cos13ABC∠=．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD ＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2例6 2017淮安市中考第28题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E 到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图12.2 由面积产生的函数关系问题答案例1 2018上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cos A＝14，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为2，求AP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15徐汇25”，拖动点P在AB上运动，观察MN的度量值，可以体验到，MN≈1.41的时刻只有一个，MN与圆心距CP相交．思路点拨1．△PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距．2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C的半径等于1，公共弦MN＝2，那么△CMN是等腰直角三角形．在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（⊙P的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝4，cos A＝14，所以AB＝16，BC＝415．设弦AD对应的弦心距为PE，那么AE＝14AP＝14x，PE＝154AP＝154x．所以y＝S△PCD＝12CD PE⋅＝1115(4)224x x-⨯＝21515162x x-+．定义域是0＜x＜8．（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF＝PE．因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ．由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m ＝44154+415⨯＝302157-．此时AE ＝3021547--＝21527-，AP ＝4AE ＝81587-．图2 图3（3）如图4，设⊙C 与⊙P 的公共弦为MN ，MN 与CP 交于点G ．由于CM ＝CN ＝1，MN ＝2，所以△CMN 是等腰直角三角形，CG ＝NG ＝22．如图5，作CH ⊥AB 于H ，由AC ＝4，那么AH ＝1，CH 2＝15．所以CP ＝22CH PH +＝215(1)x +-．因此PG ＝2215(1)2x +--（如图4）．如图4，在Rt △PNG 中，由勾股定理，得222222(15(1))()22x x =+--+．整理，得2x 2－64x ＋257＝0．解得1325102x -=，232+5102x =（舍去）．图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF ，得151(16)44x x =-．解得81587x -=．例2 2017黄冈市中考第25题如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P 从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上．思路点拨1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．满分解答（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．解得13a=．所以2114(4)(2)333y x x x=-=--．顶点M的坐标为4(2,)3-．（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,－t)．（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)．将O′(2t,－2t)代入1(4)3y x x=-，得122(24)3t t t-=⨯-．解得12t=．将Q ′(3t ,－t )代入1(4)3y x x =-，得13(34)3t t t -=⨯-．解得t ＝1．因此，当12t =时，点O ′落在抛物线上（如图2）；当t ＝1时，点Q ′落在抛物线上（如图3）．图2 图3（4）①如图4，当0＜t ≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ ．此时S ＝t 2． ②如图5，当1＜t ≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA ．此时AF ＝2t －2．此时S ＝1(222)1212t t t +-⨯=-．图4 图5③如图6，当1.5＜t ＜2时，重叠部分是五边形OCEFA ．此时CE ＝CP ＝2t －3．所以BE ＝BF ＝1－(2t －3)＝4－2t ．所以S ＝221111(32)1(42)28222t t t +⨯--=-+-．图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l 与t 之间有怎样的函数关系？如图4，(222)l t =+．如图5，4222l t =-+．如图6，(422)522l t =-+-．例3 2017菏泽市中考第21题如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)．由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8．因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩ 解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--．（2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠PAQ ＝cos ∠ACO ＝45．当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．图2 图3②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．由于S △APQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=，所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+．所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？”除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况．这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4例4 2017广东省中考第22题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E 由A 向B 运动，观察图象，可以体验到，△ADE 的面积随m 的增大而增大，△CDE 的面积随m 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E 在AB 的中点时，△CDE 的面积最大．思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)．所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACB S AE S AB ∆∆=．而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ，所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=． m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE mAD AE m-==．因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD m S AD m ∆∆-==．所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+．当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818．此时E 是AB 的中点，92BE =．如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以3313sin 1313B ==．在Rt △BEH 中，93132713sin 21326EH BE B =⋅=⨯=．当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例5 2017河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D 由A 向C 运动，观察(m ＋n )随x 变化的图象，可以体验到，D 到达G 之前，(m ＋n )的值越来越大；D 经过G 之后，(m ＋n )的值越来越小．观察圆与线段AC 的交点情况，可以体验到，当D 运动到G 时（如图3），或者点A 在圆的内部时（如图4），圆与线段AC 只有唯一的交点D ．图3 图4答案探究 AH ＝12，AC ＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ．（2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x+=．由于AC边上的高565BG ，所以x的取值范围是565≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值范围是x＝565或13＜x≤14．发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为565．例6 2017淮安市中考第28题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E 到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．（2）①如图1，当611t＜≤时，2EF t=．所以24S t=．②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-．于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-，211422233NHQS NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭． ③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =．如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =．图8 图9。

面积产生的函数关系

由面积产生的函数关系问题例1 2013年菏泽市中考第21题如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1思路1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？” 除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况．这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =例2 2012年广东省中考第22题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例3 2012年河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5 cos13ABC∠=．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿P A、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？思路1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ 的面积为S．（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？图1思路1．用含有t的式子表示线段的长，是解题的关键．2．第（2）题求S与t的函数关系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况．3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线P A的同侧．设运动的时间为t秒（t ≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．图1思路1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况．3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况．4．本题运算量很大，多用到1∶2。

