考研数学练习题推荐

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考研应用数学试题题库及答案

考研应用数学试题题库及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数为：A. 2x+1B. 2x+2C. 2xD. 2答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 微分方程y''+y=0的通解为：A. y=C1*cos(x)+C2*sin(x)B. y=C1*e^x+C2*e^(-x)C. y=C1*x+C2D. y=C1*x^2+C2*x答案：A4. 矩阵A=[1,2; 3,4]的行列式为：A. -2B. 2C. -5D. 5答案：D5. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率为：A. 0C. 2D. -2答案：C6. 函数f(x)=e^x的不定积分为：A. e^x+CB. e^x-CC. x*e^x+CD. x*e^x-C答案：A7. 函数f(x)=x^2+3x+2的极值点为：A. x=-1B. x=-2C. x=1答案：A8. 曲线y=x^3-3x^2+2x在点(1,0)处的切线方程为：A. y=2x-2B. y=-2x+2C. y=2xD. y=-2x答案：A9. 矩阵A=[1,0; 0,2]的逆矩阵为：A. [1,0; 0,1/2]B. [1,0; 0,2]C. [1,0; 0,1]D. [1/2,0; 0,1]答案：A10. 函数f(x)=ln(x)的二阶导数为：A. 1/x^2B. -1/x^2C. 1/xD. -1/x答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值为______。

答案：-112. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5x)的值为______。

答案：013. 微分方程y'+2y=e^(-2x)的特解为______。

答案：y=-1/2*e^(-2x)+C*e^(-2x)14. 函数f(x)=x^3的不定积分为______。

数学极限练习题考研

数学极限练习题考研数学极限是考研数学中的一个重要的知识点，也是比较难以理解和掌握的内容之一。

掌握了数学极限的概念和运算方法，对于考生在考研数学中获得高分非常有帮助。

下面我将为大家列举一些数学极限的练习题，帮助大家更好地掌握和应用数学极限。

【练习题一】求极限1. $\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}$2. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$3. $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}$4. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$5. $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right)$【解答】1. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{e^x}{1} = 1$$2. 同样根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$3. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$$4. 这是一个经典的极限，可以用连续复利公式证明，答案为：$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$5. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right) = \lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x}{\sin x}}{x}$$利用洛必达法则：$$= \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2}\sin x + \frac{x\cos x}{\sin^2 x}}{1} = -\frac{1}{2}$$通过解答以上练习题，我们可以发现，掌握数学极限的运算方法和技巧是非常重要的。

考研数学试题大全及答案

考研数学试题大全及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 极限的概念是微积分学的基础，以下哪个选项是正确的极限定义？A. 函数在某点的极限是该点的函数值B. 函数在某点的极限是该点的函数值的极限C. 函数在某点的极限是该点的函数值的极限，如果存在的话D. 函数在某点的极限是该点的函数值，如果存在的话答案：C2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫e^x dx = e^x + CD. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C答案：D4. 二阶导数测试法可以用来确定函数的凹凸性，以下哪个选项是正确的？A. 如果f''(x) > 0，则函数f(x)在该点是凹的B. 如果f''(x) < 0，则函数f(x)在该点是凸的C. 如果f''(x) > 0，则函数f(x)在该点是凸的D. 如果f''(x) < 0，则函数f(x)在该点是凹的答案：C5. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数的定义？A. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x+h, y) - f(x, y)] / hB. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x, y+h) - f(x, y)] / hC. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x+h, y) - f(x, y)] / hD. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x, y) - f(x-h, y)] / h答案：C6. 以下哪个选项是正确的二重积分的性质？A. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(y, x) dAB. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(-x, -y) dAC. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(-x, y) dAD. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(x, -y) dA答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数是_________。

考研数学练习题推荐

考研数学练习题推荐考研数学是许多考研学子的必考科目，它不仅考验学生的数学基础，还考察学生的逻辑思维和解题能力。

以下是一些推荐的考研数学练习题，帮助学生更好地准备考试。

首先，基础题是考研数学复习的起点。

基础题包括了高等数学、线性代数和概率论与数理统计的基本概念和公式。

例如，求极限、导数、积分的基本计算，矩阵的运算，以及概率分布和期望的计算等。

这些题目可以帮助学生巩固基础知识，为解决更复杂的问题打下坚实的基础。

其次，应用题是考研数学中的重要部分。

应用题通常涉及到实际问题，要求学生运用数学知识进行分析和解决。

例如，使用微积分解决物理运动问题，利用线性代数解决工程问题，或者应用概率论解决统计问题。

这类题目可以提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

再者，综合题是考研数学中难度较高的部分。

综合题往往需要学生综合运用多个数学分支的知识，如将微积分与线性代数结合，或者将概率论与数理统计结合。

这类题目可以锻炼学生的综合思维能力，提高解题技巧。

此外，历年真题是考研数学复习中不可或缺的资源。

通过做历年真题，学生可以了解考试的题型和难度，熟悉考试的出题风格，从而更好地调整自己的复习策略。

最后，模拟题和练习册也是很好的复习材料。

市面上有许多针对考研数学的模拟题和练习册，它们提供了大量的练习题和解题指导，帮助学生查漏补缺，提高解题速度和准确率。

总之，考研数学的复习是一个系统的过程，需要学生从基础到综合，从理论到应用，不断练习和总结。

希望以上的推荐能够帮助到正在准备考研数学的同学们，祝大家考试顺利！。

考研数学往年试题及答案

考研数学往年试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^3-3答案：A2. 已知集合A={x|x<2}，B={x|x>3}，则A∩B=？A. {x|x<2}B. {x|x>3}C. {x|2<x<3}D. 空集答案：D3. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设矩阵A=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]，求A的行列式值。

A. -2B. 2C. -1D. 1答案：B5. 求极限lim(x→0) (sin x)/x的值。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B6. 已知等差数列{an}的前三项为1，4，7，求通项公式an。

A. 3n-2B. 3n+1C. n+3D. 3n-1答案：A7. 设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的最小值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B8. 已知曲线y=x^3-3x+1在点(1, -1)处的切线斜率。

A. 1B. -1C. 3D. -3答案：A9. 计算二重积分∫∫D (x^2+y^2) dxdy，其中D为x^2+y^2≤1的区域。

A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：B10. 设函数f(x)=ln(x+√(1+x^2))，求f'(x)的值。

A. 1/(√(1+x^2)+x)B. 1/(√(1+x^2)-x)C. 1/(√(1+x^2))D. 1/(1+x^2)答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)的值。

答案：3x^2-12x+112. 已知等比数列{bn}的前三项为1，2，4，求通项公式bn。

考研数学练习题汇总

考研数学练习题汇总一、选择题1. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)内有几个零点？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 极限lim(x→0) (x^2sin(1/x))的值为？A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 若矩阵A和B满足AB=0，且|A|≠0，则矩阵B的行列式为？A. 0B. 1C. -1D. 不确定二、填空题4. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值为________。

5. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分为________。

6. 对于向量α=(1,2,3)和β=(4,5,6)，它们的点积为________。

三、解答题7. 证明函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上单调递增。

8. 计算二重积分∬(D) (x^2+y^2) dA，其中D是由直线x=0，y=0，x+y=1所围成的三角形区域。

9. 求解线性方程组：\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}四、证明题10. 证明对于任意实数x，不等式e^x ≥ x+1成立。

11. 证明函数f(x)=x^3在实数域R上是增函数。

五、应用题12. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为50元，售价为80元。

若生产x件产品，则总成本为50x元，总收入为80x元。

求生产多少件产品时，利润最大，并说明理由。

13. 一个容器内装有2升盐水，含盐量为10%。

若每次向容器内加入1升含盐量为20%的盐水，并充分搅拌后倒出1升混合液，如此反复操作3次，求容器内盐水的含盐量。

以上题目涵盖了考研数学中的多个重要知识点，包括函数的性质、极限、积分、线性代数等。

通过这些题目的练习，可以有效地检验和巩固考生对数学基础知识的掌握情况，为考研数学的复习打下坚实的基础。

考研数学经典题库精选

考研数学经典题库精选考研数学对于许多考生来说，是一道难以跨越的关卡。

为了帮助大家更好地备考，下面为大家精选了一些经典的考研数学题目，并进行详细的解析。

首先，来看一道函数极限的题目。

例 1：求极限＄＼lim_{x\to 0} ＼frac{＼sin 2x}｛x}＄这道题考查的是函数极限的基本计算方法。

我们知道，当＄x\to0$ 时，＄＼lim_{x\to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，那么对于这道题，我们可以将分子变形为＄2\times\frac{＼sin 2x}｛2x}＄，则原式可以化为＄2\lim_{x\to 0} ＼frac{＼sin 2x}｛2x} ＝ 2\times 1 ＝ 2$。

接下来，是一道关于导数的题目。

例 2：已知函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$，求＄f'（x)＄对于这类求导的题目，我们根据求导公式进行计算。

