人教九年级下册数学- 解直角三角形的简单应用导学案
人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是指在直角三角形中，锐角的正弦、余弦和正切值。它们是解决直角三角形问题的关键，广泛应用于工程测量、建筑设计等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具ห้องสมุดไป่ตู้的案例。这个案例展示了如何利用锐角三角函数测量建筑物的高度，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-正弦、余弦、正切函数的定义及图形表示；
-锐角三角函数在解直角三角形中的应用，特别是如何根据已知信息求解未知边或角；
-实际问题中的直角三角形求解，如测量物体高度、计算角度等。
举例：在求解直角三角形的问题中，重点在于让学生掌握如何使用正弦、余弦、正切函数，以及如何将实际问题转化为数学模型。
2.教学难点
4.在课堂总结环节，学生对本节课的知识点掌握程度较好，但仍有个别学生存在疑问。我意识到，在课后需要关注这部分学生的辅导，确保他们能够跟上教学进度。
5.本次教学中，我尽量采用生动形象的语言和丰富的教学手段，以提高学生的学习兴趣。但从学生的反馈来看，仍有改进空间。在今后的教学中，我将尝试更多有趣的教学方法，激发学生的学习热情。
人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用。本节课我们将围绕以下内容进行教学：
解直角三角形及应用导学案
新人教九年级数学（下）导学案主备人：叶小凤审核人：唐海霞杨栓祥解直角三角形及其应用（1）学案班级姓名得分【学习目标】理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形【学习重点】灵活运用知识点，准确解直角三角形【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用一、自学课本，完成下列知识点1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=8，则可求出AB= ,AC= 。
∠B= 。
2 结合上面题目的解决，归纳：（1）在三角形中共有几个元素（边、角）：（2）Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？①三边之间关系：②两锐角之间关系：③边角之间关系：3.解直角三角形概念：二、合作探究例1：在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B =45o，b=20，解这个直角三角形．三、课堂检测1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．352、Rt △ABC 中，若sinA=54，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．3、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．4、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=则cosA 的值是5、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=3，b=3，解这个三角形．6、 在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。
四、达标检测2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(3)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(4)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．新人教九年级数学（下）导学案 主备人：叶小凤 审核人：唐海霞 杨栓祥解直角三角形及其应用（2）学案班级 姓名 得分学习目标：能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形． 学习重难点：灵活构造直角三角形解决问题 导学过程：一、自主学习1.直角三角形的边角关系是 2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．5.已知：如图，△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝8cm ．求△ABC 的面积A CB二、课堂练习1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠BDC ＝60°，BC ＝6cm ． 求AD 的长．2.已知：如图，△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝120°，AB ＝10cm ．求AC 及BC 的长．三、达标检测1.△ABC 中，∠A ＝120°，∠B ＝30°，AC ＝2cm ．求AB 及BC 的长．2.已知：如图，△ABC 中，∠C ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝6cm ．求BCCA BB AC新人教九年级数学（下）导学案 主备人：叶小凤 审核人：唐海霞 杨栓祥解直角三角形及其应用（3）学案 仰角、俯角班级 姓名 得分学习目标：1.认识仰角、俯角，并能结合实际标准角度。
人教版九年级数学下册28.2解直角三角形导学案
28.2.1 解直角三角形导学案学习目标1、理解直角三角形中五个元素的关系。
2、会解直角三角形．学习重点，难点：解直角三角形学习探究主问题一：直角三角形中五个元素的关系在Rt△ABC中，︒=∠90C，BAcba∠∠,,,,这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)三边之间关系：(2)两锐角之间关系：(3)边角之间关系：主问题二：解直角三角形的意义．解直角三角形：由直角三角形中除直角外的个已知元素( 至少有一个是边)，求出的过程，叫做解直角三角形．在Rt△ABC中，︒=∠90C，（1）已知︒=∠60A,6=AB，则=∠B,=AC，=BC（2）已知3=AC，6=AB，则=∠B, =∠A，=BC（3）已知︒=∠60A,︒=∠30B，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？结论：在直角三角形六个元素中，除直角外，已知个元素（至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以有已知的元素求出其余元素。