面积问题中考压轴题

2014年中考解决方案面积类问题学生姓名：上课时间：SSS DCBAtO 1234213tO1234213tO12342133124321OtS一：选择题中的面积问题（一）分类讨论问题1．如图，Rt △ABC 中，AC=BC =2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上， C 、D 两点不重合，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDE F 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是( )A B C D 2. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC →CD 方向运动，当P 运动到B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设P 点运动的时间为t ，△APQ 的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象是3．如图，在直角坐标系xoy 中，已知()01A ，，()0B3，，以线段AB 为边向上作菱形ABCD ，且点D在y 轴上.若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为y O 12x 1241x 21O y y O 12x 12yO 12x 12y xOABCD第8题图（2）第8题图（1）DCBA Oxy5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点P 以每秒一个单位的速度沿着B —C —A 运动，⊙P 始终与AB 相切，设点P 运动的时间为t ，⊙P 的面积为y ，则y 与t 之间的函数关系图像大致是（二）特殊值，排除法6．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD 绕点C 沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE （点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、G 、E ）．动点P 从点B 开始沿BC-CE 运动到点E 后停止，动点Q 从点E 开始沿EF -FG 运动到点G 后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P 和点Q 同时开始运动，运动时间为x （秒），△APQ 的面积为y ，则能够正确反映y 与x 之间的函数关系的图象大致是7. 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为PCB A第8题图t° ° °° ° ° ° ．t O y O yO y t O yty ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是8. 如图（1），E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线DC ED BE --运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是s cm /1.如果点P 、Q 同时开始运动，设运动时间为)(s t ，BPQ ∆的面积为)(2cm y ，已知y 与t 的函数关系的图象如图（2）所示，那么下列结论正确的是（） A. 8AE =B. 100≤≤t 当时，254t y = C. 4sin 5EBC ∠=D. 当s t 12=时，BPQ ∆是等腰三角形（三）其它类9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆心为点(1,0)C -，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段 DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是 A ．2 B ． 83C ．222+D ．222-图（2）y/cm 21440Q 图（1）PDCBA10. 如图，任意四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，把△AOB 、△AOD 、△COD 、△BOC 的面积分别记作S 1 、S 2 、S 3 、S 4，则下列各式成立的是A ．S 1 + S 3 = S 2+S 4B ．S 3－S 2 = S 4－S 1C ．S 1·S 4= S 2·S 3D ．S 1·S 3 = S 2·S 411．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，BC=1. 现将矩形ABCD绕点C 顺时针旋转90°得到矩形A B CD '''，则AD 边扫过的面积(阴影部分)为 A . 21π B. 31π C.41π D. 51π二：填空题中的面积问题（一）同底等高问题12．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E . (1) DE 的长为；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于．13．如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，（1）若CE =12CB ，CF =12CD ，则图中阴影部分的面积是；（2）若CE =1n CB ，CF =1n CD ，则图中阴影部分的面积是（用含n 的式子表示，n 是正整数）．BA S 1S 2 O S 4S 3DC A14．已知如图，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，若△ABC 的边长为1，则△BAE 的面积是 .四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，若正方形ABCD 的边长为4，则△FAC 的面积是 . ……如果两个正多边形ABCDE …和BPKGY …是正n (n ≥3)边形，正多边形ABCDE …的边长是2a ，则△KCA 的面积是 .（结果用含有a 、n 的代数式表示）15.如图，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1、 B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至A 2，B 2，C 2，使得 A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接 A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2……，按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积为 S 5=_________. 第n 次操作得到△A n B n C n ，则△A n B n C n 的面积S n = .16. 如图，已知△ABC 的面积S △ABC =1.在图（1）中，若21111===CACC BCBB ABAA , 则41S 111C B A △=;在图（2）中，若31222===CA CC BC BB AB AA , 则31S 222C B A △=; 在图（3）中，若41333===CA CC BC BB AB AA , 则167S 333C B A △=; 按此规律，若44415AA BB CC AB BC CA ===, 则444A B C S =P H GA E D C E FA D AB E DC G B F若91888===CA CC BC BB AB AA , 则=888C B A △S .（二）相似与同底等高17如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．D 4D 3D 2D 1C 5C 4C 3C 2C 1B 54B 3B B 1A……18如图，n +1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P 1M 1N 1N 2面积为S 1，四边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2，……，四边形P n M n N n N n+1的面积记为S n ，通过逐一计算S 1，S 2，…，可得S n = .19已知：如图，在Rt ABC ∆中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE ，交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…n D ，分别记11BD E ∆、22BD E ∆、33BD E ∆、…n n BD E ∆的面积为1S 、2S 、3S …n S ．设ABC ∆的面积是1,则1______S =，（第18题）N 1N 2N 3N 4N 5M 1M 2M 3M 4…D 4D 1D 2D 3AB321______nS=（用含n的代数式表示）.（三）割补20.如图，P为边长为2的正三角形中任意一点，连接PA、PB、P C，过P点分别做三边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________.21如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________．22 如图，Rt ABC△中，90ACB∠=，30CAB∠=，2BC=，O H，分别为边AB AC，的中点，将ABC△绕点B顺时针旋转120到11A BC△的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过图1A1B CAF EB CAF EB CDAF EB1C1F1D1E1A1B1C1F1D1图3AHBOC1O1H1A1C部分的面积（即阴影部分面积）为．24．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒．将ABC △绕直角顶点C 按顺时针方向旋转，得''A B C △，斜边''A B 分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，直角边'A C 与AB 交于点F ．若2CD AC ==，则ABC △至少旋转度才能得到''A B C △，此时ABC △与''A B C △的重叠部分（即四边形CDEF ）的面积为．三：22题中的面积问题（一）同底等高相似类FE DB'A'B C25. 已知△ABC 的面积为a ，O 、D 分别是边AC 、BC 的中点.（1）画图：在图1中将点D 绕点O 旋转180︒得到点E , 连接AE 、CE . 填空：四边形ADCE 的面积为；（2）在（1）的条件下，若F 1是AB 的中点，F 2是AF 1的中点, F 3是AF 2的中点,…, F n 是AF n -1的中点 (n 为大于1的整数), 则△F 2CE 的面积为 ; △F n CE 的面积为 . 解: （1）画图:图1填空：四边形ADCE 的面积为 .（2）△F 2CE 的面积为 ; △F n CE 的面积为 .26．问题背景（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S = ， △EFC 的面积1S = ， △ADE 的面积2S = ．探究发现（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =．拓展迁移（3）如图2，□DE FG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若 △ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积．图1（二）利用全等28．阅读材料并解答问题如图①，以Rt △ABC 的直角边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，可以得出结论△ABC 的面积与△AEG 的面积相等.(1)在图①中的△ABC 的直角边AB 上任取一点H ，连结CH ，以BH 、HC 为边分别向外作正方形HBDE 和正方形HCFG ，连结EG ，得到图②，则△HBC 的面积与△HEG 的面积的大小关系为 .(2)如图③，若图形总面积是a ，其中五个正方形的面积和是b ，则图中阴影部分的面积是 . (3)如图④，点A 、B 、C 、D 、E 都在同一直线上，四边形X 、Y 、Z 都是正方形，若图形总面积是m ，正方形Y 的面积是n ，则图中阴影部分的面积是 .F CDABEGGEDCA HZX Y EDABC图① 图② 图③ 图④BCDGF E 图2A30．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90,C ∠=︒ 30B E ∠=∠=︒. （1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 顺时针旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空：图1 图2 ① 线段DE 与AC 的位置关系是；② 设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是，证明你的结论；（2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（三）割补类31．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为)2( a a 的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ 的面积。