＄f'（x) ＝3x^2 6x$。

再看一道积分的题目。

例 3：计算积分＄＼int_{0}＾｛＼pi} ＼sin^2 x ＼，dx$这道题需要用到三角函数的倍角公式＄＼sin^2 x ＝＼frac{1 ＼cos 2x}｛2}＄，将其代入积分式可得：＼＼begin{align}＼int_{0}＾｛＼pi} ＼sin^2 x ＼，dx&＝＼int_{0}＾｛＼pi} ＼frac{1 ＼cos 2x}｛2} ＼，dx\＼＆＝＼frac{1}｛2}＼int_{0}＾｛＼pi} （1 ＼cos 2x) ＼，dx\＼＆＝＼frac{1}｛2}＼left(x ＼frac{1}｛2}＼sin 2x\right)＼Big|＿{0}＾｛＼pi}＼＼＆＝＼frac{1}｛2}（＼pi 0)＼＼＆＝＼frac{＼pi}｛2}＼end{align}＼下面是一道线性代数的题目。

例 4：设矩阵＄A ＝＼begin{pmatrix} 1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 4 ＼end{pmatrix}＄，求其逆矩阵＄A^｛－1}＄我们可以使用矩阵求逆的公式，先计算矩阵＄A$ 的行列式＄｜A| ＝ 1\times 4 2\times 3 ＝－2$，然后计算伴随矩阵＄A^＄，得到＄A^ ＝＼begin{pmatrix} 4 ＆－2 ＼＼－3 ＆ 1 ＼end{pmatrix}＄，则逆矩阵＄A^｛－1} ＝＼frac{1}｛2}A^ ＝＼begin{pmatrix} －2 ＆ 1 ＼＼＼frac{3}｛2} ＆＼frac{1}｛2} ＼end{pmatrix}＄概率论与数理统计方面也有经典题目。

考研数学解析几何练习题

考研数学解析几何练习题解析几何是考研数学中的一大难点，需要掌握一定的基础知识和解题技巧。

下面将给出一些解析几何练习题，帮助考研学子更好地备战考试。

1. 题目：已知平面α过点A(1, 2, 3)，且与直线l1: (x-1)/2 = y/3 = z/4 相交于点B，与直线l2: x/1 = y/2 = z/3 平行，求平面α的方程。

解法：首先求出直线l1和l2的方向向量，分别为v1(2, 3, 4)和v2(1, 2, 3)。

由于平面α与直线l2平行，故平面α的法向量与v2平行，设平面α的法向量为k(1, 2, 3)。

又因为平面α过点A(1, 2, 3)，所以平面α的方程为：x - 1 + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0。

2. 题目：已知四面体ABCD，其中AB = 3，AC = 4，AD = 12，且直线BD垂直于平面ACD，求四面体ABCD的体积。

解法：设直线BD与平面ACD的交点为O，则三角形ABC、ABD 和ACD共面，且OD垂直于平面ABC。

由于OD垂直于平面ABC，故OD与ABC平面上的任意一条线段都垂直。

又因为OD垂直于平面ACD，故OD与平面ACD上的任意一条线段都垂直。

综上所述，OD是四面体ABCD的高，OD的长度可以通过向量AD 在向量AC上的投影求得。

设向量AD为a，向量AC为b，则OD = |a·b| / |b|，其中·表示点乘运算。

计算得到OD = 9，根据体积公式V = (底面积 ×高) / 3，可得四面体ABCD的体积为36。

3. 题目：已知二次曲面S：x^2 + y^2 - z^2 = 1，直线l：x = 1 + t，y = 2 - 2t，z = 3t，求直线l与二次曲面S的交点坐标。

解法：将直线l的参数方程代入二次曲面S的方程，得到(1+t)^2 + (2-2t)^2 - (3t)^2 = 1。

化简得到9t^2 - 6t = 0，解得t = 0或t = 2/3。

【考研数学】函数求导数巩固练习及答案

巩固练习一、选择题1.若极限2220lim1h h f a h f a h A e ，则函数 f x 在x a 处（A ）不一定可导.（B ）不一定可导，但 f a A .（C ）不一定可导，但 f a A（D ）可导，且 f a A .2.设 223f x x x x ，则使 0n f 存在的最高阶数n （A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.3.设 21sin , 0,, 0x x f x xax b x 在0x 处可导，则,a b 满足（A ）0a ，0b .（B ）1a ，1b .（C ）a 为任意常数，0b .（D ）a 为任意常数，1b .4.设0,0x f x x 则（A ） f x 在0x 处不连续.（B ） 0f 存在.（C ） 0f 不存在，曲线 y f x 在点 0,0处不存在切线.（D ） 0f 不存在，曲线 y f x 在点 0,0处存在切线.二、填空题1.若函数 f x 在1x 处的导数存在，则极限112sin 213tan limx f x f x f x x______________.2.设 01f ， 00f ，则 21cos limtan x f x x ____________.3.设3232x y f x，且 2arctan f x x ，则0x dy dx _____________.4.设2sin y x ，则3dyd x ______________.5.设 f x 有任意阶导数且 3f x f x ，1n ，则 n f x _____________.6.设 2ln 1y x ，则 50y __________________.7.设21,cos ,x t y t则22d ydx _____________.8.曲线 321x y 上点 5,8处的切线方程是______________.9.曲线ln y x 上与直线1x y 垂直的切线方程为_____________.10.曲线231,x t y t上对应点2t 处的切线方程为______________.11.设函数 21sin , 0,0, 0x x f x xx的导函数在0x 处连续，则的取值为____________.三、计算题1.计算下列各题：（Ⅰ）设2sin xy e dydx；（Ⅱ）设2x y，其中0a b ，求y .2.设 ,,x f t y tf t f t其中 f t 三阶可导，且 0f t ，求d d y x ，22d d y x ，33d d y x ；3.计算下列各题（提示，等式两边取对数后再求导）：（Ⅰ）由方程y x x y 确定 x x y ，求d d xy；（Ⅱ）方程1x y y e 确定 y y x ，求 y x ；4.设函数 y f x 有反函数 x g y ，且 3f a ， 1f a ， 2f a ，求 3g .5.设函数 cos ,0,0g x xx f x xa x其中 g x 二阶连续可导，且 01g .（1）确定常数a ，使得 f x 在0x 处连续；（2）求 f x ；（3）讨论 f x 在0x 处的连续性.答案解析一、选择题1.【分析】只有极限222222limlim1h h h f a h f a h f a h f a h A Ah e 存在并不能保证极限22limh f a h f a h 与22limh f a h f a h 都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选（A ）.例如：设()f x x a ，则222222limlim01h h h f a h f a h h h h e ，极限存在，但f x 在x a 处不可导.2.【分析】设 323,0,,0x x g x x x x x，所以22023,0,0lim 0,0,303,0x x x x x g x x x x x x x，06,0,30lim0,0,606,0x x x x x g x x x x x x，由于x 在0x 处不可导，因此2n .选（C ）.3.【分析】首先， f x 在0x 连续 00lim lim 0x x f x f x f，即0b .然后， f x 在0x 可导 00f f .当0b 时， 21sin ,0,, 0.x x f x xax x 按定义求出2001sin 00limlim0x x x f x f x f xx.由求导法则知 00x f ax a.由 00f f 得0a ，因此选（A ）.4.【分析】显然 0lim 00x f x f ，又000limlimx x f x f xx，000lim lim x x f x f x x，y f x 的图形如图：因此， 0f 不存在，但 y f x 在 0,0处存在切线0x （y 轴），选（D ）.二、填空题1.【分析】按导数定义，将原式改写成原式 01112sin 113tan 1sin tan lim 262sin 3tan x f x f f x f f x f x x x x x x x1216191f f f f .2.【分析】原式 22001cos 01cos 1cos 1lim0lim 1cos tan 2x x f x f x x f x x x .3.【分析】 y f u ，32413232x u x x，01x u . 02d 443111d 3232x x x yf f xx x3344.4.【分析一】设3u x，则x ，223x u ，23sin y u ，于是由复合函数求导法则即得2123322cos cos 33u x y u u x.【分析二】用微分来求.22233d d /cos 22cos 33d d /y y dx x x x x x x x dx.5.【分析】 2533f x f x f x f x ， 473535f x f x f x f x ，找规律得：2121!!n n f x n f x .6.【分析】 224611ln 123y x x x x ，由泰勒公式的唯一性可知：(5)(0)05!f，所以(5)(0)0f .7.【分析】d sin d 2t t y y t x t x ，2223d 1cos sin 1sin cos sin d 2d d 224ty t t t t t t t xt t x t t t.8.【分析】由隐函数求导法，将方程 321x y 两边对x 求导，得2312x yy .令5x ，8y 即得 53y .故曲线 321x y 在点 5,8处的切线方程是83537y x y x .9.【分析】与直线1x y 垂直的直线族为y x c ，其中c 是任意常数，又因ln y x 上点00000,,ln 0x y x x x 处的切线方程是 0000011ln ln 1y x x x x x x x，从而，切线与1x y 垂直的充分必要条件是00111x x ，即该切线为1y x .10.【分析】2t 时 ,5,8x y ，2d 333d 22t t y y t t x t x .切线方程为 835y x ，即37y x .11.【分析】由导数定义可求得21201sin10limlim sin x x x x f x x x .上述极限只在1 时存在，且此时 00f ，于是 f x 的导函数为132211sin 2cos ,0,0, 0.x x x f x x xx欲使 f x 在0x 处连续，必须有13220011lim lim sin 2cos 0x x f x x x x x，而这一极限为零应满足3 .三、计算题1.【解】（Ⅰ）2sin d 2sin cos ln 2d x y e x x x2sin sin212xe x（Ⅱ）12y221tan cos22a bx xa ba b a b221cos sin2211cos1cos221cosx xa b a bx xa b a ba b x.2.【解】ddtttf t f t tf tyytx f t f tx，22d dd d dd1d d d/dy yty dx dxx x x t f t，22223332d dd d dd dd1d d d/dy ytf t f tx xyx x x t f t f t f t.3.【解】（Ⅰ）两边取对数得ln lny x x y，两边对y求导，并注意x x y，得d dln lnd dy x x xx yx y y y.上式两边乘xy，并移项得22dln lndxy xy y x xy xy.解出ddxy得22d lnd lnx x xy xy y xy y.（Ⅱ）y xe y，两边取对数得lny x y.对x求导d dlnd dy x yyx y x，d d d lnlnd d dy y y yy y y xx x x y x.将ddyx的方程d dlnd dy yy y y xx x两边对x求导得22222d d d d dln2d d d d dy y y y yy y xx x x x x.解出22ddyx并代入ddyx表达式得222222ln 2ln ln d ln ln ln 2d y y x y y y y y y y y y y x y x y x y x y x 注意ln y x y ，于是 2322ln d d y x y yy x y x .4.【解】 1g y f x， 3()()f x dg y dg y dx g y dy dy dx f x.因为 3f a ，所以当3y 时，x a ，所以 332f a g f a.5.【解】（1） 00cos 01cos lim limlim 0x x x g x xg x g x f x g xx x，当 0a g 时， f x 在0x 处连续。

