向量专题综合

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一、定比分点的向量形式及运用

定理：（定比分点公式的向量形式）设点P 分21P P 的比为λ（即21P λ=，1-≠λ），Q 为平面上的任意一点，则.11121

QP λ

λ

λ+++=

证明：,21P λ=

()

,21QP -=-∴λ

即(),121QP λλ+=+ 即.11121

QP λ

λλ+++=

推论1：设点P 为OAB ∆的边AB 上的点，且,,n PB m AP ==则.OB n

m m

n m n +++= 推论2：设点P 为OAB ∆的边AB 的中点，则()

.2

1

OB OA OP +=

推论3：OAB ∆中，点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数t ，使()OB t OA t OP -+=1成立。 推论4： （定比分点公式）在直角坐标平面中，设()()(),,,,,,222111y x P y x P y x P 且点P 分21P P 的比为λ（其中1-≠λ），则.1,11

121λ

λλλ++=++=y y y x x x

例1 如图，在ABC ∆中，E D ,是BC 边的三等分点，D 在B 和E 之间，F 是AC 的中点，G 是AB 的中点，设H 是线段DF 与EG 的交点，求比值.:HG EH

例2 如图所示，已知ABC ∆的面积为E D cm ,,142

分别是边BC AB ，上的点，且，

1:2::==EC BE DB AD 求PAC ∆的面积。

例3 已知G 是ABC ∆的重心，过点G 任作一条直线l ，分别交边AC AB ，于点，，E D 若

.,y x ==求证：y

x 1

1+为定值。

二、奔驰定理与三角形五心的向量表达 【奔驰定理】

设P 是ABC ∆内一点，记三角形PBA PCA PBC ,,面积分别为，C B A S S S ,,则.0=++PC S PB S PA S C B A

延长AP 至点D ，则

B

C

PCD ACD PBD ABD PCD PBD ACD ABD S S S S S S S S S S CD BD =--===∆∆∆∆∆∆∆∆ 用同样方法可得

A

C

B S S S PD PA += 由以上两式结合定比分点坐标公式分别可得

PB S S S PB S S S PD C B C C B B

+++=

(1)

PA S S S PD C

B A

+-

= (2)

()()21-化简即得

.0=++PC S PB S PA S C B A

奔驰定理：点O 为ABC ∆内任意一点，求证：.00=+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S B A AOC BOC 证明：考虑到存在R ∈γμλ、、，

使得0=⋅+⋅+⋅OC OB OA γμλ (1)

如图：设，OC OF OB OE OA OD ⋅=⋅=⋅=γμλ,, 0=++∴DF DE OD

∴点O 为DEF ∆的重心。

由三角形面积公式得：,,,AOE DOE AOC DOF BOC EOF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===λμγλμγ 又，DOE DOF EOF S S S ∆∆∆== AOB AOC BOC S S S ∆∆∆==∴λμγλμγ 两边同除λμγ得：k S S S AOB

AOC

BOC

==

=

∆∆∆γ

μ

λ

k

S

k S k S AOB AOC BOC ∆∆∆===

∴γμλ,, 代入(1)式得：.00=+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S B A AOC BOC

例1 设O 为三角形ABC 内一点，且满足：，CA BC AB C OB OA ++=++23032则

ABC

COA

BOC AOB S S S S ∆∆∆++32的值为 。

例2 【2016年清华领军】若O 为ABC ∆内一点，满足,2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S 设，μλ+=则=+μλ 。

由奔驰定理易得下面5条结论

（1）点P 是ABC ∆的重心0=++⇔PC PB PA

（2）点P 是ABC ∆的垂心0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔PC C PB B PA A （3）点P 是ABC ∆的外心02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔PC C PB B PA A （4）点P 是ABC ∆的内心0=⋅+⋅+⋅⇔PC c PB b PA a （5）点P 是ABC ∆的旁心.0=⋅+⋅+⋅-⇔PC c PB b PA a

例1 ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()

,OC OB OA m OH ++=则实数=m 。

例2 如果ABC ∆的外接圆的圆心为O ，，OC OB OA OH ++=那么H 是ABC ∆的（ ）

.A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心

例3 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P

满足，

⎫

⎛+=λ [)，，∞+∈0λ则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）

.A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心

例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P

满足

()

，

+

∈⎪⎫ ⎛+=R OA OP λλ则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） .A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心

例5 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P

满足

()

，

+

∈⎫⎛+=R λλ则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） .A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心

例6 已知C B A 、、是平面上不共线的三点，O 为ABC ∆外心，动点P 满足

()()()[]

(),021113

1

≠∈++-+-=

λλλλλ且R 则P 的轨迹定过ABC ∆的（ ） .A 内心 .B 垂心 .C 重心 .D AB 边中点