汇编《由面积产生的函数关系问题》含答案

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cos A＝14，点P是边AB上的动点，以P A为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C，求AP的长．图1 备用图如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，cos A ＝14，点P 是边AB 上的动点，以P A 为半径作⊙P ．（1）若⊙P 与AC 边的另一个交点为D ，设AP ＝x ，△PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；（3）若⊙C 的半径等于1，且⊙P 与⊙C ，求AP 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15徐汇25”，拖动点P 在AB 上运动，观察MN 的度量值，可以体验到，MN ≈1.41的时刻只有一个，MN 与圆心距CP 相交．思路点拨1．△PCD 的底边CD 上的高，就是弦AD 对应的弦心距．2．若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C 的半径等于1，公共弦MN ，那么△CMN 是等腰直角三角形．在四边形CMPN 中，利用勾股定理列关于x （⊙P 的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt △ABC 中， AC ＝4，cos A ＝14，所以AB ＝16，BC ＝设弦AD 对应的弦心距为PE ，那么AE ＝14AP ＝14x ，PE ＝4AP ＝4x ．所以y ＝S △PCD ＝12CD PE ⋅＝11(4)22x -＝2x x +．定义域是0＜x ＜8．（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF ＝PE ．因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ．由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m此时AE ＝4-，AP ＝4AE图2 图3（3）如图4，设⊙C 与⊙P 的公共弦为MN ，MN 与CP 交于点G ．由于CM ＝CN ＝1，MN ，所以△CMN 是等腰直角三角形，CG ＝NG ．如图5，作CH ⊥AB 于H ，由AC ＝4，那么AH ＝1，CH 2＝15．所以CP PG 4）．如图4，在Rt △PNG 中，由勾股定理，得222x =+．整理，得2x 2－64x ＋257＝0．解得1322x =，22x =（舍去）．图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF ，得1(16)4x x =-．解得x =．如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P 从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P 从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上．思路点拨1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．满分解答（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．解得13a=．所以2114(4)(2)333y x x x=-=--．顶点M的坐标为4(2,)3-．（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,－t)．（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)．将O′(2t,－2t)代入1(4)3y x x=-，得122(24)3t t t-=⨯-．解得12t=．将Q′(3t,－t)代入1(4)3y x x=-，得13(34)3t t t-=⨯-．解得t＝1．因此，当12t =时，点O ′落在抛物线上（如图2）；当t ＝1时，点Q ′落在抛物线上（如图3）．图2 图3（4）①如图4，当0＜t ≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ ．此时S ＝t 2． ②如图5，当1＜t ≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPF A ．此时AF ＝2t －2．此时S ＝1(222)1212t t t +-⨯=-．图4 图5③如图6，当1.5＜t ＜2时，重叠部分是五边形OCEF A ．此时CE ＝CP ＝2t －3．所以BE ＝BF ＝1－(2t －3)＝4－2t ．所以S ＝221111(32)1(42)28222t t t +⨯--=-+-．图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l 与t 之间有怎样的函数关系？如图4，(2l t =+．如图5，42l t =-+如图6，(42l t =-+．如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)．由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8．因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--．（2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝45．当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．图2 图3②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．由于S △APQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=，所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+．所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？”除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况．这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4例4如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1例4如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E 由A 向B 运动，观察图象，可以体验到，△ADE 的面积随m 的增大而增大，△CDE 的面积随m 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E 在AB 的中点时，△CDE 的面积最大．思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)．所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACB S AE S AB ∆∆=．而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ，所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=．m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE m AD AE m-==．因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD m S AD m ∆∆-==．所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+．当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818．此时E 是AB 的中点，92BE =．如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以sin B == 在Rt △BEH中，9sin 2EH BE B =⋅==．当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5 cos13ABC∠=．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5 cos13ABC∠=．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．图3 图4答案探究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S△ABD＝12mx，S△CBD＝12nx．（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得118422mx nx+=．所以168m nx+=．由于AC边上的高565BG=，所以x的取值范围是565≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值范围是x＝565或13＜x≤14．（4）发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为565．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿P A、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E 到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．（1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？图1思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t =．所以24S t =． ②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-．于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-， 211422233NHQ S NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭． ③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =．如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =．图8 图9。

