第四章指数函数与对数函数学考复习资料
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当 x > 0时, y > 1. 当 x < 0时, 0< y <1.
y
· (0,1)
0
x
性质
y ax (a 1)
图象
定义域 值域 单调性 过定点
4.2 有理指数幂
❖ 2．有理指数幂的定义
❖ 正数的正分数指数幂的意义是：
❖ amn n am(a 0，m ，且 n N ） ❖ 正数的负分数指数幂：
❖
am n
1
m
(a 0 ，m ，n N且 n 1)
an
❖ 规定了分数指数幂的意义以后，指数从整数推广到 了有理数，即分数指数幂是有理指数幂．
4.2 有理指数幂
————弗·培根
第一次 第二次 第三次
第x次
球菌分裂过程
……
y 2x
2=21 4=22 8=23
2x
返回
第1次后
一
第2次后
尺
之
木
第3次后
日 取
第4次后
其
半
y (1)x 2
第x次后
剩余长度y 1 2
(1)2 2
(1)3 2
(1)4 2
…...
(1)x 2
仔细观察两个关系式的底数和指数，请问
有什么发现?
❖ 【例3】 化简下列各式：
❖ 12
3 31.5 612
2
(
p
1 4
q83
)8
3(3 5 125) 4 5
4 3 xy2(
xy )3
解⑴ ❖
2
3
3
1.5
6
12
2
1
32
(
32)13
1
126
1
1
1
232 (321)3 (22 3)6
2
1
32
1
33
2(1)13
2216
1
36
2
213
1
23
1
32
1
33
4.1 整数指数幂
2．整数指数幂运算法则 整数指数幂运算法则（a 0 ，b 0 ，m，n为整
数）： am an amn
(am)n amn
(ab)n anbn
练习：小试牛刀：比一比，看谁算的快．
4.1 整数指数幂
❖ 巩固知识
⒈整数指数幂的概念．
⒉整数指数幂运算法则．
❖ 课后练习
4.2 有理指数幂
当n为偶数时，对于每一个正数a的n次方根有两个， 它们互为相反数，分别用n a和- n a表示，可以合并 写为“± （a > 0） ”；
4.2 有理指数幂
❖ 而对于每一个负数a，它的偶次方根是没有意 义的；零的n次方根是零，用n 0 = 0表示；
❖ 我 根们式把，形其如中nn 称a（为有根意指义数时，）a的称式为子被称开为方n数次；
❖ 性质
根据n次方根的意义，可得
．
当为奇数时 n an a
(n a)n a
当为偶数时
n
an
a
a a
(a (a
0), 0),
4.2 有理指数幂
❖ 【例1】 求下列各式的值： ❖ 13 (8)3 2 (10)2 3 4 (3 )4 4 (a b)2 (a b) ❖ 解 ⑴ 3 (8)3 8 ❖ ⑵ (10)2 10 10 ❖ ⑶ 4 (3 )4 3 3 ❖ ⑷ (a b)2 a b b a (a b)
❖ 1．次根式的定义 如果x2 = a （a 0），则称x为a的平方根（二次方 根），记作：x = ± a；
如果x3 = a，则称x为a的立方根（三次方根），记 作：x 3 a ；
如果xn = a （n是一个大于1的正整数），则称x为a 的一个n方次根，记作：x n a ．
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数
y
y 2x
1
01
x
图象
x -2 -1.5 -1 -0.5 0
y 4 2.83 2 1.41 1
y
0.5 1 1.5 2
0.71 0.5 0.35 0.25
1
01
x
图象 指数函数 y 2x 的图象和性质
1. 定义域: R ； 2. 值 域: ( 0 , +∞) ； 3. 过 点: ( 0 , 1) ； 4. 单调性: 在 R 上是增函数； 5. 函数值的变化情况:
3
y2
5 71 5 7
(x2 y2)3 x6 y6
小试牛刀2
4.2 有理指数幂
❖ 巩固知识 ⒈根式和分数指数幂的概念． ⒉有理指数幂的定义． ⒊有理指数幂的运算．
❖ 课后练习
4.3幂函数
1 ． a n ＝ a×a×a×…×a ( n 个 a 连乘 )
a 0 ＝1（ a ≠ 0），
a
–n
＝
1 an
❖ 【例2】求下列各式的值：
2
❖ 1 83
2
10012
3
(16
)
3 4
81
解⑴ ❖
2
83
2
(23)3
2323
22
4
⑵ ❖
100
1 2
1
1
1002
1
1
(102 ) 2
1
10
⑶ ❖
(16
)
3 4
81
(
24 34
)
3 4
(
2
)4(
3 4
)
3
( 2 )3 3
( 3 )3 2
27 8
小试牛刀1
4.2 有理指数幂
(1) y 2x；
(2) y (1)x 2
定义
一般地，形如 y a x
的函数叫做指数函数，其中 x 是自变量．
函数的定义域是 R ．
变式练习： 请问同学们下面的式子是不是指数函 数？
y 32x
图象
y 2x
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 0.25 0.35 0.5 0. 71 1 1.41 2 2.83 4
1
36
2
21313
1
32
13
1 6
231 6
⑵
( p14q83)8
(
1
p4
)8
(q83
)8
⑶
p2q3
p2 q3
(3 5 125) 4 5
13 1
(53 52 ) 54
⑷
513 14
523
1 4
1
512
5
54
3 xy2(
xy )3
3
1
xy 2 ( x 2
1
y 2 )3
3
3
xy 2 x 2
（a ≠ 0， n N＋），
a
1
n＝
√na （a＞0），
a
mn ＝
√na
m（a＞0，m，n
N＋，且
m n
为既约分数）.