主问题三：解直角三角形应用例1 如图：在Rt△ABC中，︒=∠90C，6=a,2=b，解这个三角形．例2如图：在Rt△ABC中，︒=∠90C35B∠=︒，20=b，解这个三角形．AC BABCcab=20C AB例3 如图，ABC ∆中,︒=∠90C ，24=BD ,︒=∠30A ,︒=∠45BDC ,求AD .变式练习：如图，ABC ∆中,AD BC ⊥，24=BD ,︒=∠30A ,︒=∠45D ,求AD .课堂检测1．Rt △ABC 中，︒=∠90C ，若︒=∠30A ，则B ∠= ； 若︒=∠30A ，a =1，则b = ，c = 2.ABC ∆中,90C ︒∠=,cos B =a =则b =________. 3.如图所示，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，4=AC ,cos 54=∠BCD ,则BC 的值是_____4.根据下列条件解直角三角形Rt △ABC 中，︒=∠90C ，C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,， （1）︒=∠30A ,3=b （2） 22=b ,4=c （3）2=c ，33tan =A5. 如图所示，在ABC ∆中，︒=∠60A ，︒=∠45B ，4=AC ， 求 BC 、AB .课堂小结：解直角三角形的意义，依据及应用。
新人教版九年级数学下册《解直角三角形的简单应用》精品导学案
28.2.2 应用举例第1课时 解直角三角形的简单应用【学习目标】1.使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．2. 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、课前热身：1.解直角三角形的类型： 已知____________；已知___________________．2.如图解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B＝_____，（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．3.已知，如图，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC 的长. (结果保留根号).二、合作交流：c ba AC B要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足，(如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子？（可用计算器）学生励志寄语：人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。
只有一个的知识、阅历、素质、修养达到足够的积淀时，オ能真正做到不说张扬之语，不干张扬之事，处于低谷不颓废，過到困难不退缩，一帆风顺不得意，成绩面前不炫耀，永远保持着踏踏实实，平平常常的生活态度和格调。
以成熟，豁达，自信，睿智处世做事。
就가定会拥有属于自己的一片广阔的天地。
(人教版)九年级数学下册精品导学案：28.2.3 解直角三角形的应用(2)导学案
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》导学案[28.2.3 解直角三角形的应用（2）]1.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题. (重点)2.在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路. (难点)情境引入某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地，海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？通过这节课的学习，相信你也行.知识精讲解与仰俯角有关的问题如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.典例解析【例1】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.【针对练习】建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.【例2】如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?【针对练习】如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75）达标检测1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C 点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E 处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，则树高 (精确到0.1米）.4. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为m(结果用带根号的数的形式表示).5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）.6. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .。
人教版九年级数学下册导学案28.2解直角三角形的应用 (
No.25 课题：28.2解直角三角形的应用（3）
主编：许爱农审核：李霞验收负责人：课型：新授课
学习目标：掌握解直角三角形中的各种边、角关系，能恰当地选择锐角三角函数解直角三角形解决实际问题．
学习重、难点：能利用解直角三角形解决实际问题。
一、学习研讨：简记
1.学校操场上有一根旗杆，上面有一根开旗用的绳子（绳子足够长），
王明拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把含300的三角板去度量
旗杆的高度。
（1）若王明将旗杆上绳子拉成仰角为600，如图用卷尺量得BC
=4米，则旗杆AB的高多少？
（2）若王明分别在点C、点D处将旗杆上绳子分别拉成仰角为600、
300，如图量出CD=8米，你能求出旗杆AB的长吗？
（3）若王明分别在点C、点D处将旗杆上绳子分别拉成仰角为450、
300，如图量出CD=8米，你能求出旗杆AB的长吗？
A A
C B
D C B
二、巩固练习：
1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角
为60°，观察底部的仰角为45°，求旗杆的高度。
2.如图，两建筑物的水平距离为33米，从A点测得D点的俯角为30°测得点C的俯角为45°，求这两个建筑物的高度.