2018年中考压轴题汇编《由面积产生的函数关系问题》含答案

由面积产生的函数关系问题例上海市徐汇区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点是边上的动点，以为半径作⊙．（）若⊙与边的另一个交点为，设＝，△的面积为，求关于的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（）若⊙被直线和直线截得的弦长相等，求的长；（）若⊙的半径等于，且⊙与⊙的公共弦长为，求的长．图备用图例黄冈市中考第题如图，在四边形中，，⊥轴于点，(,－)，(,－)，动点从出发，沿着轴正方向以每秒个单位长度的速度移动．过点作垂直于直线，垂足为．设点移动的时间为秒（＜＜），△与四边形重叠部分的面积为．（）求经过、、三点的抛物线的解析式，并确定顶点的坐标；（）用含的代数式表示点、的坐标；（）如果将△绕着点按逆时针方向旋转°，是否存在，使得△的顶点或在抛物线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；（）求出与的函数关系式．图例菏泽市中考第题如图，△是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图像与轴、轴的交点，点在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点使四边形能构成平行四边形．（）试求、的值，并写出该二次函数的解析式；（）动点从到，同时动点从到都以每秒个单位的速度运动，问：①当运动到何处时，由⊥？②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？图例广东省中考第题如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，联结、．（）求和的长；（）点从点出发，沿轴向点运动（点与点、不重合），过点作的平行线交于点．设的长为，△的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（）在（）的条件下，联结，求△面积的最大值；此时，求出以点为圆心，与相切的圆的面积（结果保留π）．图例河北省中考第题如图，图，在△中，＝，＝，．探究如图，⊥于点，则＝，＝，△的面积△＝．拓展如图，点在上（可与点、重合），分别过点、作直线的垂线，垂足为、．设＝，＝，＝．（当点与点重合时，我们认为△＝）（）用含，或的代数式表示△及△；（）求(＋)与的函数关系式，并求(＋)的最大值和最小值；（）对给定的一个值，有时只能确定唯一的点，指出这样的的取值范围．发现请你确定一条直线，使得、、三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图图例淮安市中考第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点在上，＝．点、同时从点出发，分别沿、以每秒个单位长度的速度向点、匀速运动，点到达点后立刻以原速度沿向点运动，点运动到点时停止，点也随之停止．在点、运动过程中，以为边作正方形，使它与△在线段的同侧．设、运动的时间为秒(＞)，正方形与△重叠部分的面积为．（）当＝时，正方形的边长是；当＝时，正方形的边长是；（）当＜≤时，求与的函数关系式；（）直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，最大？最大面积是多少？图由面积产生的函数关系问题答案例上海市徐汇区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点是边上的动点，以为半径作⊙．（）若⊙与边的另一个交点为，设＝，△的面积为，求关于的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（）若⊙被直线和直线截得的弦长相等，求的长；（）若⊙的半径等于，且⊙与⊙的公共弦长为，求的长．图备用图动感体验请打开几何画板文件名“徐汇”，拖动点在上运动，观察的度量值，可以体验到，≈的时刻只有一个，与圆心距相交．思路点拨．△的底边上的高，就是弦对应的弦心距．．若⊙被直线和直线截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．．⊙的半径等于，公共弦＝，那么△是等腰直角三角形．在四边形中，利用勾股定理列关于（⊙的半径）的方程．满分解答（）如图，在△中，＝，＝，所以＝，＝．设弦对应的弦心距为，那么＝＝，＝＝．所以＝△＝＝＝．定义域是＜＜．（）若⊙被直线和直线截得的弦长相等，那么对应的弦心距＝．因此四边形是正方形（如图），设正方形的边长为．由△＝△＋△，得·＝(＋)．所以＝＝．此时＝＝，＝＝．图图（）如图，设⊙与⊙的公共弦为，与交于点．由于＝＝，＝，所以△是等腰直角三角形，＝＝．如图，作⊥于，由＝，那么＝，＝．所以＝＝．因此＝（如图）．如图，在△中，由勾股定理，得．整理，得－＋＝．解得，（舍去）．图图考点伸展第（）题也可以这样计算：由于＝＝，由＝，得．解得．例黄冈市中考第题如图，在四边形中，，⊥轴于点，(,－)，(,－)，动点从出发，沿着轴正方向以每秒个单位长度的速度移动．过点作垂直于直线，垂足为．设点移动的时间为秒（＜＜），△与四边形重叠部分的面积为．（）求经过、、三点的抛物线的解析式，并确定顶点的坐标；（）用含的代数式表示点、的坐标；（）如果将△绕着点按逆时针方向旋转°，是否存在，使得△的顶点或在抛物线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；（）求出与的函数关系式．图动感体验请打开几何画板文件名“黄冈”，拖动点从开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点′和点′各有一次机会落在抛物线上．思路点拨．△在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．．试探取不同位置的点，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．满分解答（）由(,－)、(,－)，可知抛物线的对称轴为直线＝，点关于直线＝的对称点为()．于是可设抛物线的解析式为＝(－)，代入点(,－)，得－＝－．解得．所以．顶点的坐标为．（）△是等腰直角三角形，(, )，(,－)．（）旋转后，点′的坐标为(,－)，点′的坐标为(,－)．将′(,－)代入，得．解得．将′(,－)代入，得．解得＝．因此，当时，点′落在抛物线上（如图）；当＝时，点′落在抛物线上（如图）．