2．观察函数
y ＝ x2，y ＝ x3，y ＝ x 及 y ＝ x－1． 这些函数表达式的共同特征是什么？ 你还能举出类似的函数吗？
Baidu Nhomakorabea
4.3 指数函数
❖ 数学是打开科学大门的钥匙, 轻视数学必 将造成对一切知识的损害，因为轻视数学的 人不可能掌握其它学科和理解万物。
第四章 指数函数与对数函数
4.1 整数指数幂
1．整数指数幂的概念 ❖ 当n为正整数时，n个相同因数a的相乘，记作：an，
称为正整数指数幂，读作“a的n次方”，也可读作 “a的n次幂”，其中，a称为底数，n称为指数； ❖ 当n = 0时，a0(a 0)称为零指数幂；任何不等于0的 数的0次幂都等于1； ❖ 即a0 = 1 (a 0) ❖ 形如a-n (a 0) 称为负整数指数幂；a-n是an的倒数 ❖ 正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂合称为整 数指数幂．
y
· (0,1)
0
x
性质
y ax (a 1)
图象
定义域 值域 单调性 过定点
4.2 有理指数幂
❖ 2．有理指数幂的定义
❖ 正数的正分数指数幂的意义是：
❖ amn n am(a 0，m ，且 n N ） ❖ 正数的负分数指数幂：
❖
am n
1
m
(a 0 ，m ，n N且 n 1)
an
❖ 规定了分数指数幂的意义以后，指数从整数推广到 了有理数，即分数指数幂是有理指数幂．
4.2 有理指数幂
————弗·培根
第一次 第二次 第三次
第x次
球菌分裂过程
……
y 2x
2=21 4=22 8=23
2x
返回
第1次后
一
第2次后
尺
之
木
第3次后
日 取
第4次后
其
半
y (1)x 2
第x次后
剩余长度y 1 2
(1)2 2
(1)3 2
(1)4 2
…...
(1)x 2
仔细观察两个关系式的底数和指数，请问
有什么发现?