三、教（学）后反思：。
最新人教版九年级数学下册《解直角三角形》精品导学案
第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形学习目标：1.了解并掌握解直角三角形的概念.2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系.3.学会解直角三角形.重点：理解直角三角形中的五个元素之间的联系.难点：学会解直角三角形.自主学习一、知识链接如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°.(1) 三边之间的关系：a2+b2=_____；(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3) 边角之间的关系：sin A=_____，cos A=_____，tan A=_____.合作探究一、要点探究探究点1：已知两边解直角三角形合作探究在图中的Rt△ABC中，(1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？(2) 根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？【归纳总结】在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.【典例精析】如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC =2，BC，解这个直角三角形.练一练在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，根据条件解直角三角形.探究点2：已知一边及一锐角解直角三角形【典例精析】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝72°，c = 14.根据条件解直角三角形.2. 如图，已知AC = 4，求AB和BC的长．探究点3：已知一锐角三角函数值解直角三角形【典例精析】例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A =13，BC = 5，试求AB的长.练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A =35，BC=6，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．102.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sin B＝45，则菱形的周长是( )A．10 B．20 C．40 D．28【典例精析】例4在△ABC中，AB=122AC=13，cos B=22，求BC的长.二、课堂小结1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是( ) A. b=a·tan A B. b=c·sin A C. b=c·cos A D. a=c·cos A2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是( ) A.434B. 4C. 83D.433. 在Rt∠ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC = (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).4.如图，已知Rt∠ABC中，斜边BC上的高AD=3，cos B=45，则AC 的长为.5.如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC=6，△BAC的平分线43AD .当堂检6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC的长.参考答案自主学习一、知识链接（1）c290°acbcab课堂探究一、要点探究探究点1：已知两边解直角三角形解：（1）sin sin 6sin 75.BCABC AB A AB，cos cos 6cos75.ACAAC AB A AB，9090907515.A B B A ∠+∠=∴∠=-∠=-=，（2）222 5.5.AB AC BC BC =+∴==≈，2.4cos cos 0.4.66.6AC A A A AB =∴==∴∠≈，9090906624.A B B A ∠+∠=∴∠=-∠=-=，【典例精析】 例1 解6tan 32BCAAC，60A ，90906030BA ，2AB AC ==练一练 解：根据勾股定理222230201013ca b ，303tan 1.5202a Ab，56.3.A ∠=∴909056.333.7.B A ∠=-∠=-=∴ 探究点2：已知一边及一锐角解直角三角形 【典例精析】例2 解：90=9035=55.A B =--∠∠tan ,b B a =2028.6.tan tan 35b a B ∴==≈sin ,b B c =2034.9.sin sin 35b c B ∴==≈ 练一练 1.解：∵sin ,bB c=∴sin 14sin 7213.3.b c B ∵cos ,a B c =∴cos 14cos724.33.ac B 907218.A ∠=-=2. 解：如图，作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，∵∠A =30°，∴∠ACD =90°-∠A =60°，12,2CD AC =∴=cos 42AD AC A =⨯==在Rt∠CDB 中，∠∠DCB =∠ACB －∠ACD =45°，∠BD =CD =2.∠2cos BC DCB==∠2AB AD BD =+=+∴【典例精析】例3 解：190cos 3C A ︒∠==，，1.3AC AB ∴=设1,3AB x AC x ==，222AB AC BC =+，22215.3x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭12,.44x x ∴==-（舍去）∴ AB 的长为4练一练 1.D 2.C【典例精析】例4 解：∵cos B =2，∴∠B =45°.当△ABC 为钝角三角形时，如图①，=45AB B ∵，==cos 12.AD BD AB B =∴∵AC =13，∴由勾股定理得CD =5.∴BC =BD - CD =12-5=7；当△ABC 为锐角三角形时，如图②，BC =BD +CD =12+5=17.∴ BC 的长为7或17.当堂检测1. C2. D3. 244. 3.755.解：∠cos2AC CAD AD ∠===30CAD ∴∠=︒.∠ AD 平分∠BAC ，6030CAB B ∴∠=︒∠=︒，.12AB BC ∴==，6. 解：过点 A 作 AD ⊥BC 于点D .在△ACD 中，∠C =45°，AC =2，∴CD =AD =sin C · AC =2sin45°.在△ABD 中，∠B =30°，∴BD =tan 3AD B ==∴BC =CD +BD +学生励志寄语：人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。
九年级数学下册《解直角三角形的应用问题》教案、教学设计
3.培养学生团结协作、互相帮助的精神，使其在合作学习中体验到团队的力量；
4.培养学生具备一定的审美观念，欣赏直角三角形在几何图形中的美感；
5.引导学生关注社会、关注生活，运用所学数学知识为生活服务，提高学生的社会责任感。
二、学情分析
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过多媒体展示生活中的一些直角三角形应用实例，如建筑物的直角三角形结构、测量高度等，引发学生对直角三角形的好奇心和探究欲望。
