高中数学数列复习-题型归纳-解题方法整理

数列

一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想：

常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。

2.等差数列与等比数列的联系

1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a

a 是等比数列，公比为d

a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公

差。（a>0且a ≠1）；

2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。

3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。

3.等差与等比数列的比较

等差数列

等比数列

定义 常数）为(}{1d a a P A a n n n =-⇔⋅+ 常数）

为(}{1q a a P G a n

n n =⇔

⋅+ 通项公式 n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）

d=dn+1a -d

k n k n n q a q a a --==11

求和公式

n d a n d d n n na a a n s n n )2(22)

1(2)(1211-+=-+=+=

⎪⎩⎪

⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111

q q q a a q q a q na s n n n

中项公式

A=2

b a +

推广：2n a =m n m n a a +-+

ab G =2。

推广：m n m n n a a a +-⨯=2

性质

1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ，则q p n m a a a a =。

2 若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}

{n

k a 也为A.P 。

若}{n k 成等比数列 （其中

N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。

3 ．n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。

n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。

4

)(11n m n

m a a n a a d n

m n ≠--=--= 11a a q n n =

- ， m

n m n a a

q =- )(n m ≠ 4、典型例题分析

【题型1】 等差数列与等比数列的联系

例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an

}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得

121d +＝1812d

d

++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2

m

a =2n

，由等比数列前n 项和公式得

S m =2+22

+23

+ (2)

=2(12)12

n --=2n+1

-2.

小结与拓展：数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a

a 是等比数列，公比为d

a ，其中a 是常数，d 是{}

n a 的公差。（a>0且a ≠1）.

【题型2】 与“前n 项和Sn 与通项an ”、常用求通项公式的结合

例 2 已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22

a 3＋…＋2n －1

a n ＝8n 对任意

的n∈N *

都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．求数列{a n }与{b n }的通项公式。 解：a 1＋2a 2＋22

a 3＋…＋2

n －1

a n ＝8n(n∈N *

) ①

当n≥2时，a 1＋2a 2＋22

a 3＋…＋2n －2

a n －1＝8(n －1)(n∈N *

) ②

①－②得2

n －1

a n ＝8，求得a n ＝2

4－n

，

在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1

，

∴a n ＝2

4－n

(n∈N *

)． 由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，

∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2，∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， 法一（迭代法）

b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8) ＝n 2

－7n ＋14(n∈N *

)． 法二（累加法）

即b n －b n －1＝2n －8，

b n －1－b n －2＝2n －10， …

b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，

相加得b n ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)

＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2

＝n 2－7n ＋14(n∈N *

)．

小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：

⎩⎨

⎧∈≥-===-)

N n ,2( )1(

111n S S n S a a n n n .是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。

【题型3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）

例3 （2009汕头一模）在等比数列｛a n ｝中，a n ＞0 (n ∈N ＊

），公比q ∈(0,1)，且a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，a 3与a s 的等比中项为2。（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）设b n ＝log 2 a n ，数列｛b n ｝的前n 项和为S n 当

12

12n S S S n

++•••+最大时，求n 的值。 解：（1）因为a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，所以，23a + 2a 3a 5 +2

5a ＝25

又a n ＞o ，…a 3＋a 5＝5 又a 3与a 5的等比中项为2，所以，a 3a 5＝4 而q ∈（0,1），所以，a 3＞a 5，所以，a 3＝4，a 5＝1，1

2

q =

，a 1＝16，所以， 1

511622n n n a --⎛⎫

=⨯= ⎪

⎝⎭

（2）b n ＝log 2 a n ＝5－n ，所以，b n ＋1－b n ＝－1，

所以，{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列。所以，(9),2

n n n S -=92n S n

n -= 所以，当n ≤8时，

n S n ＞0，当n ＝9时，n S n ＝0，n ＞9时，n S

n

＜0， 当n ＝8或9时，1212n S S S

n

++•••+最大。

小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。