图图（）①如图，当＜≤时，重叠部分是等腰直角三角形．此时＝．②如图，当＜≤时，重叠部分是等腰梯形．此时＝－．此时＝．图图③如图，当＜＜时，重叠部分是五边形．此时＝＝－．所以＝＝－(－)＝－．所以＝．图考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长与之间有怎样的函数关系？如图，．如图，．如图，．例菏泽市中考第题如图，△是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图像与轴、轴的交点，点在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点使四边形能构成平行四边形．（）试求、的值，并写出该二次函数的解析式；（）动点从到，同时动点从到都以每秒个单位的速度运动，问：①当运动到何处时，由⊥？②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？图动感体验请打开几何画板文件名“菏泽”，拖动点由向运动，观察随变化的图像，可以体验到，当最小时，点恰好是的中点．请打开超级画板文件名“菏泽”，拖动点由向运动，观察随变化的图像，可以体验到，当最小时，点恰好是的中点．思路点拨．求抛物线的解析式需要代入、两点的坐标，点的坐标由点的坐标得到，点的坐标由＝可以得到．．设点、运动的时间为，用含有的式子把线段、、的长表示出来．．四边形的面积最小，就是△的面积最大．满分解答（）由，得()，()．由于、关于对称，所以(－)，＝．因为，＝，所以()．将(－)、()分别代入，得解得，＝－．所以该二次函数的解析式为．（）①设点、运动的时间为．如图，在△中，＝，＝－＝－，∠＝∠＝．当⊥时，．所以．解得．图图②如图，过点作⊥，垂足为．由于△＝，△＝，所以四边形＝△－△＝．所以当＝时，四边形的最小值是．考点伸展如果把第（）①题改为“当运动到何处时，△是直角三角形？”除了⊥这种情况，还有⊥的情况．这时，所以．解得（如图所示）．图例广东省中考第题如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，联结、．（）求和的长；（）点从点出发，沿轴向点运动（点与点、不重合），过点作的平行线交于点．设的长为，△的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（）在（）的条件下，联结，求△面积的最大值；此时，求出以点为圆心，与相切的圆的面积（结果保留π）．图动感体验请打开几何画板文件名“广东”，拖动点由向运动，观察图象，可以体验到，△的面积随的增大而增大，△的面积随变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，在的中点时，△的面积最大．思路点拨．△与△相似，面积比等于对应边的比的平方．．△与△是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（）由，得(－)、()、(,－)．所以＝，＝．（）如图，因为，所以△∽△．所以．而，＝，所以．的取值范围是＜＜．图图（）如图，因为，所以．因为△与△是同高三角形，所以．所以．当时，△的面积最大，最大值为．此时是的中点，．如图，作⊥，垂足为．在△中，＝，＝，所以．在△中，．当⊙与相切时，．所以．考点伸展在本题中，△与△能否相似？如图，虽然∠＝∠，但是∠＞∠≥∠，所以△与△不能相似．例河北省中考第题如图，图，在△中，＝，＝，．探究如图，⊥于点，则＝，＝，△的面积△＝．拓展如图，点在上（可与点、重合），分别过点、作直线的垂线，垂足为、．设＝，＝，＝．（当点与点重合时，我们认为△＝）（）用含，或的代数式表示△及△；（）求(＋)与的函数关系式，并求(＋)的最大值和最小值；（）对给定的一个值，有时只能确定唯一的点，指出这样的的取值范围．发现请你确定一条直线，使得、、三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图图动感体验请打开几何画板文件名“河北”，拖动点由向运动，观察(＋)随变化的图象，可以体验到，到达之前，(＋)的值越来越大；经过之后，(＋)的值越来越小．观察圆与线段的交点情况，可以体验到，当运动到时（如图），或者点在圆的内部时（如图），圆与线段只有唯一的交点．图图答案探究＝，＝，△＝．拓展（）△＝，△＝．（）由△＝△＋△，得．所以．由于边上的高，所以的取值范围是≤≤．所以(＋)的最大值为，最小值为．（）的取值范围是＝或＜≤．发现、、三点到直线的距离之和最小，最小值为．例淮安市中考第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点在上，＝．点、同时从点出发，分别沿、以每秒个单位长度的速度向点、匀速运动，点到达点后立刻以原速度沿向点运动，点运动到点时停止，点也随之停止．在点、运动过程中，以为边作正方形，使它与△在线段的同侧．设、运动的时间为秒(＞)，正方形与△重叠部分的面积为．（）当＝时，正方形的边长是；当＝时，正方形的边长是；（）当＜≤时，求与的函数关系式；（）直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，最大？最大面积是多少？图动感体验请打开几何画板文件名“淮安”，拖动点由向运动，可以体验到，点在向运动时，正方形越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点折返以后，正方形的边长为定值，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，的最大值在六边形这个时段．请打开超级画板文件名“淮安”，拖动点由向运动，可以体验到，点在向运动时，正方形越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点折返以后，正方形的边长为定值，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，的最大值在六边形这个时段．思路点拨．全程运动时间为秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（）当＝时，＝；当＝时，＝．（）①如图，当时，．所以．②如图，当时，，，．于是，．所以．③如图，当时，，，．所以．图图图（）如图，图，图，图，重叠部分的最大面积是图所示的六边形，的最大值为，此时．图图图考点伸展第（）题中的临界时刻是这样求的：如图，当落在上时，，，由，得．如图，当落在上时，，，由，得．图图。