师：“同学们，你们在生活中见到过直角三角形吗？它们有什么特别之处呢？今天我们将一起探讨直角三角形的应用问题。”
2.教师提出问题，引导学生思考：
（四）课堂练习
1.教师布置一些具有代表性的练习题，让学生独立完成。
师：“下面，请同学们完成这些练习题。它们涵盖了直角三角形的不同类型，希望你们能够运用所学知识进行解答。”
2.教师对学生的练习情况进行点评，指出解题过程中的优点和不足。
师：“通过练习，我发现大部分同学已经掌握了解直角三角形的方法。但还有一些细节需要注意，如准确度、计算过程等。希望大家能够不断改进，提高解题能力。”
4.了解并掌握一些常见的直角三角形应用问题解题思路和方法，如平面几何中的角度问题、路程问题等。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师将采用以下方法引导学生学习：
1.采用情境教学法，通过设置与生活密切相关的实际问题，激发学生的学习兴趣和探究欲望；
2.引导学生运用合作学习、探究学习的方式，培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力；
3.学生在合作学习中，容易出现依赖心理，需要教师引导他们积极参与、主动思考；
人教版九年级数下册导学案解直角三角形(第1课时)学案
（1）．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用 这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个 是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个 已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
（2）．例题评析：
例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= a= ，解这个三角形．
例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 =35 ，解这个三角形（精确到0.1）．
例3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
三、展示与反馈：
《导学案》P90页“自主测评”。
四、学习小结：
1、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素 (至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
3、情感、态度、价值观：
渗透数 形结合的数学思想，培养学生良好的 学习习惯．
学习重点：
直角三角形的解法．
学习难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
导学过程:
一、课前导学：
阅读课本P85-86
二、课堂导学：
情境 导入：
在三角形中共有几个元素？这些 元素之间 有什么关系？
2、出示任务，自主学习：
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
解直角三角形
课题：28.2解直角识和技能：
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、过程和方法：
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培 养学生分析问题、解决问题的能力．
九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形导学案 (新版)新人教版
解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形1.了解什么叫解直角三角形.2.掌握解直角三角形的根据.3.能由已知条件解直角三角形.阅读教材P72-73，自学“探究”、“例1”与“例2”，弄清楚直角三角形的元素，掌握解直角三角形的方法.自学反馈学生独立完成后集体订正①在直角三角形中，由求的过程叫做解直角三角形.②直角三角形中的边角关系:三边之间的关系；两锐角之间的关系；边与角之间的关系:sinA= ，cosA= ，tanA= ，sinB= ，cosB= ，tan B= .③在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A与斜边c，用关系式，求出∠B，用关系式求出a.弄清楚直角三角形五元素之间的数量关系是解直角三角形的关键.活动1 小组讨论例1 Rt△ABC中，∠C=90°,c=0.832 8,b=0.295 4，解这个直角三角形.解:∵sinB=bc=0.29540.8328≈0.354 7，∴∠B≈20°46′，∠A=90°-∠B=90°-20°46′=69°14′，∵tanA=ab，∴a=b·tanA≈0.779.直角三角形除直角外的其它五个元素中，已知其中任何两个元素(必有一边)，即可求出其它三个元素.活动2 跟踪训练(独立完成后小组内交流并展示)1.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB=10，∠A=30°，则BC的长为 .2.如图，在△ABC中,∠B=45°,cosC=35,AC=5a,则△ABC的面积用含a式子表示是 .3.根据下列所给条件解直角三角形，结果不能确定的是( )①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.A.②③B.②④C.只有②D.②④⑤第2小题要过点A作BC的垂线，构造两个直角三角形，再解直角三角形；第3小题要注意解直角三角形中已知的两元素不包括直角.4.已知，如图:△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°,AB=10,D为△ABC外一点，连结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.①若△ABD是等边三角形，求DE的长；②若BD=AB，且tan∠HDB=34，求DE的长.求出AB的长，根据等腰三角形“三线合一”可求出AH和BH等于AB的二分之一，然后在直角三角形AHD和AHE，可利用tan∠DAH和tan∠EAH求出DH和EH的长，从而求出DE的长；第②小题思路和方法同上. 活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识:解直角三角形.2.本节学习的数学方法:转化的数学思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①略②略③略【合作探究1】活动2 跟踪训练1.52.14a23.C4.①3-5 ②4。
人教版九年级数学下册《解直角三角形的应用》导学案
课题教学案 解直角三角形的应用
科目 年级 姓名
学习目标：
1:利用转化思想会将实际问题转化成数学模型。
2.利用三角函数解直角三角形（常见的两种结构）
一、温故知新
1．在三角形中共有几个元素？
2．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，B A c b a ∠∠,,,,这五个元素间
有哪些等量关系呢？
(1)三边之间关系：
(2)两锐角之间关系：
(3)边角之间关系：
3.完成下表
30° 45°
60° sin α
cos α
tan α
二、例题归纳
探究一：测量物体的高度
例1 某人在B 处测得大厦顶端A 的仰角为30°，在D 处
测得大厦顶端A 的仰角为45°.已知BD ＝20米，求大厦AC
的高 (结果保留根号）
C
A B
探究二:测量物体的宽度
例2:如图，要在某县某的一个林场东西方向的两地之间修一条公路AC，已知B点周围200米范围内为原始森林保护区，在AC上的点A处测得B在A的北偏东60°方向上，从A向东走600米到达C处，测得B在点C的北偏西45°方向上，则