❖ 【例3】 化简下列各式：
❖ 12
3 31.5 612
2
(
p
1 4
q83
)8
3(3 5 125) 4 5
4 3 xy2(
xy )3
解⑴ ❖
2
3
3
1.5
6
12
2
1
32
(
32)13
1
126
1
1
1
232 (321)3 (22 3)6
2
1
32
1
33
2(1)13
2216
1
36
2
213
1
23
1
32
1
33
4.1 整数指数幂
2．整数指数幂运算法则 整数指数幂运算法则（a 0 ，b 0 ，m，n为整
数）： am an amn
(am)n amn
(ab)n anbn
练习：小试牛刀：比一比，看谁算的快．
4.1 整数指数幂
❖ 巩固知识
⒈整数指数幂的概念．
⒉整数指数幂运算法则．
❖ 课后练习
4.2 有理指数幂
当n为偶数时，对于每一个正数a的n次方根有两个， 它们互为相反数，分别用n a和- n a表示，可以合并 写为“± （a > 0） ”；
4.2 有理指数幂
❖ 而对于每一个负数a，它的偶次方根是没有意 义的；零的n次方根是零，用n 0 = 0表示；
❖ 我 根们式把，形其如中nn 称a（为有根意指义数时，）a的称式为子被称开为方n数次；
❖ 性质
根据n次方根的意义，可得
．
当为奇数时 n an a
(n a)n a
当为偶数时
n
an
a
a a
(a (a
0), 0),
4.2 有理指数幂
❖ 【例1】 求下列各式的值： ❖ 13 (8)3 2 (10)2 3 4 (3 )4 4 (a b)2 (a b) ❖ 解 ⑴ 3 (8)3 8 ❖ ⑵ (10)2 10 10 ❖ ⑶ 4 (3 )4 3 3 ❖ ⑷ (a b)2 a b b a (a b)
❖ 1．次根式的定义 如果x2 = a （a 0），则称x为a的平方根（二次方 根），记作：x = ± a；
如果x3 = a，则称x为a的立方根（三次方根），记 作：x 3 a ；
如果xn = a （n是一个大于1的正整数），则称x为a 的一个n方次根，记作：x n a ．
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数
y
y 2x
1
01
x
图象
x -2 -1.5 -1 -0.5 0
y 4 2.83 2 1.41 1
y
0.5 1 1.5 2
0.71 0.5 0.35 0.25
1
01
x
图象 指数函数 y 2x 的图象和性质
1. 定义域: R ； 2. 值 域: ( 0 , +∞) ； 3. 过 点: ( 0 , 1) ； 4. 单调性: 在 R 上是增函数； 5. 函数值的变化情况:
3
y2
5 71 5 7
(x2 y2)3 x6 y6
小试牛刀2
4.2 有理指数幂
❖ 巩固知识 ⒈根式和分数指数幂的概念． ⒉有理指数幂的定义． ⒊有理指数幂的运算．
❖ 课后练习
4.3幂函数
1 ． a n ＝ a×a×a×…×a ( n 个 a 连乘 )
a 0 ＝1（ a ≠ 0），
a
–n
＝
1 an
❖ 【例2】求下列各式的值：
2
❖ 1 83
2
10012
3
(16
)
3 4
81
解⑴ ❖
2
83
2
(23)3
2323
22
4
⑵ ❖
100
1 2
1
1
1002
1
1
(102 ) 2
1
10
⑶ ❖
(16
)
3 4
81
(
24 34
)
3 4
(
2
)4(
3 4
)
3
( 2 )3 3
( 3 )3 2
27 8
小试牛刀1
4.2 有理指数幂
(1) y 2x；
(2) y (1)x 2
定义
一般地，形如 y a x
的函数叫做指数函数，其中 x 是自变量．
函数的定义域是 R ．
变式练习： 请问同学们下面的式子是不是指数函 数？
y 32x
图象
y 2x
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 0.25 0.35 0.5 0. 71 1 1.41 2 2.83 4
1
36
2
21313
1
32
13
1 6
231 6
⑵
( p14q83)8
(
1
p4
)8
(q83
)8
⑶
p2q3
p2 q3
(3 5 125) 4 5
13 1
(53 52 ) 54
⑷
513 14
523
1 4
1
512
5
54
3 xy2(
xy )3
3
1
xy 2 ( x 2
1
y 2 )3
3
3
xy 2 x 2
（a ≠ 0， n N＋），
a
1
n＝
√na （a＞0），
a
mn ＝
√na
m（a＞0，m，n
N＋，且
m n
为既约分数）.
2．观察函数
y ＝ x2，y ＝ x3，y ＝ x 及 y ＝ x－1． 这些函数表达式的共同特征是什么？ 你还能举出类似的函数吗？
Baidu Nhomakorabea
4.3 指数函数
❖ 数学是打开科学大门的钥匙, 轻视数学必 将造成对一切知识的损害，因为轻视数学的 人不可能掌握其它学科和理解万物。
第四章 指数函数与对数函数
4.1 整数指数幂
1．整数指数幂的概念 ❖ 当n为正整数时，n个相同因数a的相乘，记作：an，
称为正整数指数幂，读作“a的n次方”，也可读作 “a的n次幂”，其中，a称为底数，n称为指数； ❖ 当n = 0时，a0(a 0)称为零指数幂；任何不等于0的 数的0次幂都等于1； ❖ 即a0 = 1 (a 0) ❖ 形如a-n (a 0) 称为负整数指数幂；a-n是an的倒数 ❖ 正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂合称为整 数指数幂．