考研数学精选试题及答案

考研数学精选试题及答案# 考研数学精选试题及答案## 一、选择题1. 题目：设函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $，求 $ f'(x) $。

选项：A. $ 3x^2 - 6x + 2 $B. $ x^3 - 3x + 2 $C. $ 3x^2 - 6x + 1 $D. 无解析解答案：A2. 题目：若 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，求$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} $。

选项：A. 2B. 1C. 0D. 无法确定答案：A3. 题目：设 $ a, b $ 为实数，若 $ a^2 + b^2 = 1 $，求$ (a + b)^2 $ 的最大值。

选项：A. 1B. 2C. $ \frac{1}{2} $D. 无法确定答案：B## 二、填空题1. 题目：已知 $ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，求$ \int_{0}^{1} x^3 dx $。

答案：$ \frac{1}{4} $2. 题目：设 $ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} = 0 $，求 $ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} $。

答案：13. 题目：若 $ e^x = 1 + x $，求 $ x $。

答案：0## 三、解答题1. 题目：证明：对于任意正整数 $ n $，$ 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 $。

解答：首先，我们可以通过数学归纳法来证明这个等式。

对于 $ n = 1 $，等式成立。

假设对于 $ n = k $，等式成立，即 $ 1^3 + 2^3 + ... + k^3 = \left(\frac{k(k + 1)}{2}\right)^2 $。