中考数学二次函数动点问题-由面积产生的函数关系问题

由面积产生的函数关系问题例1 2013年菏泽市中考第21题如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小此时四边形PDCQ 的面积是多少图1动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)．由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8．因为AD 218y x bx c =++240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩14b =-211384y x x =--4545AQ AP =545t t -=259AP t ==2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+11831222AD OA ⋅=⨯⨯=2233358112()()1021028t t t --+=-+5281845AP AQ =455t t =-209t =213922y x x =--21319(3)(6)222y x x x x =--=+-2()ADE ACB S AE S AB∆∆=18122ACB S AB OC ∆=⋅=222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=9CD BE mAD AE m -==9CDE ADE S CD mS AD m∆∆-==22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+92m =81892BE =3313sin 1313B ==93132713sin 21326EH BE B =⋅=⨯=r EH =272952S r ππ==5cos 13ABC ∠=12mx 12nx 118422mx nx +=168m n x+=565BG =5655655656011t ＜≤2EF t =24S t =66115t ＜≤2EF EH t ==2AE t=-33(2)44NE AE t ==-31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-211422233NHQS NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+-⎪⎝⎭625t ＜≤4EF =2AE t =-2AF t =+2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△11027514625t =2AE t=-2EH EF t==2324t t =-611t =2AF t =+2GF EF t==2324t t =+65t =思路点拨1．用含有t 的式子表示线段的长，是解题的关键． 2．第（2）题求S 与t 的函数关系式，容易忽略M 在OC 上、Q 在BC 上的情况．3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．满分解答（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43y x =．（2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502t ＜≤．在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43PM t =．在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65AE t =．于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153S PE PM t t =⋅=+．②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532t ＜≤．因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-．因此2132223S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163t =．因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-．所以16322S MQ PM t =⋅=-+．图2 图3 图4（3）①当502t ＜≤时，222162160(20)153153S t t t =+=+-．因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大，所以当52t =时，S 最大，最大值为856． ②当532t ＜≤时，2232812822()339S t t t =-+=--+．因为抛物线开口向下，所以当83t =时，S 最大，最大值为1289． ③当1633t ＜≤时，16322S MQ PM t =⋅=-+．因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14．综上所述，当83t =时，S 最大，最大值为1289．考点伸展第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的此时161332t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322S MQ PM t =⋅=-．图5例6 2011年重庆市中考第26题如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11重庆26”，拖动点A由P向A运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，S随t变化的图象分为四段；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．请打开超级画板文件名“11重庆26”，拖动点t，当t＝1时，FG恰好经过点C。

