一个“基本图形”的研究

高二（1）班
空间中一个“基本图形”的探究
教学目标：
1、认识、熟悉、理解“基本图形”的构成要素及几何特征；
2、在“基本图形”的框架下，会找（证）空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角并计算；
3、培养学生规范作图，严谨地论证；进一步提高学生的空间想象力，将空间几何的问题转化到平面上解决的能力。

教学重点：
理解“基本图形”的构成要素
教学难点：
会找“基本图形”中的空间角
教学过程：
引言：前一段时间，我们已经学习了“第14章空间直线与平面”，通过学习我们已经学会及掌握了：空间位置关系的判别，空间垂直与平行的判别与证明；空间角与距离的求解。

考虑到有一些同学在空间论证及求解空间角和距离时，还存在一些困难，还没有摸索到几何图形的特征，在这里，我给同学们提供一个“空间的基本图形”，大家一起跟着我对这个“基本图形”进行探究。

一、提出问题，引入“基本图形”
引例：若平面α的斜线l 与平面α所成的角为θ，平面α的斜线l 与平面α内任一直线所成的角为θ1，试比较θ和θ1的大小关系，并给与证明。

问题1：
如图所示，已知平面α，PA A α⋂=，l 是平面α内的任一直线，试探究直线PA 与平面α所成角为θ，PA 与直线l 所成角为θ1，PA 在平面α内的射影与直线l 所成的角θ2之间的关系。

12cos cos cos θθθ=⋅
二、“基本图形”的应用
例：已知BOC ∠在平面α内，OA 是平面α的斜线，
60AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，求直线OA 与平面α所成的角。

变式1：已知BOC ∠在平面α内，OA 是平面α的斜线，60,AOB AOC ∠=∠=
90BOC ∠=，求直线OA 与平面α所成的角。

变式2：已知BOC ∠在平面α内，OA 是平面α的斜线，60,45AOB AOC ∠=∠=
90BOC ∠=，求直线OA 与平面α所成的角。

三、“基本图形”再探究
问题2：
把“基本图形”看成是由四个面围成的几何体， 设二面角P AC H --的平面角为β，那么β的大小与θ、θ1及θ2是否有关系呢？
1
sin sin sin θβθ= 探究应用：
你能利用θ、θ1及θ2的大小求出二面角C AP H --的平面角ϕ的大小吗？
21
sin sin sin θϕθ= 四、总结
五、作业布置：
1、基础作业：习题册P19复习题B 组
2、补充作业：
（1）已知直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，AC 和BC 与平面α所成的角分别为30,45︒︒，CD 是斜边AB 上的高，求CD 与平面α所成的角。

（2）在四面体A-BCD ，A D ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD=2，
BD=M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =。

①证明：PQ//平面BCD ；
②若二面角C-BM-D 的大小为60，求BDC ∠的大小。

立体几何问题，对于初学者来说，总感到图形线条多，背景复杂，难以提炼出图形的本质。

实际上经常解决问题的图形不外乎几种简单的基本图，教学中把这些基本图的几何元素的位置关系让学生搞熟练了，在解其他问题时，就很容易排除干扰，提炼出本质图来。

A
M D C
B P Q。