(word完整版)考研专项练习高等数学--习题集

第一章函数·极限·连续一. 填空题1. 已知,__________)(,1)]([,sin )(2=-==x x x f x x f ϕϕ则定义域为___________.2．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a t ax x dt te x x 1lim , 则a = ________. 3.⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________.4. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f 1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______. 5.)3(lim n n n n n --+∞→=_______.6. 设当x bx ax e x f xx 为时++-=→11)(,0的3阶无穷小, 则.___________,==b a 7. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______. 8. 已知A n n n kk n =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______.二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则(a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d) )()(x f x ϕ必有间断点 2. 设函数x e x x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数3. 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界(a) (－1, 0) (b) (0, 1) (c ) (1, 2) (d) (2, 3)4. 当11211,1---→x e x x x 函数时的极限5. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在6. 设8)1()1()1(lim 502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为 (a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对7. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(lim x x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β =31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531 (d) 均不对8. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小9. 设6)31)(21)(1(lim 0=++++→xa x x x x , 则a 的值为 (a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 310. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim 2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c三. 计算题1. 求下列极限 (1)x x x e x 1)(lim ++∞→(2)x x xx )1cos 2(sin lim +∞→ (3)310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→2. 求下列极限 (1) 23)11ln(lim -+x(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220cot 1lim 3. 求下列极限 (1))1(ln lim -∞→n n n nn (2)nx nxn e e --∞→+-11lim(3) n n n n b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 04. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.5. 求下列函数的间断点并判别类型 (1) 1212)(11+-=x x x f(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x x x x x f π 00>≤x x 6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e xx x f 1sin )( 00≤>x x 在x = 0处的连续性.7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且 a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 n n c c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = g(ξ).11. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x f xx x , 求)0(''),0('),0(f f f 及203)(lim x x f x +→.第二章导数与微分一. 填空题1 . 设)('31)()(lim 0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.2. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy ey x 确定, 则=dx dy ______.3. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______.4. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆x x n x f x m x f x )()(lim 000_______. 5.x x x f +-=11)(, 则)()(x f n = _______.6. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫ ⎝⎛21'f _______.7. 设f 为可导函数,)]}([sin sin{x f f y =, 则=dx dy _______.8. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy ey x 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.二. 选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 (a)1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([!2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 34. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, x dy y x ∆-∆→∆0lim等于5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=bax x x x f 1sin )(2 00≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数三. 计算题1.')]310ln[cos(2y x y ，求+=2. 已知f(u)可导,')][ln(2y x a x f y ，求++=3. 已知200sin cos 22y tdt dt e x y t +=⎰⎰, 求'y .4. 设y 为x 的函数是由方程x y y x arctan ln22=+确定的, 求'y .四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时⎩⎨⎧++=c bx ax x f x F 2)()( 00>≤x x 二阶可导.五. 已知)0(1)()(22n f x x x f ，求-=.六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .第三章一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1.⎰-+-dx x x x 11ln 1122. c x x x x d x x dx x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.⎰++⋅+++dx x x x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2 4.⎰+)1(8x x dx 5．dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1二. 求下列不定积分: 1. ⎰+++22)1(22x x x dx 2. ⎰+241x x dx 3. ⎰++221)12(x xdx 4. ⎰-222x a dx x (a > 0) 5.⎰-dx x 32)1(6.⎰-dx x x 4217. ⎰-+dx x x x 1122三. 求下列不定积分: 1.⎰+-+dx e e e e x x x x 1243 2.⎰+)41(2x x dx四. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x 1005)2( 2. ⎰+41x x dx五. 求下列不定积分:1.⎰xdx x 2cos2.⎰xdx 3sec 3.⎰dx x x 23)(ln4.⎰dx x )cos(ln5. ⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x x x dx x x x 2sin 812sin 812sin 812cos 2sin 2cos 81sin 2cos 22233434c x x x xd x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222六. 求下列不定积分: 1.⎰-++dx x x x x 222)1()1ln(2. ⎰+dx x xx 21arctan3.⎰dx e e x x 2arctan七. 设⎩⎨⎧-+-+=-x e x x x x x f )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(.八. 设x b x a e f x cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x).九. 求下列不定积分:1.⎰++dx x x x )32(332 2.⎰-+-dx x x x )13()523(232 3.dx x x x ⎰+++221)1ln( 4. ⎰+++++)11ln()11(222x x x xdx十. 求下列不定积分: 1. ⎰+dx x x x )1(arctan 22.⎰+dx x x 1arcsin 3.⎰-+⋅dx x x x x 22211arcsin4. dx x x x⎰+)1(arctan 22十一. 求下列不定积分: 1. ⎰-dx x x 234 2. ⎰-x a x 223. dx e e e x x x ⎰-+21)1(4. ⎰-dx x a xx 2 (a > 0)十二. 求下列不定积分: 1. ⎰+x x dxcos 1sin 2. ⎰+-dx x xcos 2sin 2 3. ⎰+dx x x xx cos sin cos sin十三. 求下列不定积分: 1. dx x x x⎰-1 2. ⎰+-dx e e x x 113. dxx x x ⎰--1arctan 1第三章一元函数积分学(定积分)一．若f(x)在[a ，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数Φ(x), 均有0)()(=Φ⎰badx x x f , 则f(x) ≡ 0.二. 设λ为任意实数, 证明: ⎰+=20)(tan 11πλdx x I =4)(cot 1120ππλ=+⎰dx x .三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y 都有|f(x)－f(y)| < M |x －y|, 证明 n Mn k f n dx x f n k 21)(110≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=四. 设⎰=40tan πxdx I n n , n 为大于1的正整数, 证明:)1(21)1(21-<<+n I n n .五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < α < β < 1的任何 α, β, 有 ⎰⎰>βαααβdx x f dx x f )()(0六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且)(''x f < 0, 证明:⎪⎭⎫⎝⎛+-≤⎰2)()(b a f a b dx x f ba七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给α ∈ (0, 1), 有 ⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f αα八. 设f(x)在[a, b]上连续,)('x f 在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证: ⎰≤ba dx x f x f |)('|21|)(|, (a < x < b)九. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数)(''x f , 且0)(0)1()0(≠==x f f f ，, 试证:4)()(''1>⎰dx x f x f十. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)－f(0) = 1, 试证: 1)]('[12≥⎰dx x f十一. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且⎰2)(dx x f = 0,⎰2)(dx x xf = a > 0. 证明: ∃ ξ ∈ [0, 2], 使|f(ξ)| ≥ a.第三章一元函数积分学(广义积分)一. 计算下列广义积分: (1)⎰-231)1(dx e e xx(2) ⎰+∞++022)4)(1(1dx x x(3)⎰∞+∞-+232)1(x dx(4) ⎰1)sin(ln dx x(5)⎰---12211dx x x(6)dx x x ⎰+∞+0232)1(arctan第四章微分中值定理一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且1)('≠x f , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且)0()(3132f dx x f =⎰. 证明: 在(0, 1)内存在一个ξ, 使0)('=ξf .三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x －1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个ξ, 使 0)(''=ξF .四. 设f (x )在[0, x ](x > 0)上连续, 在(0, x )内可导, 且f (0) = 0, 试证: 在(0, x )内存在一个ξ, 使 )(')1ln()1()(ξξf x x f ++=.五. 设f (x )在[a , b ]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个ξ ∈ (a , b ), 使 1)](')([)()(1-+=-n nn f nf b f a f a b a b ξξξξ六. 设函数f (x ), g (x ), h (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明:存在一个ξ ∈ (a , b ), 使0)(')(')(')()()()()()(=ξξξh g f b h b g b f a h a g a f七. 设f (x )在[x 1, x 2]上二阶可导, 且0 < x 1 < x 2, 证明:在(x 1, x 2)内至少存在一个ξ, 使 )(')()()(1212121ξξf f x f x f e e e e x xx x -=-八. 若x 1x 2 > 0, 证明: 存在一个ξ ∈ (x 1, x 2)或(x 2, x 1), 使 )()1(212112x x e e x e x x x --=-ξξ九. 设f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 且f (a ) = f (b ) = 0, g (x ) ≠ 0, 试证: 至少存在一个ξ ∈ (a , b ), 使)()(')()('ξξξξf g g f =十. 设f (x ) 在[a , b ]上连续)0(b a <<,在(a , b )内可导, 证明在(a , b ) 存在abf f )(')(',2ηηξηξ=使.第五章一元微积分的应用一. 选择题1. 设f(x)在(－∞, +∞)内可导, 且对任意x 1, x 2, x 1 > x 2时, 都有f(x 1) > f(x 2), 则 (a) 对任意x,0)('>x f (b) 对任意x, 0)('≤-x f(c) 函数f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加2. 曲线)2)(1(1arctan212-+++=x x x x ey x 的渐近线有 (a) 1条 (b) 2条 (c) 3条 (d) 4条3. 设f(x)在[－π, +π]上连续, 当a 为何值时, ⎰--=ππdx nx a x f a F 2]cos )([)(的值为极小值.(a) ⎰-ππnxdx x f cos )( (b)⎰-πππnxdx x f cos )(1(c) ⎰-πππnxdx x f cos )(2(d)⎰-πππnxdx x f cos )(214. 函数y = f (x )具有下列特征: f(0) = 1;0)0('=f , 当x ≠ 0时, 0)('>x f ; ⎩⎨⎧><00)(''x f 00><x x , 则其图形(a) (b) (c) (d)15. 设三次函数d cx bx ax x f y +++==23)(, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于y 轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线y = x 轴对称 (d) 以上均错 6. 曲线)2)(1(x x x y --=与x 轴所围图形面积可表示为(a) ⎰---20)2)(1(dx x x x (b)⎰--10)2)(1(dx x x x ⎰---21)2)(1(dx x x x(c) ⎰---1)2)(1(dx x x x ⎰--+21)2)(1(dx x x x (d) ⎰--2)2)(1(dx x x x二. 填空题 1. 