最新整理近几年(2018-2020)精选全国部分地区中考数学压轴题专题九：由面积产生的函数关系问题

挑战中考压轴题---中考冲刺系列2021版专题九：由面积产生的函数关系问题【例1】（2020•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB 于点M，N．（1）填空：AO的长为，AB的长为；（2）当t＝1时，求点N的坐标；（3）请直接写出MN的长为（用含t的代数式表示）；（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝时，请直接写出S1•S2（即S1与S2的积）的最大值为．【例2】（2020•襄阳）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．【例3】（2020•青岛删减版）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC 交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M 出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；由面积产生的函数关系问题-方法总结图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题。

(四)压轴题解题方法——由面积产生的函数关系

三部曲：先罗列两要素：R ，d ；再分类列方程；后解方程、检验．一般情况下，这个类型题无法先画出比较准确的示意图动点D ，AD ＝x ， AB ＝3 F AB E AD AC AO 于交于垂线交,,41=设五边形BCDEF 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．第一步确定方法，寻找矛盾ACAO AB x AD 41,3,=== 941922+=+=x AO x AC 第二步解决矛盾第三步整理变形第四步定义域怎么办先画两个夸张的图启迪一下思路求函数解析式，思路是顺畅的，方法是明显的，割补用x 表示AE 、AF941412+==x AC AO xAC AO AE =3ACAO AF =x x x AC AO AE 492+=⋅=12932+=⋅=x AC AO AF xx x x x x x AF AE x S 9681270129492132132422-+-=+⋅+⨯-=⋅-=动点D ，AD ＝x ，AB ＝3 FAB E AD AC AO 于交于垂线交,,41=333==AB AD 333==AB AD 求函数解析式，割补， x x AF AE x S 99121322++⋅-=思想不丰富，经验最主要！写函数定义域，t v B A P ,1,:=→动点 t v D C B Q ,2,:=→→动点（点P 不与A 、B 重合）设△APE 的面积为y ，求出y 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域．第一步读懂题目，分类画图确定底AP 构造高EN 怎样求EN第三步分类解决矛盾——求EN tv B A P,1,:=→动点tv D C B Q ,2,:=→→动点相似三角形对应高的比等于对应边的比第三步分类解决矛盾——求EN第四步分类整理变形第(2)(4)两个临界图不必画出来，但要心中有数P为射线CD上任意一点（P不与C重合），连结EP，将线段EP绕点E逆时针旋转90°得到线段EG. 设CP的长为x，△PFG的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．相似三角形对应高的比等于对应边的比EGEGt-=88248+==ttEGENENENt-=-82168tEN-=1232 44212+=⋅=ttENAPSttENAPS-=⋅=121621（点P不与A、B重合）思想方法技巧分类讨论思想对应高的比等于对应边比画图，磨刀不误砍柴工34tan=B第一步解读背景图第二步按题意分类画图如果你的图形很规范，那么直觉四边形CEFH 是正方形.如果你知道旋转的性质，那么四边形CEFH 是正方形. 否则，你会一筹莫展！第三步解决矛盾第四步分类整理变形P 为射线CD 上任意一点（P 不与C 重合）x 的取值范围是0<x <4 x 的取值范围是x >4.34tan =B 34tan =D xFG =底边xPH -=4高xFG =底边4-=x PH 高x x x x PH FG S 221)4(21212+-=-=⋅=x x x x PH FG S 221)4(21212-=-=⋅=设BM ＝x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大值．第一步确定方法，寻找矛盾第二步解决矛盾第三步整理变形82218221161622++-=⎪⎭⎫⎝⎛+--=-=∆x x x x S y ADN 10)2(212+--=x第四步配方因此，当x ＝2时，y 取最大值，最大值为10该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．割补用x 表示DN相似三角形 CNx x -=44241xx CN -=2414xx DN +-=2414x x DN +-=8221)414(42122+-=+-⨯=∆x x x x S ADN第一步分类画图，寻找矛盾设EF 为x ，△EMN 的面积为S 用x 表示MN MN 为定值2第二步分类解决矛盾设EF 为x ，△EMN 的面积为S第四步写定义域第五步求S 的最大值31+=x 对称轴抛物线开口向下，求函数解析式，分类是明显的，思路是清晰的， xGF -+=31)31(332332x GF MN -+==MN 为定值2xx xx EF MN S 33333)31(33221212++-=-+⋅=⋅=xx EF MN S =⨯=⋅=22121311+<<x xS =0＜x ≤1 .6323231+=+=最大值时，当S x S 的最大值为1t v C O D ,1,:=→动点 t v B A E ,2,:=→动点设四边形AEFD 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．第一步解读背景图数据的特殊性第二步确定割补方法，突破矛盾第三步解决问题两个阴影三角形是等高的，底的和式定值！33322tan ==B ︒=∠30B D E yt t y ==︒⋅=30sin 2轴x DE //tAE ME 330cos =︒⋅=tDE 33+=332)33(21)(21+=⨯+=+=+=∆∆t t FN AM DE S S S FDEADE 34=OABC S 梯形t S AOD 23=∆。