(1)求B到AC的距离；
(2) AC是否穿过原始森林保护区？为什么？(参考数据：3≈1.732)
变式训练
例3: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m，
3 ）
.1
732
总结：。
人教版九年级数学下册《解直角三角形的应用》教学设计
（第3题）数学九年级（下）第4单元第23课时 《解直角三角形的应用》教学设计学习目标：1、熟练掌握解直角三角形的方法，提高自己的解题能力；2、先构造直角三角形，综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题，学会数学思想方法的运用，体会解决实际问题的成功与喜悦。
学习重、难点：先构造直角三角形，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题。
一、课前自主学习 1、知识方法回顾2、知识方法应用（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则sinA ＝ ，tanA ＝ ． （2）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB=10．若∠A ＝30°，则BC= ；若点D 为AB 的中点，则CD= ．（3）如图，在所示的直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），且OP 与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是34，则y= ，cos α= ．(第4题) (第5题)（4）如图，∠AOB 是放在正方形网格中的一个角，则sin ∠AOB= ． （5）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC=6，BC=8，则tan ∠ACD= ． （6）计算： 2cos 30°＋cot 60°= ．A B O（7）如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD ．（i ＝CE ∶ED ，单位米，结果保留根号）（8）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度．（参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）例1 如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为31∶，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．例2 如图，有一棵倾斜的大树AB ，它与水平地面的夹角为30°，在某一时刻测得：太阳光线与水平地面的夹角为60°，大树AB 的影长为3米。
《解直角三角形的应用》导学案
4.4解直角三角形的应用课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、正确理解解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．要理清这个概念的涵义：（1）隐含条件是直角，这是前提条件，也是已知条件.（2）已知条件：必有两个，且必有一边才能解直角三角形.因为边角的组合有边边、边角、角角，但角角不能确定三角形大小，更无法求其边长了，即不能解三角形.2、掌握解直角三角形的依据在Rt△ABC中，∠C= 90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．（1）三边之间的关系（即勾股定理）：a2+b2=c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B = 90°；（3）边角之间的关系：sin A=ac=cos B，cos A=bc=sin B，tan A=ab.（4）面积关系：S△ABC=12ab=12ch（h是斜边上的高）=12ab sin C=12a csin B=12bc sin A（同学们自己可以证明）3、解直角三角形的解法分类及方法：（1）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（2）已知两边解直角三角形.4、掌握与解直角三角形相关的几个概念：（1）仰角、俯角：测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角（如图）.（2）方向角：如图所示，在平面上过观测点O ，画一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点O 出发的视线与铅垂线（南北方向线）的夹角，叫做点O 的方向角（或称为象限角），例如，图中点A 的方向角为北偏东30°，点B 的方向角为南偏西45°（或称为西南方向）.注意：①方向角通常是以南北方向线为主，分南偏和北偏（东、西）；②观测点不同，所得的方向角不同（如图所示，从点O 出发观测点A 的方向角为北偏东30°，而从点A 观测点O 的方向角为南偏西30°），但各个观测点的南北方向线是互相平行的.（3）坡度问题的相关概念：如图，我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i 表示，即lh i =.坡度一般写成1︰m 的形式，如1︰3；坡面与水平面之间的夹角记作α（叫做坡角），那么αtan ==l h i .名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：航海问题例1、如图，一条渔船某时刻在位置A 观测灯塔B 、C(灯塔B 距离A 处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l 小时45分钟之后到达D 点，观测到灯塔B 恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C 周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?【解题思路】本题考查解直角三角形在航海问题中的运用，解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．【解】在Rt △ABD 中，716284AD =⨯=（海里），∠BAD=90°－65°45′=24°15′. ∵cos24°15′=AD AB ， ∴2830.71cos 24150.9118AD AB ==≈'︒(海里).AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).在Rt △ACE 中，sin24°15′=CE AC，∴CE=A C·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).∵17.54＜18.6，∴有触礁危险.【方法归纳】本题有两个难点，一是要能将实际问题抽象为数学问题，二是构造合适的直角形。
(人教版)九年级数学下册精品导学案：28.2.4 解直角三角形的应用(3)导学案