函数⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xdt t x F 112)( (x > 0)的单调减少区间______. 2. 曲线x x y -=3与其在1=x 处的切线所围成的部分被y 轴分成两部分, 这两部分面积之比是________.3. 二椭圆12222=+b y a x , 12222=+ay b x ( a > b > 0)之间的图形的面积______.4. x 2 + y 2 = a 2绕x =－b (b > a > 0)旋转所成旋转体体积_______.(5) 求心脏线ρ = 4(1+cos θ)和直线θ = 0, θ =2π围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____.三. 证明题1. 设f(x)为连续正值函数, 证明当x ≥ 0时函数⎰⎰=x xdtt f dtt tf x 00)()()(φ单调增加.2. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内0)(''>x f , 证明ax a f x f x --=)()()(φ在(a , b )内单增.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且0)('≤x f , 求证:⎰-=x adt t f a x x F )(1)( 在(a , b )内也0)('≤x F .4. 设f (x )在[a , b ]上连续, 且f (x ) > 0, 又⎰⎰+=xbx adt t f dt t f x F )(1)()(. 证明: i. ,2)('≥x F ii. F(x) = 0在(a , b )内有唯一实根.5. 证明方程x x -=1tan 在(0, 1)内有唯一实根.6. 设a 1, a 2, …, a n 为n 个实数, 并满足012)1(3121=--++--n a a a n n . 证明: 方程 0)12cos(3cos cos 21=-++x n a x a x a n 在(0, 2π)内至少有一实根.四. 计算题1. 在直线x －y + 1=0与抛物线542+-=x x y 的交点上引抛物线的法线, 试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.2. 求通过点(1, 1)的直线y = f (x )中, 使得⎰-222)]([dx x f x为最小的直线方程.3. 求函数⎰--=2)2()(x t dt e t x f 的最大值与最小值.4. 已知圆(x －b )2 + y 2 = a 2, 其中b > a > 0, 求此圆绕y 轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.第六章多元函数微分学一. 考虑二元函数的下面4条性质 ( I ) ),(y x f 在点),(00y x 处连续; ( II ) ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ( I II) ),(y x f 在点),(00y x 处可微; ( IV ) ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在; 若用Q P ⇒表示可由性质P 推出性质Q, 则有( A ) )I ()III ()II (⇒⇒ ( B ) )I ()II ()III (⇒⇒ ( C ) )I ()IV ()III (⇒⇒ ( D ) )V I ()I ()III (⇒⇒二. 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xyy x f 在点(0, 0) 处( A ) 连续, 偏导数存在; ( B ) 连续, 偏导数不存在; ( C ) 不连续, 偏导数存在; ( D ) 不连续, 偏导数不存在.三. 设f , g 为连续可微函数, )(),(xy x g v xy x f u +==，, 求xv x u ∂∂⋅∂∂.四. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+y z y z x ϕ22, 其中ϕ为可微函数, 求y z ∂∂. 五. 设xuz x t t x y z y x f u ∂∂===，求，，又),(),(),,(ψϕ.六. 求下列方程所确定函数的全微分: 1. dz x z z y y x f ，求0),,(=+++;2. dz y z xz f z ，求，)(-=.七. 设),sin (22y x y e f z x+=, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.八. 已知''''),2(yy xx z z yxx f z ，，求=.九. 已知'','',''),ln (yy xy xx z z z y x y x f z ，求-=.十. 设⎩⎨⎧=+++=+++==00)()(322z z y x z z y x x z z x y y ，由，确定, 求dx dzdx dy ，.十一. 设22222222)()(y z y y x z xy x z x x y x y xf z ∂∂+∂∂∂+∂∂+=，求ϕ十二. 设)](,[2xy y x f z ϕ-=, 其中f (u , v )具有二阶连续偏导数, )(u ϕ二阶可导, 求yx z∂∂∂2.十三. 设)())(,())(,())(),(,(x z x y x Q x y x P x z x y x F +=, 其中出现的函数都是连续可微的, 试计算⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z F dx d y F .第七章二重积分一. 比较积分值的大小: 1. 设,41⎰⎰+=Ddxdy yx I ,42⎰⎰+=Ddxdy y x I ⎰⎰+=Ddxdy yx I 334其中}2)1()1(|),{(22≤-+-=y x y x D , 则下列结论正确的是 ( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I <<2. 设32,1,)(22，==⎰⎰+-i dxdy e I iD y xi , 其中:}|),{(2221r y x y x D ≤+=,}2|),{(2222r y x y x D ≤+=,}||,|||),{(3r y r x y x D ≤≤=则下列结论正确的是( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I <<3.设,cos 221⎰⎰+=Dy x I σ,)cos(222⎰⎰+=Dy x I σ⎰⎰+=Dy x I σ2223)cos(其中}1|),{(22≤+=y x y x D, 则下列结论正确的是 ( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I <<二. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f Iσ),(化为累次积分(两种形式), 其中D 给定如下:1. D: 由x y 82=与y x 82=所围之区域.2. D: 由x = 3, x = 5, x －2y + 1 = 0及x －2y + 7 = 0所围之区域.3. D: 由122≤+y x , y ≥ x 及x > 0所围之区域.4. D: 由|x| + |y| ≤ 1所围之区域.1.⎰⎰--ax a ax a dy y x f dx 022222),(2. ⎰⎰⎰⎰-+312301),(),(2x x dy y x f dx dy y x f dx3. ⎰⎰⎰⎰----+2221201),(),(x xx xdy y x f dx dy y x f dx四. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f Iσ),(化为极坐标形式的累次积分, 其中:1. D: a 2 ≤ x 2 +y 2 ≤ b 2, y ≥ 0, (b > a > 0)2. D: x 2 +y 2 ≤y, x ≥ 03. D: 0 ≤ x +y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1五. 求解下列二重积分: 1. ⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinxxxdy yxdx dy yxdx ππ2. ⎰⎰-xy dy edx 021023.⎰⎰Ddxdy xy6, D: 由y = x 4－x 3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形 4.⎰⎰+Ddxdy yx xy22, D: y ≥ x 及1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 21. ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ddxdy b y a x 221, D: 12222≤+b y a x .2. ⎰⎰+Ddxdy y x)ln(22, D: 1222≤+≤y x ε, 并求上述二重积分当+→0ε时的极限.3.⎰⎰--xady y x x a y f dx 0))(()('4. ⎰⎰++--Ddxdy yx y x 222211, D: x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.七. 求证:⎰⎰⎰=21)(2ln )(du u f dxdy xy f D, 其中D 是由xy = 1, xy = 2, y = x 及y = 4x(x > 0, y > 0)所围成之区域.八. 求证:⎰⎰⎰-≤+-=+2221)(2)(22du u f u dxdy y x f y x九. 设f (t )是半径为t 的圆周长, 试证:⎰⎰⎰-≤++-=at a y x y x dt et f dy dx e22222222)(2121ππ十. 设m , n 均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明0222=⎰⎰≤+dy dx y xa y x n m十一. 设平面区域}11,1|),{(3≤≤-≤≤=x y x y x D ,)(x f 是定义在)1(],[≥-a a a 上的任意连续函数试求:⎰⎰--++=Ddxdy x f x x f x y I )]()1()()1[(2第八章无穷级数一. 填空题(1) 设有级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n nn x a , 若31lim1=+∞→n n n a a , 则该级数的收敛半径为______.(2) 幂级数∑∞=--+112)3(2n n nnx n 的收敛半径为______.(3) 幂级数∑∞=+11n nn x 的收敛区间为______.(4) 幂级数∑∞=-112n nn n x 的收敛区间为______.(5) 幂级数∑∞=-1)1(n nxn 的和函数为______.二. 单项选择题 (1) 设∑∞==>1),2,1(0n n na n a ，且收敛, 常数)2,0(πλ∈, 则级数∑∞=-12)tan ()1(n nn a n n λ(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关 (2) 设)11ln()1(nu n n+-=, 则 (A)∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都收敛. (B)∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都发散. (C)∑∞=1n nu收敛, 而∑∞=12n nu发散. (D)∑∞=1n nu发散,∑∞=12n nu收敛.(3) 下列各选项正确的是 (A) 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛, 则∑∞=+12)(n n nv u收敛(B) 若||1nn n vu ∑∞=收敛, 则∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛(C) 若正项级数∑∞=1n n u 发散,则nu n 1≥(D) 若级数∑∞nu收敛, 且),2,1( =≥n v u n n, 则级数∑∞nv 收敛.(4) 设α为常数, 则级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121sin n n n n α(A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与α取值有关.三. 判断下列级数的敛散性:(1)∑∞=+11sin )2ln(1n n n(2))0()1)()(1(11≠+++-+∑∞=a n a n a n a n(3)∑∞=1!3n n n n n(4)∑∞=+12)/1(n n n n n(5)∑∞=12)!2()!(n n n(6)∑∞=-1)ln 1(n nnn四. 判断下列级数的敛散性(1) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-11312)1(n nn n n(2)∑∞=-+++-111)1(1)1(n nn n n(3)∑∞=+1)sin(n nn ππ(4)∑∞=--111tan)1(n n nn五. 求下列级数的收敛域:(1)∑∞=+++12)1()1(n n n n x x(2)∑∞=++-11212)1(n n nn x(3)∑∞=--112212n n nx n(4)∑∞=⋅-129)1(n n nn x六. 求下列级数的和:(1) ∑∞=----112112)1(n n n n x(2) ∑∞=+1)1(n nxn n(3) ∑∞=+12)1(n n n n x七. 把下列级数展成x 的幂级数:(1)x x x x f arctan 2111ln 21)(+-+=(2) ⎰+=xdx xx x f 0)1ln()(第九章常微分方程及差分方程简介一. 填空题 1. 微分方程x x y y cos tan '=+的通解为_________.2. 微分方程0)4(2=-+dy x x ydx 的通解为________.3. 微分方程x y y 2''-=+的通解为________.4. 微分方程x e y y y =+-2'2''的通解为________.5. 已知曲线)(x f y =过点(0, 21-), 且其上任一点(x , y )处的切线斜率为)1ln(2x x +, 则)(x f =_______.二. 单项选择题 1. 若函数)(x f 满足关系式 ⎰+=xdt tf x f 202ln )2()(, 则)(x f 等于 (A) 2ln x e (B) 2ln 2x e (C) 2ln +x e (D) 2ln 2+x e2. 微分方程1''+=-x e y y 的一个特解应具有形式(式中a 、b 为常数)(A) b ae x + (B) b axe x + (C) bx ae x + (D) bx axe x +三. 解下列微分方程:1.⎪⎩⎪⎨⎧=+-==1)1()1(30|22x y y x dxdy2. 0)1()1(2=+-+ydy x x dx y3. 11+-=yx dx dy四. 解下列微分方程:1. xy e y xy +=' 2. dx y x ydx xdy 22+=-3. 0cos )cos (=-+dy xyx dx x y y x五. 解下列微分方程: 1. x e x y y sin cos '-=+2. xx ex y y x 122'-=-3. )1(ln ln '+=+x ax y x xy4. 0sin cos sin '3=--x y x x y六. 解下列微分方程:1. 0)0(sec tan '==-y x x y y ，2. 1)0(cos sin cos '==+y x x x y y ，3. 4)0(cos 2sin '22π==+-y y xe y x y x ，七. 解下列方程: 1. 02'22''=++y y y2. 03'2''=++y y y3. 03'2''=--y y y八. 解下列方程:1. xe x x y y y 223)1(4'4''+++=+-2. x y y y 2cos 2'3''=+-3. x xe y y y 5'2''=+-4. 123'2''22-+=++x x y y y5. 1'''2+=+x y y第十章函数方程与不等式证明一. 证明不等式21111211ln )1(n a a a a n a nn n n <-<+++. (a > 1, n ≥ 1)二. 若a ≥ 0, b ≥ 0, 0 < p < 1, 证明 p p p b a b a +≤+)(三. 设函数f(x)在[0, 1]上有连续导数, 满足0)0(1)('0=<<f x f 且. 求证⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210)()(dx x f dx x f四. 求证 p p p p b a b a |)||(|2||||1+≤+-, (0 < p < 1).五. 求证: 若x + y + z = 6, 则12222≥++z y x , (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).六. 证明: 1︒ 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上0)(''>x f ，则2)()()()()()(b f a f a b dx x f a f a b ba +-<<-⎰ 2︒ 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上0)(''<x f ，则2)()()()()()(b f a f a b dx x f b f a b b a +->>-⎰七. 证明: 1︒ n x x x n x x x nn 2222121+++≤+++2︒ n n nx x x n x x x 2121≥+++八. 设],[)(''b a c x f ∈, 且0)()(==b f a f , 求证 |)(''|max 12)()(3x f a b dx x f b x a b a ≤≤-≤⎰九. 若)('x f 在[0, 2π]上连续, 且)('x f ≥ 0, ∀n(正整数)有 nf f nxdx x f )]0()2([2sin )(20-≤⎰ππ十. 设在[a, b]上0)(''>x f , a < x 1 < x 2 < b, 0 < α < 1, 试证: ])1([)()1()(2121x x f x f x f αααα-+>-+第十一章微积分在经济中的应用一．生产某产品的固定成本为10, 而当产量为x 时的边际成本函数为232040'x x C +-=, 边际收益为x R 1032'-=, 试求: ( 1 )总利润函数; ( 2 ) 使总利润最大的产量.二. 设某商品的需求量Q 是单价P(单位: 元)的函数: Q = 12000－80P; 商品的总成本C 是需求量Q 的函数: C = 25000 + 50Q; 每单位商品需要纳税2元, 试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.三. 一商家销售某种商品的价格满足关系 P = 7－0.2x(万元/吨), x 为销售量(单位:吨), 商品的成本函数13+=x C(万元). (1) 若每销售一吨商品政府要征税t (万元), 求该商家获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时, 政府税收总额最大.四. 设某企业每月需要使用某种零件2400件, 每件成本为150元, 每年库存费为成本的6%, 每次订货费为100元, 试求每批订货量为多少时, 方使每月的库存费与订货费之和最少, 并求出这个最少费用(假设零件是均匀使用).。

