向量专题综合

向量专题
一、定比分点的向量形式及运用
定理：（定比分点公式的向量形式）设点P 分21P P 的比为λ（即21P λ=，1-≠λ），Q 为平面上的任意一点，则.11121
QP λ
λ
λ+++=
证明：,21P λ=
()
,21QP -=-∴λ
即(),121QP λλ+=+ 即.11121
QP λ
λλ+++=
推论1：设点P 为OAB ∆的边AB 上的点，且,,n PB m AP ==则.OB n
m m
n m n +++= 推论2：设点P 为OAB ∆的边AB 的中点，则()
.2
1
OB OA OP +=
推论3：OAB ∆中，点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数t ，使()OB t OA t OP -+=1成立。

推论4： （定比分点公式）在直角坐标平面中，设()()(),,,,,,222111y x P y x P y x P 且点P 分21P P 的比为λ（其中1-≠λ），则.1,11
121λ
λλλ++=++=y y y x x x
例1 如图，在ABC ∆中，E D ,是BC 边的三等分点，D 在B 和E 之间，F 是AC 的中点，G 是AB 的中点，设H 是线段DF 与EG 的交点，求比值.:HG EH
例2 如图所示，已知ABC ∆的面积为E D cm ,,142
分别是边BC AB ，上的点，且，
1:2::==EC BE DB AD 求PAC ∆的面积。

例3 已知G 是ABC ∆的重心，过点G 任作一条直线l ，分别交边AC AB ，于点，，E D 若
.,y x ==求证：y
x 1
1+为定值。

二、奔驰定理与三角形五心的向量表达 【奔驰定理】
设P 是ABC ∆内一点，记三角形PBA PCA PBC ,,面积分别为，C B A S S S ,,则.0=++PC S PB S PA S C B A
延长AP 至点D ，则
B
C
PCD ACD PBD ABD PCD PBD ACD ABD S S S S S S S S S S CD BD =--===∆∆∆∆∆∆∆∆ 用同样方法可得
A
C
B S S S PD PA += 由以上两式结合定比分点坐标公式分别可得
PB S S S PB S S S PD C B C C B B
+++=
(1)
PA S S S PD C
B A
+-
= (2)
()()21-化简即得
.0=++PC S PB S PA S C B A
奔驰定理：点O 为ABC ∆内任意一点，求证：.00=+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S B A AOC BOC 证明：考虑到存在R ∈γμλ、、，
使得0=⋅+⋅+⋅OC OB OA γμλ (1)
如图：设，OC OF OB OE OA OD ⋅=⋅=⋅=γμλ,, 0=++∴DF DE OD
∴点O 为DEF ∆的重心。

由三角形面积公式得：,,,AOE DOE AOC DOF BOC EOF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===λμγλμγ 又，DOE DOF EOF S S S ∆∆∆== AOB AOC BOC S S S ∆∆∆==∴λμγλμγ 两边同除λμγ得：k S S S AOB
AOC
BOC
==
=
∆∆∆γ
μ
λ
k
S
k S k S AOB AOC BOC ∆∆∆===
∴γμλ,, 代入(1)式得：.00=+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S B A AOC BOC
例1 设O 为三角形ABC 内一点，且满足：，CA BC AB C OB OA ++=++23032则
ABC
COA
BOC AOB S S S S ∆∆∆++32的值为 。

例2 【2016年清华领军】若O 为ABC ∆内一点，满足,2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S 设，μλ+=则=+μλ 。

由奔驰定理易得下面5条结论
（1）点P 是ABC ∆的重心0=++⇔PC PB PA
（2）点P 是ABC ∆的垂心0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔PC C PB B PA A （3）点P 是ABC ∆的外心02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔PC C PB B PA A （4）点P 是ABC ∆的内心0=⋅+⋅+⋅⇔PC c PB b PA a （5）点P 是ABC ∆的旁心.0=⋅+⋅+⋅-⇔PC c PB b PA a
例1 ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()
,OC OB OA m OH ++=则实数=m 。

例2 如果ABC ∆的外接圆的圆心为O ，，OC OB OA OH ++=那么H 是ABC ∆的（ ）
.A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心
例3 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足，
⎫
⎛+=λ [)，，∞+∈0λ则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
.A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心
例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足
()
，
+
∈⎪⎫ ⎛+=R OA OP λλ则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） .A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心
例5 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足
()
，
+
∈⎫⎛+=R λλ则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） .A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心
例6 已知C B A 、、是平面上不共线的三点，O 为ABC ∆外心，动点P 满足
()()()[]
(),021113
1
≠∈++-+-=
λλλλλ且R 则P 的轨迹定过ABC ∆的（ ） .A 内心 .B 垂心 .C 重心 .D AB 边中点
三、等和线的实际运用
【深入研究】若,OD OC λ=那么,OD OB y OA x OB y OA x OC λλλλ=⎪⎭⎫
⎝⎛+=+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+=+λλλy x y x 即,1
过C 点作直线AB l //，在l 上任作一点C '，连接C O '，交AB 于D '点，同理可得，以OB OA ,为基地时，
C O '对应的系数和依然为λ。

在向量起点相同的前提下，所有以与AB 平行的直线上面的点为终点的向量，其基地的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”。

值的大小与起点到等和线的距离成正比，若等和线与AB 在起点的两侧时，值为负。

例1 如图，正六边形ABCDEF 中，P 是CDE ∆内（包括边界）的动点，设()R AF AB AP ∈+=βαβα,，则βα+的取值范围是 。

例2 给定两个长度为1的平面向量OB OA 和，它们的夹角为
3
2π
，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若),(R y x OB y OA x OC ∈+=，则y x +的最大值是 。

例3 设D ，E 分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，,3
2
,21BC BE AB AD ==
若),,(2121R ∈+=λλλλ则21λλ+的值为 。

例4 如图，在扇形OAB 中，，3
π
=∠AOB C 为弧AB 上的一个动点，若,y x +=则y x 3+的取
值范围是 。

规律：定值问题特殊化；垂直问题坐标化；一般图形基底化。