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》导学案[28.2.4 解直角三角形的应用（3）]1.正确理解方向角、坡度的概念. (重点)2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力. (难点)知识精讲解与方位角有关的问题以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：典例解析【例1】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？【例2】如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？【针对练习】如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732,2≈1.414)．知识精讲解与坡度有关的问题1. 坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .2. 坡度 (或坡比)如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i，即 i = h : l .坡度通常写成 1∶m 的形式，如i=1∶6.3. 坡度与坡角的关系tan h i lα==即坡度等于坡角的正切值. 【针对练习】1. 斜坡的坡度是1:3，则坡角α =___度.2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. 典例解析【例3】如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240m 到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m ）？【例4】水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD 的坡角α (精确到 1°)；(2)坝底AD 与斜坡AB 的长度 (精确到0.1m).【针对练习】如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B 点出发时，测得坡面AB 的坡度为1 : 2，走205米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．达标检测1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 ，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是 ( )A. 9mB. 6mC.2. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是 ( )A. 10分钟B. 15分钟C. 20分钟D. 25分钟3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于．4. 如图，海上B 、C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向，一艘船从A 岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°方向，则A 、B 两岛之间的距离为 ．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93)5. 如图有一个古镇建筑A ，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B 点处测得古建筑A 在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D 点，这时 测得古建筑A 在D 点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？6.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 (精确到0.1 1.732= 1.414= ).。
人教版九年级数学(下册)导学案：28.2解直角三角形及应用(1)
余庆县实验中学九年级（下）数学《三环五步》课堂教学上课时间2019年月日（第周星期）总第课时课题28.2.1.解直角三角形主备人二次备课人九年级（）班学生学习目标1、理解直角三角形中五个元素的关系.2、会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．学习重点直角三角形的解法．学习难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用.使用要求 1.自学P72—73中的内容；2.独立完成学案，然后小组交流、展示。
小组评价评价人签名2019年月日学习过程备注一、自主预习探究问题1、在三角形中共有几个元素？2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1) 三边之间关系：(2) 锐角之间关系：(3) 边角之间关系：以上三点是解直角三角形的依据．二、自主学习感受新知阅读课本 72-73页内容，回答问题：1、定义：在直角三角形中，由求的过程，就是解直角三角形.2、归纳：我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，已知个元素(至少有个是 )，就可求出其余的元素．3、例题学习：（1）阅读课本P73例题1、例题2。
（2）完成课本P74练习题（做在书上）。
三、自主交流运用新知。
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，b=4, ∠A=45°, 解这个三角形．学 习 过 程 备 注三、自主交流 运用新知。
2、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2，a=6，解这个三角形．四、 自主总结 拓展新知： “已知一边一角，如何解直角三角形？”五、 自主应用 当堂检测 1、在△ABC 中,∠C 为直角,（1）已知a=4, ∠A=30°.求b; （2）已知a=52,b=56,求∠A 。
2、在△ABC 中,∠C=90°AB=23,BC=3,解这个直角三角形。
3、已知:在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=15, ∠A 的平分线AD=103,解这个直角三角形。
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28.2.2 应用举例
镇海中学陈志海
第1课时解直角三角形的简单应用
【学习目标】
1.使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
2. 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
【学习难点】
实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、课前热身：
1.解直角三角形的类型：
已知____________；已知___________________．
2.如图解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________．
（2）角关系：∠A+∠B＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
3.已知，如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结
果保留根号).
c
b
a
A
C B
二、合作交流：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到
1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子？（可用计算器）
【素材积累】
1、黄鹂方才唱罢，摘村庄的上空，摘树林子里，摘人家的土场上，一群花喜鹊便穿戴着黑白相间的朴裙裾而闪亮登场，然后，便一天喜气的叽叽喳喳，叽叽喳喳叫起来。
2、摘湖的周围有些像薄荷的小草，浓郁时，竟发出泥的气息！仔细看几朵小花衬着绿绿的小草显得格外美丽。
夏天，大大的荷叶保护着那一朵朵娇粉的荷花。
摘整个湖泊中格外显眼。
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