数学考研历年试题及答案

数学考研历年试题及答案一、选择题1. 设函数f(x)在区间(0,1)上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则下列结论正确的是：A. f(x)在(0,1)上存在零点B. f(x)在(0,1)上单调递增C. f(x)在(0,1)上单调递减D. f(x)在(0,1)上至少存在一个零点答案：D2. 若矩阵A为3阶方阵，且|A|=-2，则矩阵A的行列式值为：A. 2B. -2C. 4D. -4答案：B二、填空题1. 已知等差数列{a_n}满足a_1=2，公差d=3，则a_5=________。

答案：172. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)=________。

答案：3x^2-3三、解答题1. 求极限lim(x→0) (sin x - x) / x^3。

解：首先使用洛必达法则，得到lim(x→0) (cos x - 1) / 3x^2，再使用洛必达法则，得到lim(x→0) (-sin x) / 6x，最后得到极限值为0。

2. 已知函数f(x)=x^2-4x+c，求证：当c=5时，函数f(x)在(0,2)上单调递增。

证明：首先求导得到f'(x)=2x-4。

当x∈(0,2)时，f'(x)=2x-4>0，因此函数f(x)在(0,2)上单调递增。

四、证明题1. 证明：若x，y∈R，且x^2+y^2=1，则x+y≤√2。

证明：由柯西-施瓦茨不等式可知，(x^2+y^2)(1^2+1^2)≥(x+y)^2，即2≥(x+y)^2，所以x+y≤√2。

2. 证明：若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求证：a_n=2^n-1。

证明：使用数学归纳法，首先证明n=1时成立，即a_1=2^1-1=1。

假设n=k时成立，即a_k=2^k-1，那么a_{k+1}=2a_k+1=2(2^k-1)+1=2^{k+1}-1，故n=k+1时也成立。

因此，对于所有的n∈N*，a_n=2^n-1。

考研数学基础练习题下册

考研数学基础练习题下册一、高等数学1. 求极限(1) lim(x→0) (sinx/x)(2) lim(x→1) (1 cosx)/x^2(3) lim(x→+∞) (1 + 1/x)^x2. 求导数(1) y = x^3 3x^2 + 2x(2) y = ln(x^2 + 1)(3) y = e^x sinx3. 求积分(1) ∫(x^2 + 2x + 1)dx(2) ∫(1/(x^2 + 1))dx(3) ∫(e^x cosx)dx二、线性代数1. 解线性方程组(1) x + 2y z = 32x y + 3z = 7x + y + 4z = 6(2) x + y + z = 62x y + 3z = 83x + 2y z = 112. 求矩阵的行列式(1) |1 2 3||4 5 6||7 8 9|(2) |2 3 4||5 6 7||8 9 10|3. 求矩阵的逆(1) |1 2||3 4|(2) |2 3||1 4|三、概率论与数理统计1. 求概率(1) 抛掷一枚硬币三次，求恰好出现两次正面的概率。

(2) 从一副52张的扑克牌中随机抽取4张，求抽到至少一张红桃的概率。

2. 求期望(1) 设随机变量X服从二项分布B(10, 0.4)，求E(X)。

(2) 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ = 50，σ = 10，求E(X)。

3. 求方差(1) 设随机变量X服从泊松分布P(λ)，其中λ = 5，求D(X)。

(2) 设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其中a = 1，b = 5，求D(X)。

四、复变函数1. 计算复数的运算(1) 若z1 = 2 + 3i，z2 = 4 i，求z1 + z2, z1 z2。

(2) 求(1 + i)^2 和 (1 i)^2。

2. 求复变函数的导数(1) 设f(z) = z^3 3z + 2，求f'(z)。

(2) 设f(z) = e^z cosz，求f'(z)。

考研数学三基础练习题

考研数学三基础练习题考研数学三基础练习题考研数学三作为考研数学科目中的一部分，是很多考生所头疼的一门课程。

它涉及的知识点广泛，难度较高，需要考生具备扎实的数学基础和一定的解题能力。

为了帮助考生更好地备考，下面将介绍一些基础的练习题，供考生参考。

一、函数与极限1. 求函数 f(x) = sin(2x) + cos(3x) 在区间[0, π] 上的最大值和最小值。

2. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求 f(x) 的单调递增区间和单调递减区间。

3. 求函数 f(x) = ln(x^2 - 4x + 3) 的定义域和值域。

二、微分与导数1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 在点 x = 2 处的切线方程。

2. 求函数 f(x) = e^x / (1 + e^x) 的导数。

3. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求 f(x) 的极值点和极值。

三、定积分1. 计算定积分∫[0, π/2] (sin(x) + cos(x)) dx。

2. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 2x + 1) dx。

3. 计算定积分∫[0, π] (x^2 sin(x)) dx。

四、级数1. 判断级数∑(n=1, ∞) (1/n^2) 的敛散性。

2. 判断级数∑(n=1, ∞) (1/n) 的敛散性。

3. 计算级数∑(n=1, ∞) (1/2^n)。

以上是一些考研数学三基础练习题，涵盖了函数与极限、微分与导数、定积分和级数等知识点。

考生可以根据自己的实际情况选择适合自己的题目进行练习，巩固基础知识，提高解题能力。

在做题过程中，考生要注意理解题意，正确运用相关的数学公式和定理，注意计算的准确性和步骤的合理性。

同时，要注意总结归纳，将解题方法和思路进行总结，以便在考试中能够更好地应用。

此外，考生还可以参考一些优秀的数学教材和辅导资料，结合课堂学习和自主学习，加深对数学知识的理解和掌握。

考研数学经典真题及答案

考研数学经典真题及答案考研数学经典真题及答案考研数学是考研过程中最为重要的科目之一，也是让很多考生望而却步的一门学科。

为了帮助考生更好地备考数学，以下将介绍一些经典的考研数学真题及其答案，希望能对考生有所帮助。

一、高等数学1. 题目：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求f(x)的极值。

解答：首先求导得f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

令f'(x) = 0，解得x = 1和x = 2。

将x = 1和x = 2代入f(x)得到f(1) = 2和f(2) = -1。

所以f(x)的极小值为-1，极大值为2。

2. 题目：已知函数y = e^x + ax + b，其中a和b为常数，求a和b的值，使得曲线y = e^x + ax + b在点(0,1)处的切线斜率为1。

解答：根据题意，曲线在点(0,1)处的切线斜率为1，即导数f'(x)在x = 0处的值为1。

将函数y = e^x + ax + b求导得到f'(x) = e^x + a。

将x = 0代入f'(x)得到e^0 + a = 1，即a = 0。

将a = 0代入函数y = e^x + ax + b得到y = e^x + b。

将点(0,1)代入得到1 = e^0 + b，即b = 1。

所以a = 0，b = 1。

二、线性代数1. 题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的特征值和特征向量。

解答：特征值是满足方程|A - λI| = 0的λ的值，其中I是单位矩阵。

计算得到|A - λI| = |1-λ 2 3; 4 5-λ 6; 7 8 9-λ| = 0。

展开计算得到(1-λ)[(5-λ)(9-λ)-8(6)]-2[(4)(9-λ)-7(6)]+3[(4)(8)-7(5-λ)] = 0。

化简得到λ^3 - 15λ^2 + 18λ = 0。

解得λ = 0，λ = 3，λ = 5。

考研数学练习题

考研数学练习题考研数学作为考研的一门重要科目，对于很多考生来说是一个挑战。

为了帮助考生更好地准备考研数学，以下是一些常见的数学练习题。

希望通过解答这些问题，能够对考生有所帮助。

一、选择题1. 设有三个点A、B、C，且满足AB = BC = CA。

若∠ACB = 80°，则∠ABC的度数为：A. 20°B. 50°C. 80°D. 100°2. 函数f(x) = (x - 2)(x + 1)的图像与x轴相交的点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 33. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，an - an-1 = 2，则a10的值为：A. 19B. 21C. 23D. 25二、填空题1. 已知直线l1过点A(-2, 3)和B(4, -1)，直线l2过点C(1, 2)并且与l1垂直，直线l2的方程为__________。

2. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a是非零实数，若f(1) = 2，f(2) = 5，f(3) = 10，那么f(0) = __________。

3. 若矩形的长是宽的3倍，且面积为12平方单位，则矩形的周长为__________。

三、解答题1. 解方程组：2x + 3y = 54x - y = 12. 若集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {3, 4, 5, 6}，则集合A与集合B 的交集和并集分别是__________。

3. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5的极值点。

四、应用题某电商平台举办促销活动，一种商品原售价为100元，现在打八折出售。

另一种商品原售价为200元，现在打七折出售。

小明购买了3件前者，2件后者，求小明共花费了多少钱。

五、证明题证明：若两个三角形的两组对应角度分别相等，则这两个三角形全等。

六、推导题已知函数f(x) = x^2 + 2x - 3，求函数g(x) = f(x + 1) - f(x)的表达式。

数学考研练习题推荐

数学考研练习题推荐在进行数学考研准备的过程中，做练习题是非常重要的一项任务。

通过大量的练习，可以帮助考生巩固基础知识，提高解题能力，培养思维逻辑和推理能力。

本文将为大家推荐一些数学考研练习题，希望能帮助考生更好地备战考试。

1.《2019数学一真题》《2019数学一真题》是近年来数学考研中的一份经典真题，题目内容涵盖了数学一各个重要知识点。

通过做这套真题，可以了解考试的难度、题型和出题风格，从而更好地调整备考策略。

此外，还可以通过分析解答过程，找出自己在知识理解和解题思路上的不足之处，有针对性地进行复习和提高。

2. 《线性代数练习题集》在数学考研中，线性代数占据了重要的一席之地。

一些经典的线性代数题目对于考生来说，是必须要熟练掌握的。

《线性代数练习题集》收集了大量的线性代数练习题，从基础知识到高级应用，题目涵盖了各个难度层次。

考生可以通过做这些题目，加深对线性代数的理解，提高解题能力。

3. 《高等数学习题精选》《高等数学习题精选》是一本包含了大量高等数学练习题的参考书籍。

这本书中的题目涵盖了高等数学各个章节的重要知识点和典型题型。

通过做这些题目，考生可以巩固基础知识，熟悉解题技巧，提高解题效率。

4. 《数学分析习题课》《数学分析习题课》是一本具有挑战性的数学分析练习题集。

这本书中的题目不仅涉及到了基础的数学分析知识，还包含了一些衍生的扩展题目。

通过做这些题目，考生可以拓宽自己的数学思路，培养数学分析的深入思维和抽象能力。

5. 《数学研究方法与论文写作》《数学研究方法与论文写作》是一本针对数学研究生编写的参考书。

这本书中除了包含了一些理论知识外，还有大量的练习题供考生练习。

通过做这些题目，考生可以提高自己的论证能力和解题能力，培养独立思考和创新能力。

以上推荐的练习题来源于不同的领域和难度层次，考生可以根据自己的实际情况选择适合自己的练习题。

在做题的过程中，要注重理解题目的意思，培养解题的思路和逻辑，不要单纯追求答案。

考研数学复习习题选做

考研数学复习习题选做考研数学是许多考生备战研究生入学考试时最头疼的科目之一。

其中，解题能力的培养和提高是非常关键的一部分。

为了帮助考生更好地复习数学，下面将推荐一些重要的习题，供考生选做。

一、线性代数1. 求解线性方程组线性方程组是线性代数的基础，也是考研中经常出现的题型。

考生可以选择几道典型的线性方程组习题进行解答，加深对方程组的理解。

其中，要注意掌握解的唯一性和存在性的判断。

2. 矩阵运算矩阵运算是线性代数中的重要内容。

考生可以挑选一些矩阵运算的题目，锻炼矩阵乘法、矩阵转置和矩阵求逆的能力。

理解矩阵运算的含义和性质，对于理解线性代数的知识体系非常重要。

二、概率论与数理统计1. 概率计算概率计算是考研数学中的一个难点，也是考生复习的重点。

选择一些概率计算的题目进行练习，例如计算事件的概率、条件概率和贝叶斯公式等。

通过做题，考生可以熟悉概率的基本概念和计算方法。

2. 参数估计参数估计是数理统计的核心内容之一。

选取一些和参数估计相关的习题，了解点估计和区间估计的基本原理。

考生还可以选择一些真实数据进行分析，应用参数估计的方法求解具体问题。

三、高等数学1. 极限与连续极限与连续是高等数学中的重要概念，也是考研数学中的重点内容。

选取一些涉及极限和连续的题目进行练习，特别是涉及函数极限和无穷级数的计算。

做题过程中，要理解极限的定义和性质，掌握计算极限的方法和技巧。

2. 曲线与曲面积分曲线与曲面积分是高等数学中较为复杂的内容。

考生可以选择一些关于曲线和曲面积分的题目进行练习，特别是掌握参数方程下的曲线和曲面积分计算方法。

要注意区分路径无关和路径相关性质，熟悉曲线和曲面积分的几何意义。

四、离散数学1. 关系的性质和判断关系是离散数学中的重要概念，也是计算机科学中的重要基础。

选择一些关系的性质和判断题目进行练习，了解关系的定义和性质，掌握判断关系的方法。

2. 图的基本概念和算法图是离散数学中的一个重要概念，在计算机科学中有着广泛的应用。

考研数学练习题推荐

考研数学练习题推荐随着考研的不断升温，考研数学成为了许多同学的痛点。

数学作为考研的一门必考科目，占据了很大的比重，因此我们在备考过程中必须下大力气进行数学的复习和练习。

本文将为大家推荐几种优质的数学练习题，希望能在备考过程中帮助到大家。

首先，我推荐同学们购买一些经典的考研数学辅导书籍。

经典辅导书籍通常有着系统全面的知识点和习题，适合初学者系统化地学习和掌握数学知识。

如李永乐老师的《高等数学解题丛书》，罗振宇老师的《高等数学丛书》，这些书籍都是数学方面的经典著作，对考研数学的复习都非常有帮助。

在选择题目时，我们可以根据自己的水平和复习进度来进行选择。

对于初学者，建议选择一些基础题，逐渐熟悉概念和方法，并进行系统的练习。

而对于已经掌握了基本知识的同学，可以选择一些综合性的练习题，提高自己的解题能力和思维灵活性。

除了传统的书籍，现如今网络上也提供了许多优质的数学练习资源。

比如，考研数学在线视频课程。

这些课程以讲解为主，配以大量的练习题，可以帮助同学们更好地理解和掌握数学知识。

此外，考研数学的论坛和社交媒体群体也是学习资源丰富的地方。

同学们可以通过参与讨论和交流，共同解决难题，提升自己的解题能力。

另一个推荐的数学练习题来源是历年考研数学真题。

历年真题是备考的必备资料，对于熟悉考试形式和题型有着重要的作用。

同学们可以以历年真题为主线，结合复习书籍进行练习，一方面熟悉题型，另一方面也可以了解自己在数学方面的薄弱环节。

在做题的过程中，同学们要注意分析解题思路，掌握解题技巧，并及时总结错题。

最后，我还想提醒同学们，备考数学并不仅仅是解题的过程，更重要的是对数学知识的理解和应用。

因此，在做题的同时，我们也要注重理论的学习和巩固。

只有掌握了数学的基本原理和思维方式，才能在考试中游刃有余地解决各种考题。

总之，备考考研数学不仅需要掌握各种解题技巧，还需要进行大量的练习。

通过购买经典的考研数学辅导书籍、参与网络课程和论坛的讨论，以及大量练习历年真题，同学们可以更全面地提高自己的数学能力。

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考研数学练习题推荐WD《考前冲刺最后3套题》★★★比较简单，练练手不错。