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由面积产生的函数关系问题例1 如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)．由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8．因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩ 解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--．（2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝45．当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．由于S △APQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=，所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+．所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？”除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况．这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4例2 如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)．所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACB S AE S AB∆∆=．而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ，所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=．m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE m-==．因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD m S AD m∆∆-==．所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+．当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818．此时E 是AB 的中点，92BE =．如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以3313sin 1313B ==．在Rt △BEH 中，93132713sin 21326EH BE B =⋅=⨯=．当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例3 如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2图3 图4答案探究 AH ＝12，AC ＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ．（2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x +=．由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14．所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．（3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14．发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565．例4 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．（1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？图1思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工． 2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t =．所以24S t =． ②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-．于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-，211422233NHQS NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭．③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =．如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =．图8 图9例5 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点，点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ．（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？图1思路点拨1．用含有t 的式子表示线段的长，是解题的关键．2．第（2）题求S 与t 的函数关系式，容易忽略M 在OC 上、Q 在BC 上的情况．3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．满分解答（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43y x =．（2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502t ＜≤．在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43PM t =．在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65AE t =．于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153S PE PM t t =⋅=+．②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532t ＜≤．因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-．因此2132223S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163t =．因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-．所以16322S MQ PM t =⋅=-+．图2 图3 图4 （3）①当502t ＜≤时，222162160(20)153153S t t t =+=+-．因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大，所以当52t =时，S 最大，最大值为856． ②当532t ＜≤时，2232812822()339S t t t =-+=--+．因为抛物线开口向下，所以当83t =时，S 最大，最大值为1289． ③当1633t ＜≤时，16322S MQ PM t =⋅=-+．因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14．综上所述，当83t =时，S 最大，最大值为1289．考点伸展第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的？此时161332t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322S MQ PM t =⋅=-．图5例6 如图1，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝23，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP ＝3．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形ABCD 在射线P A 的同侧．设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F 画对应的等边三角形EFG ，思路和思想以及分类的标准尽在图形中． 2．用t 表示OE 、AE 、EF 、AH 的长，都和点E 折返前后相关，分两种情况． 3．探求等腰三角形AOH ，先按顶点分三种情况，再按点E 折返前后分两种情况． 4．本题运算量很大，多用到1∶2∶3，注意对应关系不要错乱．满分解答（1）在Rt △ABC 中，233tan63BC BAC AB ∠===，所以∠BAC ＝30°．如图2，当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，在Rt △BCF 中，∠BFC ＝60°，BC =23，所以BF ＝2．因此PF ＝3－2＝1，运动时间t＝1．图2（2）①如图3，当0≤t ＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE ，2343S t =+． ②如图4，当1≤t ＜3时，重叠部分为五边形BQMNE ，234333S t t =-++． ③如图5，当3≤t ＜4时，重叠部分为梯形FMNE ，43203S t =-+． ④如图6，当4≤t ＜6时，重叠部分为等边三角形EFG ，23(6)S t =-．图3 图4 图5在△AOH 中，∠A ＝30°为定值，AO ＝3为定值，AH 是变化的．△AEH 的形状保持不变，AH ＝3AE ．当E 由O 向A 运动时，AE ＝3－t ；当E 经A 折返后，AE ＝t －3．图6 图7 图8①当AO ＝AH 时，解3(3)3t -=，得33t =-（如图7）；解3(3)3t -=，得33t =+（如图8）．②当OA ＝OH 时，∠AOH ＝120°，点O 与点E 重合，t ＝0（如图9）．③当HA ＝HO 时，H 在AE 的垂直平分线上，AO ＝3AH ＝3AE ．解3(3)3t -=，得t ＝2（如图10）；解3(3)3t -=，得t ＝4（如图11）．图9 图10 图11考点伸展图3，图4中，点E 向A 运动，EF ＝6；图5，图6中，点E 折返，EF ＝12－2t ．。