恩波《最后冲刺成功8套卷》★★★网上都喊不难，但是我做的不是很理想。

怎么说呢，总觉得题目怪怪的。

和真题完全不是一个类型。

考试虫《8套模拟试卷》★★★面市时间过早。

没有一定的能力就去做模拟题的话，效果不是很大。

虽然卖点是众多前命题组成员的集体智慧结晶，但也意味着出题风格与极力创新的现命题组的思路格格不入。

陈文灯《复习指南之100问专题串讲》★★★两位考研前辈编写的一本书，具有一定的示范效应。

形式有点类似大帝的《超越135》，不过内容没那么全。

有些很巧很赞的方法，也有些方法复杂到不实用。

知识部分的讲解常有神来之笔。

李永乐《最后冲刺超越135分》★★★☆以专题的形式呈现考研数学的重点内容。

并附有典型例题，有些难度很大，有些极其复杂。

但大部分还是令人舒坦的。

因为是例题，有人可能会倾向于只看不做。

我觉得还是笔耕不辍为妙。

不能说冲刺必备，但用来配合全书或指南做最后一轮复习还是可行的。

李永乐《基础过关660题》★★★☆一本客观题练习集。

真的如传闻所言只是第一轮复习书吗?我看未必。

书中的相当部分题目还是很有难度的。

我是这样理解的，如果660道题全会做，你的基础才算过关。

李永乐《线性代数辅导讲义》★★★★大帝无愧于“线代之王”的称号。

薄薄的一本书把考研数学线性代数部分研究的非常透彻。

第二三轮复习必备。

得力于该书所讲的求行列式的递进法，我幸运地做对了08年考试中线代的一道难题。

黄先开曹显兵《经典冲刺5套卷》★★★☆难度一般，可以拿来建立信心。

一些题目体现出了新鲜的元素，不妨做做让脑筋转转弯。

陈文灯《单选题解题方法与技巧》★★★★Excellent，难以用语言形容。

如果用心做完这本书选择题还拿不了满分，真可以称得上是奇迹了。

《考研数学考试分析》★★★★在复习末期，精心准备的考生一定会有这样一个问题。

那就是解题的规范性。

计算题和证明题，究竟怎么答才算标准，才不用担心因解题不规范而丢掉分数?答案就在这本书中。

近四年数一到数四的真题及标准解题过程应有尽有，好好研究模仿吧。

对于经济类考生的又一大福音就是可以接触到数学一的真题。

做做数一还是有助于拓宽思路提升水平的。

\姚孟臣《概率论与数理统计讲义》&《概率论与数理统计题型精讲》★★★★在做这两本书之前，我感觉概率与统计部分很难很难。

做完之后，我豁然开朗到08年考试概率与统计部分得到了满分。

题量有点大，要学会举一反三才行。

有些数学符号和语言表述可能会让大家不太习惯。

李永乐《历年试题解析》★★★★数学真题具有重大的战略意义。

从第二轮复习开始到考试前，需要经常反复地揣摩鉴赏。

大帝的这本书，解析详尽，触类旁通，非常不错。

另外其单独地列出真题，可以直接拿来模拟。

武忠祥《历年真题分类解析》★★★★☆另一本优秀的数学真题书。

汇集了从1987起所有的历年真题，独一无二。

分类解析虽然算不上有新意，但难能可贵的是对题目在各章的分布做了详细统计，使考生对考试重点一目了然。

每章还附有练习题，可惜没有解析。

客观题解题方法部分犹如隔靴搔痒，令人意犹未尽。

李永乐《全真模拟经典400题》★★★★☆大名鼎鼎，模拟必备。

前半部分重点解读新增考点，后半部分的十套题基本涵盖了全部知识点。

这本书拿在手中，首先要心态平稳，戒除恐惧。

从我第一年花5，6个小时做完拿七八十分到第二年花3个小时做完拿一百二三十分的经历来看，如果你觉得它太难，可能你的复习还有不少薄弱环节或者知识还未连成体系。

《考研数学大纲解析》★★★★☆还是反复强调的权威性，该书中没出现的符号，公式等可以不用再考虑了。

对待这本书，要像对待全书或指南那么严肃。

内容均耳熟能详，例题也都是历年真题并附有常见错误做法以提醒考生。

看起来应该不会很费时费力。

另外，需要重点关注下书中提到的每章常考题型。

李永乐《复习全书》&陈文灯《复习指南》★★★★★绝代双骄。

没必要纠缠在这两本书的比较上。

大帝的书不是那么简单，灯哥的书也不见得有多难。

前者内容完整即所谓的基础性，但编排略显杂乱;后者概括性很强令人一目了然但内容有所欠缺。

一个事实：大帝专攻线代，灯哥长于高数。

另一个事实：两者都是好书。

当然前提是你认真地做了两遍以上。

注意是做不是看。

也不能只做不思考。

详细解析一、选择题：1、首先讨论间断点：1°当分母2?e?0时，x?2x2，且limf??，此为无穷间断点；2ln2x?ln2x?0?2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。

x?0?再讨论渐近线：1°如上面所讨论的，limf??，则x?x?2ln22为垂直渐近线； ln22°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。

xx当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。

2、f?|x4?x|sgn?|x|sgn?|x|。

可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。

2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文：f|??|，当xi?yj时为可导点，否则为不可导点。

注意不可导点只与绝对值内的点有关。

?x,x?0?设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是? ,x?0?0x?0123limf?f?0，故f在x?0处连续。

f’?limx?0f?f?0，故f在x?0处一阶可导。

x?0当x?0时，f’????x12x’‘223?ln?lnlnxsgnx?12，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。

?23x?0ln|x|l n|x|f’’?limx?0f’?f’??，故f在x?0处不二阶可导。

x?0abx?0对?a,b?0，limxln|x|?0。

这是我们反复强调的重要结论。

3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内可积；1???sin,x?0对，首先假设该函数存在原函数F??，但对任意常数C，都无x?,x?0? C法满足F’?limx?011F?F1?0，故该函数不存在原函数。

另一方面，?2cosdx?1xx?0x111?2?2cosdx??2sin，该结果无意义，故该函数在[?1,1]内不可积。

0xxx011对，x?0为第一类间断点，故该函数不存在原函数。

另一方面，?1arctan1dx和x??1arctan1dx都有意义，故该函数在[?1,1]内可积。

x对，显然该函数存在原函数。

但通过反常积分的审敛法可知尝试证明），故该函数在[?1,1]内不可积。

设f??1?1tan?x2dx发散，arctan?C??222??21?cosxsecx?12?tanx2?2??1t anxarctan?,0?x2222不妨令F?? ，那么f在[0,?]内的所有原函数0 ,x?2??1??tanxarctan,?x??2?2?2?2?为F?C，其中C为常数。

如果不采用上述“拼凑”，则不能保证1?tanx?arctan??在[0,?]内连续，更谈不2?2?上可导。

4、对，原式??1lnxx3dx???1ylnylnyy331dy，其中?1lnxx3dx和???1ylny31dy都发散，故该二重积分也发散；对，原式?发散；1?11xlnx3dx???1dy，其中?11xlnx3dx发散，故该二重积分也对，原式??lnxxe?03dx???e1y31ydy，其中?1lnxx3dx发散，故该二重积分也发散；对，原式??11x3xdx???lnyy31dy，其中?e?1x3xdx和???lnyy31dy都收敛，故该二重积分也收敛。

1°2011智轩高等数学基础导学讲义原文：变量x和y 之间失去了“纠缠性”，可看作两个独立的一元积分相乘。

2°同济六版高等数学教材上册原文：设函数f在区间[a,??)上连续，且f?0。

如果存在常数p?1，使得limxf存在，则反常积分xp???afdx收敛；如果limxf?d?0，x或limxf，则反常积分x??afdx发散。

设函数f在区间?0，x?aq为函数f的暇点。

如果存在常数0?q?1，使得limf存在，则反常积分?fdx收敛；如果limf?d?0，或ax?a?qbx?a?limf，则反常x?b?x?b?积分?bfdx发散。

※下列反常积分收敛的是 1?0lnxdx1???11dx lnx?1lnxxdx???lnxxdx※下列反常积分发散的是 1x31x3??1lnxx32dx???lnxx321dx?1e?xdx???e?1xdx※下列反常积分发散的是 ??lndxx??1sindxxx1???arctanxxdx???1?xedx x25、正确答案为。

下面进行讨论：fx’?lim则f可微。

?x?0f?ff?0，同理fy’?0，且lim?0，22?x?0?x?x??y?y?0另一方面，当x2?y2?0时，fx’?2xsin12x1，显然?cos222222x?yx?yx?ylimfx’?fx’。

同理limfy’?fy’。

x?0y?0x?0y?0对，f在点处可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’连续；对，f在点处不可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’不连续；对，f在点处可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’连续。

以上三个选项留给大家练习。

下面逐一讨论选项：对，根据2°和3°，当f是极大值时，H只能是负定矩阵或不定矩阵，正确；对，根据1°，正确；对，根据3°的第2条，正确；对，根据3°的第1条，若fxy’’?0，则|H|??[fxy’’]?0，非极值，与已知矛盾，故入选。

由极值出发讨论Hessian矩阵时，要留意Hessian矩阵不定的情形。

※设f在P的某邻域内有二阶连续的偏导数，且记2A?fxx’’，B?fxy’’，C?fyy’’一、选择题1?2?xcos?asinx,x?0,1、设f??，且f在x?0处可导，则 ??bx?c,x?0,?A? a??b,c?0 ?B? a?b,c?0 ?C? a??b,c任意 ?D? a?b,c任意2、设连续函数f在u?0处可导,且f?0,lim1t?0??t4x2fdxdy＝y2?t21f? ?B? ?1f??C?f??D? ?f?3、设f在可导，x0?0，)是y?f的拐点，则 ?A?x0必是f?的驻点?B? )必是y??f的拐点 ?C? )必是y??f的拐点?D? 对?x?x0与x?x0，y?f的凹凸性相反4、曲线y?x2与直线x?0,x?1,y?t所围成的图形的面积情况为?A? t?12时,面积最大?B? t?12时,面积最小 ?C? t?1?D? t?14时,面积最大4时,面积最小5、设A是n阶矩阵，且A的行列式|A|?0，则A中?A? 必有一列元素全为0 ?B? 必有两列元素对应成比例第 1 页共页）?A? 0 ?B? 1 ?C? ?D?7、设两事件A,B，已知AB?，则必有?A?A与B独立 ?B?A?B ?C?A=B ?D?A与B对立8、设X~P，则Y?3X?2X?1的数学期望为2?A? ? ?B?? ?C??2?5??1 ?D??2?2??1二、填空题、微分方程y??ytanx?cosx的通解y=______________. 10、设f为可导函数，且满足条件lim x?0f?f??1，则曲线y?f在点)处2x的切线斜率为______________. 11、设3n?1的收敛域是，则axax?2,2n?n的收敛半径是_____________.nn?1n?1?12、设S表示半球面z?,则曲面积分I???dxdy?______________.S?102???13、设A是4?3矩阵，且A的秩r?2，而B??020?，则r=______________.??10314、设二维随机变量~N,Z?X?Y，则Cov?______________.三、解答题 15、1第页共页1求极限limx。